蝴蝶定理与燕尾定理Word版
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燕尾定理
燕尾定理:
在三角形ABC 中,AD ,BE ,CF 相交于同一点O ,那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=.
O
F
E D
C
B
A
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
A B
C
D
O b
a S 3
S 2
S 1S 4
①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③S 的对应份数为()2
a b +. 等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图12::S S a b =
b
a
S 2S 1
D
C B
A
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
如图,22S =,34S =,求梯形的面积.
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD 的AB 平行于CD ,对角线AC ,BD 交于O ,已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米.
35
25O
A
B
C
D
梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,已知梯形上底为2,且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面
积的2
3
,求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比.
O
A B
C D
(第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于O 点,已知1AO =,并且3
5
ABD CBD =三角形的面积三角形的面积,那么OC 的长是多少?
A
B
C
D
O
梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC 的面积是2
9cm ,问三角形AOD 的面积是多少?
A B
C
D
O
如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG 的面积是11,三角形BCH 的面积是23,求四边形EGFH 的面积.
H
G F
E
D
C
B A
如图,正方形ABCD 面积为3平方厘米,M 是AD 边上的中点.求图中阴影部分的面积.
【巩固】在下图的正方形ABCD 中,E 是BC 边的中点,AE 与BD 相交于F 点,三角形BEF 的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD 面积是 平方厘米.
A B
C
D
E
F
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中,,E F 是DC 边上的三等分点,求阴影部分的面积.
A
D
如图,在长方形ABCD中,6
AB=厘米,2
==,求阴影部分的面积.
AD=厘米,AE EF FB
D
(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形,:3:2
BC CE=,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.
B
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
B
【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
B
如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,DEF
∆的面积是10平
∆的面积是5平方厘米,CED
方厘米.问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
F
A
B C
D
E
10
5
(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米.
?
8
5
2O A B
C
D
E
F
(98迎春杯初赛)如图,长方形ABCD 中,AOB 是直角三角形且面积为54,OD 的长是16,OB 的长是9.那么四边形OECD 的面积是 .
A
B
C
D
E
O
燕尾定理应用 【例 1】 2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形ABC 的面积是1,E 是AC 的中点,点D
在BC 上,且:1:2BD DC =,AD 与BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于 .
F
E
D C
B
A
【巩固】如图,已知BD DC =,2EC AE =,三角形ABC 的面积是30,求阴影部分面积
.
【巩固】如图,三角形ABC 的面积是2
200cm ,E 在AC 上,点D 在BC 上,且
:3:5AE EC =,:2:3BD DC =,AD 与BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于 .