课时作业(二十五) 两角和与差的三角函数(含答案)

课时作业(二十五) 两角和与差的三角函数 一､选择题
1.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 105°等于( )
A.0
B.1
2
C.2
D.1
解析:原式=sin 215°+cos 215°=1.
答案:D
2.(2010·新课标全国卷)若cosα=4
5-,α为第三象限角,则sin 4πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭=( )
A.10-
B.10
C.10-
D.10
解析:∵α为第三象限角,cosα=4
5-,∴sinα=3,5-sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2
(sinα+cosα)=2×7510⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.
答案:A
3.( )
A.-cos 1
B.cos 1
1 D.1
解析1|cos ==
1.=
答案:C
4.若函数f (x )=sin 2x -2sin 2x ·sin 2x (x ∈R ),则f (x )是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为2π
的奇函数
解析:f (x )=sin 2x (1-2sin 2x )=sin 2xcos 2x =1
4.2sin x
答案:D
5.(2011·江西期末)已知α是第二象限角,且sin (π+α)=3
,5-则tan 2α的值为( ) A.45 B.23
7- C.24
7- D.24
9-
解析:由sin (π+α)=3
5-知sinα=3
.5
又α为第二象限角,∴tanα=3
4-
故tan 2α=2322244.917
116
tan tan αα⎛⎫
⨯-
⎪⎝⎭==---
答案:C
6.已知0<α<2π
<β<π,cosα=35,sin (α+β)=3
5-, 则cos β的值为( )
A.-1
B.-1或7
25- C.2425- D.±24
25
解析:∵0<α<2π,cosα=3
5,∴sinα=4
5,
又0<α<2π<β<π,∴2π<α+β<3
2π,
又sin (α+β)35=-,∴cos (α+β)4
5=-,
cos β=cos (α+β-α)=cos (α+β)cosα+sin (α+β)sinα
=433424().555525
-⨯+-⨯=- 答案:C
二､填空题
7.(2011·江西期末)已知sin 1,63πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭则cos 223πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=________. 解析:∵,632π
π
π
αα++-= ∴1,633
sin cos ππαα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴2221722212133339cos cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
答案:79
-
8.已知sinαsin (α-β)=α､β均为锐角,则β等于________. 解析:∵α､β均为锐角,∴2π
-<α-β2
π<
sin (α-β)= cos (α-β)=由sinα得cosα ∴cos β=cos [α-(α-β)]=cosαcos (α-β)+sinα·sin (α-β)=
⎛== ⎝⎭ 又β为锐角,∴β=
4π. 答案:4
π 9.如果tanα､tan β是方程x 2-3x -3=0的两根,则()()
sin cos αβαβ+-=________. 解析:由题意得tanα+tan β=3,tanαtan β=-3,又
()33.()11(3)4
sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos sin sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβ+++====-+---
答案:34
三､解答题
10.(2011·陕西模拟)已知tan 4πα⎛⎫+
⎪⎝⎭
=2,tan β12=. (1)求tanα的值; (2)求()22()
sin sin cos sin sin cos αβαβαβαβ+-++的值. 解:(1)∵2,4tan πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4214
tan
tan tan tan παπα+=- 即121tan tan αα+=-得tanα=13. (2)()22()
sin sin cos sin sin cos αβαβαβαβ+-++ ()()
cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos ββββααααααββ--==+- =tan (β-α)=11123.1117
123
tan tan tan tan ββαα--==++⨯ 11.已知函数f (x )=2
cosxcos 6x π⎛⎫--
⎪⎝⎭2x +sinxcosx . (1)求f (x )的最小正周期;
(2)设x ∈,,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
求f (x )的值域. 解:(1)∵f (x )=cosx
+sinx
sin 2x +sinxcosx
cos 2x -sin 2x )+2sinxcosx
2x +sin 2x
=2sin (2x +3
π).
∴f (x )的最小正周期为π.
(2)∵x ∈,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
,∴3π-≤2x +3π≤43π, 又f (x )=2sin 23x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
,∴f (x )∈[3-,2],f (x )的值域为[3-,2]. 12.(2010·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α+β):cos (α+β)=cosαcos β-sinαsin β; ②由C (α+β)推导两角和的正弦公式S (α+β):sin (α+β)=sinαcos β+cosαsin β.
(2)已知cosα45=-,α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,tan β=13-,β∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,求cos (α+β). 解:(1)①如图,在直角坐标系x O y 内作单位圆O,并作出角α,β与-β使角α的始边为O x ,交⊙O 于点P 1,终边交⊙O 于点P 2;角β的始边为OP 2,终边交⊙O 于点P 3,角-β的始边为OP 1,终边交⊙O 于点P 4,
则P 1(1,0),P 2(cosα,sinα),P 3(cos (α+β),sin (α+β)),P 4(cos (-β),sin (-β)). 由P 1P 3=P 2P 4及两点间的距离公式,得
[cos (α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos (-β)-cosα]2+[sin (-β)-sinα]2
,
展开并整理,得2-2cos (α+β)=2-2(cosαcos β-sinαsin β).
∴cos (α+β)=cosαcos β-sinαsin β. ②由①易得,cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=sinα,sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭
=cosα.
sin (α+β)=cos ()2παβ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=cos ()2παβ⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭cos (-β)-sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin (-β) =sinαcos β+cosαsin β.
∴sin (α+β)=sinαcos β+cosαsin β.
(2)∵α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,cosα=4.5- ∴sinα=3
5
-. ∵β∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,tan β=1.3-
∴cos β=10-
,sin β=10 cos (α+β)=cosαcos β-sinαsin β
=4351051010⎛⎛⎫⎛⎫-
⨯---⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝⎭。