2020-2021常州市河海中学高三数学上期末一模试题(及答案)
江苏省常州市2020届高三上学期期末考试数学试题Word版含答案
高三数学Ⅰ试题参照公式：圆锥的体积公式：V圆锥 = 1Sh ，此中S是圆锥的底面积，h是高. 3样本数据 x1， x2，， x n的方差 s21n( x i x) 2，此中 x 1 n x i. n i 1n i 1一、选择题：本大题共14 个小题 , 每题 5 分, 共 70 分.请把答案填写在答题卡．．．相应地点上 .．．．．．1.若会合 A{ 2,0,1} ，B{ x x21} ，则会合AI B▲ .2 命题“x[0,1] ，x210 ”是▲命题（选填“真”或“假” ）.3.若复数 z 知足 z 2i z 21 （此中i为虚数单位），则z▲ .4.若一组样本数据 2015 ， 2017 ，x， 2018 ， 2016 的均匀数为 2017，则该组样本数据的方差为5. 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是▲.1D ，随机地扔掷一枚质地均匀的正方体骰子6. 函数f ( x)的定义域记作会合（骰子的每ln x个面上分别标有点数1，2，， 6），记骰子向上的点数为 t ，则事件“t D”的概率为▲ .7. 已知圆锥的高为 6 ，体积为 8 ，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，获得的圆台体积是7 ，则该圆台的高为▲.8. 各项均为正数的等比数列a n中，若a2a3a4a2a3a4，则 a3的最小值为▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线l： x y10 与双曲线C：x2y21(a0,b 0) a2b2的两条渐近线都订交且交点都在y 轴左边，则双曲线 C 的离心率e的取值范围是▲ .x y0,10.已知实数 x ， y 知足2x y20, 则 x y 的取值范围是▲ .x2y40,11.已知函数 f ( x)bx ln x ，此中b R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y f (x) 相切，则 k b 的值为▲ .12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数 y sin(x) (0,0) 的图像与 x 轴的交点 A， B，C知足OA OC2OB ，则▲ .13.在ABC 中， AB5， AC7，BC 3，P为ABC 内一点（含界限），若知足uuur1uuur uuur uuur uuurBP BA BC (R) ，则BA BP的取值范围为▲．414.已知ABC 中，AB AC 3 ，ABC所在平面内存在点P 使得PB2PC 23PA2 3 ，则ABC 面积的最大值为▲．二、解答题：本大题共 6 小题，合计90 分 . 请在答题卡指定地区内作答，解答应．．．．．．．写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）15. 已知ABC 中，a ，b， c 分别为三个内角 A ，B ，C的对边，3bsin C c cos B+c，（ 1）求角 B ；（ 2）若b2ac ，求1tan A1tan C的值 .16. 如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC平面ABCD ，PB PD，点Q是棱PC 上异于P、C的一点.（ 1）求证：BD AC ；（ 2）过点Q和的AD平面截四棱锥获得截面ADQF （点 F 在棱 PB 上），求证： QF / / BC .17. 已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米， AB ，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点 A ，O.点光源从 M 发出，小明在地上的影子记作AB ' .（ 1）小明沿着圆心为O ，半径为 3 米的圆周在地面上走一圈，求AB ' 扫过的图形面积；（ 2）若OA 3米，小明从A出发，以1米 / 秒的速度沿线段AA1走到 A1， OAA1，且3AA1 10 米. t 秒时，小明在地面上的影子长度记为 f (t) （单位:米），求 f (t) 的表达式与最小值 .18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：x2y21(a b 0) 的右焦点为F，点A a2b2是椭圆的左极点，过原点的直线MN 与椭圆交于M， N 两点（M在第三象限），与椭圆的右准线交于 P 点.已知AMuuur uuuur4 b2. MN ，且OA OM3（ 1）求椭圆 C 的离心率 e ； （ 2）若 S AMN S POE10a ，求椭圆 C 的标准方程 .319. 已知各项均为正数的无量数列{ a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a 1 a （此中 a 为常数），nS n 1 (n 1)S nn(n 1) (n N *) . 数列 { b n } 知足 b na n 2a n 21(n N * ) .a nan 1（ 1）证明数列 { a n } 是等差数列，并求出 { a n } 的通项公式；（ 2）若无量等比数列 { c}知足：对随意的nN *，数列 { b } 中总存在两个不一样的项b ，nnsb * ) 使得 bs c n b ，求 { c } 的公比 q .t (s, t Ntn20. 已知函数f ( x) ln x 2 ，此中 a 为常数 .( xa)（ 1）若 a 0 ，求函数 f ( x) 的极值；2 f ( x) 在 (0, a) 上单一递加，务实数 a的取值范围；（ ）若函数（ ）若a1 ，设函数 f ( x) 在 (0,1) 上的极值点为x 0 ，求证： f ( x 0 ) 2 .3常州市教育学会学业水平监测数学Ⅱ（附带题）21. 【选做题】在 A 、B 、C 、 D 四小题只好选做两题 ，每题 10 分，合计 20 分. 请．．．．．． 在答题卡指定地区 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．.A. 选修4-1 ：几何证明选讲在ABC 中，N 是边AC 上一点，且CN2AN ，AB与NBC 的外接圆相切，求BC的BN值 .B. 选修 4-2 ：矩阵与变换4 2 已知矩阵 A不存在逆矩阵，求：a 1（ 1）实数 a 的值；（ 2）矩阵 A 的特点向量 . C. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，成立极坐标系 .曲线C 的x 2cos1为参数），直线 l 的极坐标方程为sin() 2 ，直线 l参数方程为2sin（y4与曲线 C 交于 M ， N 两点，求 MN 的长. D. 选修 4-5 ：不等式选讲已知 a 0 ， b0 ，求证 :a 3b 3ab.a 2b 2【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分. 请在答题卡指定地区 内作．．．．．．．答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .22. 已知正四棱锥 P ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8 条棱中任取两条，按以下方式定义随机变量的值：若这两条棱所在的直线订交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ；若这两条棱所在的直线平行，则0；若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小( 弧度制 ).（ 1）求 P( 0) 的值；（ 2）求随机变量的散布列及数学希望E( ).23. 记(x 1) ( x11（n 2且*）的睁开式中含x 项的系数为 S n，含x2)(x)n N2n项的系数为 T n.（ 1）求S n；（ 2）若Tnan2bn c ，对 n2,3,4 成立，务实数 a, b, c 的值；S n（ 3）对（ 2）中的实数a,b,c用数字概括法证明：对随意n 2 且n N *，T n an2bn cS n都成立 .常州市教育学会学业水平监测高三数学参照答案一、填空题1.{2}2.真3.14.25.76.5 67.38.39.(1,2)10.[2,8]11.112.3 e413.52514.523 [,]16 84二、解答题15. 解：（ 1）3bsin C cos B c 由正弦定理得 3 sin B sin C cos B sin C sin C ，ABC 中，sin C 0 ，所以 3 sin B cos B 1s，所以sin( B)1B5，6，6266B6，所以 B；63（ 2）由于b2ac ，由正弦定理得 sin 2 B sin Asin C ，11cos A cosC cos Asin C sin A cosC sin( A C )sin(B)tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin Asin C sin Asin C sin Bsin Asin C11sin B1123所以，tan A tanC sin2 B sin B33.216. （ 1）证明：PC平面ABCD，BD平面 ABCD ，所以 BD PC，记 AC，BD交于点 O ，平行四边形对角线相互均分，则O 为BD的中点，又PBD 中， PB PD ，所以 BD OP ，又PCI OP P，PC， OP平面 PAC ，所以BD平面 PAC ，又 AC平面 PAC 所以 BD AC ；（ 2）四边形ABCD是平行四边形，所以AD / / BC，又AD平面 PBC ，BC平面 PBC ，所以 AD//平面 PBC ，又 AD 平面 ADQF ，平面 ADQF I平面 PBCQF ，所以 AD / /QF ，又 AD / /BC ，所以 QF //BC .17. 解：（ 1）由题意 AB / / OM ，则AB 'AB 1.8 1 ， OA 3 ，所以 OB' 6 ，OB 'OM 3.62小明在地面上的身影 AB ' 扫过的图形是圆环，其面积为6232 27 （平方米）； （ 2）经过 t 秒，小明走到了 A 0 处，身影为 A 0 B 0 ' ，由 (1)A 0B 0 'AB 1知OB 0OM，所以2f (t )A 0B 0 ' OA 0OA 2 AA 02 2OA AA 0 cos OAA 0 .3 2 273化简得f (t)t23t 9 ， 0 t 10 ， f (t )t，当 t 时， f (t) 的最小224值为33 .2答： f (t)t23t 9 ， 0t 10 ，当 t3 f (t ) 的最小值为3 3（米） .（秒）时，22x 2 y 2 1c 218. 解：（ 1）由题意a 2b 2，消去 y 得 2 ax b 20 ，解得 x 1a ，aa a 2 x( x 2 y 2) 2)(22ab 2x 2c 2所以x Mab 2( a,0)uuur uuuurx M x Aab 2 a 4 2 c 2 33 ； c 2， OAOMc 2 b ， a 2 ，所以 e342（2）由（ 1） M (2b, 22b) ，右准线方程为 x4 3b ，333直线 MN 的方程为 y2x ，所以 P(43 3 b,4 6b) ，3SPOF1OF y P3 b4 6 b 2 2b 222 3SAMN 2SAOM OA y M2b22b42b2，33所以22b242 b210 a， 10 2 b220b ，所以b 2 ， a 2 2 3333椭圆 C 的标准方程为x2y21.8219. 解：（ 1）方法一：由于nS n 1(n1)S n n( n1)①，所以 ( n1)S n 2(n2) S n 1(n1)(n2)②，由② - ①得，( n+1)S n2nS n1( n2) S n 1(n1)S n 2(n 1) ，即 (n 1)S n 2(2 n2) S n 1( n 1)S n2( n 1) ，又n 10 ，则 S n 22S n 1S n 2 ，即 a n 2an 1 2 .在 nS n 1(n 1)S n n(n 1) 中令n 1 得，a1a22a1 2 ，即 a2a1 2 .综上，对随意n N*，都有 a n 1a n 2 ，故数列{a n}是以 2 为公差的等差数列.又 a1 a ，则 a n2n 2 a .方法二：由于 nS n1(n1)S n n(n1)，所以Sn 1S n1，又 S1a1 a ，n1nS n则数列是以 a 为首项，1为公差的等差数列，n所以Sn n1 a ，即 S n n2(a1)n .n当 n2时， a n SnSn 12n2 a ，又 a1 a 也切合上式，故 a n2n 2 a(n N * ) .故对随意n N*，都有 a an2，即数列 { a}是以2为公差的等差数列 .n 1n（ 2）令e n a n112，则数列 { e n} 是递减数列，所以 1 e n2 a n 2 a1.2n a观察函数 y x 1( x1) ，由于 y '11x210，所以 y x1(1,) 上递加，x x2x2在x所以 2e n 124，进而 b n e n14.e n a(a2)e n2, 2a(a2)由于对随意n N*，总存在数列 { b n } 中的两个不一样项b s， b t，使得 b s c n b t，所以对随意的n N*都有 c n2,24，显然 q0.2)a(a若 q1，当 n 1log q12时，a(a2)有 c n c1q n 12q n1242)，不切合题意，舍去；a(a若 0q1，当n1logqa22a时，a22a 2有 c n c1q n 124q n 1 2 ，不切合题意，舍去；a( a2)故 q 1 .20. 解：（ 1）当a0 时，f (x)ln x) ，x，定义域为(0,12ln xf '( x)0 ，得 x e .x3，令f '( x)x(0,e)e( e,)f (x)0f'(x)Z1]极大值2e当 x e 时， f (x) 的极大值为1，无极小值 . 2e（ 2）1a2ln x，由题意 f '(x)0 对 x(0, a) 恒成立. f'(x)xa)3( xQ x(0, a) ，( x a)30，a 2ln x0 对 x(0, a) 恒成立，1xa 2x ln x x 对 x(0, a) 恒成立 .令 g(x) 2x ln xx ， x(0, a) ，则 g '(x)2ln x 1，11①若a e 2 ，即 0ae 2 ，则 g '( x)2ln x 1 0 对 x(0, a) 恒成立，g( x) 2x ln xx 在 (0, a) 上单一递减，则 a②若当12( a)ln( a) (a) ， 0ln( a) ，a1 与1ae 2 矛盾，舍去；1 11ae 2，即 ae 2 ，令 g '( x)2ln x 10 ，得 xe 2 ，1xe2时， g '(x) 2ln x1 0 ，g( x) 2xln xx单一递减，当 e2x a 时，g '( x)2ln x 10 ， g( x)2x lnx x单一递加，111111g (e 2 )2e 2 ln( e 2 ) e 22e 2当xe 2时，[ g( x)]min，11a2e 2 . 综上 a2e 2 .（ 3）当 a1时， f (x)ln xx 1 2x ln x( x2 ， f '( x) x( x3，1)1)令 h(x)x 1 2x ln x ， x(0,1) ，则 h '( x)1 2(ln x1)2ln x 1 ，令 h '(x) 0 ，得1x e 2，1 1 时， h '( x) 1①当 e 2x 0 ， h( x) x 1 2x ln x 单一递减， h( x) (0, 2e 2 1] ，f '( x)x 1 2x ln x 0 恒成立， f ( x) ln x 13 2 单一递减，且f ( x) f (e 2) .x( x 1) ( x 1)1②当 0x e 2 时， h '( x)0 ， h( x)x1 2 x ln x 单一递加，11111h(e 2 )e 2 12e 2 ln(e 2 ) 2e 2 1 0又22225 10 ，h(e ) e1 2eln( e )e21存在独一 x 0(0, e 2)，使得h( x0 )0 ， f '(x 0 ) 0 ，当 0xx 0 时， f '( x 0 )0 ，f (x)ln x单一递加，( x 1)21f '( x 0 ) 0f (x) ln x2 单一递减，且1当x 0 x e 2 时，，(xf (x) f (e 2)，1)由①和②可知， f (x)ln x2 在 (0, x 0 ) 单一递加，在 ( x 0 ,1) 上单一递减，(x 1)当 xx 0 时， f (x)ln x取极大值 .(x1) 2Q h(x 0 ) x 0 1 2x 0 ln x 00 ， ln x 0x 0 1 ，2x 0f (x 0 ) ln x 01 12x 0 ( x 0 1) 11 ，22( x 0 2( x 0 1)) 22又x 0 (0, 2e2 )，2( x 0 1)2 1 ( 1 ,0) ， f ( x 0 )112 .12222( x 0)22常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附带题）参照答案. 解：记 NBC 外接圆为 O ， AB 、 AC 分别是圆 O 的切线和割线，所以 AB 2AN AC ，又 AA ，所以ABN 与 ACB 相像，所以BCABAC，所以BNAN AB2AB AC ACBCBC，BNANAB3 3 .ANBN4 2 B. 解：（1）由题意0，即 4 2a 0 ，解得 a 2 ；a 1（ 2）42 0 ，即 (4)(1) 4 0 ，所以 250 ，解得 1 0，25214x 2y0 2x ，属于0 的一个特点向量为110 时，y， y1 ；2x 02x2 y 0 ， x 2 y ，属于0 的一个特点向量为225 时，2x 4 y1.1C. 解：曲线 C ： ( x1)2 y 2 4 ，直线 l ： x y2 0 ，圆心 C (1,0) 到直线 l 的距离为d1 02 2MN 2 r 2d 22 4114 .12122，所以弦长2D. 证明： a0 ， b 0 ，不如设 a b 0 ，则5 5 ，11，由排序不等式得a 2b 2 a 2 b 25 15 1 515 1a 2 a 2b 2b 2 a 2 b 2b 2 a 2 ，5 1 515151所以 a 2 a 2b 2 b 2 a 2 b 2 b 2 a 2ab .a2b 2a 2b 222. 解：依据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，简单获得PAC ，PBD 为等腰直角三角形，的可能取值为：0 ， ，2 ，共 C 8228 种状况，此中：3时，有 2 种；3 时，有 34 24 20 种；时，有 24 6种；2 （1） P( 0)2128；14（2） P( ) 4 16 5)63 ，28， P(2 283714依据（ 1）的结论，随机变量的散布列以下表：32P15314714依据上表， E() 015329 .37 214 84141 2nn123. 解：（ 1） S2.nn!(n 1)!（2）T 22，T211，T47 ，S 2 3 S 3 6S 4234a 2b c2则119a 3b c解得 a1， b1， c1 ，64126716a 9b c2（ 3）①当 n 2 时，由（ 2）知等式成立；②假定 nk （ k N * ，且 k 2 ）时，等式成立，即 T k1 k2 1 k 1 ；S k412 6当 n k1 时，由 f ( x) ( x1 ( x1 1 )1) ( x )) ( xk2k1[( x 1) (x1 ) (x1)] (x1 )2kk 1(1S k x T k x 2)( x1) k!k 1知 T k 1 S k11Tkkk 1 Tk 1( k 2 [1 1)!所以Sk 1k 1 1 1 1 12 [1 k 2)] ，( kk (12k1)! 1 4 61 ( 1k 21 k 1)]2k 1 4 12 6k(3k 5) ，k (k 1 3k k 2)k 1 1k212122 k !又1(k 1)21 (k 1)1k(3k 5) ，等式也成立；412612综上可得，对随意n2 且 n N * ，都有 T nan 2 bn c 成立 .S n。
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常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ,2x ,… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2． 若1i1i im n +=+(m n ∈R ，，i 为虚数单位）,则mn 的值为 ▲ ． 3． 已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=,则a 的值为 ▲ ．4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5． 某市连续5天测得空气中PM2。
5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．6． 函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8． 已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9． 若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a 的值为▲ ．10．给出下列命题：（1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,等比数列{}n a 中,11a =，343a ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则的值为 ▲ ．12．已知函数f （x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 13．在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c -=，则c = ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+,则PQ 的最小值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分）在△ABC 中，角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ,c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =． （1）若m n ∥,c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅=,4cos 5A =，求cos C 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ; (3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2)若p ，q 为互不相等的正整数,且等差数列{}n b 满足pa b p =，qa b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．FBCE A1A 1B 1C （第16题）江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题Word 版含答案(word 版可编辑修改)18．（本小题满分16分）圆在平面直角坐标系xOy 中，椭线为直线l ，动E :22221(0)x y a b ab+=>>的右准椭圆于A ，B 两直线y kx m =+(00)k m <>，交点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率)，且OQ =．(1）求椭圆E 的标准方程;（2)如果OP 是OM ，OQ 的等比中项,那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元,该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件)与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++;②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2)求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ．（第18题）(1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间;（3)当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图,等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ． 求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点(1,1)，求实数a 的值．C ．选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知点3,)6P ，直线:cos()224l +=，求点P 到直线l 的距离．D ．选修4-5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中,已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ,PB 的中点，PO ⊥AB ,连结CD ．(1)若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2)若二面角A －PB－C ，求PA ．23．（本小题满分10分)设集合A ,B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集,且B 也不是A 的子集．ABCDOP（第22题）（1)若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对（A ,B ）的个数;(2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ，B )的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分 1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31。
2020届江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题word版含解析
2020届江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题一、填空题1．已知集合A ={0,1},B ={−1,1}，则A ∩B =________.2．已知复数z 满足z(1+i)=1−i （i 是虚数单位），则复数z =________.3．已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,x,9.2,9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x =________.4．一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________.5．函数1ln y x =-的定义域为______．6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.7．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，直线x +y +2=0经过双C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________.8．已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________.9．已知正数x,y 满足x +yx=1，则1x+xy的最小值为________.10．若直线kx −y −k =0与曲线y =e x （e 是自然对数的底数）相切，则实数k =________. 11．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数，点(1,0)是函数y =f(x)图象的对称中心，则ω最小值为________.12．平面内不共线的三点O,A,B ，满足|OA⃑⃑⃑⃑⃑ |=1,|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于D ，若|OC⃑⃑⃑⃑⃑ |=√32，则|OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=________.13．过原点的直线l与圆x2+y2=1交于P,Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为________.14．数列{a n},{b n}满足b n=a n+1+(−1)n a n(n∈N∗)，且数列{b n}的前n项和为n2，已知数列{a n−n}的前2018项和为1，那么数列{a n}的首项a1=________.二、解答题15．如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，点M,N分别是棱AB,CC1的中点.求证：（1）CM//平面AB1N；（2）平面A1BN⊥平面AA1B1B.16．已知ΔABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且b2−2√33bcsinA+c2=a2.（1）求角A；（2）若tanBtanC=3，且a=2，求ΔABC的周长.17．已知，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1:x2a2+y2b2=1的焦点在椭圆C2:y2a2+x2b2=1上，其中a>b>0，且点(√63,√63)是椭圆C1,C2位于第一象限的交点.（1）求椭圆C1,C2的标准方程；（2）过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A,B ，已知PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =35PB⃑⃑⃑⃑⃑ ，求直线l 的斜率.18．某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH ），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴AF =BE =1.6米，两根竖轴CH =DG =1.2米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为l 米.（1）若∠ABC =2π3，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH 的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 的长度.19．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1+3a n +4=0,n ∈N ∗. （1）求证：{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.20．已知函数m(x)=x 2，函数n(x)=alnx +1(a ∈R). （1）若a =2，求曲线y =n(x)在点(1,n(1))处的切线方程；（2）若函数f(x)=m(x)−n(x)有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（3）若函数g(x)=n(x)−1+e x −ex ≥0对x ∈[1,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围.(e 是自然对数的底数，e ≈2.71828⋯)21．已知点(1,2)在矩阵A =[1x2y]对应的变换作用下得到的点(7,6)，求： （1）矩阵A ；（2）矩阵A 的特征值及对应的特征向量.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =12t（为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长.23．已知a>0,b>0，求证：a+b+1≥√ab+√a+√b.24．如图，在空间直角坐标系O−xyz中，已知正四棱锥P−ABCD的高OP=2，点B,D和C,A 分别在x轴和y轴上，且AB=√2，点M是棱PC的中点.（1）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角A−PB−C的余弦值.(an2+ 25．是否存在实数a,b,c，使得等式1⋅3⋅5+2⋅4⋅6+⋯+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4bn+c)对于一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由.2020届江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题参考答案一、填空题1．已知集合A={0,1},B={−1,1}，则A∩B=________.【答案】{1}【解析】两个集合取交集可直接得到答案.【详解】集合A={0,1},B={−1,1}，则A∩B={1}故答案为：{1}【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．已知复数z满足z(1+i)=1−i（i是虚数单位），则复数z=________.【答案】−i【解析】利用复数的商的运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可得到答案. 【详解】z=1−i1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−2i2=-i故答案为：-i【点睛】本题考查复数的商的运算，属于简单题.3．已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,x,9.2,9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x=________.【答案】9.5【解析】根据平均数的定义列方程求出x的值．【详解】数据9.1，9.3，x，9.2，9.4的平均数为15×（9.1+9.3+x+9.2+9.4）＝9.3，解得x＝9.5．故答案为：9.5．【点睛】本题考查平均数的定义与计算，是基础题．4．一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y值为1，则输入的实数x的值为________.【答案】3【解析】执行该算法后输出y＝{x2−2x−2,x≥1x+1x−1,x<1，令y＝1求出对应x值即可．【详解】执行如图所示的算法知，该算法输出y＝{x2−2x−2,x≥1 x+1x−1,x<1当x≥1时，令y＝x2﹣2x﹣2＝1，解得x＝3或x＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜1时，令y＝x+1x−1＝1，此方程无解；综上，则输入的实数x的值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查算法与应用问题，考查分段函数的应用问题，是基础题．5．函数y=______．【答案】(]0,e【解析】分析：利用真数大于零与被开方式大于等于零布列不等式组，解出范围即可.详解：函数()f x=的定义域为：0{ 10x lnx -≥＞, 解得0＜x ≤e ． 故答案为： (]0,e ．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________. 【答案】35【解析】先求出基本事件总数n 和该同学恰好选中1文1理包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式求解即可. 【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，基本事件总数n ＝C 52＝10， 该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m ＝C 31C 21＝6．∴该同学恰好选中1文1理的概率p ＝m n =610＝35． 故答案为：35． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，直线x +y +2=0经过双C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________. 【答案】y =±√3x【解析】利用双曲线的离心率以及焦距，列出方程，求解渐近线方程即可． 【详解】双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的离心率为2，ca =2， 直线x +y +2＝0经过双曲线C 的焦点，可得c ＝2，所以a ＝1， 由b 2=c 2−a 2=3,则b ＝√3， 又双曲线的焦点在x 轴上，所以双曲线C 的渐近线方程为：y =±√3x ． 故答案为：y =±√3x ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.8．已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________.【答案】38【解析】设出圆锥的底面半径和高，分别求出圆柱和圆锥的体积，计算出比值． 【详解】设圆锥SO 的底面半径为r ，高为h ，则圆柱PO 的底面半径是r 2，高为ℎ2， ∴V SO ＝13πr 2h ，V PO ＝π（r 2）2•ℎ2=πr 2ℎ8，∴V SOVPO=πr 2ℎ813πr 2ℎ=38．故答案为：38． 【点睛】本题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．已知正数x,y满足x+yx =1，则1x+xy的最小值为________.【答案】4【解析】将代数式x+yx 与1x+xy相乘，利用基本不等式可求出最小值．【详解】由基本不等式可得(x+yx )(1x+xy)=x2y+yx2+2≥2√x2y∙yx2+2=4，所以，1x +xy≥4当且仅当x=yx，即当y＝x2时，等号成立，因此，1x +xy的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，同时考查计算能力，属于基础题．10．若直线kx−y−k=0与曲线y=e x（e是自然对数的底数）相切，则实数k=________.【答案】e2【解析】根据题意，设切点为（m，e m），求y＝e x的导数，由导数几何意义可得k，即得切线方程，结合切线kx﹣y﹣k＝0可得m，从而得到k．【详解】根据题意，若直线kx﹣y﹣k＝0与曲线y＝e x相切，设切点为（m，e m）曲线y＝e x，其导数y′＝e x，则切线的斜率k＝y′|x＝m＝e m，则切线的方程为y﹣e m＝e m（x﹣m），又由k＝e m，则切线的方程为y﹣k＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣mk+k＝0，又由切线为kx﹣y﹣k＝0，则有﹣m+1＝﹣1，解可得m＝2，则k＝e m＝e2，故答案为：e2．【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．11．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数，点(1,0)是函数y =f(x)图象的对称中心，则ω最小值为________. 【答案】π2【解析】由函数是偶函数得到φ的可能取值，再由函数过点（1，0）得出ω+φ的可能取值，从而得出ω的表达式，再对参数赋值即可得出所求最小值 【详解】∵函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）是偶函数， ∴φ＝k 1π+π2,k 1∈Z ,∵点（1，0）是函数y ＝f （x ）图象的对称中心 ∴sin （ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k 2π，k 2∈Z ， ∴ω＝k 2π﹣φ＝（k 2﹣k 1）π﹣π2．又ω＞0，所以当k 2﹣k 1＝1时，ω的最小值为π2． 故答案为：π2． 【点睛】本题考查正弦类函数的奇偶性与对称性，解答的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，能根据三角函数的图象与性质得出参数φ与ω的可能取值，再通过赋值的手段得出参数的最值 12．平面内不共线的三点O,A,B ，满足|OA⃑⃑⃑⃑⃑ |=1,|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于D ，若|OC⃑⃑⃑⃑⃑ |=√32，则|OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=________. 【答案】23【解析】点C 为线段AB 的中点可得OC⃑⃑⃑⃑⃑ =12(OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )，通过计算OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2，即得∠AOB ，由正弦定理可得：OBsinA =AB sin ∠AOB，OD sinA =AD sin ∠AOD，即可求解．【详解】如图，∵点C 为线段AB 的中点，∴OC⃑⃑⃑⃑⃑ =12(OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )， OC⃑⃑⃑⃑⃑ 2=14(OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ∙OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=14(1+4+2×1×2×cos ∠AOB) 解得cos ∠AOB ＝﹣12，∴∠AOB ＝120°．由余弦定理可得AB 2＝OA 2+OB 2﹣2OA •OB cos120°＝7,AB=√7由正弦定理可得：OBsinA =AB sin ∠AOB⇒sin A ＝√3√7．由正弦定理可得：OD sinA =AD sin ∠AOD，∵AD =AB 3=√73，∠AOD ＝60°． ∴|OD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=23． 故答案为：23． 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．13．过原点的直线l 与圆x 2+y 2=1交于P,Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________. 【答案】y =±√3x【解析】根据题意推得k l +k AP ＝0，然后设P （x 0，y 0），解方程k l +k AP ＝0可得x 0，再代入圆的方程可解得y 0，从而求出直线l 方程． 【详解】由以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，得k AN •k l ＝﹣1，k AN •k AP ＝1， 所以k l +k AP ＝0，设P （x 0，y 0）（y 0≠0）则k l ＝y 0x 0，k AP ＝y1+x 0，∴y 0x 0+y 01+x 0＝0，解得x 0＝﹣12，又x 02+y 02＝1， 所以y 0＝±√32，k l ＝y0x 0=±√3所以直线l 的方程为：y ＝±√3x 故答案为：y ＝±√3x【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，考查直线与直线垂直的性质的应用，属中档题． 14．数列{a n },{b n }满足b n =a n+1+(−1)n a n (n ∈N ∗)，且数列{b n }的前n 项和为n 2，已知数列{a n −n}的前2018项和为1，那么数列{a n }的首项a 1=________. 【答案】32【解析】由数列分组求和可得a 1+a 2+…+a 2018，由数列{b n }的前n 项和以及数列的递推式可得a n 与a 1的关系，求和解方程即可得到所求值． 【详解】数列{a n ﹣n }的前2018项和为1，即有（a 1+a 2+…+a 2018）﹣（1+2+…+2018）＝1， 可得a 1+a 2+…+a 2018＝1+1009×2019，由数列{b n }的前n 项和为n 2，可得b n ＝2n ﹣1， b n =a n+1+(−1)n a n (n ∈N ∗)=2n −1，a 2＝1+a 1，a 3＝2﹣a 1，a 4＝7﹣a 1，a 5＝a 1， a 6＝9+a 1，a 7＝2﹣a 1，a 8＝15﹣a 1，a 9＝a 1， …，可得a 1+a 2+…+a 2018＝（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a 1+4033+a 1） ＝505+12×505×504×8+2×504+504×7+12×504×503×8+2a 1＝1+1009×2019， 解得a 1＝32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查等差数列的求和公式，以及数列的分组求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．二、解答题15．如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点M,N 分别是棱AB,CC 1的中点.求证：（1）CM//平面AB1N；（2）平面A1BN⊥平面AA1B1B.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设A1B与AB1的交点为O，连MO,NO，证明四边形CMON为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得CM∥平面AB1N．（2）由已知证明CM⊥平面ABB1A1，因为CM//ON，可得ON⊥平面ABB1A1，由面面垂直的判定定理即可得到证明.【详解】（1）设A1B与AB1的交点为O，连MO,NO，BB1，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，O为AB1的中点，OM//BB1，且OM=12BB1，依题意，有CN//BB1，且CN=12∴OM//CN，且OM=CN，∴四边形CMON为平行四边形，∴CM//ON，而CM⊄平面AB1N，ON⊂平面AB1N，∴CM//平面AB1N.（2）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥CM，又CM⊥AB,AB∩BB1=B，∴CM⊥平面ABB1A1，因为CM//ON，∴ON⊥平面ABB1A1，ON⊂平面A1BN，∴平面A1BN⊥平面ABB1A1.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知ΔABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且b2−2√33bcsinA+c2=a2.（1）求角A；（2）若tanBtanC=3，且a=2，求ΔABC的周长.【答案】（1）π3；（2）6.【解析】(1)由余弦定理和同角三角函数关系式化简即可得到答案；（2）利于（1）所得A角和两角差的正切公式化简tanBtanC，可得角B，可确定三角形为等边三角形，从而可得周长. 【详解】（1）由已知，得：b2+c2−a2=2√33bcsinA，由余弦定理，得：cosA=b 2+c2−a22bc=√33sinA，即tanA=√3，又A∈(0,π),所以A=π3.（2）A=π3,B+C=2π3，tanBtanC=tanB×tan(2π3−B)=tanB×√3−tanB1−√3tanB=3，化简，得：tan2B−2√3tanB+3=0，所以，tanB=√3,B=π3；所以，三角形ABC为等边三角形，其周长为：3a=6.【点睛】本题考查余弦定理和两角和差公式的简单应用，考查计算能力，属于基础题.17．已知，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1:x2a2+y2b2=1的焦点在椭圆C2:y2a2+x2b2=1上，其中a>b>0，且点(√63,√63)是椭圆C1,C2位于第一象限的交点.（1）求椭圆C1,C2的标准方程；（2）过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A,B ，已知PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =35PB⃑⃑⃑⃑⃑ ，求直线l 的斜率.【答案】（1）C 1:x 22+y 2=1,C 2:y 22+x 2=1；（2）k =±2.【解析】（1）由题意得c=b,a =√2b , 将点(√63,√63)代入椭圆C 1，可得a ，b ，从而得到椭圆C 1,C 2的方程；（2）设直线l 为y ＝kx +m ，代入椭圆C 2，由判别式为0，可得m ，k 的关系式，由直线方程和椭圆C 1方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，可得m,k 的第二个关系，解方程组可得直线方程． 【详解】（1）如下图所示，依题意，得c =b ，所以，a =√b 2+c 2=√2b ， 所以，椭圆C 1为：x 22b 2+y 2b 2=1，将点(√63,√63)代入，解得：b =1，所以，C 1:x 22+y 2=1,C 2:y 22+x 2=1.（2）设l 斜率为k,P (0,m )，则直线l 方程为：y =kx +m ，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)， PA⃑⃑⃑⃑⃑ =35PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⇒x 1=35x 2， {y =kx +m y 22+x 2=1⇒(k 2+2)x 2+2mkx +m 2−2=0,Δ=8k 2−8m 2+16=0⇒m 2=k 2+2， {y =kx +m x 22+y 2=1⇒(2k 2+1)x 2+4mkx +2m 2−2=0,Δ=16k 2−8m 2+8=8k 2−8>0⇒k 2>1， x 1,2=−2mk±√2k 2−22k +1，又x 1=35x 2⇒x 1x 2+x 2x 1=8m 2k 2(2k +1)(m −1)−2=3415⇒m 2=16k 2+8k +8=k 2+2⇒{k =±√2m =±2或{k =±2m =±√6，故l方程为：y=±√2x±2或y=±2x±√6.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式法和韦达定理、以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴AF=BE=1.6米，两根竖轴CH=DG=1.2米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为l米.（1）若∠ABC=2π3，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度.【答案】（1）6.8−1.2√3米；（2）∠ABC=3π4,BC的长度为3(√2+1)20米.【解析】（1）利用直角三角形分别求图中的各个边的长度求和即可得到答案；（2）设∠ABC= x,x∈(π2,π),BC=y，景观窗格的面积为S，将面积用x和y表示出来，利用已知条件和三角函数的有界性可得最值，从而得到答案.【详解】（1）AB=EF=0.6米，∠CBE=∠ABC−900=300，则BC= 1.2−0.62sin∠CBE=0.6米，CD=BE−2⋅BCcos∠CBE=1.6−0.6√3米，故总长度l=2AB+2CD+4BC=6.8−1.2√3米；答：景观窗格的外框总长度为6.8−1.2√3米；（2）设∠ABC =x,x ∈(π2,π),BC =y ，景观窗格的面积为S ，则AB =1.2−2ysin (x −π2)=1.2+2ycosx,CD =1.6−2ycos (x −π2)=1.6−2ysinx ⇒l =2AB +2CD +4BC =4y (1+cosx −sinx )+5.6≤5⇒sinx −cosx ≥320y +1， ⇒320y +1≤√2sin (x −π4)≤√2⇒y ≥3(√2+1)20，当且仅当sin (x −π4)=1即x =3π4时取等⇒1−sin2x ≥(320y +1)2⇒sin2x ≤−9400y −310y ，S =1.2×1.6−4×12⋅BCsin (π−x )⋅BCcos (π−x )=1.2×1.6+y 2sin2x ≤1.2×1.6−9400−3y 10，由y ≥3(√2+1)20知：S ≤1.2×1.6−9400−9(√2+1)200=741−18√2400， 答：当景观窗格的面积最大时，∠ABC =3π4,BC 的长度为3(√2+1)20米.【点睛】本题考查三角函数在实际生活中的应用，考查函数的最值问题，考查分析推理和计算能力，属于中档题.19．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1+3a n +4=0,n ∈N ∗. （1）求证：{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析，a n =2×(−3)n−1−1；（2）不存在.【解析】（1）推导出a n +1+1＝﹣3（a n +1），n ∈N ．a 1+1＝2，由此能证明{a n +1}是以2为首项，﹣3为公比的等比数列，可求数列{a n }通项公式．（2）假设a m ，a n ，a p 构成等差数列，m ≠n ≠p ，则2a n ＝a m +a p ，利用（1）的通项公式进行推导不满足2a n ＝a m +a p ，从而数列{a n }中不存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列． 【详解】（1）因为a n+1+3a n +4=0，所以a n+1+1a n +1=−3a n −3a n +1=−3，因为a 1+1=2≠0，所以数列{a n +1}是以2为首项，以-3为公比的等比数列， 所以a n +1=2×(−3)n−1，即a n =2×(−3)n−1−1；（2）假设存在三项a r ,a s ,a t (r <s <t )按一定顺序重新排列后成等差.①若a r+a s=2a t，则2×(−3)r−1−1+2×(−3)s−1−1=4×(−3)t−1−2，整理得(−3)r+(−3)s=2×(−3)t，两边同除以(−3)r，可得1+(−3)t−r=2×(−3)s−r，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.②若a s+a r=2a t，则2×(−3)s−1−1+2×(−3)r−1−1=4×(−3)t−1−2，整理得(−3)s+(−3)r=2×(−3)t，两边同除以(−3)r，可得1+(−3)s−r=2×(−3)t−r，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.③若a s+a t=2a r，则2×(−3)s−1−1+2×(−3)t−1−1=4×(−3)r−1−2，整理得(−3)s+(−3)t=2×(−3)r，两边同除以(−3)r，可得(−3)s−r+(−3)t−r=2，等式左边是-3的整数倍，右边不是-3的整数倍，故等式不成立；综上，不存在不同的三项符合题意.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列能否构成等差数列的判断与求法，考查构造法、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知函数m(x)=x2，函数n(x)=alnx+1(a∈R).（1）若a=2，求曲线y=n(x)在点(1,n(1))处的切线方程；（2）若函数f(x)=m(x)−n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（3）若函数g(x)=n(x)−1+e x−ex≥0对x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯)【答案】（1）y=2x−1；（2）(−∞,0]∪{2}；（3）[0,+∞).【解析】（1）代入a值，求函数的导数，由导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（2）求导数，通过讨论a的范围，求函数单调区间，结合函数单调性和函数的最值可求a的范围；（3）求g（x）解析式，求函数导数，讨论函数单调性，由函数单调性和最值可确定a的范围．【详解】（1）当a=2时，n(x)=2lnx+1，则n′(x)=2，所以n(1)=1,n′(1)=2，x所以切线方程为y =2x −1. （2）f (x )=x 2−alnx−1,f ′(x )=2x −ax =2x 2−a x，①当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )单调递增， 因为f (1)=0，所以f (x )有唯一零点，即a ≤0符合题意； ②当a >0时，令f ′(x )=0，解得x =√a2，列表如下：由表可知，f (x )min =f (√a2).（i ）当√a2=1，即a =2时，f (x )min =f (1)=0，所以a =2符合题意； （ii ）当√a 2<1，即0<a <2时，f (√a2)<f (1)=0， 因为f (e−1a)=e−2a+1−1=e−2a>0，且e−1a<1，所以e−1a<√a2，故存在x 1∈(e−1a,√a2)，使得f (x 1)=f (1)=0，所以0<a <2不符题意；（iii ）当√a2>1，即a >2时，f (√a2)<f (1)=0，因为f (a −1)=(a −1)2−aln (a −1)−1=a(a −2−ln (a −1))， 设a −1=t >1,a −2−ln (a −1)=t −1−lnt =ℎ(t )， 则ℎ′(t )=1−1t >0，所以ℎ(t )单调递增，即ℎ(t )>ℎ(1)=0，所以f (a −1)>0， 又因为a −1>1，所以a −1>√a2，故存在x 2∈(√a2,a −1)，使得f (x 2)=f (1)=0，所以a >2不符题意；综上，a 的取值范围为(−∞,0]∪{2}.（3）g (x )=alnx +e x −ex ，则g ′(x )=a x +e x −e,g ″(x )=e x −a x 2，①当a ≥0时，g ′(x )≥0恒成立，所以g (x )单调递增，所以g (x )≥g (1)=0，即a ≥0符合题意；②当a <0时，g ″(x )>0恒成立，所以g ′(x )单调递增，又因为g ′(1)=a <0,g ′(ln (e −a ))=aln (e−a )−a =a ⋅1−ln (e−a )ln (e−a )>0，所以存在x 0∈(1,ln (e −a ))，使得g ′(x 0)=0，且当x ∈(1,x 0)时，g ′(x )<0，即g (x )在(1,x 0)上单调递减，所以g (x 0)<g (1)=0，即a <0不符题意；综上，a 的取值范围为[0,+∞).【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，综合性较强．21．已知点(1,2)在矩阵A =[1x 2y]对应的变换作用下得到的点(7,6)，求： （1）矩阵A ；（2）矩阵A 的特征值及对应的特征向量.【答案】（1）A =[1322]；（2）λ=−1时，对应特征向量：[3−2]；λ=4时，对应特征向量：[11]. 【解析】（1）根据矩阵的乘法公式计算即可；（2）写出矩阵A 的特征多项式f(λ)，令f(λ)＝0，得矩阵A 的特征值，即可得到特征向量.【详解】（1）[1x 2y ][12]=[76]，所以，{1+2x =72+2y =6 ，解得：{x =3y =2 , 所以，A =[1322]. （2）矩阵A 的特征多项式f(λ)=[λ−1−3−2λ−2]=λ2−3λ−4， 令f(λ)＝0，得矩阵A 的特征值：λ=−1或λ=4，λ=−1时，{−2x −3y =0−2x −3y =0 ，得一非零解：{x =3y =−2 ，对应特征向量：[3−2]； λ=4时，{3x −3y =0−2x +2y =0 ，得一非零解：{x =1y =1 ，对应特征向量：[11]. 【点睛】本题给出二阶矩阵，求矩阵A 的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =12t（为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长.【答案】4√33 【解析】求直线l 的普通方程，曲线C 的直角坐标方程，得到曲线C 是以C （1，1）为圆心，以r ＝√2为半径的圆，求圆心C 到直线l 的距离d ，由弦长公式即可得到答案.【详解】直线l 的x −√2y −1=0，圆C 化为：ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,即(x −1)2+(y −1)2=2，圆心为（1,1），半径R ＝√2,圆心到直线距离为：d =√63, 所截弦长为：2√2−23=4√33. 【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．已知a >0,b >0，求证：a +b +1≥√ab +√a +√b .【答案】证明见解析【解析】将所证不等式利用三次基本不等式即可得到证明.【详解】证明：a +b ≥2√ab ，a +1≥2√a ，b +1≥2√b ，上面三式相加，得：2(a +b +1)≥2√ab +2√a +2√b ，所以，a +b +1≥√ab +√a +√b .【点睛】本题考查基本不等式在证明题中的应用，属于基础题.24．如图，在空间直角坐标系O −xyz 中，已知正四棱锥P −ABCD 的高OP =2，点B,D 和C,A 分别在x 轴和y 轴上，且AB =√2，点M 是棱PC 的中点.（1）求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值；（2）求二面角A −PB −C 的余弦值.【答案】（1）4√1339；（2）−19. 【解析】（1）求出AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和平面PAB 的法向量，利用向量法能求出直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值．（2）求平面PBC 的法向量和平面PAB 的法向量，利用向量法求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．【详解】（1）P （0，0，2），A （0，－1，0），B （1，0，0），M （0，12，1），AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（0，1，2），AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（1，1，0），设平面PAB 的法向量为m ⃑⃑ ＝（x ，y ，z ）， 则{y +2z =0x +y =0，取x ＝2，y ＝－2，z ＝1，m ⃑⃑ ＝（2，－2，1）， AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（0，32，1），AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |×|m ⃑⃑ |cosθ，得cos θ＝√4×√9＝4√1339,即线AM 与平面PAB 所成角的正弦值为4√1339. （2）C （0，1，0），P （0，0，2），B （1，0，0）BP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（－1，0，2），BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（－1，1，0），设平面PBC 的法向量为n ⃑ ＝（x ，y ，z ），则{−x +2z =0−x +y =0，取x ＝2，y ＝2，z ＝1，n ⃑ ＝（2，2，1）， m ⃑⃑ ·n ⃑ =|m ⃑⃑ |×|n ⃑ |cosα，得cos α＝19，二面角A −PB −C 的余弦值为−19.【点睛】本题考查线面的正弦值和二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25．是否存在实数a,b,c ，使得等式1⋅3⋅5+2⋅4⋅6+⋯+n(n +2)(n +4)=n(n+1)4(an 2+bn +c)对于一切正整数n 都成立？若存在，求出a,b,c 的值；若不存在，说明理由.【答案】{a ＝1b =9c =20【解析】利用数列的的分组求和法对等式左边的式子求和，然后根据对应项的系数相等可得答案.【详解】n(n +2)(n +4)=n 3+6n 2+8n ，1×3×5+2×4×6+...+n(n +2)(n +4)＝(13+23+...+n 3)+6(12+22+...+n 2)+8(1+2+...+n)＝n 2(n+1)24+6×n(n+1)(2n+1)6＋8×n(n+1)2 ＝n(n+1)4(n 2+n +8n +4+16)＝n(n+1)4(n2+9n+20)所以，{a＝1 b=9c=20，1⋅3⋅5+2⋅4⋅6+⋯+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(n2+9n+20).【点睛】本题考查数列分组求和方法的应用，考查等差数列的求和公式，属于基础题.。
江苏省常州市2021届高三第一学期期末调研测试数学试卷及答案
江苏省常州市2021届高三第一学期期末调研测试数学试卷及答案常州市2021届高三第一学期期末调研测试数学我2022年2月试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．设集合a1,0,1?，b??0,1,2,3?，则a2．设复数z?b=▲．启动m？3I（m×10，I是虚单位），如果Z×10？z、那么M的值是▲. 1.Mi22a←1a← 2A+13。
知道双曲线吗？4y？如果1的偏心率为3，则实数a的值为▲. 4.函数f （x）？log2x2？6的域是▲x?xx?5．函数f(x)?cos?sin?3cos?的最小正周期为▲．2.22 a> 64yn输出a结束6。
右图是一个算法流程图，那么输出a的值是▲（第6题）7.共有5道题，其中a类题2道，B类题3道。
现在随机回答两个问题，至少有一个道试题是乙类试题的概率为▲．2倍？Y≤2.8.实数x和Y是否满足约束条件？十、Y≥? 1，那么目标函数Z？2倍？Y的最小值为▲?x?y≥1,??pp?9．曲线y?x?cosx在点?，?处的切线方程为▲．22 10.已知函数f（x）？2倍？2.十、1,2??，那么函数y？F（x？1）的取值范围为▲11．已知向量a??1,1?，b1,1?，设向量c满足?2a?c3b?c??0，则c的最大值为▲．312．设等比数列?an?的公比为q（0?q?1），前n项和为sn，若a1?4a3a4，且a6与a4的等4.如果中值差为A5，则S6？▲．13．若不等式x2?2y2≤cx(y?x)对任意满足x?y?0的实数x,y恒成立，则实数c的最大值为▲．14．在平面直角坐标系xoy中，已知圆o1，圆o2均与x轴相切且圆心o1，o2与原点o共线，让圆O1和圆O2在两点P和Q相交，直线L:2x？Y8.0，O1和O2的横坐标的乘积是6，则点p与直线l上任意一点m之间的距离的最小值为▲．二、答：这个主要问题有6个小问题，共90分。
江苏省常州中学2024年数学高三第一学期期末教学质量检测试题含解析
江苏省常州中学2024年数学高三第一学期期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．192．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->3．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．356．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35B ．25C ．4D ．57．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ）A ．{}1,5B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,48．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直9．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C ．33D 311．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．412．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（ ）A ．12,p pB ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年江苏省常州市高考数学一模试卷-含答案与解析
2021年江苏省常州市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知R为全集，集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x＜3}，则（∁R A）∩B＝（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|2≤x＜3}C．{x|x＜0或2≤x＜3} D．{x|x≤﹣2或2≤x＜3}2．设a，b∈R，则“|a+bi|＝|1+i|”是“a＝b＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量＝（3﹣x，1），＝（x，4），且∥，则下列正确的是（）A．x＝﹣1 B．x＝﹣1或4 C．x＝D．x＝44．已知a＝log70.3，b＝0.70.3，c＝70.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．过圆O：x2+y2＝5外一点P（2，）作圆O的切线，切点分别为A，B，则|AB|＝（）A．2 B．C．D．36．已知函数f（x）＝2sin x，为了得到函数g（x）＝2sin（2x﹣）的图象，只需（）A．先将函数f（x）图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位B．先将函数f（x）图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位C．先将函数f（x）图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的D．先将函数f（x）图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点P到直线AD的距离与到平面BB1C1C的距离相等，则P 在平面CC1D1D上的轨迹是（）A．线段B．椭圆一部分C．抛物线一部分D．双曲线一部分8．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才”．北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年常州市高中必修一数学上期末第一次模拟试题(带答案)
2020年常州市高中必修一数学上期末第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ） A ．()0,1 B ．[)0,1 C ．(]0,1 D ．[]0,12．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1）A ．1B ．3C ．5D ．73．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8) 4．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．e C ．21e D ．2e5．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2] 6．函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2] B ．[-1,2] C ．（-1 ，2） D ．[-1,2)7．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x + B ．1sin x - C ．1sin x -- D ．1sin x -+ 8．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2B ．12C ．13D ．－12 10．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞ 11．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．14．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．15．设,,x y z R +∈，满足236x y z==，则112x z y +-的最小值为__________. 16．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x x x x a e ee e ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____. 17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a 的取值集合为______.18．已知函数222y x x -=+，[]1,x m ∈-.若该函数的值域为[]1,10，则m =________. 19．已知正实数a 满足8(9)a aa a =，则log (3)a a 的值为_____________. 20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x x e f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()11x f x x +=-． ()1求函数()f x 在R 上的解析式；()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．已知函数()f x 对任意实数x ，y 都满足()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，()1279f =，当1x >时，()()0,1f x ∈. (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并给出证明；(3)若()1f a +≤，求实数a 的取值范围. 23．求下列各式的值.（1）121log 23324()(0)a a a a -÷>； （2）221g 21g4lg5lg 25+⋅+.24．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t （天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30).（1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？25．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，为二次函数且顶点为(1,1)，(2)0f =.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.26．已知函数()()()9log 91x kx R x k f =++∈是偶函数. （1）求k 的值；（2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围. （注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解.【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥. 所以{|01}B A x x =≤<ð.故选B【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．C解析：C【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL ,x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，所以()3002%1.x -<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.3．D解析：D【解析】【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果.【详解】 因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a a a ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．A解析：A【解析】【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可.【详解】因为函数2log ,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩， 因为102>，所以211()log 122f ==-， 又因为10-<， 所以11(1)f ee --==， 即11(())2f f e=，故选A.该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量. 5．D解析：D【解析】【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤，所以a 的取值范围是02a ≤≤，故选D.【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目. 6．A解析：A【解析】【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]，故选A ．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.7．B【解析】【分析】【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-, 故()1sin f x x =-，故选B.8．D解析：D【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9．B解析：B【解析】y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 10．C解析：C【解析】【分析】由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案.【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C.【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.11．D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．12．B解析：B【解析】由题意，f （﹣x ）+f （x ）=0可知f （x ）是奇函数，∵()()f x g x x =+，g （﹣1）=1，即f （﹣1）=1+1=2那么f （1）=﹣2．故得f （1）=g （1）+1=﹣2，∴g （1）=﹣3，故选：B二、填空题13．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x ＜2时f(x)＜0即f(x)＜解析：(－2,2)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x ＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).14．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上 解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围【详解】解：Q 函数是偶函数，(1)(|1|)f m f m ∴-=-，()(||)f m f m =，Q 定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，(1)()f m f m -<，0|||1|2m m ∴<-剟， 得112m -<…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．15．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值.【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当x =.故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题. 16．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25[,)6-+∞【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值．【详解】设x x t e e -=-，1x x x x t e ee e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x x x x a e e e e ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立， 0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t-≤+对3[0,]2t ∈上恒成立， 由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =， ∴256a -≤，即256a ≥-． 综上，256a ≥-． 故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．17．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：{}1-【解析】【分析】由幂函数()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求出a 的值．【详解】 因为11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，幂函数为奇()a f x x =函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <，1a ∴=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域分析最值即可求解【详解】二次函数的图像的对称轴为函数在递减在递增且当时函数取得最小值1又因为当时所以当时且解得或（舍）故故答案为：4【点睛】此题考查二次 解析：4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域，分析最值即可求解.【详解】二次函数222y x x -=+的图像的对称轴为1x =，函数在(),1x ∈-∞递减，在[)1,x ∈+∞递增，且当1x =时，函数()f x 取得最小值1，又因为当1x =-时，5y =，所以当x m =时，10y =，且1m >-，解得4m =或2-（舍），故4m =.故答案为：4【点睛】此题考查二次函数值域问题，根据二次函数的值域求参数的取值. 19．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：916【解析】【分析】将已知等式8(9)a a a a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.【详解】8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】 本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.20．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题解析：{}1,0,1-【解析】【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解.【详解】2(1)212192()2151551x x x xe f x e e e +-=-=--=-+++Q ， 11x e +>Q ，1011xe ∴<<+， 2201x e ∴-<-<+， 19195515x e ∴-<-<+， 所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， {}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1-【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.三、解答题21．（1）()1,010,01,01x x x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩（2）函数()f x 在()0,+∞上为增函数,详见解析【解析】【分析】()1根据题意，由奇函数的性质可得()00f =，设0x >，则0x -<，结合函数的奇偶性与奇偶性分析可得()f x 在()0,+∞上的解析式，综合可得答案；()2根据题意，设120x x <<，由作差法分析可得答案．【详解】解：()1根据题意，()f x 为定义在R 上的函数()f x 是奇函数，则()00f =，设0x >，则0x -<，则()11x f x x--=+， 又由()f x 为R 上的奇函数，则()()11x f x f x x -=-=-+， 则()1,010,01,01x x x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩；()2函数()f x 在()0,+∞上为增函数；证明：根据题意，设120x x <<，则()()()()()1212211212211221111111111x x x x x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-----=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 又由120x x <<，则()120x x -<，且()110x +>，()210x +>；则()()120f x f x ->，即函数()f x 在()0,+∞上为增函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及掌握函数奇偶性、单调性的定义．22．(1)()f x 为奇函数；(2)()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见解析；(3)[)4,1--.【解析】【分析】（1）令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当0x >时，()0f x >，再利用已知和单调函数的定义，证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （3）先利用赋值法求得()3f -=再利用函数的单调性解不等式即可 【详解】解：（1）令1y =-，则()()()1f x f x f -=-.∵()11f -=-，∴()()f x f x -=-∴函数()f x 为奇函数；(2)函数()f x 在(),0-∞上单调递减.证明如下：由函数()f x 为奇函数得()()111f f =--=当()0,1x ∈时，11x >，()10,1f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111f x f x =>⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以当0x >时，()0f x >，设120x x <<，则211x x >，∴2101x f x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 于是()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.∵函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减.(3)∵()1279f =，且()()()()327393f f f f ==⎡⎤⎣⎦，∴()3f = 又∵函数()f x 为奇函数，∴()3f -= ∵()1f a +≤()()13f a f +≤-，函数()f x 在(),0-∞上单调递减. 又当0x ≥时，()0f x ≥.∴310a -≤+<，即41a -≤<-，故a 的取值范围为[)4,1--.【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法23．（1）0；（2）2【解析】【分析】直接利用指数和对数的运算法则化简求值即得解.【详解】（1）2212521log log 33332420a a a a a a a a ⎛⎫-÷=-÷=-= ⎪⎝⎭（2）22lg 2lg 4lg5lg 252lg 2(lg 2lg5)2lg52(lg 2lg5)2+⋅+=++=+=【点睛】本题主要考查指数和对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．（1）40Q t =-+，030t <≤，t ∈N （2）在30天中的第15天，日交易额最大为125万元.【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得一次函数解析式.（2）求得日交易额的分段函数解析式，结合二次函数的性质，求得最大值.【详解】（1）设Q ct d =+，把所给两组数据()()4,36,10,30代入可求得1c =-，40d =. ∴40Q t =-+，030t <≤，t N ∈（3）首先日交易额y （万元）=日交易量Q （万股）⨯每股交易价格P （元）()()1240,020,51840,2030,10t t t t N y t t t t N ⎧⎛⎫+-+≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩， ∴()()22115125,020,516040,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩ 当020t ≤≤时，当15t =时，max 125y =万元当20t 30<≤时，y 随x 的增大而减小故在30天中的第15天，日交易额最大为125万元.【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查分段函数的最值，考查二次函数的性质，属于中档题.25．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩（2）(]1,3 【解析】【分析】（1）当0x >时，设出二次函数顶点式，结合(2)0f =求得二次函数解析式.根据奇函数的性质，求得当0x <时，()f x 的解析式，从而求得()f x 在R 上的解析式.（2）由（1）画出()f x 的图像，结合()f x 在区间[1,2]a --上单调递增列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-且()00f =当0x >时由已知可设2()(1)1(0)f x a x a =-+≠，又(2)0f =解得1a =-所以0x >，2()2f x x x =-+当0x <时，0x ->，∴()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦又()0f 满足()22f x x x =+∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩ （2）由（1）可得图象如下图所示：由图可知()f x 的增区间为[1,1]-∵在()f x 区间[1,2]a --上单调递增，∴121a -<-≤解得：(]1,3a ∈∴a 的取值范围为：(]1,3【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数解析式的求法，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.26．（1）12k =-（2）(]9,log 2-∞ 【解析】【分析】(1)由偶函数定义()()f x f x -=,代入解析式求解即可;(2)题设条件可等价转化为()9log 91x a x ≤+-对(],0x ∈-∞恒成立,因此设()()9log 91x g x x =+-,求出其在(],0x ∈-∞上的最小值即可得出结论.【详解】(1)∵函数()()()9log 91x kx R x k f =++∈ 是偶函数. ∴()()f x f x -=,∴()()99log 91log 91x x kx kx -+-=++,∴()()999912log 91log 91log 91x x x x kx x --+-=+-+==+, ∴12k =-. (2)由(1)知,()()91log 912x f x x =+-, 不等式1()02f x x a --≥即为()9log 91x a x ≤+-, 令()()9log 91x g x x =+-,(],0x ∈-∞,则()()()99991log 91log log 199x xx x x g x -+=+-==+, 又函数()g x 在(],0-∞上单调递减,所以()()9min 0log 2g x g ==,∴a 的取值范围是(]9,log 2-∞.【点睛】本题考查函数奇偶性的定义运用以及不等式恒成立问题,属于中档题.解决不等式恒成立问题时,一般首选参变分离法,将恒成立问题转化为最值问题求解.。
江苏省常州市2020届高三上学期期末学业水平监测数学试题Word版含解析
常州市教育学会学业水平监测高三数学 2020.1一、填空题：1、已知集合{}{}21,0,1,|0A B x x =-=>，则A ∩B ＝答案：｛－1，1｝解析：B ＝｛x ｜x ＜0或x ＞0｝，所以，A ∩B ＝｛－1，1｝ 2、若复数z 满足1,z i i ⋅=-则z 的实部为 答案：－1 解析：1(1)11i i iz i i --===---，所以，实部为－1。
3、右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是答案.10解析：第1步：S ＝1，i ＝3；第2步：S ＝1＋32＝10，i ＝4＞3，退出循环，输出S ＝10。
4、函数21x y =-的定义域是答案：［0，＋∞）解析：由二次根式的意义，有：210x-≥， 即0212x≥=，所以，0x ≥5、已知一组数据17,18,19,20,21，则该组数据的方差是 答案：2解析：平均数为：19，方差为：21(41014)5s =++++＝2 6、某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是 答案：710解析：该同学“选到文科类选修课程”的可能有：112232C C C +＝7， 任选2门课程，所有可能为：25C ＝10，所以，所求概率为：710 7、已知函数231,0,1(),0,x x f x x x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩ 则((8))f f =答案：－15解析：(8)f ＝223338(2)-=-＝－4，((8))(4)f f f =-＝－158、函数3sin(2),[0,]3y x x ππ=+∈取得最大值时自变量x 的值为答案：12π解析：因为0x π≤≤，所以，72333x πππ≤+≤，则1sin(2)13x π-≤+≤，当232x ππ+=，即x =12π时，函数y 取得最大值。
9、等比数列{}n a 中，若12341,4,2,a a a a =成等差数列，则17a a = 答案：64解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，2344,2,a a a 成等差数列，所以，32444a a a =+，即2344q q q =+，解得：q ＝2，所以，6171a a a q =＝6410、已知cos 22cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，则tan 2α=答案：－22解析：cos 2cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 2cos αα=，即tan α＝222tan tan 21tan ααα=-＝－2211、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A,过A 做x轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B,若2OB a =，则C 的离心率为 答案：2解析：显然OA ＝a ， 双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨设过A 做x 轴的垂线与by x a=交于B ， 则B 点坐标为（a ，b ），即AB ＝b ， 在直角三角形OAB 中，OB 2＝OA 2＋AB 2， 即4a 2＝a 2＋b 2，解得：3b a =，所以，离心率为：221c b e a a==+＝212、已知函数()lg(2),f x x =-互不相等的实数,a b 满足()()f a f b =，则4a b +的最小值为答案：14解析：如下图，由()()f a f b =，－lg(2)a -＝lg(2)b -， 即lg(2)(2)a b --＝0， 所以，(2)(2)1a b --=，4a b +＝(2)4(2)102(2)4(2)10a b a b -+-+≥-⨯-+＝14，当54,2a b ==时取等号。
2024届常州市高三数学上学期期末考试卷附答案解析
2024届常州市高三数学上学期期末考试卷2024.01一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2A x x x==，{}ln 0B x x =<，则A B ⋃=（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．()0,12．在复平面内，复数12z =-+对应的向量为OA ，复数1z +对应的向量为OB ，那么向量AB对应的复数是（）A ．1B ．1-CD．3．已知实数a ，b 满足等式lg ln a b =，下列三个关系式中可能成立的个数为（）①1a b <<；②1a b <<；③a b =．A ．0B ．1C ．2D ．34．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是（）A ．“22ac bc >”是“a b >”的必要条件B ．“22ac bc =”是“a b =”的必要条件C ．“22ac bc =”是“a b =”的充分条件D ．“22ac bc ≥”是“a b ≥”的充分条件5．已知扇形AOB 的半径为5，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，()5,0OA =，()4,3OB =，弧AB 的中点为C ，则OC =（）A ．93,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B．⎝⎭C ．()4,2D．(6．已知正三棱锥-P ABC 的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A 到平面PBC 的距离是（）A．BC ．3D ．3327．已知定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x '，()1e f =，且对任意的x 满足()()e x f x f x <'-，则不等式()e xf x x >的解集是（）A ．(),1-∞B ．(),0∞-C ．()0,∞+D ．()1,+∞8．已知圆C 的直径AB 长为8，与C 相离的直线l 垂直于直线AB ，垂足为H ，且02AH <<，圆C 上的两点P ，Q 到l 的距离分别为1d ，2d ，且12d d ≠．若1d AP=，2d AQ=，则12d d +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知一组样本数据1x ，2x ，L ，()4n x n ≥，其中10n x x <<，若由21(1,2,,)k k y x k n =+= 生成一组新的数据1y ，2y ，L ，n y ，则这组新数据与原数据可能相等的量有（）A ．极差B ．平均数C ．中位数D ．标准差10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ（单位：C）与时间t （单位：h ）近似地满足函数关系1sin 0,0,02A t B A B θωω⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭，其中024t ≤≤．已知当天开始计时()0t =时的温度为25C ，第二天凌晨3：00时温度最低为19C ，则（）A ．12πω=B ．当天下午3：00温度最高C ．温度为28C是当天晚上7：00D ．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22C11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上运动（包括端点），下列说法正确的有（）A ．存在点P ，使得⊥CP 平面1A DBB ．不存在点P ，使得直线1C P与平面1A DB所成的角为30C ．PC PD +的最小值为D ．以P 为球心，PA 为半径的球体积最小时，被正方形11ADD A截得的弧长是π312．关于函数()f x =）A ．函数()f x 的图象关于点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 在(),2∞-上单调递增，在()2,∞+上单调递减C ．若方程()f x t=恰有一个实数根，则t =D ．若x ∀∈R ，都有()f x m>，则2m ≤-三、填空题：本题共4小题．13．已知双曲线的标准方程为22145x y k k +=--，则该双曲线的焦距是．14．已知函数()2133,0log 2,0a x x x f x x x ⎧--+<⎪=⎨->⎪⎩若13f f a ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则实数a 的值为．15．如图，以等腰直角三角形01BA A 的直角边1BA 为斜边，在01BA A △外侧作等腰直角三角形12BA A ，以边BA 的中点1O 为圆心，作一个圆心角是90 的圆弧01A A ；再以等腰直角三角形12BA A 的直角边2BA为斜边，在12BA A △外侧作等腰直角三角形23BA A ，以边1BA 的中点2O 为圆心，作一个圆心角是90 的圆弧12A A ；L；按此规律操作，直至得到的直角三角形1i iBA A -的直角顶点iA 首次落到线段BA 上，作出相应的圆弧后结束．若04BA =，则i =，所有圆弧的总长度为．16．已知二面角l αβ--为60 ，α内一条直线m 与l 所成角为30 ，β内一条直线n 与l 所成角为45，则直线m 与直线n 所成角的余弦值是．四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为2,R n S n cn c c =++∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记mb 为{}n a 在区间(()*0,2N ma m ⎤∈⎦中的项的个数，求数列{}nb 的通项公式．18．某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布()26,N σ，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．(1)求σ；(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布()2,X N μσ 来说，通过1X Z μσ-=转化为标准正态分布(0,1)Z N ~，从而查标准正态分布表得到()()1ΦP X X Z <=．可供查阅的（部分）标准正态分布表()ΦZ Z1.1 1.2 1.3 1.41.51.61.71.81.9()ΦZ 0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713Z 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8()ΦZ 0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.997419．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC 边上的高为h ，已知π3B =．(1)若b =，求ca 的值；(2)若c a h -=，求sin A A 的值．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA AD =，PD =M 是AB 的中点，N 是线段PC 上一点，且MN //平面PAD ，MN PC ⊥．(1)求证：CD ⊥平面PAD ；(2)求平面MNC 与平面PBD 所成的二面角的正弦值．21．已知函数()e cos x f x m x n=++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为y x =．(1)讨论函数()f x 在[)π,-+∞上的单调性；(2)当[)0,x ∈+∞时，()3sin f x x ax≥-恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为e ，A ，B 是C 上的相异两点，()2,0P a ．(1)若点A ，B 关于原点对称，且FA FB ⊥，求e 的取值范围；(2)若点A ，B 关于x 轴对称，直线PA 交C 于另一点D ，直线BD 与x 轴的交点Q 的横坐标为1，过Q 的直线交C 于M ，N 两点．已知12e =，求OM ON ⋅的取值范围．1．A【分析】解集合中的方程和不等式，得到这两个集合，再由并集的定义求解.【详解】方程2x x =解得0x =或1x =，得{}0,1A =，不等式ln 0x <解得01x <<，得{01}B xx =<<∣，所以[]0,1A B = .故选：A ．2．A【分析】根据复数的几何意义判断即可.【详解】由题意得12A ⎛- ⎝⎭，12B ⎛ ⎝⎭，()1,0AB = ，则AB对应复数1.故选：A ．3．C【分析】结合对数的运算，以及对数函数的性质，一一判断①、②、③，即可得答案.【详解】当1a b ==时，lg lg 0a b ==，③可能成立．01a <<，01b <<时，lg ln a b =，ln ln ln10ab ∴=，ln 0a <，ln101∴>，101ln10∴<<，ln ln ln10aa>，即ln ln b a >，此时01a b <<<，①可能成立．当1a >，1b >时,ln ln ln10a b =，ln 0a >，ln101>，101ln10<<，ln ln ln10aa <，即ln lnb a <，即a b >，②不可能成立，即①③可能成立，故选：C ．4．B【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，一一判断各选项中两条件之间的推理关系，即可判断出答案.【详解】对于A ，若0c =，则由22a b ac bc >>¿，∴“22ac bc >”不是“a b >”的必要条件，A 错．对于B ，22a b ac bc =⇒=，∴“22ac bc =”是“a b =”的必要条件，B 对，对于C ，若0c =，则由22ac bc =，推不出a b =，“22ac bc =”不是“a b =”的充分条件对于D ，当0c =时，22ac bc =，即22ac bc ≥成立，此时不一定有a b ≥成立，故“22ac bc ≥”不是“a b ≥”的充分条件，D 错误，故选：B ．5．B【分析】设AOC α∠=，则3tan24α=，求出1tan 3α=，利用同角三角函数关系得到10sin 10α=，cos α，求出答案.【详解】令AOC α∠=，则2AOB α∠=，232tan tan241tan ααα==-，解得1tan 3α=，即sin 1cos 3αα=，又22sin cos 1αα+=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得10sin 10α=，310cos 10α=，5C ⎛⨯ ⎝⎭，即C ⎝⎭，所以22OC ⎛= ⎝⎭ .故选：B ．6．C【分析】根据正棱锥的性质得到P ABC V -=然后根据导数分析单调性得到218a =时三棱锥的体积最大，最后求距离即可.【详解】设底面边长为a ，M 为ABC的中心，则底面面积212a a ⋅，3CM a=，PM =1334P ABC V a -==令()23193f x x x =-，()2180f x x x -'==，18x =，则018x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，18x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，()max ()8f x f =，即218a =时()max 92P ABC V -=，193322PBC S =⨯⨯=△，A 到面PBC 距离h ，则919232h=⋅，3h =.故选：C ．7．A【分析】构建()()e xf xg x x =-，根据题意分析可知()g x 在R 上单调递减，结合函数单调性解不等式.【详解】构建()()e x f x g x x =-，则()()()1e xf x f xg x '-'=-，因为()()e xf x f x <'-，则()()10e x f x f x '--<，即()0g x '<，可知()g x 在R 上单调递减，且()10g =，由()e xf x x >可得()0e x f x x ->，即()()1g x g >，解得1x <，所以不等式()e xf x x >的解集是(),1-∞.故选：A ．【点睛】关键点点睛：根据()()exf x f x <'-构建()()e xf xg x x =-，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式.8．D【分析】方法一，由题意找到点P 满足的关系式，()2211280x t x t -++=，由韦达定理可解；方法二：由题意可知点P ，Q 在抛物线上运动，利用抛物线定义可解.【详解】方法一：如图建系()11,P x y ，()22,Q x y ，圆22:(4)16C x y -+=，1AP d =，1x t =-，()222211111642x x x tx t ∴+--=-+，()2211280x t x t -++=，同理()2222280x t x t -++=，1x ∴，2x 是()22280x t x t -++=的两根，1228x x t ∴+=+，12128d d x t x t +=-+-=．方法二：以AB 所在直线为x 轴，以AH 中垂线所在直线为y 轴建系，设2AH m =，P ，Q 在:l x m =-上的射影分别为P '，Q '，PA PP =' ，AQ QQ ='，()11,P x y ∴，()22,Q x y 在抛物线24y mx =上运动，()()22222482(4)416[4]16y mxx m x m mx x m y ⎧=⎪⇒-++++=⎨-++=⎪⎩()222880x m x m m ∴+-++=两根为1x ，2x ，121228d d x x m ∴+=++=.故选：D ．【点睛】思路点睛：解决本题的关键在于由距离公式得出点P Q 、所在曲线的方程，进而结合韦达定理求解.9．BC【分析】利用极差的定义可判断A 选项；利用平均数公式可判断B 选项；利用中位数的定义可判断C 选项；利用方差公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，不妨设12nx x x <<< ，则样本数据1x ，2x ，L ，()4n x n ≥的极差为1n x x -，样本数据1y 、2y 、L 、n y 的极差为()()()11121212n n n y y x x x x -=+-+=-，因为10n x x ->，则()1112n n n y y x x x x -=->-，故A 错误；对于B 选项，设样本数据1x ，2x ，L ，()4n x n ≥的平均数为x ，即12nx x x x n +++=，所以，样本数据1y 、2y 、L 、n y 的平均数为12n y y y y n +++= ()()()()12122121212121n n x x x x x x x nn+++++++++==+=+ ，由21y x x =+=可知，当1x =-时，两组样本数据的平均数相等，故B 正确；对于C 选项，当()21n m m *=-∈N 时，设样本数据1x ，2x ，L ，()4n x n ≥的中位数为p ，样本数据1y 、2y 、L 、ny 的中位数为21p +，同理可知当1m x =-时，中位数相等，当()2n m m *=∈N 时，设样本数据1x ，2x ，L ，()4n x n ≥的中位数为q，样本数据1y 、2y 、L 、ny 的中位数为2121q q ⨯+=+，同理可知当1q =-时，两组数据的中位数相等，故C 正确；对于D 选项，设样本数据1x ，2x ，L ，()4n x n ≥的标准差为x s ，样本数据1y 、2y 、L 、ny 的标准差为ys ，则()()()222122n x x x xx x x s n-+-++-=，()()()222122n yy y y yy y s n-+-++-=()()()()()()22212212121212121n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦= ()()()22212244n xx x x x x x s n ⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦== ，因为10nx x <<，则x s =>，故2y x xs s s =>，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D 错误.故选：BC.10．ABD【分析】A 选项，根据题意得到0=t 时，25C θ=，18t =时温度最低，为19C ，然后带入解析式得到ω；BCD 选项，根据三角函数的性质判断.【详解】0=t 时，25C θ=，25C B ∴= ，第二天凌晨3：00最低为19C，此时18t =，∴2519318ππ,Z 2102A k k ωω⎧⎪-+=⎪⎪=+∈⎨⎪⎪<<⎪⎩，∴6π12A ω=⎧⎪⎨=⎪⎩，A 对．()6sin2512f x t π=+，令122t ππ=即6t =时()f t 取最大值，6t =对应下午3：00，B 对．()28f t =，2t =或10，上午11：00或下午7：00，C 错．1420t ≤≤时，()1922f t ≤≤，D 对.故选：ABD ．11．BCD【分析】方法一：AB 选项，利用空间向量的方法判断；C 选项，将PC PD +的长度转化为(),0P λ与2,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,3F ⎛ ⎝⎭距离之和，然后根据几何性质判断；D 选项，利用函数的性质得到13λ=时PA 最小，然后根据球的性质求弧长即可；方法二：A 选项，根据三垂线定理判断；B 选项，利用空间向量的方法判断；C 选项，将PC PD +转化为平面上的长度，然后根据两点之间线段最短求最小值即可；D 选项，根据题意得到球O 半径最小值为A 到1BD 的距离，然后根据球的性质求弧长.【详解】方法一：如图，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()2,2,0B ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()10,2,2C ，()12,2,2BD =--，()12,2,2AC =-,1BP BD λ=，则()22,22,2P λλλ--，对于A ，因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11AB A B⊥，11AD A D⊥由三垂线定理得11AC A B⊥，11AC A D⊥，因为111A B A D A = ，11,A B A D ⊂平面1A DB，所以1AC ⊥平面1A DB，()12,2,2AC =-是平面1A BD 一个法向量，假设⊥CP 面1A DB，则()22,2,2CP λλλ=--与()2,2,2-共线矛盾，假设不成立，A 错．对于B ，若存在P ，1C P 与1A DB 所成角为30 ，则160AC P ∠= 或120︒，11,60C A C P 〈〉= 或120︒，111112C A C P C A C P ⋅∴==λ=不满足条件，假设不成立，B 对．对于C，PC PD +==．表示(),0P λ与2,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12,33F ⎛⎝⎭距离之和，1PEPF EF +≥=，PC PD +≥C 对．对于D，PA ==13λ=时PA 最小，442,,333P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PA =，设截面小圆的圆心为N ，半径为r ，则NP ⊥平面11ADD A ，所以42,0,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，r =，因为NA =，所以球与面11ADD A N为圆心，3为半径的圆弧，因为190A AD ∠=︒，所以Q 在正方形11ADD A内轨迹为半圆，弧长12233=⋅⋅=π，选项D正确；方法二：对于A ，若⊥CP 平面1A DB，则CP BD ⊥，由三垂线定理知P 为1BD 中点，但此时CP 不与1A D垂直，故不存在这样的P ，A不正确；对于B ，同法一，B 正确；对于C ，可将面1DD B与面1D BC摊平，PC PD CD ∴+≥=C正确．对于D ，球O 半径最小值为A 到1BD的距离min R =，3OB =，143OO =，O 在面11ADD A上的射影为1O ，∴截面圆半径223r =，过1O 作1MN A D ∥分别交AD ，1AA 于M ，N ，111223O A O M O N ===，∴球O 被正方体11ADD A 截得的弧长是半圆弧 MN，长为=π，D 正确，故选：BCD ．12．BD 【分析】计算()()1--+f x f x 是否得0可判断A ；利用导数判断出单调性可判断B ；结合单调性、值域可判断C ；转化为求()f x 最小值可判断D.【详解】对于A ，()()10f x f x --+=≠，()f x 不是关于1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 错误；对于B ，()f x '=()22121x x x +-+=2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，2x <时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，故B 正确；对于C ，12x <-时，()0f x <，12x >时，()0f x >，且()f x 在(),2-∞上单调递增，0t <如1t =-时，()f x t =只有一个根，故C 错误；对于D ，由2x >时，()f x 单调递减，2x <时，()f x 单调递增，所以()()2≤=f x f ，(),x f x m ∀∈>R ，即求()f x 最小值，当12x <-时，()0f x <，且221014<++<+x x x ，所以()2f x =--，2m ∴≤-．故D 正确.故选：BD ．【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用导数判断出单调性再解题.13．2【分析】由双曲线方程可得,,a b c .【详解】由双曲线方程可知224,5a k b k =-=-，所以2451c k k =-+-=，1c =，22c =．故答案为：214．2-【分析】利用分段函数求解即可.【详解】11213f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()11133f f f a a ⎡⎤⎛⎫=-=---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2a ∴=-．故答案为：2-15．8(152π16+【分析】根据题意，归纳可得每进行一次操作，线段iBA 以B 为圆心，逆时针方向旋转45°，由此可得第一空答案；分析可得每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的22，则弧长变为上一次操作的22，所以{}1n n A A +是以π为首项，22为等边的等比数列，利用等比数列求和公式即可得出答案.【详解】根据题意，归纳可得每进行一次操作，线段iBA 以B 为圆心，逆时针方向旋转45°，所以π2π4n ⋅=，8n ∴=，即8i =；01π2π2A A =⋅=，12π2π22A A =，以后每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的22，则弧长变为上一次操作的22，所以{}1n n A A+是以π为首项，22为等边的等比数列，则圆弧总长()82π121522π16212⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭==-．故答案为：8；() 1522π16+.16．2628±【分析】分类讨论作出二面角的平面角，然后根据余弦定理求角.【详解】如图，过l上一点Q作OE l⊥交m于点E，QF l⊥交n于点F设3PQ=，QE x∴=，3QF x=，22221(3)23432EF x x x x x x=+⋅=-22224643262cos226x x x xEPFx x+-++∴∠=⋅⋅如图，设3PQ x=，3QF∴=，6PF=，QE x=，2PE x=，120EQF∠= ，22221323432EF x x x x x x⎛⎫∴=+-⋅⋅⋅-=+⎪⎝⎭2222464363262cos22646x x x xEPFx x+----∴∠===⋅⋅，故答案为：.17．(1)21n a n =-(2)14n n b -=【分析】（1）根据等差数列{}n a 的n a 与n S 之间的关系，可得2n ≥时21n a n c =-+，结合112a c =+，求出c 的值，即可得答案；（2）由题意可得不等式210212m n -<-≤，求出n 的范围，结合mb 的含义，即可得答案.【详解】（1）2n S n cn c =++ ，2n ∴≥时，()221(1)121n n n a S S n cn c n c n c n c-=-=++-----=-+因为{}n a 为等差数列，故1112a S c ==+也符合上式，112c c ∴+=+，0c ∴=，21n a n ∴=-．（2）由题意知mb 为{}n a 在区间(212,2m -⎤⎦中项的个数，令210212m n -<-≤，21222111222m m n --+∴≤≤=+，*N n ∈，2212m n -∴≤≤，222m m b -∴=，22124n n n b --∴==.18．(1)0.02σ=(2)62根【分析】（1）求出()6.04P X ≥，进而求出( 6.04)P X <即可求解；（2）根据题意求出(5.95 6.05)P X <<即可求解.【详解】（1）()1146.040.02285000P X ≥==，( 6.04)0.9772P X ∴<=，60.040.040.9772x P P Z σσσ-⎛⎫⎛⎫∴<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0.04Φ0.9772σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.042σ∴=，0.02σ∴=；（2）6(5.95 6.05) 2.5 2.50.02X P X P -⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭()2Φ2.5120.993810.9876=-=⨯-=，∴不合格的金属棒有：()500010.987662⨯-=根．19．(1)12或2(2)1-【分析】（1）由余弦定理和面积公式，结合条件即可得出答案；（2）由面积公式和正弦定理化简求出A ，即可得出答案.【详解】（1）余弦定理得2222212cos 22b a c ac B a c ac =+-⋅=+-⋅①，1π1sin 2322ABCS ac bh ac bh ==⇒= ，又b =，所以22ac =232b ac =，代入①得2252a c ac +=，22520c c a a ⎛⎫∴-⋅+= ⎪⎝⎭，12c a ∴=或2．（2）()1π11sin 2322ABC S ac ac bh b c a==⋅⇒=-由正弦定理得()sin sin sin sin 2A C B C A =-，又πsin sin()sin()3C A B A =+=+，ππsin sin sin 33A A A A ⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin sin cos sin cos sin 22A A A A A A ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，1π1πsin 2sin 2643A A ⎛⎫⎛⎫∴-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12π1πcos 2sin 2343A A ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ212sin 4sin 1033A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴----+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2ππ4sin 4sin 3033A A ⎛⎫⎛⎫∴-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ2sin 12sin 3033A A ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，π1sin 32A ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，πππ366A A -=⇒=，13sin 122A A ∴=-=-．20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）过N 作NG CD ∥交PD 于点G ，连接AG ，结合线面平行的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，向量法求二面角的平面角.【详解】（1）过N 作NG CD ∥交PD 于点G ，连接AGMN ∥平面PAD ，MN ⊂平面AMNG ，平面AMNG 平面PAD AG =，MN AG ∴∥，又NG CD AM ∥∥，∴四边形AMNG 为平行四边形，12NG AM CD ∴==，N ∴，G 分别为PC ，PD 的中点，MN PC ⊥ ，AG PC ∴⊥，又PA AD = ，G 为PD 的中点，AG PD ∴⊥，,PC PD P PC PD =⊂ 、平面PCD ，AG ∴⊥平面PCD ，AG CD ∴⊥，又CD AD ⊥ ，,AG AD A AG AD =⊂ 、平面PAD ，CD \^平面PAD ．（2）如图建系，()1,0,0M ∴，()2,2,0C，(0,P -．131,22N ⎛ ⎝⎭，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()1,2,0MC ∴=，130,22MN ⎛= ⎝⎭ ，(0,3,3PD = ，()2,2,0BD =-uu u r ，设平面MNC 与平面PBD 的一个法向量分别为()1111,,n x y z =，它们所成二面角为θ，()2222,,n x y z =，所以()12122203,3,11302x y n y +=⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩ ，(222223303220y n x y ⎧=⎪⇒=⎨-+=⎪⎩ ，12122315|cos |45n n n n θ⋅∴===⨯ ，85sin θ=．21．(1)单调递增(2)[)2,+∞【分析】（1）根据条件，得到()e cos 2x f x x =+-，再根据导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（2）构造函数()e cos 3sin 2x g x x x ax =+-+-，将问题转化成()0g x ≥对[)0,x ∞∀∈+恒成立，即()min 0g x ≥，再对()g x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果.【详解】（1）因为()e cos x f x m x n=++，所以()e sin x f x m x'=-，由题有()()0100f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即110m m n =⎧⎨++=⎩，解得12m n =⎧⎨=-⎩所以()e cos 2x f x x =+-，()e sin x f x x=-'，当[]π,0x ∈-时，sin 0,e 0xx ≤>，所以()0f x ¢>，又当()0,x ∈+∞时，e 1x >，所以()1sin 0f x x >'-≥，即()0f x ¢>在区间[)π,-+∞上恒成立，所以()f x 在区间[)π,-+∞上单调递增．（2）由e cos 23sin x x x ax +-≥-对[)0,x ∞∀∈+恒成立，即e cos 3sin 20x x x ax +--+≥对[)0,x ∞∀∈+恒成立，令()e cos 3sin 2x g x x x ax =+-+-，所以()0g x ≥对[)0,x ∞∀∈+恒成立，则()e sin 3cos x g x x x a '=--+，令()e sin 3cos x h x x x a=--+，则()e cos 3sin x h x x x'=-+，当[]0,πx ∈时，由于3sin 0x ≥，e 1x ≥，1cos 1x -≤≤，所以()0h x '≥，当且仅当0x =时取等号，当π(,)x ∈+∞时，π3e e 28x >>=，所以()0h x '>，所以()e sin 3cos x h x x x a=--+在区间[)0,x ∞∀∈+上单调递增，故()()0=132g x g a a ''≥-+=-，当2a ≥时，()()00g x g ''≥≥，所以()g x 在区间[)0,∞+上单调递增，又()00e cos03sin002220g a =+-+⨯-=-=，所以2a ≥符合题意，当2a <时，因为()020g a -'=<，则存在00x >，使得00()g x '=，所以()g x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，又()00g =，则0(0,)x x ∈时，()0g x <，不合题意，综上：a 的取值范围为[)2,+∞．【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．(1)⎫⎪⎪⎣⎭(2)54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）设()00,A x y ，()00,B x y --，(),0F c -，0FA FB FA FB ⊥⇒⊥= ，可得22222020,c c b x c a ⎡⎤-=∈⎣⎦，222c a ∴≥，可解；（2）设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，分别写出直线AD BD 、方程，由分别过()2,0P a 和()1,0Q ，可得()1221122a y y x y x y -=-和121221y y x y x y +=+，从而化简得2a =，则椭圆C 方程：22143x y +=．当MN斜率为0时，4OM ON ⋅=- ，当MN 斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，可求OM ON ⋅ 范围.【详解】（1）设()00,A x y ，()00,B x y --，2200221x y a b +=，(),0F c -，0FA FB FA FB ⊥⇒⊥= ，()00,FA x c y =+，()00,FB c x y =--，222222220000200b c x y c x b x a ∴--=⇒--+=，22222020,c c b x c a ⎡⎤∴-=∈⎣⎦，222220c b c a c ∴-≥⇒≥-，222c a ∴≥，12e ≤<，即e的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭．（2）设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，AD ∴方程：()1212122111121212yyy y x y x yy x x y x x x x x x x ---=-+=+---它过()2,0P a ，()1221122a y y x y x y ∴-=-①BD 方程为：()2112122111212121y y y y x y x yy x x y x x x x x x x +++=--=----它过()1,0Q ，121221y y x y x y ∴+=+②①②()()22222222222222221122112*********y ya y y x y x y a y a y a y yb b ⎛⎫⎛⎫⇒-=-=---⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22a a ⇒=，2a ∴=，而12e =，1c ∴=，b =椭圆C 方程：22143x y +=．①当MN 斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()22221346903412x my m y my x y =+⎧∴⇒++-=⎨+=⎩()()()()21212121212121111OM ON x x y y my my y y m y y m y y ∴⋅=+=+++=++++ ()22222296159111343434m m m m m m ---=+⋅-+=++++211544,344m ⎛⎤=-+∈-- ⎥+⎝⎦．②当MN 斜率为0时，()2,0M -，()2,0N ，4OM ON ⋅=- ，OM ON ∴⋅ 的取值范围为54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式；（5）代入韦达定理求解.。
2020-2021高中必修一数学上期末一模试题及答案(1)
2020-2021高中必修一数学上期末一模试题及答案(1)一、选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞3．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．76．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－18．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 9．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}10．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．12．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题13．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.14．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a-=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 15．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______. 16．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数2logy x=，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.17．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 18．若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.19．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．20．已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()4f =______. 三、解答题21．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t . 22．已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R ．（1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若函数()f x 在[]1,2x ∈上有最大值为3，求实数m 的值．23．已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或 ，{}213U B x x p x p 或=-+ð．（1）若12p =，求A B ⋂； （2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．24．某支上市股票在30天内每股的交易价格P （单位：元）与时间t （单位：天）组成有序数对(),t P ，点．(),t P 落在．．如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （单位：万股）与时间t （单位：天）的部分数据如下表所示： 第t 天4 10 16 22 Q （万股）36302418（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P 与时间t 所满足的函数解析式；（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量Q 与时间t 的一次函数解析式；（Ⅲ）若用y （万元）表示该股票日交易额，请写出y 关于时间t 的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？ 25．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求集合； （2）若且，求的取值范围．26．已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围. （注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．B解析：B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <…，341x x =g ，从而得解【详解】 解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示：依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈ 所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.4．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数，且函数过点[],0π，从而得出结论．【详解】由于函数()2sin f x x x =是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B 和D ；又函数过点(),0π，可以排除A ，所以只有C 符合． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x 轴的交点，属于基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.8．C解析：C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，0.5230.8660.3430662f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，0.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.10．C【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，若，则在上单调递减，又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C ，D.若，则在上是增函数，函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性二、填空题13．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）解析：23 【解析】 【分析】由已知可得()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案． 【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()221x f x ++]＝13， ∴()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13， 即f （x ）＝﹣x 221++a ，f （a ）＝﹣x221++a ＝13， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x221++1， ∴f （log 25）＝23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键，属于中档题．14．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇 解析：[2015,2019]【解析】 【分析】由函数()f x 是偶函数，求出a ，这样可求得集合D ，得b 的取值范围，从而可得结论． 【详解】∵函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，∴()()f x f x -=，即1122b bx a a x a a ---+-=--+-， x a x a -=+，平方后整理得0ax =，∴0a =，∴2{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤， 由b D ∈，得20b -≤≤． ∴22015201532019a b ≤-+≤． 故答案为：[2015,2019]． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式．解题关键是由函数的奇偶性求出参数a ．15．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+，得44,e cd e d c--==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(43,c e e --⎤∈⎦，所以(()4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x-=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D 的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函解析：11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】由图像可知，点(),2A A x 在函数2logy x=的图像上，所以22Ax =，即22122A x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122Bx =，4B x =.因为点()4,C C y 在函数2x y =⎝⎭的图像上，所以4214C y ==⎝⎭.又因为12D A x x ==，14D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为11,24⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析：2(0)x x ≥【解析】 【分析】根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解． 【详解】因为点(4,2)在幂函数()()f x x R αα=∈的图象上，所以24α=，解得12α=， 所以幂函数的解析式为12y x =， 则2x y =，所以原函数的反函数为12()(0)f x x x -=≥．故答案为：12()(0)f x x x -=≥【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【解析：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+Q 为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解， 整理得：20x x a a t -+=， 令,0xm a m => ，20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可，解得104t <<， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.19．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围． 【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22xf x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++，()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥，解得112a ≤<；当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22xf x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>，则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立． 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知 解析：82【解析】 【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式，从而即可求解出()4f 的值. 【详解】令()3xf x t -=，所以()3xf x t =+，又因为()4f t =，所以34t t +=，又因为34ty t =+-是R 上的增函数且1314+=，所以1t =， 所以()31xf x =+，所以()443182f =+=.故答案为：82. 【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知()()f g x 的解析式，可考虑用换元的方法（令()g x t =）求解出()f x 的解析式.三、解答题21．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】 【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解; (2)根据二次函数的性质,分类讨论即可. 【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+,当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题. 22．（1）(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞（2）1m = 【解析】 【分析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间()1,1-上即可；（2）由题意，分类讨论，当()13f =时和当()23f =时分别求m 值，再回代检验是否为最大值. 【详解】解：（1）对于函数()f x ，开口向上，对称轴2m x =， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时，12m≤-，解得2m ≤-， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时，12m≥，解得2m ≥， 综上，(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞．（2）由题意，函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值， 当()13f =时，解得1m =-，此时3为最小值，不合题意，舍去； 当()23f =时，解得1m =，此时3为最大值，符合题意． 综上所述，1m =． 【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型. 23．（1）722⎛⎤ ⎥⎝⎦，； （2）342p p -或． 【解析】 【分析】由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+,（1）当12p =时，结合交集的定义计算交集即可； （2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围.【详解】因为{}213U B x x p x p =-+，或ð， 所以(){}213UUB B x p x p ==-≤≤+痧,（1）当12p =时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤⋂ ⎥⎝⎦，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213212p p p -≤+⎧⎨->⎩解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或432p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩； 即4p <-或342p <≤. 综上，实数p 的取值范围342p p-或．【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．（Ⅰ）12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）40Q t =-+；（Ⅲ）第15天交易额最大，最大值为125万元． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由一次函数解析式可得P 与时间t 所满足的函数解析式； （Ⅱ）设Q kt b =+，代入已知数据可得；（Ⅲ）由y QP =可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得． 【详解】（Ⅰ）当020t <≤时，设11P k t b =+，则1112206b k b =⎧⎨+=⎩，解得11215b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，当2030t ≤≤时，设22P k t b =+，则2222206305k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得228110b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以12,020518,203010t t P t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．（Ⅱ）设Q kt b =+，由题意4361030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得140k b =-⎧⎨=⎩，所以40Q t =-+．（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得1(2)(40),02051(8)(40),203010t t t y t t t ⎧+-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-+<≤⎪⎩即221680,0205112320,203010t t t y t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，当020t <≤时，2211680(15)12555y t t t =-++=--+，15t =时，max 125y =，当20t 30<≤时，221112320(60)401010y t t t =-+=--，它在(20,30]上是减函数， 所以21(2060)4012010y <⨯--=． 综上，第15天交易额最大，最大值为125万元． 【点睛】本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得． 25．（1）（2）【解析】 试题分析：（1）当时，利用分式不等式的解法，求得；（2）根据一元二次不等式的求解方法，解得，由于，故.，则.试题解析：（1）当时， 原不等式为：集合（2）易知：，；由，则，∴的取值范围为26．（1）12k =-（2）(]9,log 2-∞ 【解析】 【分析】(1)由偶函数定义()()f x f x -=,代入解析式求解即可;(2)题设条件可等价转化为()9log 91xa x ≤+-对(],0x ∈-∞恒成立,因此设()()9log 91x g x x =+-,求出其在(],0x ∈-∞上的最小值即可得出结论.【详解】(1)∵函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈ 是偶函数.∴()()f x f x -=, ∴()()99log 91log 91xx kx kx -+-=++,∴()()999912log 91log 91log 91x xxx kx x --+-=+-+==+,∴12k =-. (2)由(1)知,()()91log 912xf x x =+-,不等式1()02f x x a --≥即为()9log 91x a x ≤+-, 令()()9log 91x g x x =+-,(],0x ∈-∞, 则()()()99991log 91log log 199x xx x x g x -+=+-==+, 又函数()g x 在(],0-∞上单调递减,所以()()9min 0log 2g x g ==,∴a 的取值范围是(]9,log 2-∞.【点睛】本题考查函数奇偶性的定义运用以及不等式恒成立问题,属于中档题.解决不等式恒成立问题时,一般首选参变分离法,将恒成立问题转化为最值问题求解.。
2025届江苏省常州市常州中学高三数学第一学期期末复习检测试题含解析
2025届江苏省常州市常州中学高三数学第一学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-3．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -4．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2nx ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1206．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 7．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．78．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+11．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20206log a =（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．212．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021常州市河海中学高三数学下期末一模试题(及答案)
2020-2021常州市河海中学高三数学下期末一模试题(及答案)一、选择题1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24B ．16C ．8D ．122．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜03．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u uv u u u vB ．1344AB AC -u u uv u u u vC ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v4．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．1005．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5}6．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，77．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．14B ．12C ．22D 28．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．在ABC V 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)11．在[0,2]π内，不等式3sin x <的解集是（ ） A ．(0)π，B ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭12．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 二、填空题13．若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.14．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 15．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.16．在ABC V 中，60A =︒，1b =，面积为3，则sin sin sin a b cA B C++=++________．17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______．18．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 19．已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则cos β=_____． 20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.22．设函数22()ln (0)f x a x x ax a =-+>（Ⅰ）求()f x 单调区间（Ⅱ）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对[1,e]x ∈恒成立 注：e 为自然对数的底数23．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．25．选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围； （2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围.26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP =u u u v u u u v.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u v u u u v.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。
江苏省常州市2020届高三上学期期末考试+数学+Word版含答案
2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．1 参考公式：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n(x i －x －)2，其中x －＝1nx i .一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．(第3题)1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2＞0}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 满足z·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．4. 函数y ＝2x －1的定义域是________．5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________．6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1x －1，x ≤0，－x 23，x ＞0，则f(f(8))＝________．8. 函数y ＝3sin(2x ＋π3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________．9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________．10. 已知cos （π2－α）cos α＝2，则tan 2α＝________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________．12. 已知函数f(x)＝|lg(x －2)|，互不相等的实数a ，b 满足f(a)＝f(b)，则a ＋4b 的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0，1)的距离为2，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 满足AD →＝23AC →，且对任意x ∈R ，|xAC →＋AB →|≥|AD →－AB →|恒成立，则cos ∠ABC ＝________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，cos B ＝33. (1) 若A ＝π3，求sin C 的值；(2) 若b ＝2，求c 的值．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP ＝AD ，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证：(1) MN ∥平面PBC ； (2) PC ⊥AM.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆右顶点为A ，点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知AM →＝－132AN →，求直线F 1M 的斜率．请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 2 cm的正方形硬纸片(如图1)，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2)，设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm)．(1) 若要求包装盒侧面积S不小于75 cm2，求x的取值范围；(2) 若要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积．已知函数f(x)＝(ax2＋2x)ln x＋a2x2＋1(a∈R)．(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e ≈2.718 28…)设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{A n }，{B n }满足：存在正数L ，当n ∈N *且n ≤m 时，都有|A n －B n |≤L ，则称数列{A n }，{B n }是“(m ，L)接近的”．已知无穷等比数列{a n }满足8a 3＝4a 2＝1，无穷数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1＝12，n ∈N *.(1) 求数列{a n }通项公式；(2) 求证：对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”；(3) 给定正整数m(m ≥5)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{b 2n ＋k}(其中k ∈R )是“(m ，L)接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k(均用m 表示)．(参考数据：ln 2≈0.69)2020届高三模拟考试试卷(五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-2：矩阵与变换)已知点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 4对应的变换作用下得到点(4，6)．(1) 写出矩阵A 的逆矩阵； (2) 求a ＋b 的值．B. (选修4-4：坐标系与参数方程)求圆心在极轴上，且过极点与点P(23，π6)的圆的极坐标方程．C. (选修4-5：不等式选讲) 求函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X表示这3个样品中优等品的个数．(1) 求取出的3个样品中有优等品的概率；(2) 求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．23. 设集合A＝{1，2}，A n＝{t|t＝a n·3n＋a n－1·3n－1＋…＋a1·3＋a0，其中a i∈A，i＝0，1，2，…，n}，n∈N*.(1) 求A1中所有元素的和，并写出集合A n中元素的个数；(2) 求证：能将集合A n(n≥2，n∈N*)分成两个没有公共元素的子集B s＝{b1，b2，b3，…，b s}和C l＝{c1，c2，c3，…，c l}，s，l∈N*，使得b21＋b22＋…＋b2s＝c21＋c22＋…＋c2l成立．2020届高三模拟考试试卷(五)(常州)数学参考答案及评分标准1. {－1，1}2. －13. 104. [0，＋∞)5. 26. 7107. －15 8. π129. 64 10. －22 11. 2 12. 14 13. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172 14. 5132615. 解：(1) 在△ABC 中，0＜B ＜π，则sin B ＞0.因为cos B ＝33，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－（33）2＝63.(3分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)，(5分) 所以sin C ＝sin(π3＋B)＝sin π3cos B ＋cos π3sin B ＝32×33＋12×63＝3＋66.(8分)(2) 由余弦定理得b 2＝a 2－2accos B ＋c 2，则(2)2＝1－2c·33＋c 2，(10分)所以c 2－233c －1＝0，(c －3)(c ＋33)＝0.(12分)因为c ＋33＞0，所以c －3＝0，即c ＝ 3.(14分) 16.证明：(1) 取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ， 在三角形PCD 中，点M ，E 为PD ，PC 的中点， 所以EM ∥CD ，EM ＝12CD.在三角形ABC 中，点F ，N 为BC ，AC 的中点， 所以FN ∥AB ，FN ＝12AB.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，AB ＝CD ，从而EM ∥FN ，EM ＝FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形．(4分)所以MN ∥EF ，又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以MN ∥平面 PBC.(6分) (2) 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD.(8分)因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD. 又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM.(10分)因为AP ＝AD ，点M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD. 因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD.(12分)又PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AM.(14分)17. 解：(1) 圆A ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心A(2，0)，半径r ＝1，与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)．点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上，所以F 2(1，0)，从而a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝22－12＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 由题可设点M(x 1，y 1)，0＜x 1＜2，y 1＜0，点N(x 2，y 2)，x 2＞0，y 2＞0， 则AM →＝(x 1－2，y 1)，AN →＝(x 2－2，y 2)． 由AM →＝－132AN →知，点A ，M ，N 共线．(5分)由题知直线AM 的斜率存在，可设为k(k ＞0)，则直线AM 的方程为y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），（x －2）2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋1＋k 21＋k 2，y ＝k 1＋k 21＋k 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1＋k 21＋k 2，y ＝－k 1＋k21＋k 2，所以N(2＋1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2)．(7分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－63＋4k 2，y ＝－12k 3＋4k2，所以M(8k 2－63＋4k 2，－12k3＋4k 2)．(10分)代入AM →＝－132AN →得(8k 2－63＋4k 2－2，－12k 3＋4k 2)＝－132(1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2)，即(4k 2－9)(52k 2＋51)＝0，又k ＞0，解得k ＝32，(13分)所以M(1，－32)，又F 1(－1，0)，可得直线F 1M 的斜率为－321－（－1）＝－34.(14分)18. 解：(1) 在图1中连结AC ，BD 交于点O ，设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP.因为ABCD 是边长为10 2 cm 的正方形，所以OB ＝10(cm)． 由FG ＝x ，得OM ＝x 2，PM ＝BM ＝10－x2.(2分)因为PM ＞OM ，即10－x 2＞x2，所以0＜x ＜10.(4分)因为S ＝4×12FG ·PM ＝2x(10－x2)＝20x －x 2，(6分)由20x －x 2≥75，得5≤x ≤15，所以5≤x<10.答：x 的取值范围是5≤x ＜10.(8分)(2) 在Rt △OMP 中，因为OM 2＋OP 2＝PM 2， 所以OP ＝PM 2－OM 2＝（10－x 2）2－（x2）2＝100－10x ，V ＝13·FG 2·OP ＝13x 2100－10x ＝13100x 4－10x 5，0＜x ＜10.(10分)设f(x)＝100x 4－10x 5，0＜x ＜10，所以f′(x)＝400x 3－50x 4＝50x 3(8－x)． 令f′(x)＝0，解得x ＝8或x ＝0(舍去)，(12分) 列表：x (0，8) 8 (8，10) f′(x) ＋0 －f(x)极大值所以当x ＝8时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，(14分) 所以当x ＝8时，V 的最大值为12853.答：当x ＝8 cm 时，包装盒容积V 最大为12853(cm 3)．(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝(2ax ＋2)ln x ＋(ax 2＋2x)·1x ＋ax ＝2(ax ＋1)ln x ＋2ax ＋2＝2(ax ＋1)(ln x ＋1)，(2分)则f′(1)＝2(a ＋1)＝2，所以a ＝0.(3分)此时f(x)＝2xln x ＋1，定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2(ln x ＋1)， 令f′(x)＞0，解得x ＞1e ；令f′(x)＜0，解得x ＜1e；所以函数f(x)的单调增区间为(1e ，＋∞)，单调减区间为(0，1e)．(6分)(2) 函数f(x)＝(ax 2＋2x)ln x ＋a2x 2＋1在区间[1，e]上的图象是一条不间断的曲线．由(1)知f′(x)＝2(ax ＋1)(ln x ＋1)，1) 当a ≥0时，对任意x ∈(1，e)，ax ＋1＞0，ln x ＋1＞0，则f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x ∈(1，e)，都有f(x)＞f(1)＝a2＋1＞0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(8分)2) 当a ＜0时，令f′(x)＝0，得x ＝1e 或－1a ，其中1e＜1，①若－1a≤1，即a ≤－1，则对任意x ∈(1，e)，f ′(x)＜0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递减，由题意得f(1)＝a 2＋1＞0，且f(e)＝ae 2＋2e ＋a2e 2＋1＜0，解得－2＜a ＜－2（2e ＋1）3e 2，其中－2（2e ＋1）3e 2－(－1)＝3e 2－4e －23e 2＞0，即－2（2e ＋1）3e 2＞－1，所以a 的取值范围是－2＜a ≤－1；(10分)②若－1a ≥e ，即－1e ≤a ＜0，则对任意x ∈(1，e)，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x ∈(1，e)，都有f(x)＞f(1)＝a2＋1＞0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(12分)③若1＜－1a ＜e ，即－1＜a ＜－1e ，则对任意x ∈(1，－1a )，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，－1a ]上单调递增，对任意x ∈(1，－1a ]，都有f(x)＞f(1)＝a2＋1＞0成立；(1分)对任意x ∈(－1a ，e)，f ′(x)＜0，函数f(x)在区间[－1a ，e]上单调递减，由题意得f(e)＝ae 2＋2e ＋a2e 2＋1＜0，解得a ＜－2（2e ＋1）3e 2，其中－2（2e ＋1）3e 2－(－1e )＝3e －4e －23e 2＝－e －23e 2＜0，即－2（2e ＋1）3e 2＜－(－1e )， 所以a 的取值范围是－1＜a ＜－2（2e ＋1）3e 2.(15分)综上，实数a 的取值范围是－2＜a ＜－2（2e ＋1）3e 2.(16分)20. 解：(1) 设等比数列{a n }公比为q ，由8a 3＝4a 2＝1得8a 1q 2＝4a 1q ＝1， 解得a 1＝q ＝12，故a n ＝12n .(3分)(2) |a n －(a 2n ＋1)|＝⎪⎪⎪⎪12n －（14n ＋1）＝⎪⎪⎪⎪（12n －12）2＋34＝(12n －12)2＋34.(5分) 对任意正整数m ，当n ∈N *，且n ≤m 时，有0＜12m ≤12n ≤12，则(12n －12)2＋34＜14＋34＝1，即|a n －(a 2n ＋1)|≤1成立， 故对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”．(8分) (3) 由S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1＝12，得到S n (b n ＋1－b n )＝12b n b n ＋1，且b n ，b n ＋1≠0，从而b n ＋1－b n ≠0，于是S n ＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）.(9分)当n ＝1时，S 1＝b 1b 22（b 2－b 1），b 1＝1，解得b 2＝2；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）－b n －1b n2（b n －b n －1），又b n ≠0，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n ，所以b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，因此数列{b n }为等差数列． 因为b 1＝1，b 2＝2，则数列{b n }的公差为1，故b n ＝n.(11分)根据条件，对于给定正整数m(m ≥5)，当n ∈N *且n ≤m 时，都有⎪⎪⎪⎪1a n －（b 2n ＋k ）＝|2n －(n 2＋k)|≤L 成立， 即－L ＋2n －n 2≤k ≤L ＋2n －n 2 ①对n ＝1，2，3，…，m 都成立．(12分)考查函数f(x)＝2x －x 2，f ′(x)＝2x ln 2－2x ，令g(x)＝2x ln 2－2x ，则g′(x)＝2x (ln 2)2－2，当x ＞5时，g′(x)＞0，所以g(x)在[5，＋∞)上是增函数． 因为g(5)＝25ln 2－10＞0，所以当x ＞5时，g(x)＞0，则f′(x)＞0， 所以f(x)在[5，＋∞)上是增函数．注意到f(1)＝1，f(2)＝f(4)＝0，f(3)＝－1，f(5)＝7，故当n ＝1，2，3，…，m 时，－L ＋2n －n 2的最大值为－L ＋2m －m 2， L ＋2n －n 2的最小值为L －1.(14分) 欲使满足①的实数k存在，必有－L ＋2m －m 2≤L －1，则L ≥2m －m 2＋12，因此L 的最小值2m －m 2＋12，此时k ＝2m －m 2－12.(16分)2020届高三模拟考试试卷(常州) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2321－12.(4分) (2) 点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1324对应的变换作用下得到点(4，6)，所以A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，(6分)所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2321－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，(8分) 所以a ＝1，b ＝1，得a ＋b ＝2.(10分) B. 解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是ρ＝2rcos θ. 因为点P(23，π6)在圆上，所以23＝2rcos π6，解得r ＝2.因此所求圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.(10分) C. 解：函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的定义域为[0，＋∞)，x ＋1＞0.(2分)x －2x ＋6x ＋1＝（x ＋1）2－4（x ＋1）＋9x ＋1＝(x＋1)＋9x ＋1－4≥2（x ＋1）·9x ＋1－4＝2， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝4时取到“＝”．(8分)所以当x ＝4时，函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值为2.(10分)22. 解：(1) 记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，则A 表示“取出的3个样品中没有优等品”，P(A)＝(1－0.3)3＝3431 000，所以P(A)＝1－P(A)＝1－3431 000＝6571 000.(3分)答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571 000.(4分)(2) X ～B(3，0.3)，P(X ＝k)＝C k 30.3k (1－0.3)3－k ，k ＝0，1，2，3，(6分) 随机变量X 的分布如表：(8分)E(X)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910.答：随机变量X的数学期望是910.(10分)23. 解：(1) A1＝{t|t＝a1·3＋a0，其中a i∈A，i＝0，1}＝{4，5，7，8}．所以A1中所有元素的和为24，集合A n中元素的个数为2n＋1.(2分)(2) 取s＝l＝2n.下面用数学归纳法进行证明．①当n＝2时，A2＝{13，14，16，17，22，23，25，26}，(3分)取b1＝13，b2＝17，b3＝23，b4＝25，c1＝14，c2＝16，c3＝22，c4＝26，有b1＋b2＋b3＋b4＝c1＋c2＋c3＋c4＝78，且b21＋b22＋b23＋b24＝c21＋c22＋c23＋c24＝1 612成立．(4分)即当n＝k＋1时也成立．(9分)综上可得：能将集合A n，n≥2分成两个没有公共元素的子集B s＝{ b1，b2，b3，…，b s}和C l＝{c1，c2，c3，…，c l}，s，l∈N*，使得b21＋b22＋…＋b2s＝c21＋c22＋…＋c2l成立．(10分)。
江苏省常州市2020届高三上学期期末学业水平监测数学试题 Word版含答案
常州市教育学会学业水平监测高三数学 2020.1一、填空题：1. 已知集合{}{}21,0,1,|0A B x x =-=>，则A B ⋂=2. 若复数z 满足1,z i i ⋅=-则z 的实部为3. 右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是4. 函数21x y =-的定义域是5. 已知一组数据17,18,19,20,21，则该组数据的方差是6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是7. 已知函数231,0,1(),0,x x f x x x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩ 则((8))f f =8. 函数3sin(2),[0,]3y x x ππ=+∈取得最大值时自变量x 的值为9. 等比数列{}n a 中，若12341,4,2,a a a a =成等差数列，则17a a =10. 已知cos 22cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，则tan 2α=11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A,过A 做x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B,若2OB a =，则C 的离心率为12. 已知函数()lg(2),f x x =-互不相等的实数,a b 满足()()f a f b =，则4a b +的最小值为13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆222:22210C x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点（0,1）的距离为2，则实数a 的取值范围是14. 在ABC ∆中，,3A π∠=点D 满足23AD AC =u u u r u u u r，且对任意,x R xAC AB AD AB ∈+≥-u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立，则cos ABC ∠=二、解答题：15. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知31,cos 3a B ==。
江苏省常州市2020届高三数学上学期期末考试试题含解析
江苏省常州市2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题一第14题）、解答题（第15题一第20题）.本卷满分160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式： 棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高. 样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,0,1A =-，{}2|0B x x =>，则AB =______.【答案】{}1,1- 【解析】 【分析】求出集合B ，即可得出AB【详解】∵集合{}2|0B x x => ∴集合{}|0B x x =≠ ∵集合{}1,0,1A =- ∴{}1,1A B ⋂=- 故答案为：{}1,1-.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数z 满足1z i i ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的实部为______. 【答案】-1 【解析】 【分析】设z a bi =+，再代入已知等式中计算解得a ，b 的值，即可求出z 的实部. 【详解】设z a bi =+ ∵1z i i ⋅=- ∴()1a bi i i +⋅=- ∴1b ai i -+=- ∴1b =-，1a =- 故答案为：1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部与实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.下图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是______.【答案】10 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】经过第一次循环得到结果为1S =，3i =此时不满足判断框的条件； 经过第二次循环得到结果为21310S =+=，5i =此时满足判断框的条件. 执行输出S ，即输出10．故答案为：10.【点睛】本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．4.函数()f x =________．【答案】[)0,+∞ 【解析】 【分析】由题意得210x -≥，解不等式求出x 的范围后可得函数的定义域． 【详解】由题意得210x -≥， 解得0x ≥，∴函数()f x 的定义域为[)0,+∞． 故答案为[)0,+∞．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域，实质上就是求解析式中自变量的取值范围，解题时要根据解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得结果． 5.已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出该组数据的平均值，再根据方差的公式计算即可. 【详解】一组数据17，18，19，20，21的平均数为1718192021195x ++++==∴该组数据的方差为：()()()()222221719181902019211925S -+-++-+-==故答案为：2.【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______.【答案】710【解析】 【分析】先求出基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=，由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率．【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=.∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是710m p n ==. 故答案为：710. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知函数()231,01,0x x x x f x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩，则()()8f f =______.【答案】15-【解析】 【分析】先求出()23884f =-=-,则()()()84f f f =-，由此能求出答案.【详解】∵函数()231,01,0x x f x x x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩∴()23884f =-=- ∴()()()1184415ff f =-==--- 故答案为： 15-.【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈取得最大值时自变量x 的值为______. 【答案】12π【解析】 【分析】 令()2232x k k Z πππ+=+∈，解得()12x k k Z ππ=+∈，再根据[]0,x π∈，即可确定自变量x 的值. 【详解】令()2232x k k Z πππ+=+∈，解得()12x k k Z ππ=+∈.∵[]0,x π∈ ∴12x π=故答案为：12π.【点睛】本题考查的知识要点为正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a =______. 【答案】64 【解析】 【分析】根据题意设等比数列{}n a 的公比为q ，再根据24a ，32a ，4a 成等差数列结合等比数列的通项公式，即可求出q 的值，从而可求出17a a 的值. 【详解】设等比数列的公比为()0q q ≠. ∵24a ，32a ，4a 成等差数列24344a a a +=∴ 3211144a q a q a q +=∴∵11a =∴3244q q q += ∵0q ≠ ∴2q∴266171264a a a q === 故答案为：64.【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.已知cos 2cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=tan2α=______.【答案】- 【解析】 【分析】利用诱导公式化简三角函数式求得tan α的值，再利用二倍角的正切公式，求得结果．【详解】∵sin tan co cos 2cos s πααααα=⎛⎫- ⎪⎝==⎭∴22tan tan 21tan ααα===--故答案：-.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式、二倍角的正切公式的应用，属于基础题．11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ，若2=OB a ，则C 的离心率为______.【答案】2 【解析】 【分析】求出右顶点A ，以及双曲线的渐近线方程，令x a =，求得B 的坐标，由两点的距离公式和离心率公式，可得所求值．【详解】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A∴(,0)A a ，且双曲线的渐近线方程为by x a=±根据渐近线方程的对称性，设其中一条渐近线为0bx ay -=. ∵过点A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ∴(,)B a b ∵2=OB a∴2OB c a === ∴2ce a== 故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12.已知函数()()lg 2f x x =-，互不相等的实数a ，b 满足()()f a f b =，则4a b +的最小值为______. 【答案】14 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得(2)(2)1a b --=，2b >，再把4a b +转化为14(2)102b b +-+-，借助于基本不等式即可求解.【详解】∵函数()()lg 2f x x =-，互不相等的实数a ，b 满足()()f a f b = ∴()()lg 2lg 2a b -=-，即()()lg 2lg 20a b -+-=，且2b >. ∴(2)(2)1a b --=∴122a b =+-∴114424(2)10101422a b b b b b +=++=+-+≥=--，当且仅当52b =时取等号. ∴4a b +的最小值为14. 故答案为：14.【点睛】本题考查最值求法，注意运用对数的运算性质和基本不等式的最值求法.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点0,1的距离为2，则实数a 的取值范围是______.【答案】⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】根据题意，求得圆C 的圆心与半径，求出以点()0,1为圆心，半径为2的圆的方程，分析可得，若圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点()0,1的距离为2，则圆C 与圆()2214x y +-=有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案．【详解】∵圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-= ∴()()221x a y a -+-=，其圆心(),C a a ，半径1r =.∵点P 到点()0,1的距离为2 ∴P 点的轨迹为:22(1)4x y +-= ∵P 又在22()()1x a y a -+-=上∴圆C 与圆()2214x y +-=有交点，即2121-≤≤+.0a ≤≤或1a ≤≤∴实数a 的取值范围是111,22⎡⎤⎡-+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为：11,01,22⎡⎤⎡+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14.在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =，且对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-恒成立，则cos ABC ∠=______.【解析】 【分析】根据题意，设2AD t =，则3AC t =，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BD AC ⊥，即2ADB π∠=，进而可得AB 、BC 的值，结合余弦定理计算可得答案．【详解】根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =. 设2AD t =，则3AC t =. ∵AD AB BD -=∴对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=，如图所示. ∵3A π∠=∴24AB AD t ==，BD ==∴BC ==.∴222513cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⨯⨯ 故答案为：51326.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及向量加减法的几何意义以及余弦定理的应用，属于综合题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，3cos 3B =. （1）若3A π=，求sin C 的值；（2）若2b =c 的值.【答案】（1）366+（2）3c = 【解析】 【分析】（1）在ABC ∆中，sin 0B >，可得2sin 1cos B B=-,再根据()sin sin sin 3C A B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即可求出sin C ；（2）由余弦定理可得：2222cos b a ac B c =-+，即可推出(330c c ⎛-+= ⎝⎭，从而求得c 的值.【详解】（1）在ABC ∆中，0B π<<，则sin 0B >，因为3cos B =，所以2236sin 1cos 133B B ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 在ABC ∆中，A B C π++=，所以()()()sin sin sin C A B A B π=-+=+，所以sin sin sin cos cos sin 333C B B B πππ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭3316362+=⨯+⨯=.（2）由余弦定理得2222cos b a ac B c =-+，则()2232123c c =-⋅+， 所以223103c c --=，()3303c c ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为303c +>，所以30c -=，即3c =. 【点睛】本题主要考查余弦定理，根据条件建立边角关系是解决本题的关键.解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦定理、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP AD =，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点.求证：（1）//MN 平面PBC ； （2）PC AM ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ，利用三角形的中位线性质可证//EM FN ，EM FN =，可证四边形EMNF 是平行四边形，可证//MN EF ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//MN 平面PBC ；（2）利用线面垂直的性质可证PA CD ⊥，又AD CD ⊥，利用线面垂直的判定定理可证CD ⊥平面PAD ，可证CD AM ⊥，又证AM PD ⊥，利用线面垂直的判定定理可证AM ⊥平面PCD ，进而利用线面垂直的性质可证PC AM ⊥．【详解】证明：（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ， 三角形PCD 中，M ，E 为PD ，PC 的中点，所以//EM CD ，12EM CD =；三角形ABC 中，F ，N 为BC ，AC 的中点，所以//FN AB ，12FN AB =， 因为四边形ABCD 是矩形，所以//AB CD ，AB CD =， 从而//EM FN ，EM FN =，所以四边形EMNF 是平行四边形.所以//MN EF ，又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以//MN 平面PBC .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.又因为PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为AP AD =，M 为PD 的中点，所以AM PD ⊥， 又因为PD CD D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD .又PC ⊂平面PCD ，所以PC AM ⊥.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线性质，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆右顶点为A ，点2F 在圆A ：2221x y 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知132AM AN =-，求直线1F M 的斜率. 【答案】（1）22143x y +=（2）34-【解析】 【分析】（1）由题意知a ，c 的值，及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）设M ，N 的坐标，设直线AM 的方程，由向量的关系可得A ，M ，N 三点关系，直线AM 与圆联立求出N 的坐标，直线与椭圆联立求出M 的坐标，再由向量的关系求出参数，进而求出直线1F M 的斜率．【详解】（1）圆A ：()2221x y -+=的圆心()2,0A ，半径1r =，与x 轴交点坐标为()1,0，()3,0，点2F 在圆A ：()2221x y -+=上，所以()21,0F ，从而2a =，1c =，所以2222213b a c -=-=C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题，设点()11,M x y ，102x <<，10y <；点()22,N x y ，20x >，20y >. 则()112,AM x y =-，()222,AN x y =-，由13AM AN =-知点A ，M ，N 共线.直线AM 的斜率存在，可设为()0k k >，则直线AM 的方程为()2y k x =-，由()()22221y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得221x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，或221x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，所以2N ⎛+ ⎝⎭， 由()222143y k x x y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +-+-=，解得20x y =⎧⎨=⎩，或22286341234k x k ky k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以2228612,3434k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，代入132AM AN =-得2222286122,,3434211k k k k k k ⎛⎫---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， ()()224952510kk -+=，又0k >，得32k， 所以31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()11,0F -，可得直线1F M 的斜率为()332114-=---. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 18.请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为的正方形硬纸片（如图1所示），切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图2中的点P ，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（如图2所示），设正四棱锥P EFGH -的底面边长为()x cm .（1）若要求包装盒侧面积S 不小于275cm ，求x 的取值范围； （2）若要求包装盒容积()3V cm最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的容积.【答案】（1）510x ≤<（2）当8x cm =时，包装盒容积V 最大)312853cm 【解析】 【分析】（1）结合已知可建立侧面积关于FG x =的函数关系，然后由侧面积S 不小于275cm ，可建立关于x 的不等式，即可求得x 的取值范围； （2）先利用x 表示出()3V cm的函数关系，结合导数可求其最大值．【详解】（1）在图1中连结AC ，BD 交于点O ，设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP ， 因为ABCD 是边长为102cm 的正方形，所以()10OB cm =， 由FG x =，得2x OM =，102xPM BM ==-， 因为PM OM >，即1022x x->，所以010x <<. 因为2142102022x S FG PM x x x ⎛⎫=⨯⋅=-=- ⎪⎝⎭， 由22075x x -≥，得515x ≤≤，所以510x ≤<. 答：x 的取值范围是510x ≤<.（2）因为在Rt OMP ∆中，222OM OP PM +=，所以22221022x x OP PM OM ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10010x =- 2111001033V FG OP x x =⋅=-451100103x x =-010x <<，设()4510010x f x x =-，010x <<，所以()()3434005050'8x x x f x x =-=-，令()'0f x =，得8x =或0x =（舍去）. 列表得，x()0,88()8,10()'f x+-()f x极大值所以当8x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值， 所以当8x =时，V 1285. 答：当8x cm =时，包装盒容积V )31285cm . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解极值及最值在实际问题中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题． 19.已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】 【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x ax f xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+， 令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-， 所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； ③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-， 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e +-<<-.【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．20.设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{}n A ，{}n B 满足：存在正数L ，当*n N ∈且m n ≤时，都有n n A B L -≤，则称数列{}n A ，{}n B 是“(),m L 接近的”.已知无穷等比数列{}n a 满足32841a a ==，无穷数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，且()1112n n n n n S b b b b ++-=，*n N ∈.（1）求数列{}n a 通项公式；（2）求证：对任意正整数m ，数列{}n a ，{}21n a +是“(),1m 接近的”；（3）给定正整数()5m m ≥，数列1na ，{}2n b k +（其中k ∈R ）是“(),m L 接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k （均用m 表示）.（参考数据：ln 20.69≈）【答案】（1）12n n a =（2）证明见解析（3）L 的最小值2212m m --，此时2212m m k --=【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==，可求得首项和公比，进而求得通项；（2）只需证明()211n n a a -+≤成立，即可得证；（3）由题设可求得n b n =，根据定义进而得到2222n n L n k L n ≤-+-≤+-对1,2,3,n m =⋅⋅⋅都成立，再构造函数求解即可．【详解】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==得211841a q a q ==，解得112a q ==，故12n n a =.（2）()2111124n nn n a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22113113224224n n ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对任意正整数m ，当*n N ∈，且m n ≤时，有1110222m n <≤≤， 则211313122444n ⎛⎫-+<+= ⎪⎝⎭，即()211n n a a -+≤成立，故对任意正整数m ，数列{}n a ，{}21n a +是“(),1m 接近的”.（3）由()1112n n n n n S b b b b ++-=，得到()1112n n n n n S b b b b ++-=，且1,0n n b b +≠，从而10n n b b +-≠，于是()112n n n n n b b S b b ++=-.当1n =时，()121212b b S b b =-，11b =，解得22b =，当2n ≥时，()()1111122n n n nn n n n n n n b b b b b S S b b b b +--+-=-=---，又0n b ≠，整理得112n n n b b b +-+=，所以11n n n n b b b b +--=-，因此数列{}n b 为等差数列. 又因为11b =，22b =，则数列{}n b 的公差为1，故n b n =. 根据条件，对于给定正整数()5m m ≥，当*n N ∈且m n ≤时，都有()()2212n n nb k n k L a -+=-+≤成立， 即2222n n L n k L n ≤-+-≤+-①对1,2,3,n m =⋅⋅⋅都成立.考察函数()22xf x x =-，()'2ln 22x f x x =-，令()2ln 22xg x x =-，则()()2'2ln 22x g x =-，当5x >时，()'0g x >，所以()g x 在[)5,+∞上是增函数.又因为()552ln 2100g =->，所以当5x >时，()0g x >，即()'0f x >，所以()f x 在[)5,+∞上是增函数.注意到()11f =，()()240f f ==，()31f =-，()57f =，故当1,2,3,n m =⋅⋅⋅时，22n L n -+-的最大值为22m L m -+-，22n L n +-的最小值为1L -.欲使满足①的实数k 存在，必有221m L m L --≤+-，即2212m m L -+≥，因此L 的最小值2212m m --，此时2212m m k --=.【点睛】本题考查数列与函数的综合运用，考查根据递推关系求数列通项及利用导数研究函数的单调性及最值，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题．数学Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有A 、B 、C 三个小题供选做，每位考生在3个选做题中选答2题.若考生选做了3题，则按选做题中的前2题计分.第22、23题为必答题.每小题10分，共40分.考试时间30分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损，一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21.已知点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()4,6.（1）写出矩阵A 的逆矩阵； （2）求+a b 的值.【答案】（1）1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（2）2a b +=【解析】 【分析】（1）设矩阵A 的逆矩阵为11111a c db A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据11001A A -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，列方程求出A 的逆矩阵； （2）根据题意可得 46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得出146a A b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而求出a ，b 的值和+a b 的值.【详解】（1）设阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为11111a c d b A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11001A A -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦. ∴111111113130240241a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得1111232112a b c d =-⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩∴1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()4,6，所以46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1a =，1b =，得2a b +=.所以1324412616112a A b -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 所以1a =，1b =，得2a b +=.【点睛】本题考查了矩阵的逆矩阵和矩阵变换问题，也考查了计算求解能力，是中档题． 22.求圆心在极轴上，且过极点与点6P π⎛⎫⎪⎝⎭的圆的极坐标方程. 【答案】4cos ρθ= 【解析】 【分析】设圆的极坐标方程是2cos r ρθ=，根据点6P π⎛⎫⎪⎝⎭在圆上，解得r 的值，从而求得圆的极坐标方程.【详解】因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是2cos r ρθ=.又因为点6P π⎛⎫⎪⎝⎭在圆上，所以2cos6r π=，解得2r .因此所求圆极坐标方程是4cos ρθ=.【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程的求法，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23.求函数y =的最小值.【答案】最小值为2. 【解析】 【分析】先求出函数y =的定义域，再将函数化简到)14y=-，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数y =[)0,+∞10>.21419-+=)1442=+-≥=， 1=，即4x =时取到“=”. 所以当4x =时，函数y =的最小值为2.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 24.批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中优等品的个数.（1）求取出的3个样品中有优等品的概率； （2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X .【答案】（1）6571000（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，()()334310.31000P A =-=，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的3个样品中有优等品的概率； （2）()3,0.3XB ，写出随机变量X 的分布列，即可求得数学期望()E X .【详解】（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，则A 表示“取出的3个样品中没有优等品”，()()334310.31000P A =-=，所以()()3436571110001000P A P A =-=-=，答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571000. （2）()3,0.3XB ，()()330.310.3kk k P X k C -==-，0,1,2,3k =，随机变量X 的分布如下表：()3434411892790123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.设集合{}1,2A =，{}1110|333,0,1,,2,,n n n n n i A t t a a a a a A i n --==⋅+⋅++⋅+∈=其中，*n N ∈.（1）求1A 中所有元素的和，并写出集合n A 中元素的个数； （2）求证：能将集合()*2,n A n n N ≥∈分成两个没有公共元素的子集{}123,,,,ss B b b b b =和{}123,,,,l l C c c c c =，*,s l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c +++=+++成立.【答案】（1）1A 中所有元素的和为24；集合n A 中元素的个数为12n +（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出1A ，代入即可；（2）利用数学归纳法证明，当2n =时，显然成立，假设2n k =≥，*k N ∈时，结论成立，即2121k k iii i b c ===∑∑，且212221k kii i ib c===∑∑，当1n k =+时，取{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k B b b b c c c +++++++=++++⋅+⋅+⋅，{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++++⋅+⋅+⋅，证明即可.【详解】（1）{}110|3,,0,1i A t t a a a A i ==⋅+∈=其中{}4,5,7,8=， 所以1A 中所有元素的和为24；集合n A 中元素的个数为12n +. （2）取2n s l ==，下面用数学归纳法进行证明. ①当2n =时，{}213,14,16,17,22,23,25,26A =，取113b =，217b =，323b =，425b =，114c =，216c =，322c =，426c =，有1234123478b b b b c c c c +++=+++=，且22222222123412341612b b b b c c c c +++=+++=成立.②假设当n k =，*k N ∈且2k ≥时，结论成立，有2121k k iii i b c ===∑∑，且212221k kii i ib c===∑∑成立.当1n k =+时，取{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k B b b b c c c +++++++=++++⋅+⋅+⋅，{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++++⋅+⋅+⋅，此时12k B +，12k C +无公共元素，且11122k k k B C A +++=.有()()221111323kk k k iii i b c ++==+++⋅∑∑()()221111323kkk k iii i c b ++===+++⋅∑∑，且()()22221111323kkk k iii i b c ++==+++⋅∑∑()()222222221111111123432323kkkk k k k k k iii i i i i i b c b c ++++====⎡⎤=++⋅+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑， ()()22221111323kkk k i i i i c b ++==+++⋅∑∑()()222222221111111123432323kkkkk k k k k i ii i i i i i c b c b ++++====⎡⎤=++⋅+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑，由归纳假设知2121kkiii i b c ===∑∑，且212221kkii i ib c===∑∑，所以()()()()2222222211111111323323kk kkk k k k iiiii i i i b c c b ++++====+++⋅=+++⋅∑∑∑∑，即当1n k =+时也成立；综上可得：能将集合n A ，2n ≥分成两个没有公共元素的子集{}123,,,,s s B b b b b =和{}123,,,,l l C c c c c =，*,s l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c +++=+++成立.【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是：（1）验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.。
(word完整版)江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题Word版含,文档
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题2021年 1月参照公式：样本数据 x1， x2，， x n的方差 s2 1 n( x i x)2，其中 x = 1nx i．n i1n i1一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地址上．．．．．．．．．1．设会集A x x21，x R ，B x 0 ≤ x ≤2，那么 AI B =▲．2．假设1 mi1 ni 〔 m，n R ， i 为虚数单位〕，那么 mn 的值为▲．i223．双曲线x2y1(a0) 的一条渐近线方程为 2x y 0 ，那么 a 的值为▲．a44．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名， 50名．现用分层抽样的方法在这130 名学生中抽取一个样本，在高一年级学生中抽取了24名，那么在高二年级学生中应抽取的人数为▲．5．某市连续 5 天测得空气中PM2.5 〔直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物〕的数据〔单位：mg / m3〕分别为115，125， 132， 128，125，那么该组数据的方差为▲．6．函数 y2sin 2 x3cos 2 x4的最小正周期为▲．7．5瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取 2 瓶，那么所取 2瓶中最少有一瓶是果汁类饮料的概率为▲．x≥ ，y 38．实数 x ，y满足拘束条件y ≤3，那么z5x2y2的最大值为▲．x ≤ ，39．假设曲线 C1： y3x4ax3 6 x2与曲线 C2： y e x在x 1 处的切线互相垂直，那么实数a 的值为▲．10．给出以下命题：（1〕假设两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必然平行于另一个平面；（2〕假设两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线必然垂直于另一个平面；（3〕假设两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线必然平行于另一个平面；（4〕假设两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线必然垂直于另一个平面．那么其中所有真命题的序号为▲．p pa n中， a1133，假设数列a n的前 202111． q,，等比数列， a4tan 3q 669项的和为 0，那么q的值为▲．1x12．函数 f(x)＝, x， 2))f (k ) ，那么实数 k 的取值范围为20 假设 f ( f ( ▲ ．2，(x1) , x ≥13．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设 tan A 7tan B ，a 2b 23 ，那么 cc▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，圆 O ： x 2 y 2 16 ，点 P(1,2) ，M ，N 为圆 O 上不同样的uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur两点，且满足 PM PN 0．假设 PQ PM PN ，那么 PQ 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定地域 内作答，解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值 14 分〕 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为ur r(cos C,cos A) ．a ，b ，c ．设向量 m ( a, c) ， n ur r3a ，求角 A ；〔 1〕假设 m ∥ n ， cur r4，求 cosC 的值．〔 2〕假设 m n 3b sin B ， cos A516．〔本小题总分值 14 分〕A 1A如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中， AB ⊥BC ，E ，F 分别是 A 1B ， AC 1 的中点． E 〔 1〕求证： EF ∥平面 ABC ；FB 1B〔 2〕求证：平面 AEF ⊥平面 AA 1B 1B ；〔 3〕假设 A 1A 2 AB 2 BC 2a ，求三棱锥F ABC的体积．C 1C〔第 16 题〕17．〔本小题总分值 14 分〕设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ， S 3 a 5 ， S 5 25 ．〔 1〕求数列 { a n } 的通项公式；〔 2〕假设 p ， q 为互不相等的正整数，且等差数列{ b n } 满足 b a p p ， b a q q ，求数列 { b n }的前 n 项和 T n ． y18．〔本小题总分值 16分〕lBP在平面直角坐标系xOy 中，椭圆MQOxA 〔第 18 题〕22E:xa2yb 21(a b0) 的右准线为直线l，动直线y kx m (k0， m0) 交椭圆于A，B 两点，线段AB 的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l 于P，Q 两点，如图．假设A，圆 E 的右极点，上极点时，点Q 的纵坐标为1〔其中e 为椭圆的离心率〕，e且OQ5OM ．〔 1〕求椭圆 E 的标准方程；〔 2〕若是 OP 是 OM ， OQ 的等比中项，那么m 可否为常数？假设是，求出该常数；假设不k是，请说明原由．19．〔本小题总分值16 分〕几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．该店每个月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产本钱为34 元，该店的月总本钱由两局部组成：第一局部是月销售产品的生产本钱，第二局部是其他固定支出20000 元．假设该产品的月销售量 t ( x) 〔件〕与销售价格x 〔元/件〕〔 x N〕之间满足以下关系：①当34 ≤ x ≤ 60时，t( x)a( x5) 2 10050；②当 60≤ x ≤ 70 时，t( x)100x7600．设该店月利润为 M 〔元〕，月利润=月销售总数－月总本钱．（1〕求M关于销售价格 x 的函数关系式；（2〕求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．20．〔本小题总分值16 分〕a函数 f ( x) ln x x，a R ．x（1〕当a 0时，求函数f (x)的极大值；（2〕求函数f ( x)的单调区间；〔 3〕当a1时，设函数 g( x) f ( x1)x1a，假设实数 b 满足： b a 且x1g b g(a) ， g (b)2g a b，求证： 4 b 5 ．b12常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ〔附加题〕2021年 1月21．【选做题】在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做两题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．．．．．．．题卡指定地域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图，等腰梯形 ABCD内接于⊙O，AB∥ CD．过B A点 A 作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E．求证：∠ DAE=∠ BAC.OC D E B．选修 4—2：矩阵与变换〔第 21-A 题〕直线 l : ax y 0 在矩阵A01 对应的变换作用下获取直线l ，假设直线 l过点12〔 1, 1〕，求实数a 的值．C．选修 4— 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点p)，直线l:r cos(p) 2 2，求点 P 到直线 l 的距离．P(2 3,q4 6D．选修 4—5：不等式选讲x ≥1，y≥1，求证：x2y xy21≤x2 y2x y ．【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定地域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题总分值10 分)如图，三棱锥P－ ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC⊥ BC， AC=BC=2a，点O， D分别是 AB， PB 的中点， PO⊥ AB，连结 CD．〔 1〕假设PA2a ，求异面直线PA 与 CD 所成角的余弦值的大小；P〔 2〕假设二面角 A－ PB－ C 的余弦值的大小为5 ，求D 5PA．OA B 23．〔本小题总分值10 分〕设会集 A， B 是非空会集 M 的两个不同样子集，满足： AC 不是 B 的子集，且 B 也不是 A〔第 22 题〕的子集．〔 1〕假设 M= { a1, a2, a3, a4}，直接写出所有不同样的有序会集对( A,B) 的个数；〔 2〕假设 M= { a1, a2, a3, ,a n}，求所有不同样的有序会集对( A,B) 的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参照答案及评分标准一、填空 ：本大 共 14 小 ，每小 5 分，共 70 分1． 0,12 ． 13． 14．155．31.6 〔写成158也 〕6． p 7． 75108．19 ．110．〔 1〕〔 2〕11． p12． (log 1 9,4)13． 414．3 352 3e9 2二、解答 ：本大 共6 小 ，共90 分．解答 写出文字 明、 明 程或演算步 ．ur rc cosC ．由正弦定理，得sin AcosA sinCcosC ．15．解：〔 1〕∵ m ∥ n ，∴ a cosA化 ，得 sin2 A sin2C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∵ A,C(0,p ) ，∴ 2A 2C 或2A 2C p ，从而 A C 〔舍〕或 ACp．∴ Bp ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分22在 Rt △ABC 中， tan A a 3 ， A p ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分ur rc363b cos B ，∴ a cosC ccosA 3b sin B ．〔 2〕∵ m n由正弦定理，得 sin A cosC sin C cos A 3sin 2 B ，从而 sin( A C )3sin 2 B ．∵ A B Cp ，∴ sin( AC )sin B ． 从而 sin B1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分3∵ cos A 40 ， A (0,p ) ，∴ A(0, p) ， sin A3 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分525∵ sin AsinB ，∴ a b ，从而 AB ， B 角， cosB2 2 ． ⋯⋯⋯ 12 分3∴ cos Ccos( A B) cos Acos B sin Asin B= 42 23 1 3 8 2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分535 3 1516． 明：〔 1〕 A 1 C ．∵直三棱柱 A 1 B 1C 1 ABC 中， AA 1C 1C 是矩形， ∴点 F 在 A 1 C 上，且A 1 C 的中点．在△ A 1BC 中，∵ E ， F 分 是 A 1B ， A 1C 的中点， ∴ EF ∥BC ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又∵ BC平面 ABC， EF平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分〔 2〕∵直三棱柱A1B1C1ABC 中， B1 B平面 ABC，∴ B1 B BC．∵ EF∥ BC， AB⊥ BC，∴ AB⊥EF， B1 B EF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵ B1BI AB B ，∴ EF⊥平面 ABB1 A1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分∵ EF平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 ABB1 A1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分〔 3〕V111S⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分F ABC A ABC ABC1V123AA23=111 a 22a a．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分232617．解：〔 1〕由，得3a13d a14d，解得a11,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分5a110d，d 2.25∴ a n2n 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分〔 2〕p，q正整数，由〔 1〕得 a p2p 1 ， a q2q1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分一步由，得b2 p 1p ， b2q 1q ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分∵ { b n } 是等差数列，p q ，∴{ b n}的公差d q p 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分2q 2 p2由b2 b 1b1(2 p 2) d p ，得 b1 1 ．23n ．∴ T n nb1n( n1)d n4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分218．解：当 A， B 两点分是 E 的右点和上点，A(a,0) ， B(0, b) ， M ( a,b) ．2221 b∵ Q( a,1)，∴由 O， M， Q 三点共，得e2，化，得 b 1 ．⋯⋯⋯2分ac e aca 2∵ OQ5OM ，∴c5，化，得2a5c．a2a2b2c2，a25,由 b1，解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分c2 4.2a5c，2〔 1〕 E 的 准方程xy2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分5 12〔 2〕把 ykx m(k0,m 0) ，代入xy 21 ，得5(5k 2 1)x 2 10mkx 5m 2 50 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分当△0 ， 5k 2m 21 0 ， x M5mk ， y Mm，5k22115k从而点 M(5mk , m ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5k 22 11 5k所以直 OM 的方程 y1x ．5ky1 ，25k x225k12 分由 2得 x P． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5k 2x2 1，15y∵ OP 是 OM ，OQ 的等比中 ，∴OP 2 OM OQ ，2x Mx Q 25mk．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分从而 x P2(5k 2 1)由 25k225mk ，得 m2k ，从而m2 ， 足△0 ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分5k 212(5k 2 1)k∴m常数2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分k19．解：〔 1〕当 x60 ， t(60) 1600 ，代入 t(x)a( x 5)2 10050 ，解得 a 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∴ M ( x)( 2 x 220x10000)( x 34) 20000,34 ≤ x 60, x Ν ,( 100x7600)( x 34)20000,60≤ x ≤ 70, xΝ .即 M ( x)2 x3 48x 2 10680x 360000,34 ≤ x 60, x Ν , ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分100 x21100 x 278400,60 ≤ x ≤ 70, x Ν .〔注：写到上一步，不扣分． 〕〔 2〕 g (u )( 2u 2 20u10000)( u 34) 20000 ， 34 ≤ u60 ， u R ，g (u )6(u 2 16u 1780) ．令 g (u ) 0 ，解得 u 1 8 2 461 〔舍去〕， u 2 82 461 (50,51) ．⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分当 34 u 50 ， g (u ) 0 ， g(u) 增；当 51 u60 ， g (u) 0 ， g (u ) 减． ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分∵ x Ν，M(50) 44000 ， M (51) 44226 ，∴ M ( x) 的最大44226．⋯⋯⋯ 12 分当 60 ≤ x ≤ 70 ， M (x) 100( x 2 110 x 2584) 20000 减，故此 M (x) 的最大 M (60)216000 ．⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分上所述，当x 51 ，月利 M ( x) 有最大 44226元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分答： 打印店店月利 最大44226元，此 品的 售价格51元/件． ⋯⋯ 16 分20．解：函数 f ( x) 的定 域 (0,) ．〔 1〕当 a0 ， f ( x)ln x x ， f( x)11 ，令 f (x)0 得 x 1．⋯⋯⋯1分x列表：x (0,1)1(1,)f (x) +f (x)↗极大↘所以 f (x) 的极大 f (1)1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分(2) f ( x)1 1ax 2x axx 22．x令 f ( x)0 ，得2x a0 ， 1 4a ． x〔ⅰ〕当 a ≤1 ， f ( x) ≤ 0 ，所以 f ( x) 减区 (0,)； ⋯⋯⋯⋯ 5分4〔ⅱ〕当 a1，由 f ( x)0 得 x 1 11 4a , x2 1 1 4a ，422①假设1 a 0 ， x 1 x 20 ，4由 f (x) 0 ，得 0 x x 2 ， xx 1 ；由 f ( x) 0 ，得 x 2 x x 1 ．所以，f ( x) 的 减区 (0, 1 1 4a ) ，( 11 4a ,) ， 增区22( 1 14a , 1 1 4a ) ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分22②假设 a 0 ，由〔 1〕知 f (x) 增区 (0,1) ， 减区(1,) ；③假设 a 0 ， x 10 x 2 ，由 f (x) 0 ，得 xx 1 ；由 f ( x) 0 ，得 0 x x 1 ．f ( x) 的 减区 (11 4a , ) ， 增区 (0,11 4a) ． ⋯⋯ 9 分22上所述：当 a ≤1， f ( x) 的 减区(0,) ；4当1 a 0 ， f (x) 的 减区 (0, 11 4a ) ， ( 11 4a , ) ，422增区 (11 4a , 11 4a ) ；22当 a ≥ 0， f ( x)减 区(11 4a , )，增区2(0, 11 4 a ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2〔 3〕 g( x)ln( x 1) 〔 x 1 〕．b) g ( a) 得 ln1 ln( a 1) ．由 g(b1b 1∵ 1a b ， ∴ b 1 a 1(舍)，或 ( a 1)(b 1)1 ．∵ 1 ( a 1)(b 1) (b 1)2，∴ b2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由 g( b)2g (a b) 得，2ln(b1)a b1)1[( a 1) (b1)] ，(*)2 ln(2 2 ln2因a1 b 1 ≥ ( a 1)(b 1)=1 ，2所以〔 * 〕式可化 ln( b1) 2ln 1[( a1) (b 1)] ，2即1 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯b 1 [ 〔b〕 ．2b 11 ]令 b1 t(t1) ， t[ 1 (t1)]2，整理，得 t 4 4t 3 2t 2 1 0 ，2t从而 (t1)(t 33t2t 1) 0 ，即 t 33t2t 1 0 ．12 分14 分h(t )t33t2t 1,t 1 ． h (t ) 3t26t 1 ， 令 h ( t)0 得 t12 3〔舍〕，3t 12 3，列表：3t2 32 3(1,1) (1, )33 h ( t)+h(t )↘ ↗所以， h(t ) 在 (1,123) 减，在(1 2 3 ,) 增，又因 h(3) 0, h(4) 0 ，33所以 3 t 4，从而 4 b 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ〔附加题〕参照答案21、【做】在A、 B、C、 D 四小中只能做两，每小10 分，共20 分．．．．．．．A．修 4— 1：几何明明：∵ ABCD是等腰梯形， AB∥ CD，∴ AD=BC．??从而 AD BC ．∴∠ ACD=∠ BAC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∵ AE的切，∴∠EAD=∠ACD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴∠ DAE=∠BAC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分B．修 4—2：矩与解： P(x, y) 直l上任意一点，在矩 A 的下直 l 上点P ( x , y )，x01x ，y12y化，得x 2 x y ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分y x .代入 ax y 0 ，整理，得(2 a1)x ay 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分将点〔 1, 1〕代入上述方程，解得a=- 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分C．修 4— 4：坐系与参数方程解：点 P 的直角坐(3, 3) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分直 l 的一般方程 x y 40 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分33426 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分从而点 P 到直 l 的距离22D．修 4— 5：不等式明：左- 右 = ( y y2 )x2( y21)x y 1 (1 y)[ yx2(1 y) x 1] ⋯⋯⋯ 4 分= (1 y)( xy1)( x 1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分∵x≥1，y≥1，∴ 1 y ≤0, xy 1 ≥0, x 1≥0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分从而左 - 右≤ 0，∴ x2 y xy2 1 ≤x2 y2x y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分【必做】第22 、第 23 ，每10 分，共 20 分．22．解：OC．∵平面 PAB⊥平面 ABC， PO⊥ AB，∴ PO⊥平面 ABC．从而 PO⊥AB， PO⊥ OC．∵ AC=BC，点 O是 AB 的中点，∴OC⊥AB．且zOA OB OC2a．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分P如，建立空直角坐系O xyz ．D〔1〕PA2a， PO2a ．O B A(0,2a,0) ， B(0,2a,0) ， C(2a,0,0)，A y2 a ,2a CP(0,0,2a)， D(0,) ．⋯⋯⋯⋯ 4 分x22uuur(0， 2a,2a)uuur( 2a，2a,2a)．从而 PA， CD22uuur uuur uuur uuur2a23∵ cosPA CDPA,CD uuur uuur2a3a，PA CD3∴异面直 PA 与 CD 所成角的余弦的大小3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分3〔 2〕PO h ，P(0,0, h)．∵PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．uuur(2a,0,0) 是平面 PAB的一个法向量．从而 OC不如 平面 PBC 的一个法向量r ( x, y, z) ， nuuuruuurr uuur0,2ay hz,(0， 2 a, (2a ，2a,0) ， nPB∵ PBh) ， BCruuur0.∴y.n BCx不如令 x=1， y=1， zr 2a) ． 8 分2a， n (1,1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯hhuuur r由，得5 OC n2a，化 ，得 h22 a 2．uuur r5OC n2a22a 23h 2∴ PAPO 2 OA 22 a 2 2a 2 2 6 a ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3323．解：〔 1〕110；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分〔2〕会集 M 有 2n 个子集，不同样的有序会集( A,B) 有 2n (2 n 1) 个．假设 A B ，并 B 中含有≤ ≤ n, k N *) 个元素， 足A B的有序k(1 kn C n k (2 knC n k 2knC n k 3n2n 个 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯会集 (A,B) 有1)6 分k 1kk 0同理， 足 BA 的有序会集 ( A,B) 有 3n 2n 个．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分故足条件的 有序集合( A,B)的个数2n (2 n 1) 2(3n 2n ) 4n 2n 2 3n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。
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2020-2021常州市河海中学高三数学上期末一模试题(及答案)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数2．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆则a 的值为（ ） A ．2BC．2D ．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．2435．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<6．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．107．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．28．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A．38- B．34- C．38+ D9．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．15B ．16C ．17D ．1410．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．1311．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．3212．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为nT，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________；14．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，且22cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．16．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．17．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .18．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____．19．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积623S =+，则该三角形的外接圆半径是______20．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = .三、解答题21．已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和.22．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .23．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2sin 1cos A C B =-．（1）若2a =，c =b ；（2）若sin 4B =，a =b ． 24．设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos cos cos c C a B b A =+. （1）求角C .（2）若ABC V 的面积为S ，且224()S b a c =--，2a =，求S .25．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值.26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24220a a -=，3128S a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和最大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .【详解】解:∵2n S n =,∴当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()()1121nnn n b a n =-=--,∴()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,∴()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∴()1nn T n =-,∴数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.2．B解析：B 【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．3．B解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,232c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．4．B【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.5．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.6．C解析：C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ， 【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴10sin A =由正弦定理sin sin a c A C=得sin 10sin 210a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos150132b b b b =+-︒=+， 23302b b +-=，33b -+=（33b --=∴1133sin 12238ABC S ab C ∆--==⨯⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．9．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列， 又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．10．C解析：C 【解析】 【分析】由约束条件可得可行域，将问题变成1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：当2z x y =+取最大值时，1122y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12y x =-，可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大由240y xx y =⎧⎨--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.11．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.12．A解析：A 【解析】 【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公解析：13【解析】 【分析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b aa b+通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出b aa b+()C ϕ=+，当2C πϕ+=时，b aa b +取得最大值，从而求出结果. 【详解】在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab++++====+()13sin C ϕ=+，其中213sin 13ϕ=，313cos 13ϕ=， 当b a a b +132C πϕ+=，∴213cos cos sin 213C πϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．213【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.14．【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成立的条件【详解】（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中 解析：14【解析】 【分析】根据均值不等式知，4244a b ab ab +≥=()2416a b ab +≥，再由4416216844ab ab a b a b+≥⋅=⋅⋅即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】4244a b ab ab +≥=Q （当且仅当4a b =等号成立），()2416a b ab ∴+≥（当且仅当4a b =等号成立）， ()2444a b a b ∴++≥⋅41684ab a b⋅=⋅（当且仅当4a b =等号成立），()224281a a a ∴+=⇒=. 故答案为14b =. 【点睛】 本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题.15．【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学生的计算能力解析：9π【解析】【分析】根据正弦定理得到()1sin sin A B C R +==，再根据22cos 3C =计算1sin 3C =得到答案. 【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=， 即()1sin sin A B C R +==，22cos 3C =，1sin 3C =， 即3R =.故29S R ππ==.故答案为9π【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.16．8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域得到如图的△ABC 及其内部其中A （22）B （）C （32）设z=F （xy ）=3x+y 将直线l ：z=3x+y 进行平移当l 经过点A （22）时目标函数z 达解析：8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （2，2），B （53,22）,C （3，2）设z =F （x ，y ）=3x +y ，将直线l ：z =3x +y 进行平移，当l 经过点A （2，2）时，目标函数z 达到最小值∴z 最小值=F （2，2）=8故选：C 17．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示当目标函数过点A(11)时z 取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解解析：【解析】.试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示.当目标函数过点A(1，1)时，z 取最大值，最大值为1+4×1=5.【考点】线性规划及其最优解.18．【解析】【分析】由为定值运用均值不等式求的最大值即可【详解】当且仅当时等号成立即而当且仅当时等号成立故的最大值为2故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值对数的运算属于中档题解析：2【解析】【分析】由0,0a b >>，20a b +=为定值，运用均值不等式求ab 的最大值即可.【详解】0,0a b ∴>>,20a b +=,202a b ab ∴=+≥当且仅当10a b ==时，等号成立，即100ab ≤，而lg lg lg lg1002a b ab +=≤=，当且仅当10a b ==时，等号成立，故lg lg a b +的最大值为2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.19．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应解析：【解析】【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解.【详解】由题：1sin sin 75sin(4530)2B =︒=︒+︒==设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=即262R +=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.20．10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k 的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式等差数 解析：10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得70a =，结合等差数列的性质即可求得k 的值．【详解】因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅41234S a a a a =+++，且94S S =所以567890a a a a a ++++=由等差数列性质可知70a =因为40k a a +=所以4770k a a a a +=+=则根据等差数列性质可知477k +=+可得10k =【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．三、解答题21．(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；解析：（1）∵∴∴，∵，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列∴，∴，∴，（2），∴①②①-②得∴.22．（1）证明见解析（2）()11222n n n n S ++=-- 【解析】【分析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可.【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=,又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2n n a n =-,所以()()()()232122232n n S n =-+-+-+⋅⋅⋅+- ()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ()()()121211221222n n n n n n +-++=-=---【点睛】 本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.23．（1）2b =2）6b =3【解析】【分析】（122ac b =，根据已知可求b 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos B ，由余弦定理可得222a c ac =+-，根据已知可求c ，进而可求b 的值． 【详解】（1）Q 22sin 1cos sin A C B B =-=．∴2b =，2a =Q ，c =b ∴=（2）sin B =Q ，cos B ∴=∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-222a c ac =+-，又a =c =b ∴=经检验，b【点睛】本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．24．（1）3C π=；（2）S =【解析】【分析】（1）利用正弦定理与两角和正弦公式可得到结果；（2）由题意及三角形面积公式可得2cos 22sin ac B ac ac B -+=，结合特殊角的三角函数值得到2B π=，从而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+，∴2sin cos sin()sin C C A B C =+=， ∴1cos 2C =，∵(0,)C π∈， ∴3C π=.（2）222224()22sin S b a c b a c ac ac B =--=--+=，∴由余弦定理得2cos 22sin ac B ac ac B -+=，∴sin cos 1B B +=，∴sin 42B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2B π=，∴S =【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角恒等变换，考查计算能力与推理能力，属于中档题．25．（1）22n a n =+；（2）63【解析】【分析】（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k .【详解】（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+；（2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.26．（1）203n a n =-；（2）当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大．【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由24220,a a -=3128S a -=．利用通项公式可得()()112320a d a d +-+=，113328a d a +-=，解方程组即得． （2）令0n a ≥，解得n ．【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，24220,a a -=Q 3128S a -=． ()()112320,a d a d ∴+-+=113328a d a +-=，联立解得：117,a =3d =-．173(1)203n a n n ∴=--=-．（2）令2030n a n =-≥，解得203n ≤． ∴当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和的最值．解题方法是基本量法，a 确定n值．对前n项和的最大值问题，可通过解不等式0n。