江苏省南京师大附中2020届高三年级期中考试数学试题含附加题

南京师大附中2020届高三年级模拟考试
数 学 2019.11
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题〜第20题）两部分•本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.
2．答题前，请务必将自己的姓名，学校、班级、学号写在答题卡的密封线内。

试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题歩
参考公式：
锥体的体积V=Sh,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 球体的体积3
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r V π= ,其中r 是球体的半径. 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置．
1．设集合{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤,则A B = ． .
2．若复数()()12bi i +-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则实数b 的值
是 ．.
3．在右图所示的算法中，若输出y 的值为6,则输入x 的值为 ．
4．函数()2lg 2y x x =+的定义域是 ．
5．某中学高一、高二、髙三年级的学生人数分别为620人、680人、700人，
为了 解不同年级学生的眼睛近视惰况，现用分层抽样的方法抽取了容量为
100的样 本，则高三年级应抽取的学生人数为 .
6．已知集合{}0,1,2,4A =，若从集合A 中随机抽取2个数，其和是偶数的概率为 ．
7．已知正四棱锥的底面边长为，体积为8,则正四棱锥的侧面积为 ． 8．设数列{}n a ()*n N ∈是等比数列，前n 项和为n S .已知324239,27a a a -==，则3S 的值为 ．
9．已知12,F F 是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过点A 且
斜率为6
的亶线上，12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=，则椭圆C 的离心率为 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，点()4,2M ,点N 在线段OA 的延长线上.设直线与
直线OA 及x 轴围成的三角形面积为S ，则S 的最小值为 ．
11．已知函数()2ln f x x x =+，若直线1:1l y kx =-与曲线()y f x =相切．则
实数k 的值为 ．
12．如图，在直角梯形ABCD 中，,90,2AB DC ADC AB ∠==，1AD =，
E 为BC 的中点，若1AE BC ⋅=-，则AB AC ⋅= ．
13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边另别是,,a b c ，
已知222
2sin sin sin 3sin A B A B C +=，则sin C 的最大值为 ． 14．已知函数()41,16,11
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．
二．解答题：本大题共6小题，共计90分.请在等題卡指底库壤内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知函数2()3cos cos (0)f x x x x ωωωω=+> 的最小正周期为π.
(1) 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域； (2) 设ABC ∆的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .已知32A f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，且3A =，4b c +=,求ABC ∆的面积．
16．(本小题满分14分)’
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=,AC BC =,点D E 、分别为1
AB AC 、的中点. (1) 求证:平面
平面; (2) 求证：
平面・
在平面直角坐拯系xOy 中，()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点1,2⎛ ⎝⎭
在此椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设宜线l 与圆22:1O x y +=相切于第一象限内的点P ，且l 与椭圆C 交于,A B .两点.若OAB ∆的面积为
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，求直线l 的方程．
18．（本小题满分16分）
某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成•假定原 木为圆柱体（如图1）,底面半径为r ，高为h •制作要求如下：首先需将原木切割为两 部分（分别称为第I 圆柱和第II 圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I 圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II 圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II 圆柱上下底面圆的内接正方形．
（1）当2,8r h ==时，若第I 圆柱和第II 圆柱的体积相等，求该手王作品的体积；
（2）对于给定的r 和()2h h r >，求手工作品体积的最大值．
设m 为实数，已知函数()x x m f x e +=
的导函数为'()f x ，且'(0)0f =． （1）求m 的值；
（2）设a 为实数，若对于任意x R ∈，不等式2
()x a f x +≥恒成立，且存在唯一的实
数0x 使得200()x a f x +=成立，求a 的值； （3）是否存在负数k ，使得3y kx e
=+是曲线()y f x =的切线.若存在，求出k 的所有值：若不存在,请说明理由．
20．(本小题满分.16分)
设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零曲等差数列，满足2369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=。

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使
221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使
121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等差数列．
(i )求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++；
(ii )是否存在正整数,m n ，使12m n m
a T a +=
成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由．
数学附加题
注意事项
1．附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分，考试时间30分钟.
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题 的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.
21．每小题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A ．选修一2：:矩阵与变换
已知,a b R ∈，矩阵13a A b -⎡⎤⎢
⎥⎣⎦所对应变换A T 将直线10x y --=变换为自身，求,a b 的值．
B ．选修4-4：坐标系与參数方程
在极坐标系中，己知直线l 的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫-=
⎪⎝⎭圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,求直线l 被圆C 截得的弦长.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷低指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的疋方形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，过点P 作AD 的垂线，垂足为O ，且满足1AO =，点E 在棱PB 上，2PE EB =
（1）当2PO =时，求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值；
（2）当PO 取何值时，二面角B PC D --的正弦值为
5
.
23．（本小题满分10分）
考虑集合{}1,2,3,...,n 的所有()1,*r r n n N ≤≤∈元子集及每一个这样的子集中的最 小数，用(),F n r 表示这些最小的数的算术平均数・
（1）求()6,3F ；
（2）求(),F n r .。