微分中值定理与导数的应用习题
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
中值定理 习题
）找到两点
x 2 , x 1 ， 使 f ( x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( c ) 成 立 .
（ A） 必 能 ；
（ B） 可 能 ；
（ C） 不 能 ； （ D） 无 法 确 定 能 . 5 、 若 f ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 ， 在( a , b ) 内 可 导 ， 且
32
）.
8 、 若 在 ( a , b ) 内 ， 函 数 f ( x ) 的 一 阶 导 数 f ( x ) 0 ， 二 阶 导 数 f ( x ) 0 , 则 函 数 f ( x ) 在 此 区 间 内 ( ). （A） 单 调 减 少 ， 曲 线 是 凹 的 ； （B） 单 调 减 少 ， 曲 线 是 凸 的 ； （C） 单 调 增 加 ， 曲 线 是 凹 的 ； （D） 单 调 增 加 ， 曲 线 是 凸 的 . a 9 、 设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ， 且 在 点
11
定理. 设函数 且
(1) f
(k )
f ( x) , g ( x)Βιβλιοθήκη 在上具有n 阶导数,
(a) g
(k )
(a ) (k 0 ,1, 2 ,, n 1)
时 则当 证: 令 ( x)
(k )
f ( x) g ( x) ,
则
(n)
(a ) 0 (k 0 ,1,, n 1) ;
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 4
例1. 设函数
证明 在
在
内可导, 且 内有界.
5
例2. 设
在
上连续, 在
证明至少存在一点
高等数学微分中值定理与导数应用习题
微分中值定理与导数应用一、选择题1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【 】 A. π B. 2π C. 3πD. 4π2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】A. x lnB.x ln ln C.xln 1 D.)2ln(x -3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 10.函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 52D. 2 11.函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 212.函数y =在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 2 13.方程410x x --=至少有一个根的区间是【 】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2) 14.函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【 】A. 0B. 12-C. 1D.1215.已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【 】 A.± B. C. D. 13±16.设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【 】 A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小 C.单调减小，单调增加 D.单调减小，单调减小二、填空题1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第三章 微分中值定理与导数的应用【圣才出
有且仅有三个实根，它们分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）
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6．证明恒等式： 证：取函数 f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈[－1，1]．因
所以 f(x)≡C．取 x＝0，得
．因此
7．若方程 正根 x＝x0，证明方程
即
，所以
（2）取函数
，因为函数 f(t)在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则由
拉格朗日中值定理知，至少存在一点 ξ∈（1，x），使
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即
．又 1＜ξ＜x，所以 eξ＞e，因此
即
ex＞x·e．
12．证明方程 x5＋x－1＝0 只有一个正根． 证：取函数 f(x)＝x5＋x－1，f(x)在[0，1]上连续，
的正根． 证：取函
有一个 必有一个小于 x0
数
．f(x)在[0，x0]
上连续，在（0，x0）内可导，且 f(0)＝f（x0）＝0，由罗尔定理知至少存在一点
ξ∈（0，x0），使
，即方程
正根．
必有一个小于 x0 的
8．若函数 f(x)在（a，b）内具有二阶导数，且 f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中
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a＜x1＜x2＜x3＜b．证明：在（x1，x3）内至少有一点 ξ，使得
．
证：根据题意知函数 f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]上连续，在（x1，x2），（x2，x3）内可导
且
，所以由罗尔定理知至少存在点 ξ1∈（x1，x2），
第三章 微分中值定理与导数的应用
《高等数学》（上）题库 第三章 微分中值定理与导数的应用判断题第一节.微分中值定理1、可导函数的极值点一定是函数的驻点。
（ ）2、曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值。
（ ）3、方程015=-+x x 只有一个正根。
（ ） 第二节.洛必达法则4、洛必达法则只能用于计算00，∞∞型未定式。
（ ） 5、不是未定式，也可以使用洛必达法则。
（ ） 6、洛必达法则的条件不满足时，极限一定不存在。
（ ） 第三节.泰勒公式7、在泰勒公式中取00=x 既得麦克劳林公式。
（ ）8、佩亚诺余项可以用于误差估计。
（ ）9、泰勒中值定理是拉格朗日定理的推广。
（ ）10、()nnx n x x x x ο++++=!!21sin 2。
（ ）第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性11、如果在()b a ,内0)(＜x f '，那么函数在[]b a ,上单调减少。
（ ）12、二阶导数为零的点一定是拐点。
（ ）第五节.函数的极值与最大值最小值13、单调函数一定存在最大值最小值。
（ ） 14、0)(0='x f 是函数取得极值的充分条件。
（ ）第六节.函数图形的描绘15、若()0lim =+∞→x f x ，则0=y 是()x f 的一条水平渐近线。
（ ） 16、若()-∞=-→x f x 3lim ，则3-=x 是()x f 的一条铅直渐近线。
（ ） 注：难度系数(1-10)依次为3，4，8；3，4，4；2，4，4，4；2，3；2，4；3，3。
填空题第一节.微分中值定理1、如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，那么)(x f 在区间I 上是 。
2、设函数)(x f 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么)(0x f '= 。
第二节.洛必达法则3、如果当a x →时，两个函数)(x f 与）（x F 都趋于零，那么极限)()(lim x F x f ax →可能存在、可能不存在，通常把这种极限叫做 。
微分中值定理与导数应用
第三单元 微分中值定理与导数应用一、填空题1、=→x x x ln lim 0__________。
2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增。
3、函数()43384x x x f -+=的极大值是____________。
4、曲线x x x y 3624+-=在区间__________是凸的。
5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________。
6、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是_________。
7、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值。
8、123++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。
9、________)1sin 1(cot lim 0=-→xx x x 。
10、_________)tan 11(lim 20=-→x x x x 。
11、曲线2x e y -=的上凸区间是___________。
12、函数1--=x e y x 的单调增区间是___________。
二、单项选择1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→20)(lim x x x f x （ ）（Ａ）不存在 ； （Ｂ）0 ； （Ｃ）-1 ； （Ｄ）-2。
2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （ ） （Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的；（Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。
3、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（ ）（Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。
大一高数 微分中值定理与导数的应用高等数学作业与练习册(第三章习题)
1第三章 微分中值定理与导数的应用本章概述：本章以微分中值定理为中心，讨论导数在研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性）方面的应用．重点：中值定理；洛必达法则；函数的单调性，曲线的凹凸性与拐点；函数极值的求法；函数的最值问题；方程根的存在性及不等式的证明．难点：三个中值定理及泰勒公式；方程根的存在性及不等式的证明．基本要求：理解中值定理的条件和结论，它是本章内容的理论基础，是建立导数与函数关系的桥梁；掌握中值定理证明的思想方法--构造性证明方法．此方法不仅在中值定理的证明中，而且在不等式的证明、方程根的存在性及导数的应用中都具有广泛的应用；掌握洛必达法则，它是求未定型极限的一种重要方法；掌握导数的应用，会利用导数研究函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性和拐点等．第一节 微分中值定理1．填空与选择：（1）下列函数在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）（A ）xe xf =)(； （B ）||)(x x f =；（C ）21)(x x f -=； （D ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x xx x f ． （2）下列条件不能使)(x f 在],[b a 上应用拉格朗日中值定理的是（ ）（A ）在],[b a 上连续，在),(b a 内可导； （B ）在],[b a 上可导；（C ）在),(b a 内可导，且在a 点右连续，b 点左连续； （D ）在),(b a 内有连续的导数．（3）函数()ln (1)f x x =+在[0,1]e -上满足拉格朗日定理中的数值ξ是（ ）（A ）e ； （B ）1e -； （C ）2e -； （D ）1． （4）设)(x f y =在),(b a 内可导，,x x x +∆是),(b a 内的任意两点，()-()y f x x f x ∆=+∆，则（ ）（A ）x x f y ∆'=∆)(；（B ）在x x x ∆+,之间恰有一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ； （C ）在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ，使x f y ∆'=∆)(ξ；2（D ）在x x x ∆+,之间的任一点ξ，均有x f y ∆'=∆)(ξ．（5）若)(x f 在),(b a 内可导，且12,x x 是),(b a 内任意两点，且21x x <，则至少存在一点ξ，使（ ）（A ）()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中b a <<ξ； （B ）11()()()()f b f x f b x ξ'-=-，其中b x <<ξ1； （C ）2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-，其中21x x <<ξ； （D ）22()()()()f x f a f x a ξ'-=-，其中2x a <<ξ．（6）设)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程()0f x '=有_____ 个实根, 分别位于区间 中． 2．证明：当1x ≥时，恒等式222arctan arcsin 1x x xπ+=+成立．3．设函数()f x '在[,]a b 上连续,且()()0f a f b <，()0((,))f x x a b '≠∈．证明函数()f x 在区间(,)a b 内有唯一零点．4．证明：方程0xx e +=在区间(1,1)-内有唯一的根．35．设)(x f 在[0,1]上具有二阶导数，(1)(1)0f f =-=，又)()(2x f x x F =．证明在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)("=ξF ．6．证明下列不等式：（1）当1,0n a b >>>时，11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-．（2）当π<<x 0时，x xx cos sin >．7．设)(x f 是],[b a 上的正值可微函数．证明：存在),(b a ∈ξ，使得)()()()()(lna b f f a f b f -'=ξξ．48． 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，证明在(0,1)内存在一点c ，使 ()2()()cf c f c f c ''+=．本节作业总结：5第二节 罗比达法则1．填空与选择：（1）能用罗必塔法则求极限的是（ ）（A ）4314lim21-+-→x x x x ； （B ）xx x x x ln ln lim++∞→；（C ）xx x x sin 1sinlim2→； （D ）xx xxx e e e e --+∞→+-lim ．（2）下列各式运用洛必达法则正确的是（ ）（A ）==∞→∞→nn nn n e n ln limlim 11lim=∞→n n e ；（B ）=-+→xx x x x sin sin lim∞=-+→xx x cos 1cos 1lim；（C ）xxxx xx x x x cos 1cos1sin2limsin 1sinlim02-=→→不存在；（D ）x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e．（3）=→xx x 3cos 5cos lim2π．（4）=++∞→xxx arctan )11ln(lim．（5）0lim (sin )xx x +→= ．（6）)tan 11(lim 2xx xx -→= ．2． 利用罗必塔法则求下列各极限：（1）123lim23231+--+-→x x x x x x ．（2）lim(0)m m nnx ax a a x a→-≠-．6（3）2ln()2limtan x x xππ+→-． （4）2222limxx xx -+-→．（5）1cos 1lim 2--→x exx ．（6）)1(lim 2x x x x -+⋅+∞→．（7）2)(arcsin 1sin lim x x e xx --→．（8）)111(lim 0--→xx e x．7 （9）x x xtan 0)1(lim +→ ．（10）+2lim arctan xx x π→∞⎛⎫⎪⎝⎭．（11）xx xx xx ln 1lim 1+--→．（12）nn n ∞→lim．本节作业总结：8第三节 泰勒公式1．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．2．求函数x e x x f 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．3．求函数1()f x x=按(1)x +的幂展开的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式．4．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=．95．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．本节作业总结：10第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空与选择：（1）函数()f x 在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增加的（ ）（A ）必要非充分条件； （B ）充分非必要条件； （C ）充分必要条件； （D ）无关条件．（2）设()f x =，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （B ）[)2,,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；（C ）(),1-∞； （D ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（3）下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数．（A ）xy -=2，),(∞+-∞； （B ）xy e =，)0,(-∞；（C ） x y ln =，),0(∞+； （D ）x y sin =，),0(π．（4）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时,)()(21x f x f >, 则( )（A ）任意0)(,>'x f x ； （B ）任意0)(,≤-'x f x ； （C ）)(x f -单调增； （D ）)(x f --单调增． （5）若点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，则（ ）（A ）必有0()f x ''存在且等于零； （B ）必有0()f x ''存在但不一定等于零； （C ）如果0()f x ''存在，必等于零；（D ）如果0()f x ''存在，必不等于零．（6）若点()1,0是曲线322y ax bx =++的拐点，则（ ）（A ）1,2a b ==； （B ）1,3a b ==-； （C ）0,3a b ==-； （D ）2,2a b == （7）曲线()523539y x x =+-的凹区间为 和 ．（8）曲线exy x -=的拐点为 ．（9）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则11xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 ．2．确定下列函数的单调区间： （1）82y x x=+．（2）23(1)y x x =-．3．列表求曲线2ln(1)y x =+的拐点和凹凸区间．4．证明下列不等式： （1）当0x >时，arctan ln(1)1x x x+>+．12（2）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．（3）当0x >且1x ≠时，13x>-．5．讨论方程ln x ax =（其中0a >）有几个实根？6．利用凹凸性证明： 当π<<x 0时, πxx >2sin ．137． 设)(x f 在),(b a 内二阶可导，且0)(0=''x f ，其中),(0b a x ∈，则,(0x ))(0x f 是否一定为曲线)(x f 的拐点？举例说明．本节作业总结：14第五节 函数的极值与最大值最小值1．填空与选择：（1）设)(x f 在点0x 可导．则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的（ ）（A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充要条件； （D ）无关条件．（2）设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ ）（A ）0x x =是)(x f 的唯一驻点； （B ）0x x =是)(x f 的极大值点； （C ）)(x f ''在),(+∞-∞内恒为负；（D ）)(x f ''不为零．（3）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( )（A ）取得极大值； （B ）取得极小值； （C ）无极值； （D ）不一定有极值．（4）设00()()0f x f x '''==，0()0f x '''>，则下列选项正确的是( )．（A ）0()f x '是'()f x 的极大值； （B ）0()f x 是()f x 的极大值； （C ）0()f x 是()f x 的极小值；（D ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点．（5）函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为 ，最小值为 ．（6）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内可导，且0()1(0)0,l i m s i n2x f x f x →''==-，则)0(f 是)(x f 的极___ __值．2． 求下列函数的极值：（1）()3/223xx x f -=．15（2）x x x f 1)(=．3．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）14123223+-+=x x x y ，]4,3[-．（2）y x =+[0,4]．4．过椭圆12222=+by ax 上位于第一象限的点(,)M x y 引切线，此切线与坐标轴构成一个直角三角形，使此三角形的面积为最小，求(,)M x y ．5．某厂每批生产某种商品x单位的费用为()5200=+，得C x x到的收益是2R x x x=-，问每批生产多少单位时才能使()100.01利润最大？本节作业总结：6．工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km,A点到火车站B的距离为100km．欲修一条从工厂到铁路的公路CD, 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B与工厂C间的运费最省,问D点应选在何处？1617第六节 函数图形的描绘1．求22)1(x x y -=的渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形．本节作业总结：18第七节 曲率1．填空：（1）曲线9)2()1(22=-+-y x 上任一点的曲率为 ，b kx y +=上任一点的曲率为__ __．（2）曲线ln y x =在点 处曲率半径最小，曲率半径为 ．（3）曲线x e x y +=sin 的弧微分=ds ． 2．求常数c b a 、、，使c bx ax y ++=2在0=x 处与曲线xe y =相切，且有相同的凹向与曲率． 3． 曲线弧)0(sin π<<=x x y 上哪一点处的曲率半径最小?求出该点的曲率半径．本节作业总结：19第三章 自测题1．填空与选择： （1）设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在a 点处( )（A ）()f x 的导数存在 , ()0f a '≠且； （B ）()f x 取得极大值；（C ）()f x 取得极小值； （D ）()f x 的导数不存在．（2）已知()f x 在[,]a b 可导，且方程()0f x =在(,)a b 有两个不同的根α与β，那么()0f x '=在(,)a b （）根（A ）必有； （B ）可能有； （C ）没有；（D ）无法确定．（3）已知)(x f 对一切x 满足xe xf x x f x --='+''1)]([3)(2．若0)(0='x f （00≠x ），则（ ）．（A ）)(0x f 是)(x f 的极大值； （B ）)(0x f 是)(x f 的极小值；（C ）))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点；（D ）)(0x f 不是)(x f 的极值，且))(,(00x f x 也不是曲线)(x f y =的拐点．（4）011lim cot sin x x xx →⎛⎫-=⎪⎝⎭． （5）函数)1ln(+-=x x y 在区间 内单调减少，在区间 内单调增加． （6）曲线2(2)(3)1x x y x -+=-的渐近线是 ．（7）曲线42y ax x =-拐点的横坐标为1x =，则常数a = ． 2．求下列极限： （1）0lim ln (0)mx x xm +→>．20（2）sin 0lim xx x+→．（3）2)1ln(sin 1tan 1limxx x xx x -++-+→．3．欲做一个底为正方形，容积为3108m 的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？4．当02x <<时，证明：24ln 23x x x x ≥+-．215．已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0f f ==，证明在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=-．6．考研题练练看：（1）（2012年数学一，4分）曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3． （2）（2011年数学一，4分）曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是（ ）（A ）(1,0)； （B ）(2,0)； （C ）(3,0)； （D ）(4,0)．（3）（2010年数学二，4分）曲线322+1xy x =的渐近线方程为 ． （4）（2012年数学一，10分）证明：21lncos 112x xx x x++≥+-(11)x -<<．（5）（2011年数学一，10分）证明：110ln(1)lim zex x x -→+⎛⎫⎪⎝⎭．22（6）（2010年数学二，10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且100(1)3f f ==（），，证明：存在11(0,),(,1)22ξη∈∈，使得22()()f f ξηξη''+=+．（7）（2011年数学一，10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数,其中k 为参数．本章作业纠错与总结：23数学家生平简介： 罗尔：罗尔是法国数学家．1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎．罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得．1682年，他解决了数学家奥扎南提出的一个数论难题，受到了学术界的好评，从而名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员．1685年进入法国科学院，担任低级职务，到1690年才获得科学院发给的固定薪水．此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世．罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程0)(=x f 的两个相邻的实根之间，方程0=')x (f 至少有一个根． 1846年，尤斯托．伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理． 拉格朗日：拉格朗日（Lagrange ），法国数学家、物理学家，1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎．17岁时，在偶然读到哈雷的一篇介绍牛顿微积分的短文《论分析方法的优点》后，对数学产生了兴趣．1753年他尚未从都灵炮兵学校毕业，就担任了该校数学课教学工作，1755年9月成为该校教授．1756年经欧拉推荐，被提名为柏林科学院通讯院士．1759年成为柏林科学院院士，1776年被评为彼得堡科学院名誉院士，1783年成为都灵科学院名誉主席及伦敦皇家学会会员．1795年任新成立的巴黎高等师范学院数学教授，巴黎理工学院的第一位几何教授与第一任校长．后被路易十六授与伯爵爵位．拉格朗日是18世纪的伟大科学家，他在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献．但他主要是数学家，研究力学和天文学的主要目的是为了表明数学分析的威力。
微分中值定理与导数的应用习题课(一)
【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析 从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明 就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1
微分中值定理及导数应用双周练习卷
lim arctan( x a) arctan x
x
x 2
(0) 0
lim x
1
(
1 x
a
)2
2 x3
1
1 x
2
1 lim
2 x
x3 (2ax a2 ) (1 x2 )[1 ( x a)2 ]
()
1 2a
2
a
1
13、lim x0
tan x
x
x2
lim x0
1
e x2
tan x ln x
1
8 x3
由f ( x) 0,得 x 2
f (1) 1,
f (2) 1,
f (4) 1 4
最大值是 f (2) 1； 最小值是 f (1) 1
17、证明：arctan b arctan a b a .
证：设f ( x) arctan x，(不妨设b a) f ( x) C[a,b]， f ( x) D(a,b)
x
x
二、填空题(每题3分，共15分)
6、曲线y
4x 1 ( x 2)2
的渐近线是
y 0,
x 2.
解：
lim 4x 1 x ( x 2)2
0
y 0是水平渐近线
又
4x 1
lim
x 2
(
x
2)2
x 2是垂直渐近线
7、函数f ( x) 1 x 在[1, 2]上满足拉格朗日中 x
定理的 = 2 .
解： f ( ) f (2) f (1)
21
1
2
1 2
得 2 (舍负)
8、函数f ( x) x 2sin x在区间[0, ]上的
2
《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)
第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。
A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。
[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。
[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。
微分中值定理与导数的应用习题
微分中值定理与导数的应用习题(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第四章 微分中值定理与导数的应用习题§ 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A. x e x f =)(B. ||)(x x f =C. 21)(x x f -=D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xxcos sin >． （２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<<因为'1()f x x =，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a bξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ．§ 洛毕达法则1． 填空题 （１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim (sin )xx x +→=1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn nn n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． x x x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x xtan 0)1(lim +→ C ． x x x x sin lim +∞→ D ． x nx e x +∞→lim3． 求下列极限（１）n n mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim ．（２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin limx xx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim xx x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４） 20)(arcsin 1sin lim x x e xx --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）xx x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x x x +='，x x x x xx ln 1lim 1+--→＝xx x x x 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ．解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→x xe x x e e x x x x x x x（７） x x xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx xx x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xx x +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++===xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→lim ．解： 因为1lim 1limln 1lim ===∞→∞→∞→xxxx x x x eex ，所以n n n ∞→lim =1．§函数的单调性与曲线的凹凸性1． 填空题（１） 函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞- ，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 增加 ．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2． 单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . x y -=2 ),(∞+-∞ B . x y e = )0,(-∞ C . x y ln = ),0(∞+ D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）．A. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x ．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='x x x x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3． 证明下列不等式（１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令x x x f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f , 因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１） 当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２） 当0242arccos 2<<--k ππ时,有两个实根； （３） 当242arccos 2--=ππk 时，有唯一实根．5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y , 令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(． （２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y''=． 当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πxx >2sin ．§ 函数的极值与最大值最小值1． 填空题（１）函数x x y 2=取极小值的点是1ln 2x =-．（２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足x e x f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ )A ． 取得极大值B ． 取得极小值C ． 无极值D ． 不一定有极值3． 求下列函数的极值（１） ()3/223x x x f -=．解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x '==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值． 解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5． 在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大．解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=，由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<，由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34R h =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处解: 设AD x = B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ）， 其中k 是某一正数．由 0)34005(2=-+='x xk y 得15=x 由于ky x 400|0== ky x 380|15==2100511500|+==x y 其中以k y x 380|15==为最小 因此当AD 15=x km 时 总运费为最省．7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t b y t a x sin ,cos ==,t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ． 则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§ 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→231)1(lim x x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(lim lim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．第四章 综合练习题1．填空题（１） 01ln(1)1lim sin limarctan x x x x x x→→+∞++= 0 ． （２） 函数)1ln(+-=x x y 在区间)0,1(-内单调减少，在区间),0(+∞内单调增加．（３） 曲线)1ln(1x e xy ++=的渐近线是00==y x 和． （４）=-→x x x cos 02)(tan lim π1 ． 2． 求下列极限 （１） 2)1ln(sin 1tan 1limxx x xx x -++-+→解：20)1ln(sin 1tan 1limx x x xx x -++-+→＝xx x x x x x x sin 1tan 11])1[ln(sin tan lim 0+++⋅-+-→ ＝x x x x x x x tan lim)1ln(cos 1lim 2100→→⋅-+-＝x x xx -+-→)1ln(cos 1lim 210＝111sin lim 210-+→xx x ＝21)1(sin lim210-=+-→x x x x ． （２） xe e x x x x a a x x 1sin)(1cos)1cos 11sin (lim 21-+-+∞→ 解：x e e x x x x a a x x 1sin )(1cos )1cos 11sin (lim 21-+-+∞→=xe e x x x x x a x 1sin)1(1cos )1cos 11sin (lim 212-+-∞→=x x e x x x a x 1)1(1cos11sin lim 22+-∞→ =a x a e xx x x x x x e 2432223131sin 11cos 11cos 1lim1-=-+-∞→． 3． 求证当0>x 时， )1ln(212x x x +<-．证明： 令221)1ln()(x x x x f +-+=, 则21()111x f x x x x'=-+=++, 当0>x 时, ()0f x '>，故)(x f 在),0[+∞单调增． 当0>x 时，有()(0)0f x f >=，即)1ln(212x x x +<-． 4． 设)(x f 在],[b a 上可导且4≥-a b ，证明：存在点),(0b a x ∈使)(1)(020x f x f +<'.证明： 设)(arctan )(x f x F =, 则)(1)()(2x f x f x F +'='，且2|)(|π≤x F ．由拉格朗日中值定理知, 存在),(0b a x ∈，使)()()(0x F a b a F b F '=--, 即 14422|)(||)(|)()()(1)(020<=+≤-+≤--=+'πππa b a F b F a b a F b F x f x f ．5． 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有二阶导数且存在相等的最大值, 且)()(a g a f =, )()(b g b f =, 证明： 存在),(b a ∈ξ,使得)()(ξξg f ''=''．证明： 设)(),(x g x f 分别在),(,21b a x x ∈取得最大值M ， 则12()()f x g x M ==, 且12()()0f x g x ''==． 令)()()(x g x f x F -=．当21x x =时, 0)()()(1===x F b F a F , 由罗尔定理知, 存在),(),,(1211b x x a ∈∈ξξ, 使 0)()(21='='ξξF F , 进一步由罗尔定理知, 存在),(21x x ∈ξ，使0)(=''ξF ，即)()(ξξg f ''=''当21x x ≠时, 0)()(11≥-=x g M x F ,0)()(22≤-=M x f x F ，由零点存在定理可知，存在],[211x x ∈ξ，使0)(1=ξF ． 由于0)()(==b F a F ，由前面证明知, 存在),(b a ∈ξ，使0)(=''ξF ，即)()(ξξg f ''=''．6． 设0≤k ,证明方程112=+x kx 有且仅有一个正的实根．证明：设11)(2-+=x kx x f ． 当0=k ，显然112=x只有一个正的实根．下考虑0<k 时的情况．先证存在性： 因为)(x f 在),0(+∞内连续，且+∞=→)(lim 0x f x ，-∞=+∞→)(lim x f x ，由零点存在定理知，至少存在一个),0(+∞∈ξ，使0)(=ξf ，即112=+x kx 至少有一个正的实根．再证唯一性：假设有12,0x x >，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在12(,)(0,)x x η∈⊂+∞，使0)(='ηf ，即023=-ηk ，从而023>=ηk ，这与0<k 矛盾．故方程112=+x kx 只有一个正的实根．7． 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在t 小时之后，生产出t t t t Q 129)(23++-=个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高解：因为12183)()(2++-='=t t t Q t x ,186)()(+-=''='t t Q t x , 令0)(='t x ,得3=t ． 又当3t <时，()0x t '>．函数()x t 在[0,3]上单调增加；当3t >时，()0x t '<，函数()x t 在[3,)+∞上单调减少．故当3=t 时，)(t x 达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高．。
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
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1.不用求出函数的导数，分析方程有几个实根？()A．0B．1C．2D．3答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：2.=？（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析：3.=？，（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：4.求不能使用洛必塔法则。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
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1.下面关于函数的描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。
（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。
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1.某厂生产某产品，每批生产台得费用为，得到的收入为，则利润为？（）A．B．C．D．答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（）A．220B．230C．240D．250答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。
第三章 微分中值定理和导数的应用习题66道
第三章 微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。
3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。
3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。
3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。
3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。
3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。
3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-； （5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。
3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。
3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
(整理)《微分中值定理与导数的应用》考研.
94-11微分中值定理与导数的应用考研（数一）真题李婧一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内）1.（94年，3分）2220tan (1cos )lim2,0,ln(12)(1)x x a x b x a c c x d e -→+-=+≠-+-其中则必有（ ）（A ）4b d = （B ）4b d =- （C ）4a c = （D ）4a c =-2.（95年，3分）设在[0,1]上()0f x ''>，则(0)(1)(1)(0)(0)(1)f f f f f f ''--、、或 的大小顺序是（ ）（A ）(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- （B ）(1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> （C ）(1)(0)(1)(0)f f f f ''->> （D ）(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->3.（96，3分）设()f x 有二阶连续导数，且0()(0)=0lim 1x f x f x→'''=，，则（ ） （A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值（C ）(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点4.（99年，3分）设20()=(),0x f x x g x x >≤⎩，其中()()0g x f x x =是有界函数，则在处（ ） （A ）极限不存在 （B ）极限存在，但不连续 （C ）连续，但不可导 （D ）可导5.（00年，3分）设()()f x g x 、是恒大于零的可导函数，且()()()()0,f x g x f x g x ''-<则当a x b <<时，有（ ）（A ）()()()()f x g b f b g x > （B ）()()()()f x g a f a g x > （C ）()()()()f x g x f b g b > （D ）()()()()f x g x f a g a >6.（03年，4分）设函数()f x 在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则()f x 有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点.(C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点.7.（06年，4分）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0()0f x f x x '''>>∆，，为自变量x在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分。
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第四章微分中值定理与导数得应用习题§４、1 微分中值定理1. 填空题(1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得ξ就是.（2)设,则有３个实根，分别位于区间中.2.选择题(1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（B ).A．必要条件 B.充分条件 C. 充要条件D．既非充分也非必要条件（2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）．A、B、C、Ｄ、(3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(Ｂ).A.B. 在之间C.Ｄ.3.证明恒等式：.证明: 令，则,所以为一常数.设，又因为,故．４．若函数在内具有二阶导数，且,其中,证明：在内至少有一点，使得.证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在，使. 又在上符合罗尔定理得条件,故有,使得．5. 证明方程有且仅有一个实根.证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根.6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在,使成立、证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得. 同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在，使成立．7、设函数在上连续，在内可导、试证：至少存在一点, 使证明：只需令,利用柯西中值定理即可证明、８．证明下列不等式(1)当时，.证明：设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即(）因此, 当时,.(2)当时,.证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有因为,所以,又因为，所以，从而.§4、2 洛毕达法则１. 填空题(１)(２)０（3）=(4)１2.选择题（1)下列各式运用洛必达法则正确得就是( Ｂ )A.Ｂ.C. 不存在Ｄ. =(2) 在以下各式中，极限存在,但不能用洛必达法则计算得就是( C )A. Ｂ. Ｃ． D ．3. 求下列极限(１)．解: =.(2）.解: ＝＝=．（３) .解：＝=.(４) .解:＝=.(５).解: ，==.（６) .解:(7） .解:1)1(lim 202000sin lim csc 1lim cot ln lim ln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x x x x x x x x x x x e e e e x .（8）.解: ===.(9) .解: 因为,所以=1.§4、3函数得单调性与曲线得凹凸性1. 填空题(1) 函数得单调增加区间就是,单调减少区间.(2)若函数二阶导数存在,且,则在上就是单调 增加 .(３）函数在内单调增加,则.(4)若点(1,3）为曲线得拐点,则,,曲线得凹区间为,凸区间为.２． 单项选择题(1)下列函数中，( A )在指定区间内就是单调减少得函数、Ａ、 B 、Ｃ、 D 、(２)设,则在区间内( B ).A 、 单调增加,曲线为凹得B 、 单调减少,曲线为凹得Ｃ、 单调减少,曲线为凸得D.单调增加,曲线为凸得(3)在内可导, 且，当 时, ，则（ D ）A 、 任意B 、 任意Ｃ、 单调增 D 、 单调增(4)设函数在上二阶导数大于0, 则下列关系式成立得就是（ B )A 、B 、C 、 Ｄ、２. 求下列函数得单调区间(1).解：，当时,,所以函数在区间为单调增加;当时,，所以函数在区间为单调减少.(２). 解:,当,或时,,所以函数在区间为单调增加;当时,,所以函数在区间为单调减少．（３）解： ,故函数在单调增加．３. 证明下列不等式(１）证明: 对任意实数与， 成立不等式.证明:令，则, 在内单调增加、于就是, 由 , 就有 ， 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++ （２)当时, .证明：设， ,由于当时,, 因此在单调递增, 当 时, , 故在单调递增, 当 时, 有、故当时,, 因此.(３)当 时,.证明：设， ,当,,所以在单调递增， 当 时, , 故在单调递增, 从而当 时, 有、 因此当 时,.4． 讨论方程(其中为常数)在内有几个实根.解:设 则在连续， 且，ﻩ由,得为内得唯一驻点.在上单调减少,在上单调增加.故为极小值,因此在得最大值就是，最小值就是.(１) 当或时,方程在内无实根；(２) 当时,有两个实根;ﻩ(3) 当时，有唯一实根．5. 试确定曲线中得ａ、b 、c 、d ,使得处曲线有水平切线,为拐点,且点在曲线上．解: ,,所以解得: .6．求下列函数图形得拐点及凹或凸得区间（１)解: , ,令,得,当时不存在.当或时, ，当或时, .故曲线在上就是凸得, 在区间与上就是凹得，曲线得拐点为．(2)拐点及凹或凸得区间解: ,.当时,不存在；当时,.故曲线在上就是凸得, 在上就是凹得,就是曲线得拐点,７.利用凹凸性证明: 当时,证明:令，则，．当时，, 故函数得图形在上就是凸得, 从而曲线在线段(其中）得上方,又, 因此,即.§4、4 函数得极值与最大值最小值１. 填空题（１)函数取极小值得点就是.(２) 函数在区间上得最大值为，最小值为.２．选择题(１) 设在内有二阶导数,,问还要满足以下哪个条件,则必就是得最大值?(C)A. 就是得唯一驻点B. 就是得极大值点C.在内恒为负D. 不为零(2）已知对任意满足,若,则(B)A、为得极大值B、为得极小值C、为拐点D、不就是极值点, 不就是拐点（３)若在至少二阶可导, 且,则函数在处( A )Ａ. 取得极大值Ｂ. 取得极小值 C.无极值 D. 不一定有极值3. 求下列函数得极值(1).解:由，得.，所以函数在点取得极小值.(２).解:定义域为,，令得驻点,当时，，当时,.因此为极大值．４．求得在上得最大值与最小值.解:.由,得, .而, 所以最大值为１32，最小值为7.5. 在半径为得球内作一个内接圆锥体,问此圆锥体得高、底半径为何值时,其体积最大.解:设圆锥体得高为, 底半径为,故圆锥体得体积为,由于,因此，由，得,此时．由于内接锥体体积得最大值一定存在,且在得内部取得、现在在内只有一个根，故当, 时, 内接锥体体积得最大．６、工厂与铁路线得垂直距离为,点到火车站得距离为、欲修一条从工厂到铁路得公路, 已知铁路与公路每公里运费之比为，为了使火车站与工厂间得运费最省,问点应选在何处？解：设，与间得运费为, 则()，其中就是某一正数.由，得、由于，, ,其中以为最小，因此当AD=km时,总运费为最省.7. 宽为得运河垂直地流向宽为得运河、设河岸就是直得，问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少？解: 问题转化为求过点得线段得最大值、设木料得长度为，,木料与河岸得夹角为,则，且,.则，由得, 此时,故木料最长为.§4、5 函数图形得描绘1.求得渐近线、解:由 ,所以为曲线得铅直渐近线．因为所以为曲线得斜渐近线. 第四章 综合练习题１.填空题(１) ０ .（２） 函数在区间内单调减少,在区间内单调增加.(３） 曲线得渐近线就是.(4） 1 .2. 求下列极限(1)解:＝＝＝＝＝.(２)解:=＝=．３. 求证当时, .证明: 令, 则,当时, ，故在单调增. 当时,有,即 .4. 设在上可导且,证明：存在点使、证明： 设, 则，且.由拉格朗日中值定理知, 存在,使, 即14422|)(||)(|)()()(1)(020<=+≤-+≤--=+'πππa b a F b F a b a F b F x f x f . 5． 设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等得最大值, 且, , 证明： 存在，使得. 证明: 设分别在取得最大值, 则, 且. 令.当时, , 由罗尔定理知, 存在， 使, 进一步由罗尔定理知, 存在,使,即当时, ,,由零点存在定理可知,存在,使. 由于，由前面证明知, 存在,使,即.6. 设，证明方程有且仅有一个正得实根.证明:设. 当,显然只有一个正得实根．下考虑时得情况.先证存在性:因为在内连续,且,,由零点存在定理知，至少存在一个，使,即至少有一个正得实根.再证唯一性:假设有,且，使，根据罗尔定理,存在,使,即,从而,这与矛盾．故方程只有一个正得实根．7.对某工厂得上午班工人得工作效率得研究表明,一个中等水平得工人早上8时开始工作,在小时之后,生产出个产品.问:在早上几点钟这个工人工作效率最高?解:因为,，令,得. 又当时，.函数在上单调增加；当时,,函数在上单调减少.故当时,达到最大, 即上午1１时这个工人得工作效率最高.。