正切和余切(一)

正切和余切（一）

教学目的

一（知识）使学生了解正切、余切的概念，能够正确的用tanA 、cotA 表示直角三角形（其中一个锐角为∠A ）中两边的比，了解tanA 与cotA 成倒数关系，熟记30º、45º、60º角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出各角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系

二（能力）逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.

三（德育）培养学生独立思考、勇于创新的精神

重点难点

重点是了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值；难点是了解正切和余切的概念.

教学手段

投影仪

教学过程

（一）明确目标

1．什么是锐角∠A 的正弦、余弦？（结合图6-5回答）

C B

3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系？

4．当角度在0º~90º变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？

5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们学习正切和余切.

因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口1．引入正切、余切概念

①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？（图6-9）

述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切.”

②给出正切、余切概念

如图6-5，在Rt ⊿ABC 中，把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA . 即 tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边

并把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA .

即 cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边

2.tanA 与cotA 的关系

请学生观察tanA 与cotA 的表达式，得结论tanA ×cotA=1(或cotA=1/tanA,tanA=1/cotA). 这个关系式极重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与tanA=cot(90º-A)区别开.

3．锐角三角函数

由上图，sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=b a ,cotA=a

b ,把锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数.

锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目.

问：锐角三角函数能否为负数？

学生回答这个问题很容易.

请同学观察2块三角板可知30º、45º、60º角的正切、余切值.

tan30º=30º角的对边/30º角的邻边==31=3

3 tan45º=45º角的对边/45º角的邻边=1

1

=1 tan60º=60º角的对边/60º角的邻边=1

3=3 cot30º=030

tan 1=13=3 cot45º=0

54tan 1=1; cot60º=

006tan 1=31=33 5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系.

结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值.

即 tgA=ctg(90º-A),

ctgA=tg(90º-A).

4．特殊角的三角函数

练习：

1）请学生回答tan45º与cot45º得值各是多少？tan60º与cot30º？tan30º与cot60º呢? tan60º与cot60º有何关系?为什么？tan30º与cot30º呢?

2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：

(1)tan52º;(2)tan 36º20’;(3)t an 75º17’;(4)c ot19º;(5)cot 24º48’;(6)c ot 15º23’.

6.例题

例1 求下列各式的值：

(1)2sin30º+3tan30º+cot45º;

(2)cos²45º+tan60ºcos30º.

解：(1)2sin30º+3tan30º+cot45º

=2×2

1+3×33+1 =2+3；

(2)cos²45º+tan60ºcos30º

=（

22）²+3×23 =21+2

3 =2.

练习：求下列各式的值：

(1) sin30º-3tan30º+2cos30º+cot90º;

(2)2cos30º+tan60º-6cot60º;

(3)5cot30º-2cos60º+2sin60º+tan30º;

(4)cos²45º+sin²45º;

(5)(sin60º-cot45º)/(tan60º-2tan45º).

学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力

(四)总结扩展

请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及tanA与cotA的关系.知道特殊角的正切、余切值及互为余角的正切值与余切值的关系.本节课用到了数形结合的数学思想.