第四章环流定理与涡度方程

d V dt t df w w ( f ) V v ( ) dy x y p p ( ) F Z x y y x v u x y
①
( f ) V f V
均质大气情形，位涡守恒可以化为涡度方程（纯动力过程）。
d 1 d ( a ln ) 0 ( a ln ) 0 dt dt z
dCa 海陆风环流 dp 3 3 pn dA A dt

3
P-2
2
P
1

暖
P-1
冷
P0
解释白天海陆风的形成
• 白天，低层由海洋吹向陆地 • 晚上，低层由陆地吹向海洋 • 白天，陆地升温快，陆地温度高于海洋，根据静 力平衡方程，等压面向冷区倾斜； 同一等压面上高温处比容大，低温比容小，等比 容面向暖区倾斜。 转向为逆时针，环流为正，形成气旋式环流。所 以热空气上升，冷空气下沉，低层风由海洋吹向 陆地，高层风由陆地吹向海洋。
正涡度（>0） 负涡度（<0）
流函数与速度势
流函数：无辐散

u / x v / y 0
u / x v / y d vdx udy
u / y v / x 2 V k

势函数：无旋转
V
v / x u / y 0

2
u / x v / y
二、涡度方程
t 对运动方程两边作 V t V ( ) t V t

涡度方程垂直向分量：
力管项 由大气的斜压性造成的，等压面和等容面相交；
⑤
F
粘性耗散项
Z
讨论： 忽略扭曲项与耗散项的正压大气情形：
df f f V ( f ) V v ( u ) t dy x t
d ( f ) ( f ) V 0 dt
ln 1 ln 2 d a ln ( )0 z H ( z) dt H
气柱体积 H
d a H 代入 ( ) 0中： dt H d a 1 d ( ) ( a ) 0 dt dt
d (＋f ) 0 dt
环流与涡度 1）“环流”— 拉氏观点：任意选取一物质环线，此环 线上的质点是确定的，环线的形状位置是变化。 2）物质环线是闭合的，“环流” 表示流体随闭合环 线运动的趋势，描述了涡旋的强度。是积分量。 3）“涡度”是欧氏观点。是微分量。
（二）大尺度大气涡旋运动
1．大尺度大气运动是准水平运动，所以 涡度 主要是在垂直方向上，即：
第四章 环流定理与涡度方程
王树舟 南京信息工程大学大气科学学院
大气涡旋运动
大气运动具有明显的涡旋运动特征。如龙卷、台 风、气旋、反气旋等。 （一）环流、涡度 1．对涡旋系统强度进行度量的物理量有 ：
环流 涡度
2.“环流”的定义： 任取定一有向物质环线
l
，定义：
（速度沿
l
的线积分），为环流。
位涡是一个热力学与动力学量组合的物理量。 位涡方程由涡度方程、连续方程、位温方程三个方程 导出。
3．位涡守恒的条件：
F＝0；Q＝0 d 1 ( a ln ) 0 位涡守恒 dt
绝热无摩擦
4．大尺度大气运动 且是均质大气－－热力作用？
k
环线包围的面积与 辐合辐散有关；纬 度改变和南北运动 有关。
3．“涡度”的定义
V
j y v

速度的旋度
k z w w v u w v u ( )i ( ) j ( ) k y z z x x y i x u
相对环流定理
绝对环流等于相对环流与牵连环流之和。
牵连环流
3 ( r ) ndA 2 ndA 2dA sin 2dAe
A 3 ( r ) 3 r ( 3 )r 2
Ce ( r ) dr 3 ( r ) ndA
辐合、辐散：
变化 变化
②
v 0 f , 则 ； v 0 f , 则 。
系统南、北运动： f变化 变化
系统有辐合、辐散运动：
系统整体作南 f ) 0 dt
——绝对涡度守恒
d df v v dt dy 此时，引起涡旋变化的是效应项。
1）刚体的运动形式有：平动，转动；流体的运动形式有：平动，转动
和形变，涡度表示的是流体涡旋运动的强度。
2）“涡度”是欧拉观点下的，是微分量。
3）可证：
2


（涡度＝2倍角速度）。
例：地球在垂直向的牵连涡度为：
f 2 sin


环流与涡度的比较
对涡旋系统强度进行度量的物理量有 ：
散度项
v u V ＝ 10 5 s 1 f 10 4 s 1 x y L
②
df v v dy
效应项
科氏参数f 随纬度变化＋南北运动
③
w w ( )V z x y
扭转项很小，一般可略
④
p p p Z x y y x
Const
d 1 ( a ln ) 0 dt d ( a ln ) 0 dt z
5．位涡守恒的应用
1) 山脉东西对称，南北宽度无限；
2) 无限宽绝热西风气流均匀，无水平切变。 3) 运动定常，层结稳定。
d ln 2 0 dt d ln 1 0 dt
D
G
绝对环流定理
d a Ca d d aVa Va dr dr dt dt dt
不计摩擦力的运动方程
Ca Va dr

d a Ca dVa 1 dr 3 p dr 3 dr dt dt 1 dp dr d 0 3 p dr dp
定义：由于科氏参数随纬度变化，当气块作南北 运动时，牵连涡度发生变化；为了保持绝对涡度
守恒，这时相对涡度会发生相应的变化（系统发
生变化），这种效应称为 —效应。

—平面近似：部分考虑地球球面性，即把地球当作平面， 但又考虑科氏参数f的变化，而使大气运动方程组得到简化 的近似方法。
f 2 sin df df 2 cos dy a d a f f ( y ), ( y ) d 求解 v是一个变系数方程了。 dt 但一般 0即可，故作如下近似 :

v u k , x y
2．绝对涡度 ＝相对涡度＋牵连涡度：
a f f 2 sin
3．大尺度运动是准水平无辐散运动的特点， －－准涡旋运动。 标征涡旋运动强度的物理量，如涡度代表 天气系统的强度。 4. 涡度正负： 气旋式旋转（低压） 反气旋式旋转（高压）
d a a V 0 dt
与连续方程：
d V 0 dt
——质量守恒类似，体现了绝对角动量守恒。
水平散度＝水平截面积的相对变化率， 即：
1 d V dt
d a a V 0 dt d a 1 d a 0 dt dt d ( a ) 0 dt
定义： 关于使科氏参数随纬度变化的线性近似 科氏参数f是纬度y的非线性函数，近似地将f表示成y地线性
函数，这种近似称为

－平面近似，即：
f f 0 y
特别地，赤道附近，取赤道为中心纬度，则 ：
0 0, f 0 0 f y
赤道
－平面近似
三、位涡方程
1．位涡： 综合动力作用和热力作用的物理量，与 位涡方程 ：
, ,
有关。
1 d 1 1 Q ( a ln ) ln F ( ) dt C pT
物理量

1

a ln
称为位涡
d 1 从 ( a ln ) 看： dt 左边包含三项： d 连续方程 dt d 位温方程 热力学方程 dt d a 涡度方程 运动方程 dt
dAe 为环线在赤道平面上的投影面积
C Ca Ce Ca 2Ae
力管项
C2 C1 2( A2 sin 2 A1 sin 1 )
相对环流的变化取 决于环线所包围的 面积和纬度。
dAe dC dp 2 dt dt
惯性项：地球旋转 对相对环流的作用
A
上式右端称为力管项。若 3 p 转向 3 的方向 和实际环线的方向相同时，力管项为正，反之为负。 对于正压大气而言，等压面和等容面重合，压容管 项为零。
力管项：
P
正压流体： 等压面平行于等容面，力管项为0 斜压流体： 等压面与等容面相交，力管项不为 0

P
∵刚体的角动量＝Iω，I是转动惯量，正比于
r 2 又∵ r , 2 a a
2
——绝对角动量守恒。
例子：
( f ) Const
气柱或者系统在运动过程中相对涡度 变化取决于二个因素：
f ;
的变化
①
辐散： ，则 反气旋加强，气旋减弱； 辐合： ，则 气旋加强，反气旋减弱。
d aVa 1 3 p 3 dt



d a Ca dp dt 3 p dr 3 ( 3 p)n dA A 3 3 pn dA 3 3 pn dA A A 3 3 pn dA
f 2 sin 把f在 0处作Taylor 展开 对y展开 f f
0
df 1d f ( 0 ) 2 d 0 2 d
2
2
( 0 )
2
2
2
＝2 sin 0 2 cos 0 ( 0 ) o[( 0 ) ] y f 0 y o( 2 ); [ y a( 0 )] a 近似地，f f 0 y 2 cos 0 df 其中：f 0 2 sin 0， ，都是常量。 a dy 0
C V dl | V | cos dl
1）“任取定”——拉格朗日观点：任意选取一物质 环线，此环线上的质点是确定的，环线的形状位置是 变化。
2）物质环线是闭合的，“环流” 表示流体随闭合环 线运动的趋势，描述了涡旋的强度。 是积分量。
• 环线方向有正负之分，沿环线走，积分区域在左 侧，则为正方向。 • 单联通区域：以逆时针方向为正 环流大于0，称为气旋式环流； 环流小于0，称为反气旋式环流。