空间力系的平衡

(3.8)
第3章 空间力系的平衡
前三个方程称为投影方程，表示力系中各力在三个坐标 轴上投影的代数和分别等于零，表明物体无任何方向的移动。 后三个方程为力矩方程，表示力系中各力对三个坐标轴的力 矩代数和分别为零， 表明物体无绕任何轴的转动。 空间任意力系有六个独立的平衡方程，所以空间任意力系 的平衡问题最多可解六个未知量。
Mz(F)=Mz(Fxy)=MO(Fxy)=±Fxy·d
第3章 空间力系的平衡
z
F O d Fz A F xy
图 3.5
第3章 空间力系的平衡 力对轴之矩的单位是N·m，它是一个代数量，正负号可用 右手螺旋法则来判定：如图3.6所示，用右手握住转轴，四指与 力矩转动方向一致，若拇指指向与转轴正向一致时力矩为正； 反之，为负。也可从转轴正端看过去，逆时针转向的力矩为正， 顺时针转向力矩为负。 力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交时（d=0）， ② 当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之 矩为零。
（3.3） 其中, α、β、γ分别为力F与x、y、z轴间所夹之锐角。
第3章 空间力系的平衡 3.1.3 合力投影定理 设在某物体上A点，作用一空间汇交力系F1、F2、…、Fn， 与平面汇交力系合成相似，运用平行四边形法则，可将其逐步 合成为一作用于汇交点的合力FR，故有
FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi
A′
ϕ
图 3.3
第3章 空间力系的平衡 若已知投影Fx 、Fy 、Fz ，则合力F的大小、方向可由下式 求得
2 F = Fxy + Fz2 = ( Fx2 + Fy2 ) + Fz2 = Fx2 + Fy2 + Fz2 Fy Fx Fx cos α = cos β = cos γ = F F F
第3章 空间力系的平衡
z 200 R Az A R Ax x Fr d R Bx T t (a) z A R Az Fr B y T ＋t (b) Ft A R Ax x (c) B y R Bx R Bz T (d) t R Ax ＋R Bx 200 Ft 60 R Bz B D y A x Ft z Fr R Az ＋R Bz
将上式向x、y、z三坐标轴上投影，即得 FRx=∑Fx FRy=∑Fy FRz=∑Fz
(3.4）
（3.5）
式（3.5）又称合力投影定理，它表明合力在某一轴上的投 影等于各分力在同轴上投影的代数和。
第3章 空间力系的平衡 【例3.1】 如图3.4所示为一圆柱斜齿轮，传动时受到啮合 力F的作用，若已知F=7 kN， α=20°、β=15°，求F沿坐标 轴的投影。
Fz
F F xy Fy
β
Fx C
β
α
A z
B
F xy
Fx
β
O x y Fy A
图 3.4
第3章 空间力系的平衡 解 从以力F为对角线的正六面体可得： 径向力
Fz=-F sinα=-2.39 kN
轴向力
Fx=Fxysinβ=F cosαsinβ=1.70 kN
切向力
Fy=Fxycosβ=F cosαcosβ=6.35kN
式（3.7）称为合力矩定理， 在平面力系中同样适用。
第3章 空间力系的平衡 【例3.2】 如图3.7(a)所示，已知各力的值均等于100 N，六 面体的规格为30cm×30cm×40 cm。 求：(1）各力在x、y、z轴上的投影；(2）力F3对x、y、z轴 之矩。
z 30 40 30 40 F 3y F3 y F 3z x (a) x F 3x z 30 F 3 xy 30 F3 y
F r2
200 160
F t2 r2 r1
F B2 B
0.2 m
NC B
2m
F t1 NB (c)
F Bx
F r1
图 3.1
第3章 空间力系的平衡
3.1 力在空间直角坐标轴上的投影
3.1.1 直接投影法 直接投影法 力在空间直角坐标轴上的投影定义与在平面力系中的定义 相同。若已知力与轴的夹角，就可以直接求出力在轴上的投影， 这种求解方法称为直接投影法。 设空间直角坐标系的三个坐标轴如图3.2所示，已知力F与 三轴间的夹角分别为α、β、γ，则力在轴上的投影为
mx Nx
4. 固固固
my Ny Nx
Nz mz O mx
第3章 空间力系的平衡 求解空间力系平衡问题的基本方法和步骤与平面力系相 同， 即 (1) 选择研究对象， 取出分离体， 画分离体受力图。 (2) 建立空间直角坐标系， 列平衡方程。 (3) 代入已知条件， 求解未知量。 其中， 正确地选择研究对象， 画分离体受力图是解决问 题的关键。
第3章 空间力系的平衡
∑ M x ( Fi ) = 0 M O = ∑ M O ( Fi ) = 0 ∑ M y ( Fi ) = 0 ∑ M z ( Fi ) = 0
∑ Fx = 0 FR = ∑ Fi = 0∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0
Fx=F cosα Fy=F cosβ Fz=F cosγ
第3章 空间力系的平衡
z D Fz E O Fx B G x A F
γ α
β
F C Fy y
图 3.2
第3章 空间力系的平衡
力在轴上的投影为代数量，其正负号规定：从力的起点到 终点若投影后的趋向与坐标轴正向相同，力的投影为正；反之 为负。 而力沿坐标轴分解所得的分量则为矢量。虽然两者大 小相同， 但性质不同。
图 3.9
第3章 空间力系的平衡 方法一 如图3.9（a）所示，由式（3.8）可写出平衡方程。 ∑Fx=0
Fz = F cos γ Fx = Fxy cos ϕ = F sin γ cos ϕ F⇒ Fxy = F sin γ ⇒ F = F sin ϕ = F sin γ sin ϕ （3.2） xy y
第3章 空间力系的平衡
z D Fz A F
γ
O Fx B x
Fy C y F xy
第3章 空间力系的平衡
3.3 空间力系的平衡
3.3.1 平衡条件及平衡方程 平衡条件及平衡方程 与平面任意力系相同，空间任意力系向一点简化，可得一 个空间汇交力系和一组空间力偶系，前者可合成为主矢，后者 可合成为主矩。若主矢、主矩同时为零，则该空间任意力系必 定平衡；反之，若空间任意力系平衡，则该主矢、主矩必同时 为零。故空间任意力系平衡的充要条件是：主矢、主矩同时为 零。由此可得空间任意力系的平衡方程:
α
F1
O F2
β
α
F1
O F2 β
γ
图 3.7
(b)
第3章 空间力系的平衡 解 （1）计算投影。 F1 : F1x = 0
2 F1 y = − F sin α = −100 ⋅ = −50 2 = −70.7 N 2 2 F1z = F cos α = 100 ⋅ = 50 2 = 70.7 N 2 F2 : F2 x = 0, F2 y = 0, F2 z = F2 = 100 N 5 4 F3 : F3 x = − F3 cos β sin γ = −100 ⋅ = −68.6 N 34 5 5 3 F3 y = F3 cos β cos γ = 100 ⋅ = 51.5N 34 5 3 F3 z = − F3 sin β = −100 = −51.5N 34
第3章 空间力系的平衡
表3.1 平衡方程
第3章 空间力系的平衡 常见的空间约束类型 3.3.2 应用举例 表3.2
空 间 约 束 类 型
1. 向向向向向向向向向向向向向
Nz
简简简简
约束约向
Nx
2. 向向向向向向向向(球)向向、向向径向(短)向向向
向承球承承
NzFra Baidu bibliotek
Ny Nx
3. 柱柱承承
Nz mz Ny
第3章 空间力系的平衡 3.1.2 二次投影法 二次投影法 当力与坐标轴的夹角没有全部给出时，可采用二次投影法， 即先将力投影到某一坐标平面上得到一个矢量，然后再将这个 过渡矢量进一步投影到所选的坐标轴上。 如图3.3中，已知力F的值和F与z轴的夹角γ，以及力F在xy平 面上的投影Fxy与x轴的夹角φ，则F在x、y、z三轴上的投影可列 写为
∑Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0 解得：ＦNA=0.95 kN, FNB=0.05 kN, FNC=0.5kN
第3章 空间力系的平衡 【 例 3.4】 某 传 动 轴 如 图 3.9(a) 所 示 。 已 知 皮 带 拉 力 T=5kN,t=2 kN，带轮直径D=160mm，分度圆直径为d=100mm， 压力角（齿轮啮合力与分度圆切线间夹角）α=20°， 求齿轮圆 周力Ft、径向力Fr和轴承的约束反力。 解 取传动轴为研究对象，画出受力图如图3.9（a）所示。 由图可知，传动轴共受八个力作用，为空间任意力系。对于空 间力系的解法有两种：一是直接应用空间力系的平衡方程求解， 如例3.3；二是将空间力系转化为平面力系求解，即把空间的受 力图投影到三个坐标平面，画出主视、俯视、侧视三个视图。 分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。 本法特 别适用于解决轮轴类构件的空间受力平衡问题。 本题用两种方 法分别求解。
第3章 空间力系的平衡
z
z
z
－
＋
＋
－
图 3.6
第3章 空间力系的平衡 3.2.2 合力矩定理 设有一空间力系F１、F2、…、Fn，其合力为FR，则合力对 某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为 Mx(FR)=Ｍx(F1)+Mx(F2)+…+Mx(Fn)=∑Mx(Fi) My(FR)=Ｍy(F1)+My(F2)+…+My(Fn)=∑My(Fi) Mz(FR)=Ｍz(F1)+Mz(F2)+…+Mz(Fn)=∑Mz(Fi) (3.7)
图3-8
第3章 空间力系的平衡 解 （1） 取小车为研究对象，并画出其受力图，如图3.8 (b) 所示，重力G与三轮地面反力FNA、FNB、FNC构成空间平行力系。 （2） 选取坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。 （3） 列平衡方程求解。 ∑Mx(Fi)=0 ∑My(Fi)=0 FNC·CH-G·ED=0 G·EF+FNB·HB-FNA·AH=0
第3章 空间力系的平衡 (2） 计算力对轴之矩。 先将力F3在作用点处沿x、y、z方向分解，得到三个分量F3x、 F3y、F3z（如图3.7(b)所示），它们的大小分别等于投影F3x、F 3y、F3z的大小。 根据合力矩定理，可求得力F3 对指定的x 、 y 、 z三轴之矩如 下： Mx(F3)=Mx(F3x)+Mx(F3y)+Mx(F3z)=0-F3y×0.3+0=-15.4N·m My(F3)=0 Mz(F3)=Mz(F3x)+Mz(F3y)+Mz(F3z)=0+F3y×0.4+0=20.6 N·m
第3章 空间力系的平衡
第3章 空间力系的平衡
3.1 力在空间直角坐标轴上的投影 3.2 力对轴之矩 3.3 空间力系的平衡 思考与练习
第3章 空间力系的平衡
D B 45° FB 45°
C 45° FC O
G A
(a) G2 0.8 m G1 A NA (b) C
0.6 m 0.6 m
160 F Az A F Ax
第3章 空间力系的平衡
3.2 力 对 轴 之 矩
3.2.1 力对轴之矩的计算 力对轴之矩的计算 在工程实际中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形， 为了度 量力使物体绕定轴转动的效果，我们引入力对轴之矩的概念。 如图3.5所示，可把推门的力F分解为平行于z轴的分力Fz和 垂直于z轴的平面内的分力Fxy。由经验可知，分力Fz不能使静止 的门转动，力Fz对z轴的矩为零，只有分力Fxy才能使静止的门绕 z轴转动。现用符号Mz（F）表示力F对z轴之矩。点O为Fxy所在 平面与z轴的交点，d为点O到Fxy作用线的距离，即 （3.6） 上式表明：空间力对轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上 的分力对该轴与此平面交点之矩。
第3章 空间力系的平衡 【例3.3】 如图3.8(a)所示三轮推车中，已知：AH=HB=0.5m， 】 CH=1.5m，EF=0.3 m，ED=0.5 m, 载重G=1.5kN。试求地面对A、 B、C三轮的压力。
z G D H F NB x F NA (a) (b) C F NC y
F E A
B
图 3.8