奥数 二年级 讲义 第07讲 枚举法 教师版

第七讲 枚举法初步

新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28元8角。

小昊发现，可以有多种付钱方法：

（1）2张10元，1张5元，3张1元，1张5角，3张1角；

（2）1张10元，3张5元，3张1元，1张5角，1张2角，1张1角；

（3）1张20元，4张2元，8张1角；

（4）3张10元，收30元找回1元2角；

等等。

一般的，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便把问题分成不遗漏不重复的优先种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题解决问题的方法，称之为枚举法。

注意：运用枚举法解决问题时，必须注意无重复，无遗漏。为此必须要求有次序有规律的进行枚举。

把一个整数表示成若干个小于它的自然数值和，叫做整数的拆分。整数4有多少种不同的拆分方法？

分拆时，将自然数按从达到小的顺序出现，一共有4种不同的分拆方法：4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1。

用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物品当砝码），当砝码只能放在同一个盘内时，可以称出的重量有多少种？

共有三个重量不同的砝码，可以取出其中的一个，两个，三个来称量。

一一来列举这三种情况。

取一个砝码可称：1克、3克、9克。有3种。

取两个砝码可称：1+3=4（克）、1+9=10（克）、3+9=12

（克），3种。

取三个砝码可称：1+3+9=13（克），有1种。

注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，所以可以称出： 3+3+1=7（种） 挑战例题

例1

例2

分析解答

分析解答

课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。第一次报数后，单号全部站出来，然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一人站出来一个人，到第几次这些人全部站出来？最后站出的人应该是第几号？

根据题目的特点，先用排列法把题中的条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。

排好队的人依次是1，2，3，4，5，．．．．．．28，29，30

次数

出队号码 第一次

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29 第二次

2，6，10，14，18，22，16，30 第三次

4，12，20，28 第四次

8，24 第五次

16

从上面的列表中我们毫无遗漏的排列，得出到第五次这些人全部站出来，最后在个人是16号。

用1、2、3这三个数一共可以组成多少个不同的三位数？分别为哪几个？

根据百位上的数字不同，我们可以将它们分成三类

第一类：百位上数字为1，有123、132

第二类；百位上数字为2，有213、231

第三类：百位上数字为3，有312、321 可以组成123、132、213、231、312、321共6个不同数字

如图所示，数字1处有一颗棋子，现移动这颗棋子到数字5处。规定每次只能移动

到邻近一格，且总是向右移动，例如1→2→4→5就是一条路线。问有多少种不同的移动路线？

从1要移到5，从结果想，要移到5只有从4、3向右移动一格到邻近

一格5，即5←4或5←3；要移到4，只有从3、2向右移动一格到邻近

2 4

1 3 5

例3 例4 例5 分析解答

分析解答 分析解答

的4，即：4←3或4←2；．．．．．．用树形图填写如下

数一数，图中1的个数就是移动的路线数。故共有5条不同的路线。

邮局门前共有5级台阶，规定一步只能登上一级或两级，那么上这个台阶一共有多

少种不同的上法？

用数组表示不同的上法。 （1） （1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有一种上法；

（2） （2，1，1，1）（1，2，1，1），（1，1，2，1，），（1，1，1，2），表示有一步上

两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有4种上法；

（3） （2，2，1），（1，2，2），（2，1，2），表示有两步各上两个台阶，有一步上一

个台阶，这种上法共有3种。

因此，上台阶一共有1+4+3=8种不同上法。

商店出售饼干，现存10箱5公斤重的，4箱2公斤重的，8箱一公斤重的。顾客要买

九公斤重的饼干，为了便于携带又不开箱，售货员有多少种发货办法？

解：9=5+2+2=5+2+1+1=5+1+1+1+1=2+2+2+2+1=2+2+2+1+1+1=2+2+1+1+1+1+1

=2+1+1+1+1+1+1+1

一共有7种。

1

1 2

1

2

3

4

1

2 1

3

5

课后展示

例6 分析解答

1

小云带了1张5元、

4张2元的纸币和8枚1元的硬币，现在他要买一本8元的小说，问他有多少种付钱方式？

解：8=5+2+1=5+1+1+1=2+2+2+2=2+2+2+1+1=2+2+1+1+1+1=2+1+1+1+1+1+1

=1+1+1+1+1+1+1+1

一共7种。

把三个苹果放在两个同样的抽屉里，有多少种不同的方法？

解：可以放（2，1）或者（3，0）个，由于两个抽屉一样，（2，1）和（1，2）一样，所以只有2种。

用0、1、2这三个数，分别能组成多少个不同的三位数？其中最小的三位数和最大的

三位数分别是多少？

解：列出所有这样的三位数，因为0不能在首位，所以共有102，120，201，210，一共4

个，其中最大的是210，最小的是102。

一个盒子中装有七枚硬币，两枚1分，两枚5分，两枚1角，一枚5角，每次取出两

枚，记下它们的和，然后放回盒中，如此反复取出和放回，那么记下的和最多有多少种不同的钱数？

解：列出所有的情况，和可以是 1分+1分=2分；1分+5分=6分；5分+5分=1角；1分+1

角=1角1分；5分+1角=1角5分；1角+1角=2角；1分+5角=5角1分；5分+5角=5角5分；1角+5角=6角。一共9种。

三个数的和是7，如果不计次序，有几种可能？

解：不计次序的话，将7拆分开，7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3一共4种。

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