小题满分限时练(一)~(四)

限时练(一)

(限时：40分钟)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9 B.8 C.7

D.6

解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}， N ＝{x |m ＜x ＜5}，

且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C

2.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.16

29尺 C.815尺

D.1631尺

解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d

＝390，解得d ＝16

29

.故选B. 答案 B

3.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A ，B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－5

D.1或－3

解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的2

2.圆C 的标准方程是(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |

2

，依题意

得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D.

答案 D

4.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )

A.16＋33

B.8＋632

C.163

D.203

解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝8

3.可将三棱柱补成直三棱柱，则 V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为20

3.故选D. 答案 D

5.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且

该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )

A.5π

12 B.π4 C.π3

D.π6

解析 由题意得T 2＝π

2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12

(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.

答案 A

6.已知向量a ，b 的模都是2，其夹角是60°，又OP →

＝3a ＋2b ，OQ →

＝a ＋3b ，则P ，Q 两点间的距离为( ) A.2 2 B. 3 C.2 3

D. 2

解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2×2×1

2＝2，PQ →＝OQ →－OP →＝－2a ＋b ，∴|PQ →

|2

＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝12，

∴|PQ →

|＝2 3. 答案 C

7.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A.45 B.60 C.120

D.210

解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36·C 04＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60， f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 06·C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋

f (0，3)＝120. 答案 C

8.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( ) A.85 B.65 C.45

D.25

解析 由题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3，又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2， 则X ～B ⎝ ⎛

⎭⎪⎫5，35，故D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65.

答案 B

9.设双曲线x 24－y 2

3＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192 B.11 C.12

D.16

解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2

a ＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11. 答案 B

10.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0

D.c >9

解析 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0，3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6，9]. 答案 C

二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.把答案填在题中的横线上)

11.若x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，

x －y ≥－1，2x －y ≤2，

若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取

得最小值，则实数a 的取值范围为________.

解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图中阴影部分所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a

3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a

3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3).