1.2线性规划求解方法法

线性规划
x 以 x1 、 4 和x 5 为基变量就可以得到初始基可行解

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线性规划
基:设 B 是秩为 m 的约束矩阵 A 的一个 m 阶满秩子方 阵，则称 B 为一个基； 基向量: B 中 m 个线性无关的列向量称为基向量; 变量 x 中与之对应的 m 个分量称为基变量， 其余的变 量为非基变量; 基本解:令所有的非基变量取值为 0，得到的解
基 本 可 行 解 定 义
说明在一定范围内每增加（减少）1个台时的 设备能力就可增加（减少）50元利润，称为该约束 条件的对偶价格。
假设原料 A 增加10 千克时，即 b2变化为 410，这时可行域扩大， 但最优解仍为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的 交点 x1 = 50，x2 = 250 。此变化对总利润无 影响，该约束条件的对偶价格为 0 。 解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有50 千克的剩余，因此增加10千克值增加了库存， 而不会增加利润。 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时 （1）若约束条件的对偶价格大于0，则其最优 目标函数值得到改善（变好）； （2）若约束条件的对偶价格小于0，则其最优 目标函数值受到影响（变坏）； （3）若约束条件的对偶价格等于0，则最优目 标函数值不变。
线性规划
练习 1.如果目标函数改为：min 4x1 2x2 ，其余不变。 2.
min z 2 x1 x2 s.t. x x 1 1 2 x1 3 x2 3 x1 , x2 0
3.
max z 4 x1 2 x2 s.t. x x 1 1 2 x1 2 x2 4 x1 , x2 0
2 约束条件中右边系数 bj 的灵敏度分析
当约束条件中右边系数 bj 变化时，线性规划的可 行域发生变化，可能引起最优解的变化。 考虑上例的情况：
§3 图解 法的 灵敏 度分 析
假设设备台时增加10个台时，即 b1变化为310，这 时可行域扩大，
最优解为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交点 x1 = 60， x2 = 250 。 变化后的总利润 - 变化前的总利润 = 增加的利润 (50×60+ 100×250) - (50 × 50+100 × 250) = 500 ， 500 / 10 = 50 元
x2 B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D z=0=50x1+100x2 E x1
A z=10000=50x1+100x2
线性规划的标准化：——引入松驰变量（含义是 资源的剩余量） 例 中引入 s1， s2， s3 模型化为 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 约束条件：s.t. x1 + x2 + s1 = 300 2 x1 + x2 + s2 = 400 x2 + s3 = 250 x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0 对于最优解 x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0
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线性规划
线性规划解的的情况：
注 释
可行域是空集（问题无解） 无界 最优解存在且唯一，则一定在可 行域顶点上达到 存在无穷多最优解，一定存在可 行域的顶点是最优解 注：如果线性规划有最优解且最优 解不唯一，则一定有无穷多个最 优解

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线性规划

可 行 域 的 几 何 结 构
基为
1 0 0 B1 0 1 0 0 0 1Biblioteka Baidu
2 0 0 B2 1 1 0 1 0 1
对应的基解分别为 x1 (0,0,2,2,5) 和 x 2 (1,0,0,3,6) ， 其 中 x1 为基本可行解， x 2 不是基本可行解。
基本假设 凸集
可行域的凸性


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考虑线性规划的标准形式
线性规划
min c x
基 本 假 设
Ax b s.t. x 0
其中 x, c R n , b R m , A R mn ，并且假定可行域
D {x R n Ax b, x 0} 不空，系数矩阵 A 是行
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线性规划
例
解线性规划
max z x1 x 2 2 x1 x 2 2 x 2x 2 2 s.t. 1 x1 x 2 5 x1 0
最优解（1，4）
2 x1 x2 2
x1 2 x2 2 x1 x2 5
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止。
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线性规划
例 2.3.1 求解问题
算 例
min z x 2 2 x 3 x1 2 x 2 x 3 2 x 3x x 1 2 3 4 s.t. x2 x3 x5 2 x j 0; j 1,2,...,5
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线
性
规
划
授课教师： 王淑华
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线性规划

可 行 区 域 与 基 本 可 行 解
图解法 可行域的几何结构
基本可行解与基本定理


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线性规划
图 解 法
对于只有两个变量的线性规划问题可以用图解法求解： 变量用直角坐标系中的点表示 约束条件用坐标系中的半空间或直线的交表示，可行 区域是一个凸多边形 目标函数用一组等值线表示，沿着增加（梯度方向）或 减少 （负梯度） 的方向移动， 与可行域最后的交点就是最优解。
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线性规划
基 本 定 理
定理 1 可行解 x 是基本可行解的充要条件是它的正分 量所对应的矩阵 A 中列向量线性无关。 定理 2 x 是基本可行解的充要条件是 x 是可行域 D 的 顶点。 定理 3 一个标准的 LP 问题如果有可行解，则至少有一 个基本可行解 定理 4 一个标准的 LP 问题如果有有限的最优值，则一 定存在一个基本可行解是最优解。
D {x Ax b, x 0}
是凸集
定理：任意多个凸集的交还是凸集
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线性规划
问 题
1．可行域顶点的个数是否有限？ 2．最优解是否一定在可行域顶点上达到？ 3．如何找到顶点？ 4．如何从一个顶点转移到另一个顶点
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线性规划
定义
基本定理 问题

基本 可行 解与 基本 定理
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线性规划
令 A ( B , N ) ， x =( x B , x N )。
Ax b
基 本 可 行 解 定 义
分块
Bx B Nx N b
B 左乘 1
x B B 1 Nx N B 1 b
x B B 1 b B 1 Nx N
x N =0
B 1b x 0

说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗 完所有可能的设备台时数及原料B，但对原料A则 还剩余50千克。
1.
灵敏 度分 析

目标函数中的系数 ci 的灵敏度分析： ci 的变化只影响目标函数等值线的斜率， 目标函数 z = 50 x1 + 100 x2 在 250= x2 (x2 = z 斜率为0 ) 300 = x1 + x2 (x2 = -x1 + z 斜率为 -1 )之间时，原最 优解 x1 = 50，x2 = 100 仍是最优解。 一般情况： z = c1 x1 + c2 x2 写成斜截式 x2 = - (c1 / c2 ) x 1 + z / c 2 目标函数等值线的斜率为 - (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原 最优解仍是最优解。
满秩的， r( A) m ，否则的话可以去掉多余约束。
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凸集及其性质：
线性规划
定义：设 S R n 是 n 维欧氏空间的点集，若对 任意 x S , y S 的和任意 [0,1] 都有
凸 集
x (1 ) y S
就称 S 是一个凸集。 定理：线性规划的可行域
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例 考虑问题：
线性规划
min z x1 x 2 2 x1 x 2 x 3 2 x 2x x 2 1 2 4 s.t. x1 x 2 x 5 5 x j 0; j 1,2,3,4,5
系数矩阵
2 1 1 0 0 A 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1

§3 图解 法的 灵敏 度分 析



假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100 假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 + 假若产品Ⅰ、Ⅱ的利润均改变，则可直 接用式（*）来判断。 假设产品Ⅰ、Ⅱ的利润分别为60元、55 元，则 - 2 - (60 / 55) - 1 那么，最优解为 300= x1 + x2 和 400 = 2 x1 + x2 的交点 x1 = 100，x2 = 200 。




假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100 假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 + 假若产品Ⅰ、Ⅱ的利润均改变，则可直 接用式（*）来判断。 假设产品Ⅰ、Ⅱ的利润分别为60元、55 元，则 - 2 - (60 / 55) - 1 那么，最优解为 300= x1 + x2 和 400 = 2 x1 + x2 的交点 x1 = 100，x2 = 200 。
注释
单纯形法的基本思路： 从可行域中某
一个顶点(即基本可行解)开始，判断此 顶点是否是最优解，如不是,则再找另一 个使得其目标函数值更优的顶点，称之 为迭代，再判断此点是否是最优解。直
单 纯 形 法
到找到一个顶点(基本可行解)为其最优
解，就是使得其目标函数值最优的解， 或者能判断出线性规划问题无最优解为
1.对偶价格表示其对应的资源每增加 一个单位，将改进多少个单位的 最优值。 2.当约束条件中的常数项增加一个单 位时，最优目标函数值增加的数量 称之为影子价格。在求目标函数最 大时，当约束条件中的常数项增加一 个单位时，目标函数值增加的数量就 为改进的数量，所以影子价格等于对 偶价格；在求目标函数值最小时，改 进的数量就是减少的数量，所以影子 价格即为负的对偶价格。
B 1 b 称为相应于 B 的基本解。 x 0 B 1 b 是基本解,若 基 本 可 行 解 : 设 x 0
B 1b 0 (即也是可行解)则称基本解为基本可行解，这时
对应的基阵 B 为可行基。 如果 B 1b 0 则称该基可行解为非退化的， 如果一个 线性规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非 退化的。
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线性规划
1． 不一定所有的基本可行解都是最优解 2． 如果有两个基本可行解是最优解， 则两解的凸组合也 都是最优解。 3． 如果最优解不唯一，则会有多个基本可行解是最优 解，它们必然在同一个面上。 4． 基可行解个数有限，可以在基可行解中寻找最优解。 剩余的问题是如何判断一个基可行解是最优解，如果 不是则如何从一个基可行解转到另一个基可行解。
说 明
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灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解后， 研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化时， 对最优解产生的影响。
§图 解法 的灵 敏度 分析
例:
Max z = 50 x1 + 100 x2
s.t. x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最优解： x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500