第2章_2 弹性力学基础与地震波—波动方程的解
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弹性体内一点(yī diǎn) 内力集度表示为：
Q dQ
T lim
S0 S dS
注意：同一点不同(bù tónɡ)截面上的内力不同 (bù tónɡ)．
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2.应力分量
应力正负号的规定：正面上的应力分量与坐 标(zuòbiāo)轴的正方向一致为正，负面上 的应力分量与坐标(zuòbiāo)的负方向一致 为正；反之为负。
第二章 弹性力学的基本方程 (fāngchéng)和一般原理
§2-1 载荷 应力(yìnglì) §2-2 平衡（运动）微分方程 §2-3 斜面应力(yìnglì)公式 应力(yìnglì) 边界条件 §2-4 位移 几何方程 §2-5 广义Hooke定律
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§2-6 弹性力学问题的一般(yībān)提法 §2-7 指标表示法 §2-8 迭加原理 §2-9 弹性力学问题解的唯一性原理 §2-10 圣维南原理
y
y
zy
z
Fy
2v t 2
xz
x
yz
y
z
z
Fz
2w
t 2
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(2) 几何(jǐ hé)方程
x
u x
,
yz
w y
v
z
y
v y
,
zx
u z
w
x
z
w z
,
xy
v x
u y
组称为(chēnɡ wéi)几何方程，又称为(chēnɡ wéi)柯西（Cauchy)方
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2.力平衡(pínghéng)微分方程
由 X 0 得：
弹性波动理论详解
图1.6 波前、波后和射线
菲涅尔补充：由波前面上各点所产生的子波，在观测点上相互干涉叠加，其叠加 结果就是我们在该点观测到的总振动。 惠更斯—菲涅尔原理（又称波前原理）：既可用于均匀介质，也可用于非均匀介 质，利用这个原理可以构制反射界面、折射界面等。 2.费马原理 弹性波的传播，除了可用波前来描述外，还可用射线来描述： 射线：波从空间一点到另一点的传播路径。在任一点上，射线总是垂直于波前。
垂直面内分量：称SV波
从波动方程知：纵、横波传播速度为
Vp
1 (1 )(1 2 ) E 1 Vs 2 (1 ) E
( 2 )
(1.15)
则纵、横波速度之比为
Vp Vs 1 0 .5
(1.16) 表1.2 Vp/Vs值与介质泊松比的关系
(2) 泊松比（σ） 在拉伸形变中，直杆的横切面会减小。反之，在轴向挤压时，横截面将增大。 也就是说，在拉伸或压缩形变中，纵向增量 L和横向增量 d的符号总是相 反的。 泊松比: 介质的横向应变与纵向应变的比值
σ =- L / L
(3) 体变模量
d / d
(1.6)
一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生体积形变。即每个正 截面的压体变模量（压缩模量）: 压力P与体积相对变化之比 P (1.7) K=-
解决某些特殊问题，如探测充满液体的洞穴（如溶洞）, Vs=0
体波：纵、横波，在整个空间 面波：弹性分界面附近 瑞利面波：自由界面，地滚波，R波 特点：低频、低速，能量大（强振幅），旋转（铅垂面，椭圆，逆转） 天然地震中，危害极大 勒夫面波：低速带顶底界面，平行界面的波动，振动方向垂直传播方向， SH波 特点：对纵波勘探影响不大，对横波勘探严重干扰
第二章 地震波
2.3 弹性介质及波动方程
介质的弹性性质 (elastic)： 弹性
第二章 地震波
L
未加载
加载
卸载
2.3 弹性介质及波动方程
介质的脆性性质（brittle）
L
未加载
第二章 地震波
加载
卸载
2.3 弹性介质及波动方程
介质的塑性性质（Plastic）
L
未加载
第二章 地震波
加载
2.2 波的性质简述
波速V、视波速C和波数k
波速V取决于波动传播介质的力学 特性（密度和弹性模量等）。 观察或测量波动时往往并不沿着波 动的传播方向，这时观测到的波速 称为视波速，视波速c与真实波速v 之间有简单的换算关系C=V/sina； a为波的入射角。 波数k也是常用的描述波动的参数， 定义为2π 长度中所包含的波长λ 的个数。
Vp
(2)横波（ 横波 Transverse wave, or Shear wave) --质点振动方向与振动（能量）传播方向垂直 --传播速度为： V
卸载
卸载不能完全恢复原状， 有“永久残余变形”。
2.3 弹性介质及波动方程
应力-应变关系Stress-Strain Relation (based on experimental result)
Elastic range Linear range Plastic deformation
第二章 地震波
2.1 地震学中的基本名词和概念
思考1：震中距是哪一段？
第二章 地震波
2.1 地震学中的基本名词和概念
思考2：烈度与震级的区别
第二章 地震波
2.1 地震学中的基本名词和概念
波动方程第二章PPT课件
A0 α
σn
▪ 正应力亦称作直应力， 以σ或σn表示。
▪ 正应力可以是压应力， 也可以是张应力。
▪ 正应力符号规定：
• 压应力为正 • 张应力为负 • 与材料力学中的规定相反
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9
剪应力
Aα σα
A0 α τ
▪ 剪应力亦称作切应力，以τ或 σs表示。可分解为x和y方向的 两个互相垂直的切应力分量 σxn和σyn。
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21
2.2.4 应变分析
一个点在所有方向上的无穷小伸长度就构成了该点的 应变状态。 研究应变时，必须假设形变是很小的，即
2 固体弹性力学的基本理论
本章包括：
▪ 应力分析 ▪ 应变分析 ▪ 应力与应变关系,弹性参数弹性 ▪ 弹性波的波动方程：Navier方程、纵波传
播方程、横波传播方程
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1
2 固体弹性力学的基本理论
▪ 地震波可视为弹性波。
▪ 弹性波在弹性介质中传播时，波经过的介质产生 两种类型的变化——
▪ 内部应力的重新分布；
➢ 应力定义为单位面积上所受的内力。应力并 不是一个力，因为它的量纲不是力而是单位 面积上的力。
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2.1 应力分析
▪ 应力的方向与作用力的方向一致 ▪ 应力的大小
• σ= P(作用力) / A( 面积) • 或dP / dA（当应力分布不均匀时）
▪ 对应力概念其它方式的理解
• 力的强度 • 类似的表达：压强，密度 …
▪ 剪应力符号规定：
• 使物体沿逆时针方向旋转的 剪应力为正
• 使物体沿顺时针方向旋转的 剪应力为负
• 与材料力学中的规定相反
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波动方程的地震问题
波动方程的地震问题地震是一种由地壳内部的快速运动导致的地面振动现象。
地震的产生一般与断层带有关，断层是地球表面上任何地区中最强大的地质系统之一。
当地层在断层带发生应力积累时，会产生相应的位移。
一旦达到破裂的临界值，地层就会发生破裂，并以地震的形式释放出能量。
地震不仅会造成重大的人员伤亡和财产损失，还会给地球系统带来不可逆转的影响。
为了研究地震的产生和传播规律，科学家们需要掌握波动方程的相关知识。
对于地震问题而言，波动方程是描述地震波动在地球内部传播的一种数学模型。
波动方程将振动波的形式转化为数学语言，可以帮助科学家们研究地震波的传播特性、储层中岩石模型与介质参数。
波动方程实际上是描述波的运动方程。
一般来说，这种方程用来描述波动现象，如声波、电磁波、水波、光波、地震波等。
其中，地震问题中的波动方程主要是以弹性波的形式出现。
弹性波是一种沿着介质中传播的波，具有沿径向和横向传播的两个方向。
它们是由地震断层的破裂引起、从震源中发生并传播到表面地震计所记录的。
波动方程可以用来描述地震波的传播特性。
根据波动方程的特性，地震波是在岩石介质中传播的强烈的机械波。
当地震波传播到介质的界面时，一部分能量会反射回来，这些反射波的能量会影响地震波的传播路径。
此外，地震波传播时也会发生折射，即波的传播速度因介质的物性改变而发生改变，使波发生弯曲。
通过对波的传播特性进行研究，科学家们可以了解地下的地质结构以及不同介质的物性参数，如密度、速度、强度等。
地震问题中的波动方程是一个非常重要的数学模型。
在地震学研究中，求解波动方程是一个核心问题。
通过将介质中不同的物理参数带入波动方程，可以得到不同情况下的波动传播行为。
为了求解波动方程，科学家们可以采用有限差分、有限元素等数值方法进行离散化，再通过计算机程序将模型求解出来。
通过模拟计算得到的波动传播结果，科学家们可以更为深刻地认识地质结构与物性，为进一步的地震研究提供数据支持。
总而言之，波动方程在地震问题中扮演着重要的角色。
2 地震学基础-2震级和烈度,地震波与波动方程
2.1 地球构造与板块运动
2.2 板内构造活动与板内地震
2.3 震源机制与地震类型
2.4 中国地震的背景与特点
2.5 地震灾害的破坏作用
2.6 地震震级与地震烈度
2.7 地震波与波动方程
§2.6
地震震级与地震烈度
2.6.1 地震震级 2.6.2 地震烈度
2.6.1 地震震级
骑自行车的人会摔倒，处不稳状 态的人会摔出几尺远，有抛起感
严重破坏——墙体龟裂， 0.51~0.70 局部倒塌，修复困难
地方出现裂缝、基岩上可能出现裂缝、 500 (354~707) 滑坡、坍方常见，砖烟囱出现倒塌
山崩和地震断裂出现，基岩上的拱桥 破坏，大多数烟囱从根部破坏 地震断裂延续很长，山崩常见，基岩 上的拱桥 地面剧烈变化，山河改观
现为扭转、局部破裂和倒塌；有的表现为结构本身的震动破坏、
物体的反应 桌上、架上摆放的小用具、书籍和挂饰等物品在地震时会 移动、坠落或翻到等等；
自然现象的变化
强烈地震时，自然环境有时也会发生变化，如山崩、地裂、 冒水、喷砂、地面变形、滑坡、陷落等，在海中的地震还易引 发海啸。
（3）地震烈度表
调整不同结构的烈度尺度，都不可能使不同尺子量出
的烈度值相统一。
现有烈度评定的精度是不高的，在极端情况下相差可达4
度之多，一般来说都会有1度之差的精度。 国际上的惯例是烈度只能为整数，而不出现小数，如8.5度， 7度半等；但在不少报告中，如我国和苏联，有时也出现这种 描述。
（6） 宏观烈度的地质效应
人们在感觉到一个上下颠簸的P波震动之后，会有一个短暂的停顿，然后会是 一个更加猛烈的水平摇动，持续的时间也相对长一些，大多数房屋在上下颠簸 变“酥”之后，便在水平摇晃中进一步毁坏倒塌，这就是地震S波的作用。
波动方程ppt课件
3 波动方程的解及地震波的特点
无限大、均匀各向同 性介质中的平面波
P波—波动方程 S波—波动方程 SV波 SH波
3 波动方程的解及地震波的特点
无限大、各向同性 介质中的球面波
胀缩点震源——球面纵波 震 胀缩力 源 性 旋转力 质
旋转点震源——球面横波
位移方程 物理含义
位移方程 物理含义
3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程的求解通常是和定解问题联系起来 考虑。波动方程的解就是波函数。
在不同的情况下可以得到不同的解，即波 函数有不同的形式。
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。
2.2.1 胀缩点震源条件下的球面纵波
1、初始和边界条件
初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当 a 0 或 相对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力 位函数或者震源函数可以表示为
0 ( t ) ( t )
0
t0 0 t t t t
二、沿X轴方向传播的平面波（即
k x
）
U
A
exp
2i
k1x
k2 y
k3 z
Vt
d
Aei Acos i sin
k1 1, k2 0 , k3 0
U
A
exp
2i
x
Vt
d
u
A1
exp
2i
x Vt
v
A2
exp
2i
x Vt
求解弹性波动方程
求解弹性波动方程弹性波动方程是波动力学中的重要概念，描述了固体、液体等弹性体中的波动传播情况。
求解弹性波动方程可以帮助我们更好地了解地震、地质勘探、材料力学等领域中的问题。
本文将从弹性波动方程的概念、求解方法及应用方面进行探讨。
一、弹性波动方程的概念弹性波动是指在弹性介质中，由于外力的作用导致的能量传递方式，其传播速度与介质的物理性质有关。
弹性波动方程则是描述弹性波传播过程的数学模型，通常也称为弹性振动方程。
弹性波动方程通常包含两个基本变量：质点的位移和质点的速度。
在三维坐标系中，弹性波动方程可以写成如下形式：ρ∂²u/∂t² = ∂iτij/∂xj其中，ρ为介质密度，u为波动的位移，τij为应力张量，xj表示坐标轴方向，i、j为坐标轴的编号。
二、求解弹性波动方程的方法求解弹性波动方程可以采用有限元法、有限差分法、声波分解法等多种方法。
其中，有限元法和有限差分法是比较常用的求解方法。
1. 有限元法有限元法是一种比较通用的求解偏微分方程的方法，其主要思想是将求解区域离散化成若干个单元，然后对每个单元内的位移和应力进行求解。
最后将所有单元的解合并起来，就可以得到整个区域内的位移和应力分布情况。
2. 有限差分法有限差分法是一种利用差分近似方法来求解微分方程的数值方法。
其思想是将求解区域划分为网格，然后在每个网格节点处用差分公式来逼近微分方程的解。
最后通过数值计算来得到整个区域内的解。
三、弹性波动方程的应用弹性波动方程在地质勘探、地震学、材料力学等领域中有广泛的应用。
1. 地质勘探地质勘探中需要了解地下结构，以便确定油气、煤炭等矿产资源的位置和规模。
在勘探中，我们可以通过广播一定频率的声波，然后通过测量接收到的反射波、折射波等来推导地下结构的性质。
弹性波动方程能够有效地描述声波在地下结构中的传播情况，从而帮助勘探人员更准确地掌握地下资源的分布情况。
2. 地震学地震学是研究地震、地震波等现象的学科，也是弹性波动方程的重要应用领域。
1波动方程
t x y = A cos2π + T λ
x y = A cos 2π ν t + λ 2π x y = A cos[ 2πν t +]
Tu = λ
1 ν= T
y
λ
ut
0 x X
T=λ/u=0.4/20=0.02s y(0,0)=0 v0>0 初位相为 φ= -π/2 2π 2πx π y = Acos( t + ) λ 2 T
F
y
0.04m
u
0.2m 0.4m
X
= 4 ×10 2 cos(100πt + 5πx π 2)m 17
因为: 因为: = y = y( x, t ) = Aω sin[ω (t + x ) + 0 ] v u t 所以 v = y = y ( x, t ) = 12.6 cos(100πt + 5πx)(m / s ) t 显然与波速u=20m/s 不同. 不同. 显然与波速 上例中条件是已知t=0时刻的波动方程 时刻的波动方程. 上例中条件是已知 时刻的波动方程. 如果t=0时 波源 波源x=0点的振动方程为: 点的振动方程为: 如果 时,波源 点的振动方程为
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三,波函数的物理意义
1.振动方程与波动方程的区别 振动方程与波动方程的区别
x = A cos(ωt + )
振动方程是时间 t 的函 数 波动方程是坐标 x 和时间 t 的函数, 的函数,表示的是参与波 动的一系列的质点任意时 刻的振动位移. 刻的振动位移.
x o
x = f (t )
t
y = f ( x ,t )
播放动画
5
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四,波阵面,波射线,波前 波阵面,波射线,
地震波动方程
地震波动方程第三章地震波动方程现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。
这章涉及矢量运算和复数，附录2对一些数学问题进行了复习。
3.1 运动方程（Equation of Motion）前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和位移场。
然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律（maF ）用于连续介质。
3.1.1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。
如图1-3所示，考虑一薄棒向x轴延伸，其位移量为u：Fig3-1则其作用力为“应力”X“其所在的质点面积”，所以其两边的作用力差为()()()dxds xx dx x ds ∂∂=-+σσσ惯量﹙inertia ﹚为22tu dxds ∂∂ρ所以得出xt u ∂∂=∂∂σρ22……………………………………………………... （3-1）其中ρ为密度﹙density ﹚，σ为应力﹙stress ﹚=xuE ∂∂。
3-1式表示，物体因介质中的应力梯度﹙stress gradient ﹚而得到加速度。
如果ρ与E 为常数，则3-1式可写为222221t uc x u ∂∂=∂∂…………………………………………………… （3-2） 其中ρEc =运用分离变量法求解（3-2）式，设u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为T X c T X ''=''21设22ω-=''=''TT X X c则可得：cx iti eX eT ωω±±∝∝,考虑欧拉公式：)sin()cos(),sin()cos(t i t e t i t et i ti ωωωωωω-=+=-()()()()ct x cict x cict x cict x ciDeCeBeAeu ---+-++++=ωωωω （3-3）其中A,B,C,D 为根据初始条件和边界条件确定的常数。
第2章_2 弹性力学基础与地震波—波动方程的解汇总
三分量地震仪记录的地面振动通常分别记录的波动矢量是：垂直向振动 （向上为正），北南向振动（向北为正）和东西向振动（向东为正）。通 过对两个水平振动分量的坐标旋转，不难将波动矢量旋转为：垂直向振动 ，径向振动（由源到记录台的连线的水平投影，Ｒ分量）和切向振动（与 径向正交的水平分量，Ｔ分量）。右图显示了一个地震记录的实例，切向 分量上记录的Ｓ波显然是ＳＨ波；垂直分量上，P波最清晰，只有很少能 量在切向上
地震学中将垂直于传播平面的ｘ２ 方向上的Ｓ波分量记为ＳＨ 波，传播平面 上的Ｓ波分量记为ＳＶ波。
uS=uSV+uSH
入射面
uS在X2轴的投影分量为 uSH＝uSHe2
uS在X1 X3坐标基平面(入射面)上的投影分量为 uSV＝uSV1e1 + uSV2e3
SV 波阵面
界面
SH
X1
X2
垂直于传播平面的ｘ２ 方向上的 Ｓ波分量记为ＳＨ 波，传播平面
SKS、PS、SKKS从P 波转换为SV波； Sdiff或Sd表示S波
地震勘探中波动方程的推导过程
地震勘探中波动方程的推导过程地震勘探是通过记录和分析地震波在地下传播的情况，来获取地下结构和物性信息的一种方法。
地震波动方程是描述地震波在地下传播过程中的数学模型，它是地震勘探研究中的重要理论基础。
本文将通过推导地震波动方程的过程，介绍地震波在地下传播的基本原理，让读者对地震勘探有一个更深入的理解。
1.地震波动方程的基本概念地震波动方程是描述地震波在地下传播的数学模型，它是通过物理规律和方程推导出来的，用来描述地震波在地下传播的基本规律。
地震波动方程通常是一个偏微分方程，描述了地震波在地下传播的速度、能量耗散和波阻尼等物理过程。
通过地震波动方程，可以推导出地震波在地下的传播速度、能量耗散和反射、折射等现象，从而获取地下结构和物性信息。
2.地震波动方程的推导过程地震波动方程的推导过程是通过物理规律和方程推导出来的，主要涉及弹性力学、波动方程和偏微分方程等知识。
地震波动方程的基本形式是弹性波动方程，描述了地震波在地下传播的速度和能量耗散等物理过程。
下面我们将通过推导地震波动方程的过程，介绍地震波在地下传播的基本原理。
首先，我们需要了解弹性力学的基本概念。
在地震波动方程的推导过程中，我们需要用到弹性力学的基本原理和方程。
弹性力学是研究物体在外力作用下的形变和应力的力学学科，它描述了物体受力后的形变和应力分布。
在地震波动方程的推导过程中，我们将利用弹性力学的基本原理和方程，推导出地震波在地下传播的数学模型。
其次，我们需要了解波动方程的基本概念。
波动方程是描述波动过程的数学模型，它描述了波动在空间和时间上的传播规律。
在地震波动方程的推导过程中，我们将利用波动方程的基本原理和方程，推导出地震波在地下的传播速度和能量耗散等物理过程。
最后，我们需要了解偏微分方程的基本概念。
偏微分方程是描述多维空间中变量的变化规律的数学模型，它描述了变量在空间和时间上的变化规律。
在地震波动方程的推导过程中，我们将利用偏微分方程的基本原理和方程，推导出地震波在地下传播的速度和能量耗散等物理过程。
第二章 地震波运动学
要有传播振动的弹性介质。
地震波是在岩层中传播的弹性波
第一节 几何地震学基本概念
地震勘探方法是研究人工激发的机械振动在地 球介质中的传播规律，进而推断地下的地质构造。 从这个意义上说，地震波是在地球介质中传播的机 械振动。地震震源作用给地球介质的岩层施加外力， 使之发生变形。
一般说来，远离震源处，震源作用力微小、作 用时间短暂，一些特殊岩相（如干沙等）除外，岩 石表现为弹性体。因此，在岩石中产生的机械振动 可以看成是弹性介质中的弹性振动。所以说地震波 是在地下岩层中传播的弹性波，这就意味着对实际 介质的理想化。
第一节 几何地震学基本概念
２、费马(Fermat)原理－射线原理或最小时间原理
地震波沿射线传播的时间小于沿其它任何路程传播 的时间。也就是说波沿所花时间最小的路程传播。 用于确定地震波在已知传播速度的介质中的射线形 状。
S
V
S1 S2
V1 V2
旅行时
s t v
旅行时
s1 s2 t v1 v2
地震子波在继续传播的过程中，严格来讲其幅度和形 状都会发生变化，近似可以认为地震子波的形状基本 不变，但其振幅有大有小、极性有正有负，到达接收 点的时间有先有后。
第一节 几何地震学基本概念
广泛用于地震正演模型计算和地震资料解释中的 雷克（Ricker）子波，在时间域可表示为：
f (t ) [1 2(f p t ) 2 ] exp[f p t ) 2 ]
3、地震子波（wavelet)：
当地震波传播一 定距离后，其形状逐 渐稳定，具有2-3个相 位，有一定的延续时 间的地震波，称为地 震子波，它是地震记 录的基本元素。
地震子波形成过程
第一节 几何地震学基本概念
(2)弹性波的形成与分类地震勘探 教学课件
• ②在近源区，位移振幅与r2 成反比衰减， 衰减较快。在远源区，位移振幅与r成 反比,衰减较慢。当r很大时，地震波振 幅逐渐趋于稳定。
二. 横波（S波）
如果在球腔壁上施加旋转力，这时只产 生横波。横波是剪切形变在介质中的传递。
2
t 2
v2s2
(1113)
是标量位函数表示的三分量标量波动方程
图 1.3-1 波的振动图形
图 1.3-2 波剖面图
2．视波长的倒数称波数，即单位距离内波的数 目k=1/*; 3．视波长*、波数分量k和视速度之间有如下 关系：
*=v*T=v*/f k=1/*=f/ v*
振动状态的传播形成地震波，波在介质中传 播将介质分为三个球形层，球层内的质点 以各自的状态振动，称扰动区，横截面即 波剖面。如图1.3-3所示 :
• 3.地震波的动力学特征
• 由震源激发的纵(横)波经地下传播,在地面 或井中接收到的地震波，通常是一个有一定 长度的脉冲振动，用数学公式表示就是前节 讨论的位移位或位移解。
• 该式是一个函数表达式，它描述了介质质 点的振动规律，应用信号分析领域中的广 义术语，可称为振动信号，在地球物理领 域称为地震子波。对一个随时间变化的振 动信号，描述其特征的有振动幅度(简称振 幅)、振动频率f(或周期T)、初相位。
g(t) G( f )e2 ft df
(1.3.4)
G( f ) g(t)e2 ftdt
(1.3.5)
式中G(f )称频谱，是复变函数，可表示 成指数形式：
G( f ) A( f )ei( f ) a( f ) jb( f )
(1.3.6)
t是时间，f是频率。A(f )是每一谐和振 动分量的振幅，称振幅谱，是振幅随 频率变化关系的图形。
《地震波理论》复习最终版
《地震波理论》复习内容、弹性理论基础1. 柯西公式的意义；因此弹性体内一点的应力状态可以完全由作用于垂直坐标轴方向的三个截面上的应力向量或其分量所确定。
2. 应力与应变的关系；（为单位函数）3. 杨氏模量E（纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E,也叫杨氏模量）泊松比v （横向应变与纵向应变之比值称为泊松比，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数）；4. 拉梅常数入、卩；为引入均匀各向同性介质中应力与应变关系，引入入、卩，卩表示剪切模量。
5.运动的应力方程和位移方程;运动位移方程：6. 介质受应力作用产生位移由哪几部分组成；| 1u + A R - U + e^dx + — e dy + — e x _dz + co v dz 一 co.dy2 2亠 ' _v +Av - v + —e yix dx + e vv dy +—e y …dz + co_dx ~(o x dz2 2 w + Aw = w + — edx + — edy + e__dz + cody 一 a )dx2 2 石］a —A y由式上式可以看出处于应力应变状态下的物体其质点位移由三部分组成：① 平动:u ，v ，w,这是和参考点 M —起作同样的运动，它不使物体形 状改变； ② 弹性应变：eij , i,j=x,y,z 这是一种使物体形状和体积发生改变的 运动，称为弹性应变.应变有九个分量，考虑到它的对称性，只有其中六个 分量独立的。
exx ， eyy ，ezz 称为正应变，exy ，eyz ， ezx 称为切应变；③ 旋转：3 x ，3 y ，3 z 这是质点围绕参考点M 的旋转运动，不使物体形 状和体积发生改变，不属弹性应变范畴.7. 导出拉梅方程的前提条件；在对空间求导时，只有入、卩不随空间变化，即在均匀介质中才能导出 拉梅方程。
8. 能流密度。
表示在单位时间内通过与它垂直的单位截面积的机械能。
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在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｓ波，同样也有
又
对在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｐ波，则有
※Ｐ波的质元运动（振动）方向与波矢量方向（传播方向）是平行的
在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｓ波，则有
※在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｓ波的振动，并不像Ｐ波一样，只局 限在传播平面上，在垂直于传播平面的ｘ２ 方向上也存在Ｓ波分量。
举例：X1X3 平面内传播的平面波解
一组在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｐ波，其相位函数为
波阵面方程 的表达式—在
x1x3 平面上的一条 直线，该Байду номын сангаас线所代表 的是一个垂直于x1x3 平面的等相面
※固定ｔ时刻的一系列不同相位的波阵面 ※等相位的波阵面在不同时刻的空间位置 ※波数矢量ｋα＝（kα1，０，ｋα3）与波阵面是正交的 定义波矢量方向与ｘ３ 轴方向的夹角为入射角，并记为ｉ 射线参数或水平慢度 垂直慢度
SKS、PS、SKKS从P 波转换为SV波； Sdiff或Sd表示S波 沿核幔边界衍射， 为SH波。
3. 波动方程的柱面波解
轴对称波场，柱坐标系下，波动方程化为：
2 2 1 2 2 2 t r r r
设ϕ＝R(r)T(t)，代入求解，可以得到：
第二章 弹性力学基础与地震波
•弹性力学基础 •波动方程的解
五、波动方程的解
1. 不均匀弹性杆的一维波动方程的解
分离变量法求解
均匀杆 c(x)=c
C1、C2、C3、C4 为任意函数。是D’Alembert形式解
地面运动 是实函数
注：ω是可以任取的常数，波动方程的解表示由无数频率成分的简谐波合 成的任意形状的函数。地震仪记录的地震波的频带范围可从0.0001~200Hz 。地震波的波速在地壳中约为5km/s，因此记录的地震波信号的波长范围 在0.025~50000km之间。
T Ce ikt R AH0(1) (kr) BH0( 2) (kr)
(1) ( 2) H0 和H 0 是零阶Hankel 函数
当kr 1时，
(1) H0 ( kr ) ~
2 i (kr - 4 ) e kr
( 2) H0 ( kr ) ~
2 -i (kr - 4 ) e kr
u ez ez
2 2 2 2 t
2 2 2 2 t
2 2 2 2 t
4. 波动方程的球面波解
Ｐ波势函数表示的波动方程
均匀各向同性介质中，球对称爆炸点源激发的波的波动方程可以简化为
ＳＨ波的位移函数Ｖ也满足波动方程
则有
ＳＶ波势函数的解有
ＳＶ波的位移为
※尽管ＳＶ的振动局限在波的传播平面内，但其振动方向与传播 方向是垂直的。
波的总位移为
※弹性介质中可以同时存在两种振动方向互相正交的不同类型的 波—Ｐ波和Ｓ波，它们在介质中是以不同速度独立传播的，互不干涉
※Ｓ波分解成振动方向相互正交的两个分量：ＳＶ波和ＳＨ 波；
地震学名词
非均匀杆
当地震波传播速度的空间变化量大大小于感兴趣的频率，即不均匀一维介质 中高频地震波的波动方程解可以表达为
2. 三维均匀空间中波动方程的平面波解
其中 k n i
i
同样
注：无论是Ｐ波还是Ｓ波，其波数矢量的方向代 表的是平面波的播方向，上述波动方程的解中波 数矢量前只需取单一的‘－’号。
※分别表示以速度向极轴汇聚和离开的柱面波。柱面波的振幅是 r-1/2，可以从物理上分析得到理解；
当柱面波向外传播时，波前面的面积与r成正比，因此每单位 面积上的能流按r-1减少。又因能流与振幅的平方成正比，所以振幅 应与r-1/2成正比。
柱坐标系下波场的一般形式(不满足轴对称时)：
波动方程为：
地震学中将垂直于传播平面的ｘ２ 方向上的Ｓ波分量记为ＳＨ 波，传播平面 上的Ｓ波分量记为ＳＶ波。
uS=uSV+uSH uS在X2轴的投影分量为 uSH＝uSHe2
入射面
uS在X1 X3坐标基平面(入射面)上的投影分量为 uSV＝uSV1e1 + uSV2e3
SV 界面
波阵面 SH
X1
X2 X3
垂直于传播平面的ｘ２ 方向上的 Ｓ波分量记为ＳＨ 波，传播平面 上的Ｓ波分量记为ＳＶ波。
※ＳＨ波的振动方向与Ｐ波和ＳＶ波的振动方向都是垂直的，ＳＨ波将 独立传播，不会与Ｐ波或ＳＶ波间发生波型相互转换或能量交换。而Ｐ 波与ＳＶ波的振动方向由于都在传播平面内，当波传播至垂直于传播平 面的介质速度间断面时，Ｐ波与ＳＶ波间可能会发生相互转换和能量交 换，即可能产生反射或折射的转换波。
Ｐ波、ＳＶ波及ＳＨ波偏振方向（左）和三分量远震原记录及旋转后的地震图（右） 三分量地震仪记录的地面振动通常分别记录的波动矢量是：垂直向振动 （向上为正），北南向振动（向北为正）和东西向振动（向东为正）。通 过对两个水平振动分量的坐标旋转，不难将波动矢量旋转为：垂直向振动 ，径向振动（由源到记录台的连线的水平投影，Ｒ分量）和切向振动（与 径向正交的水平分量，Ｔ分量）。右图显示了一个地震记录的实例，切向 分量上记录的Ｓ波显然是ＳＨ波；垂直分量上，P波最清晰，只有很少能 量在切向上
球对称波动问题的纵波位移势的解