常微分方程OrdinaryDifferentialEquationsPPT课件
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譬如假设是k重特征根 i，则 i 也是k重特征根，
仿 3.2 一样处理，将得到方程（4.19）的2k个实值解：
etco st,tetco st,t2etco st, ,tk 1 etco st etsint,tetsint,t2 etsint, ,tk 1 etsint
例6 求方程
相应地方程（4.19）有如下n个解：
e1t,e2t, ,ent (4.22)
可以证明这n个解在区间上线性无关（？），从而组成方程 （4.19）的基本解组。
如果 i(i1,2, ,n)均为实数，则(4.22)是方程(4.19)的n个线性
无关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为:
x c1 e 1t c2 e 2t cne nt
解：分析可知，这个方程是一个典型的常系数齐线性微分方程，
于是，由欧拉待定指数方法。
特征方程为： 6 2 5 3 4 4 3 5 2 3 0 2 0 5
或
[(1)24]2(1)20
特征根为：
1,2,3,4 12i(二重) 5,6 1(二重)
于是可以写出这个方程的一个基本解组为：
et cos 2t, ett cos 2t, et sin 2t, ett sin 2t; et , te t
(t)、虚部 (t) 和共轭复值函数 z (t ) 也都是方程（4.2）的解。即，
方程（4.2）的复值解的实部和虚部也是对应方程（4.2）的解。
2、常系数齐线性方程
若齐线性方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写 为如下形式：
L [x ] d d n tn x a 1d d n t n 1 x 1 a n 1d d x t a n x 0(4 .1 9 )
设特征方程有k重根 1，由代数学基本知识有： F ( 1 ) F '( 1 ) F ( k 1 ) ( 1 ) 0 ,F ( k ) ( 1 ) 0 下面分三步来讨论基本解组的构成：
先讨论 1 0，此时基本解组的部分函数为： 1,t,t2,,tk1 讨论 1 0，把这种情况通过变换 x ye1t 化为第一种情况。 再构成基本解组： e1t,te1t,t2e1t, ,tk1 1 e1t
特征根 2,3,,m的重数分别为：
k2,k3, ,km;ki 1
则有基本解组：
e1 t , te1 t , t 2e1 t ,
e
2t
,
te
2t
,
t
2
e
Hale Waihona Puke Baidu2t
,
emt , temt , t 2emt ,
, t k1 1e1 t , t k2 1e2t
, t km 1emt
对于特征方程有复重根的情况，结合前面两种情况就可以讨论了。
使得（4.20）是方程（4.19）的解的充要条件为：
F () n a 1 n 1 a n 1 a n 0 ( 4 . 2 1 )
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
求解常系数线性微分方程问题 转化为求解一个代数方程问题。
3.1 特征根是单实根的情形
设 1,2,,n 是特征方程（4.21）的n个彼此不相等的根，则
4.2 常系数微分方程的解法
具体内容
复值函数与复值解 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 非齐次线性微分方程的解法：
比较系数法和拉普拉斯变换法 应用分析：质点振动
定理8：如果方程（4.2）中所有系数 ai(t)i(1,2, ,n) 都是实值
函数，而 xz(t)(t)i(t)是方程的复值解，则 z (t ) 的实部
3.2 特征根有单虚根的情形 设有单复根 1i ，此时，由定理8，可以求得实值解：
etcost, etsint
例2 求方程 y(4 ) 6 y(3 ) 1y"5 1y' 8 1y 00的通解
解：(复单根)特征方程为：
4 6 3 1 2 5 1 8 1 0
特征根 1 1 i , 2 1 i , 3 2 i , 4 2 i
d4x dt4
2dd2t2x
x
0
的通解
解：复重根的情形
特征方程： 42210
特征根： 1、 2 i 是2重根。
对应的基本解组： x 1 ct,o x 2 s tct,o x 3 s st,ix 4 n tstin
通解： x (c 1 c 2 t)cto (c s 3 c 4 t)stin
例6 求解方程 d 6 x 2 d 5 x 3 d 4 x 4 d 3 x 5 d 2 x 3 0 d x 2 5 x 0 d t6 d t5 d t4 d t3 d t2 d t
其中 ai(i1,2, ,n)是实常数。此时，称（4.19）为 n
阶常系数齐线性方程。
假如下面形式（4.20）是方程（4.19）的解
xet
(4.20)
于是有：
L [et]d d nen tta1d d n 1 ne t1 t an 1d dtetanet
(na1n 1 an 1 an)et F( )et.
对应的基本解组
y 1 e x cx ,o y 2 e s x sx ,iy 3 n e 2 x cx ,o y 4 e s 2 x sx i
通
解 y e x ( c 1 cx o c 2 s sx ) i e n 2 x ( c 3 cx o c 4 s sx ) in
3.3 特征根是重根的情形
其中 c1,c2,,cn为任意常数。
例1 求方程
d4x dt4
5dd2t2x
4x
0
的通解。
解：(单实根)特征方程为：45240
特征根： 1 1 ,2 1 ,3 2 ,4 2
对应的基本解组： x 1 e t,x2 et,x 3 e 2 t,x4 e2 t
通解： xc1 e t c2et c3 e 2 t c4e2 t
于是可以写出这个方程的通解为：
xc1etco2tsc2ettco2tsc3etsi2 n t c4ettsi2 n tc5et c6t e t
其中 c1,c2,c3,c4,c5,c6 是任意常数。
4、欧拉方程
定义：形如
x n d d x n y n a 1 x n 1 d d x n n 1 y 1 a n 1 x d d y x a n y 0 ( 4 .2 9 )
仿 3.2 一样处理，将得到方程（4.19）的2k个实值解：
etco st,tetco st,t2etco st, ,tk 1 etco st etsint,tetsint,t2 etsint, ,tk 1 etsint
例6 求方程
相应地方程（4.19）有如下n个解：
e1t,e2t, ,ent (4.22)
可以证明这n个解在区间上线性无关（？），从而组成方程 （4.19）的基本解组。
如果 i(i1,2, ,n)均为实数，则(4.22)是方程(4.19)的n个线性
无关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为:
x c1 e 1t c2 e 2t cne nt
解：分析可知，这个方程是一个典型的常系数齐线性微分方程，
于是，由欧拉待定指数方法。
特征方程为： 6 2 5 3 4 4 3 5 2 3 0 2 0 5
或
[(1)24]2(1)20
特征根为：
1,2,3,4 12i(二重) 5,6 1(二重)
于是可以写出这个方程的一个基本解组为：
et cos 2t, ett cos 2t, et sin 2t, ett sin 2t; et , te t
(t)、虚部 (t) 和共轭复值函数 z (t ) 也都是方程（4.2）的解。即，
方程（4.2）的复值解的实部和虚部也是对应方程（4.2）的解。
2、常系数齐线性方程
若齐线性方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写 为如下形式：
L [x ] d d n tn x a 1d d n t n 1 x 1 a n 1d d x t a n x 0(4 .1 9 )
设特征方程有k重根 1，由代数学基本知识有： F ( 1 ) F '( 1 ) F ( k 1 ) ( 1 ) 0 ,F ( k ) ( 1 ) 0 下面分三步来讨论基本解组的构成：
先讨论 1 0，此时基本解组的部分函数为： 1,t,t2,,tk1 讨论 1 0，把这种情况通过变换 x ye1t 化为第一种情况。 再构成基本解组： e1t,te1t,t2e1t, ,tk1 1 e1t
特征根 2,3,,m的重数分别为：
k2,k3, ,km;ki 1
则有基本解组：
e1 t , te1 t , t 2e1 t ,
e
2t
,
te
2t
,
t
2
e
Hale Waihona Puke Baidu2t
,
emt , temt , t 2emt ,
, t k1 1e1 t , t k2 1e2t
, t km 1emt
对于特征方程有复重根的情况，结合前面两种情况就可以讨论了。
使得（4.20）是方程（4.19）的解的充要条件为：
F () n a 1 n 1 a n 1 a n 0 ( 4 . 2 1 )
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
求解常系数线性微分方程问题 转化为求解一个代数方程问题。
3.1 特征根是单实根的情形
设 1,2,,n 是特征方程（4.21）的n个彼此不相等的根，则
4.2 常系数微分方程的解法
具体内容
复值函数与复值解 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 非齐次线性微分方程的解法：
比较系数法和拉普拉斯变换法 应用分析：质点振动
定理8：如果方程（4.2）中所有系数 ai(t)i(1,2, ,n) 都是实值
函数，而 xz(t)(t)i(t)是方程的复值解，则 z (t ) 的实部
3.2 特征根有单虚根的情形 设有单复根 1i ，此时，由定理8，可以求得实值解：
etcost, etsint
例2 求方程 y(4 ) 6 y(3 ) 1y"5 1y' 8 1y 00的通解
解：(复单根)特征方程为：
4 6 3 1 2 5 1 8 1 0
特征根 1 1 i , 2 1 i , 3 2 i , 4 2 i
d4x dt4
2dd2t2x
x
0
的通解
解：复重根的情形
特征方程： 42210
特征根： 1、 2 i 是2重根。
对应的基本解组： x 1 ct,o x 2 s tct,o x 3 s st,ix 4 n tstin
通解： x (c 1 c 2 t)cto (c s 3 c 4 t)stin
例6 求解方程 d 6 x 2 d 5 x 3 d 4 x 4 d 3 x 5 d 2 x 3 0 d x 2 5 x 0 d t6 d t5 d t4 d t3 d t2 d t
其中 ai(i1,2, ,n)是实常数。此时，称（4.19）为 n
阶常系数齐线性方程。
假如下面形式（4.20）是方程（4.19）的解
xet
(4.20)
于是有：
L [et]d d nen tta1d d n 1 ne t1 t an 1d dtetanet
(na1n 1 an 1 an)et F( )et.
对应的基本解组
y 1 e x cx ,o y 2 e s x sx ,iy 3 n e 2 x cx ,o y 4 e s 2 x sx i
通
解 y e x ( c 1 cx o c 2 s sx ) i e n 2 x ( c 3 cx o c 4 s sx ) in
3.3 特征根是重根的情形
其中 c1,c2,,cn为任意常数。
例1 求方程
d4x dt4
5dd2t2x
4x
0
的通解。
解：(单实根)特征方程为：45240
特征根： 1 1 ,2 1 ,3 2 ,4 2
对应的基本解组： x 1 e t,x2 et,x 3 e 2 t,x4 e2 t
通解： xc1 e t c2et c3 e 2 t c4e2 t
于是可以写出这个方程的通解为：
xc1etco2tsc2ettco2tsc3etsi2 n t c4ettsi2 n tc5et c6t e t
其中 c1,c2,c3,c4,c5,c6 是任意常数。
4、欧拉方程
定义：形如
x n d d x n y n a 1 x n 1 d d x n n 1 y 1 a n 1 x d d y x a n y 0 ( 4 .2 9 )