《离散数学》图基本概念
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离散数学 第3章 图的基本概念
例题5： 已知图的结点集 V {a, b, c, d }以及图G和图D的 边集合分别为：E (G) {(a, a), (a, b), (b, c), (a, c)} E ( D) { a, b , a, c , c, d , c, a , c, b } 试作图G和图D，写出各结点的度数，回答图G、图D 是简单图还是多重图？ 解：a d a d
3.2 图的连通性
一、连通性
若在无向图G中，任何两个不同的结点都是连通的 则称G是连通图。 无向图中结点的连通关系具有自反性、对称性和 传递性，所以结点的连通关系是等价关系。 若图G不是连通图，但如果把G分成几个部分，每 一个部分都是连通的，则每一个部分称为一个连通子 图，每一个连通子图G’称为G的一个连通分支。 G中相互连通的结点一定在同一连通分支中。 无向图G的连通分支数记作W(G)。
v2
v5
v4
v7 v6
例如G：
v1
v3
G不是连通图，但可以划分为三个连通分支。
G({v1}) 是一个连通分支，G({v2 , v3 , v4 , v5}) 是一个连 通分支，G({v6 , v7 })是一个连通分支。
W (G) 3
{{v1},{v2 , v3 , v4 , v5},{v6 , v7 }} 称为V的一个划分。
b
c
b
c
图G
图D
图G： deg( a) 4, deg(b) 2, deg(c) 2, deg( d ) 0 图D： deg (a) 2, deg (a) 1, deg (b) 0, deg (b) 2
deg (c) 3, deg (c) 1, deg (d ) 0, deg (d ) 1
离散数学7-1图论
图7-1.9 不同构的图
作业
P279 (1) (4)
如图7-1.6中的(a)和(b)互为补图。
[定义] 子图(subgraph) 设图G=<V,E>，如果有图G’= <V’,E’>，若有 V’ V ，E’ E，则称图G’是图G的子图。 [定义] 生成子图(spanning subgraph) 如果图G的子图G’包含G的所有结点,则称该图 G’为G的生成子图。如图7-1.8中G'和G"都是 G的生成子图。
[定义] 相对于图G的补图 设图G'＝〈V',E'〉是图G＝〈V,E〉的子图,若 给定另外一个图G"＝〈V",E"〉使得E"＝EE', 且 V" 中仅包含 E"的边所关联的结点。则 称G"是子图G'的相对于图G的补图。
图7-1.7 (c )为(b)相对于(a)的补图
如图 7-1.7 中的图 (c) 是图 (b) 相对于图 (a) 的补 图。而图 (b) 不是图 (c) 相对于图 (a) 的补图 , 因为图(b)中有结点c。在上面的一些基本概 念中,一个图由一个图形表示,由于图形的结 点的位置和连线长度都可任意选择 , 故一个 图的图形表示并不是唯一的。下面我们讨 论图的同构的概念。
表7-1.1
结 点 出 度 入 度
a 2 0
b 1 1
c 0 2
d 1 1
结 点 出 度
入 度
v1 1 1
v2 0 2
v3 2 0
v4 1 1
分析本例还可以知道 , 此两图结点的度数也 分别对应相等,如表7-1.1所示。
两图同构的一些必要条件: 1.结点数目相等; 3.边数相等; 3.度数相等的结点数目相等。 需要指出的是这几个条件不是两个图同构的 充分条件,例如图7-1.9中的(a)和(b)满足上 述的三个条件,但此两个图并不同构。
离散数学第十四章图论基本概念
8
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
20
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
25
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
20
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
25
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
离散数学图论-图的基本概念
构的，记作Gl ≅ G2。
对有向图有相同的定义。
定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一一对应关系 f
这种对应关系又保持了结点间的邻接关系，
那么这两个图就是同构的
在有向图的情况下， f 不但应该保持结点间的邻接关系，还应
该保持边的方向。
结点数相同边数相同
结点的度相同
但是两个图
不同构
(1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点．
(2)E为边集，它是笛卡儿积 VⅹV的有穷多重子集，其元
素称为有向边，简称边(弧)．
有向图D=<V,E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝
边集合E＝｛<v1,v2>,<v2,v1>,
<v2,v1>,<v2,v3>,<v3,v3>
<v3,v3>｝
（与前面的关系的图表示相当）
。
条件：奇度数的结点个数应该是偶数个
（2）序列的可图化：对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),若存在以n个顶
点的n阶无向图G，有d(vi)=di ，称该序列是可图化的。
特别的，如果得到的是简单图，称该序列是可简单图化的。
（3）定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当且
仅当
1)完全图
定义 设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n—1个顶点相
邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn(n≥1)．
设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n—1个顶
点，又邻接于其余的 n—1个顶点，则称D是 n 阶有向完全图．
可画图表示（无向图5阶、有向图3阶和4阶）
子图、生成子
对有向图有相同的定义。
定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一一对应关系 f
这种对应关系又保持了结点间的邻接关系，
那么这两个图就是同构的
在有向图的情况下， f 不但应该保持结点间的邻接关系，还应
该保持边的方向。
结点数相同边数相同
结点的度相同
但是两个图
不同构
(1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点．
(2)E为边集，它是笛卡儿积 VⅹV的有穷多重子集，其元
素称为有向边，简称边(弧)．
有向图D=<V,E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝
边集合E＝｛<v1,v2>,<v2,v1>,
<v2,v1>,<v2,v3>,<v3,v3>
<v3,v3>｝
（与前面的关系的图表示相当）
。
条件：奇度数的结点个数应该是偶数个
（2）序列的可图化：对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),若存在以n个顶
点的n阶无向图G，有d(vi)=di ，称该序列是可图化的。
特别的，如果得到的是简单图，称该序列是可简单图化的。
（3）定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当且
仅当
1)完全图
定义 设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n—1个顶点相
邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn(n≥1)．
设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n—1个顶
点，又邻接于其余的 n—1个顶点，则称D是 n 阶有向完全图．
可画图表示（无向图5阶、有向图3阶和4阶）
子图、生成子
离散数学中的图论代表知识点介绍
离散数学中的图论代表知识点介绍离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散对象以及其离散性质和离散结构。
图论作为离散数学的重要组成部分，以图为研究对象，研究了图的基本概念、图的表示方法以及图的性质和应用。
本文将介绍离散数学中的图论代表知识点。
1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的离散结构，用V表示顶点集合，E表示边集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边是有方向的，而无向图中的边是无方向的。
图中的顶点可以表示为V={v1, v2, v3, ...}，边可以表示为E={(vi, vj)}。
在图中，两个顶点之间有边相连时，称这两个顶点是相邻的。
2. 图的表示方法图可以用多种方式来表示。
常见的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
邻接表则是通过链表的方式来表示图的结构，每个顶点都对应一个链表，链表中存储着与该顶点相邻的顶点。
3. 图的性质图论研究了图的许多性质和特性。
其中一些重要的性质包括连通性、路径、回路、度数、树和连通分量等。
连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。
如果图中任意两个顶点都存在路径相连，则图被称为连通图。
反之，如果存在无法通过路径相连的顶点对，则图为非连通图。
连通图中的任意两个顶点之间至少存在一条路径。
路径是指从一个顶点到另一个顶点的顶点序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径是指两个顶点之间边的数量最少的路径。
回路是指路径起点和终点相同的路径。
如果回路中除起点和终点以外的顶点不重复出现，则称为简单回路。
度数是指图中顶点的边的数量。
对于有向图来说，度数分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边和从该顶点指出的边的数量。
树是一种无回路的连通图，它具有n个顶点和n-1条边。
树是图论中一个重要的概念，它有广泛的应用。
连通分量是指图中的极大连通子图，即在该子图中的任意两个顶点都是连通的，且该子图不能再加入其他顶点使其连通。
离散数学图论基本概念解释
离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支，而图论则是离散数学的一个重要分支，用于研究图结构以及图中各种相关问题。
本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。
一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以用G=(V, E)来表示，其中V表示顶点集合，E表示边的集合。
顶点之间的连接关系用边来表示，边有可能是有向的或无向的。
二、图的分类1. 无向图：图中的边没有方向，表示顶点之间的无序关系。
无向图可以是简单图（没有自环和重复边）或多重图（包含自环和多条重复边）。
2. 有向图：图中的边有方向，表示顶点之间的有序关系。
有向图也可以是简单图或多重图。
3. 加权图：顶点之间的边带有权重，用于表示边的强度或成本。
加权图可以是无向图或有向图。
三、图的常用术语1. 顶点的度：无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。
在有向图中，顶点的度分为出度和入度，分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。
2. 路径：在图中，路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。
路径的长度是指路径中经过的边的数目。
3. 连通图：如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连，则称该图为连通图。
如果图非连通，则称为非连通图。
4. 完全图：如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为完全图。
完全图有边n(n-1)/2条，其中n表示顶点的数量。
四、图的表示方法1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。
矩阵的行和列分别表示顶点，矩阵中的元素表示相应的边。
如果两个顶点之间存在边，就用1表示；否则，用0表示。
2. 邻接表：邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。
每个顶点都对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
五、图的遍历算法1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，它从一个初始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，然后回溯到上一个顶点，再继续沿另一条路径走到底。
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
图论—基本概念离散数学
离 散 数 学
北 京 工 业 大 学 软 件 学 院 张 丽
定理5.1.1
• 设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1,v2,· · · ,vn}，则
离 散 数 学
de g (v ) de g (v ) m
i 1 i i 1 i
n
n
• 证明：因为每一条有向边提供一个出度 和入度， • 而所有各顶点出度之和及入度之和均由 m条有向边所提供， • 所以定理得证。
40
35
80
70
37
10
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图的邻接矩阵
• 设图G=(V,E)，V={v1,v2,· · · ,vn}， 令
离 散 数 学
1 (vi , v j ) E (G ) aij { 0 (vi , v j ) E (G )
• 则称矩阵A=(aij)n×n为图G的邻接 矩阵。
e4
e2
v4
e5 e3
e4
v3
v3
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图的操作-删点
v1 e1 v2 v2
离 散 数 学
e2
v4
e5 e3
e4 v4
e5 e3
e4
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图-基本概念6
• 如果把一个有向图D的每条有向边的方 向去掉，由此而得到无向图G，称为D的 底图 • 把一个有向图D的每一条有向边反向， 由此而得到的图称为D的逆图，记为~D。 • ~(~D)=D
离 散 数 学
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离 散 数 学
《离散数学》课件第14章图的基本概念
像这种形状不同，但本质上是同一个图的现象称 为图同构。
定义14.5（图同构）设两个无向图G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对 于 任 意 的 e=（vi，vj）∈E1 当 且 仅 当 e’=（f(vi)， f(vj)）∈E2，并且e与e’的重数相同，则称G1和G2是 同构的，记作G1≌G2。
若vi=vj，则称ek与vi的关联次 数为2；
若vi不是ek的端点，则称ek与vi 的关联次数为0。
无边关联的顶点称为孤立点 （isolated vertex） 。
19
定义(相邻) 设无向图G=<V，E>， 若∃et∈E且et=（vi,vj），则称vi和vj是相邻的 若ek,el∈E且有公共端点，则称ek与el是相邻的。
素称为有向边，简称边。 由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
11
每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
定义(邻接与相邻) 设有向图D=<V，E>， 若∃et∈E且et=<vi,vj>，则称vi邻接到vj，vj邻接 于vi。 若ek,el∈E且ek的终点为el的始点，则称ek与el是相 邻的。
20
定义14.4（度） 设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度 （degree），记为d(v)。
定理14.2 （有向图握手定理）设D=<V，E>为任 意的有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则
定义14.5（图同构）设两个无向图G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对 于 任 意 的 e=（vi，vj）∈E1 当 且 仅 当 e’=（f(vi)， f(vj)）∈E2，并且e与e’的重数相同，则称G1和G2是 同构的，记作G1≌G2。
若vi=vj，则称ek与vi的关联次 数为2；
若vi不是ek的端点，则称ek与vi 的关联次数为0。
无边关联的顶点称为孤立点 （isolated vertex） 。
19
定义(相邻) 设无向图G=<V，E>， 若∃et∈E且et=（vi,vj），则称vi和vj是相邻的 若ek,el∈E且有公共端点，则称ek与el是相邻的。
素称为有向边，简称边。 由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
11
每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
定义(邻接与相邻) 设有向图D=<V，E>， 若∃et∈E且et=<vi,vj>，则称vi邻接到vj，vj邻接 于vi。 若ek,el∈E且ek的终点为el的始点，则称ek与el是相 邻的。
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定义14.4（度） 设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度 （degree），记为d(v)。
定理14.2 （有向图握手定理）设D=<V，E>为任 意的有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则
(离散数学)图的基本概念
2014-5-3 离散数学 4
一、基本图类与相关概念（续）
无向图：无向图G是一个二元组<V, E>，其中 (1) V是一个非空集合，称为顶点集V(G)， V中元素称为顶点或结点； (2) E是无序积V&V的多重子集(即集合中的
元素可重复出现)，称为边集E(G)，
E中元素称为无向边，简称边。
2014-5-3 离散数学 5
2014-5-3
离散数学
7
一、基本图类与相关概念（续）
有向图画法：用小圆圈表示V中顶点，若<a, b>E，
则在顶点a与b之间画一条有向边，其箭头从a指向b。
如：D = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }，E = { <v1, v2>,
<v1, v3>, <v2, v2>, <v3, v4>, <v4, v2>, <v4, v2> }
e2 e v4 e e
6
3
v1
2014-5-3
e1
v2
5
e
4
v3
6
离散数学
一、基本图类与相关概念（续）
2、有向图
有向图：有向图D是一个二元组<V, E>，其中 (1) V是一个非空集合，称为顶点集V(D)； (2) E是笛卡尔积V V的多重子集，称为边集 E(D)，E中元素称为有向边，也简称边。
一、基本图类与相关概念（续）
实际上，图是画出来的。画法：用小圆圈表示V中
顶点，若(a, b)E，则在顶点a与b之间连线段。
如：G = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }， E ={ (v1, v2), (v1, v4), (v2, v1), (v2, v3), (v2, v3), (v3, v4) }
一、基本图类与相关概念（续）
无向图：无向图G是一个二元组<V, E>，其中 (1) V是一个非空集合，称为顶点集V(G)， V中元素称为顶点或结点； (2) E是无序积V&V的多重子集(即集合中的
元素可重复出现)，称为边集E(G)，
E中元素称为无向边，简称边。
2014-5-3 离散数学 5
2014-5-3
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一、基本图类与相关概念（续）
有向图画法：用小圆圈表示V中顶点，若<a, b>E，
则在顶点a与b之间画一条有向边，其箭头从a指向b。
如：D = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }，E = { <v1, v2>,
<v1, v3>, <v2, v2>, <v3, v4>, <v4, v2>, <v4, v2> }
e2 e v4 e e
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离散数学
一、基本图类与相关概念（续）
2、有向图
有向图：有向图D是一个二元组<V, E>，其中 (1) V是一个非空集合，称为顶点集V(D)； (2) E是笛卡尔积V V的多重子集，称为边集 E(D)，E中元素称为有向边，也简称边。
一、基本图类与相关概念（续）
实际上，图是画出来的。画法：用小圆圈表示V中
顶点，若(a, b)E，则在顶点a与b之间连线段。
如：G = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }， E ={ (v1, v2), (v1, v4), (v2, v1), (v2, v3), (v2, v3), (v3, v4) }
离散数学 第7章 图论
v2 v3
v4
v3
(b) 图G
v3 (c) 图G’
(a) 完全图K5
图G是图G’ 相对于图K5的补图。 图G’不是图G 相对于图K5的补图。（图G’中有结点v5 ）
例：276页图7-1.7 图(c)是图(b)相对于图(a)的补图。 图(b)不是图(c)相对于图(a)的补图。
25
7-1
图的同构
图的基本概念
8
7-1
图的基本概念
1.无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 2.有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。 3.混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称 为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’
v1 v2
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v4 v3 ( c ) 混合图
17
7-1
图的基本概念
三、特殊的图
定义4 含有平行边的图称为多重图。 不含平行边和环的图称为简单图。
定义5 简单图G=<V，E>中，若每一对结点间均有边 相连，则称该图为完全图。
无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
有n个结点的无向完全图记为Kn。
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7-1
图的基本概念
推论 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj 到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk 必存在一条边数小于n的通路。
32
7-2
路与回路
定理7-2.1的证明 如果从结点vj到vk存在一条路，该路上的结点序列 是vj…vi…vk，如果在这条中有l条边，则序列中必有 l+1个结点，若l>n-1，则必有结点vs，它在序列中不止 出现一次，即必有结点序列vj…vs…vs…vk，在路中去 掉从vs到vs的这些边，仍是vj到vk的一条路，但此路比 原来的路边数要少，如此重复进行下去，必可得到一 条从vj到vk的不多于n-1条边的路。
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无向图的相邻矩阵
说明: 在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度
为2的圈. 无向简单图中, 所有圈的长度3 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成 长度为2的圈. 在有向简单图中, 所有圈的长度2.
《离散数学》图基本概念
4
通路与回路(续)
定理
在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从 vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
m m
j1 ij
d(vi )
(i 1,2,..., n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平行边的列相同
《离散数学》图基本概念
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v1 e1
e2
e3
e4 v2
v3
e5
v4
关联次数为可能取值为0，1，2
1 1 1 0 0
M (G ) 0
1
1
1
0
1 0 0 1 2
0
0
0
0
0
《离散数学》图基本概念
《离散数学》图基本概念
10
几点说明： Kn无点割集（完全图） n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2 若G连通，V为点割集，则p(GV)2
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《离散数学》图基本概念
11
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性 D弱连通(也称连通): 基图为无向连通图 有向边改为无向边后是连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
d(u,v)=d(v,u)（对称性） d(u,v)+d(v,w)d(u,w) （三角不等式)
《离散数学》图基本概念
7
点割集（v－点；V’－点集；e－边；E’－变集）
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV: 从G中删除V中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
通分支,
连通分支个数记作p(G)=k.
G是连通图 p(G)=1
《离散数学》图基本概念
6
短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路
u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞. 性质：
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
推论
在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从 vi到vj存在长度小于等于n1的初级通路.
定理
在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则一定存在 vi到自身长度小于等于n的回路.
推论
在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回路，则一定 存在长度小于等于n的初级回路.
《离散数学》图基本概念
《离散数学》图基本概念
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无向图的关联矩阵
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G 的关联矩阵，记为M(G).
性质
(1)
m n
i1 ij
2
( j 1,2,..., m)
(2)
定义
设 无 向 图 G=<V,E>, 如 果 存 在 顶 点 子 集 VV, 使 p(GV)>p(G)，而且删除V的任何真子集V后（ VV）， p(GV)=p(G), 则称V为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v 为割点.
理解：删除点后连通分支数可能增加，会减少吗？
《离散数学》图基本概念
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若i(1il), vi1 和 vi是ei的端点(对于有向图, 要求vi1是
始点, vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通 路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
理解：通路或回路是点与边的交替序列，边的端点 恰好是前后的两个点
长度＝边数
《离散数学》图基本概念
点割集(续)
例 {v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点. {v2,v5}是点割集吗？
《离散数学》图基本概念
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边割集
定义 设无向图G=<V,E>, EE, 若p(GE)>p(G)且EE, p(GE)=p(G), 则称E为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥. 下图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥， {e7,e9,e5,e6}是边割集吗？
强连通单向连通弱连通
《离散数学》图基本概念
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有向图的连通性(续)
例 下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通
(1)
每个顶点有进有出
(2)
(3)
部分顶点有进有出
《离散数学》图基本概念
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有向图的短程线与距离
u到v的短程线:
u到v长度最短的通路 (u可达v)
u与v之间的距离d<u,v>:
2
若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称 为初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路 又称作圈.
路上各点不重复
若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路).
路上各边不重复
《离散数学》图基本概念
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通路与回路(续)
7.2 通路、回路与图的连通性
▪ (回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 ▪ 无向连通图, ▪ 弱连通图, 单向连通图, ▪ 点割集与割点 ▪ 边割集与割边(桥)
《离散数学》图基本概念
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通路与回路
定义 给定图G=<V,E>（无向或有向的），设G中顶点与边的交
替序列=v0e1v1e2…elvl：
u到v的短程线的长度
若u不可达v, 规定d<u,v>=∞.
性质：
d<u,v>0, 且d<u,v>=0 u=v
d<u,v>+d<v,w> d<u,w>
注意: 没有对称性
《离散数学》图基本概念
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7.3 图的矩阵表示
▪ 无向图的关联矩阵 ▪ 有向图的关联矩阵 ▪ 有向图的邻接矩阵 ▪ 有向图的可达矩阵
5
无向图的连通性
设无向图G=<V,E>,
u与v连通: u与v之间有通路.
规定u与自身总连通.
连通关系：R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关
系
连通图: 平凡图, 或者任意两点都连通的图
连通分支: V关于R的等价类的导出子图设
V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的连