复数复习
复数(基础+复习+习题+练习)
课题：复数考纲要求：(Ⅰ)复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义；（Ⅱ）)复数的四则运算：①会进行复数的代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.教材复习 1.虚数单位i :()1它的平方等于1-，即 21i =-;()2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -.3.i 的周期性：41n i i +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41n i =.4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示5.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi+的形式，叫做复数的代数形式.6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数07.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d R ∈，那么a bi c di +=+⇔a c =,b d = 9. 复平面、实轴、虚轴：复数(,)z a bi a b R =+∈与有序实数对(),a b 是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a纵坐标是b ，复数(,)z a bi a b R =+∈可用点(),Z a b 表示，这个 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()是000z i =+=表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.10.复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()a bi c di +++=()()a c b d i +++11.复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()a bi c di +-+=()()a c b d i -+- 12.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+13.复数的加法运算满足结合律: 123123()()z z z z z z ++=++ 14.乘法运算规则：设1z a bi =+，2z c di =+(a 、b 、c 、d R ∈)是任意两个复数，那么它们的积()()()()12z z a bi c di ac bd bc ad i =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.15.乘法运算律：(1)()()123123z z z z z z = ()2123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅()3()1231213z z z z z z z +=+3.复数除法定义：满足()()()c di x yi a bi ++=+的复数x yi +(x 、y R ∈)叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者dic bia ++ 16.除法运算规则：①设复数a bi + (a 、b R ∈)，除以c di + (c ，d R ∈)，其商为x yi +（x 、y R ∈)，即()()a bi c di x yi +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()cx dy dx cy i a bi -++=+由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有: ()()a bi c di +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++②利用()()22c di c di c d +-=+于是将dic bia ++的分母有理化得：原式22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad ic di c di c di cd ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d ++-+-==++++.∴(()()a bi c di +÷+=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++ 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c di +与复数c di -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法.17.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
高三数学复习知识点之复数
高三数学复习知识点之复数1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=-1.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i的数（其中a，b∈R）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i，即a；③ 虚数—当b≠0时的复数a + b i；④ 纯虚数—当a = 0且b≠0时的复数a + b i，即b i.⑤ 复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：a+bi=c+di<=>a=c且b=d(其中,a,b,c,d∈R)特别的a+bi=0<=>a=b=0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z₁,z₂为复数，则1°若z₁+z₂>0，则z₁>-z₂.（×）[z₁,z₂为复数，而不是实数]2°若z₁<z₂，则z₁-z₂<0.（√）②若a,b,c∈C，则(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0是a=b=c的必要不充分条件.（当(a-b)²=i²，(b-c)²=1,(c-a)²=0时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d=|z₁-z₂|.其中z₁,z₂是复平面内的两点z₁和z₂所对应的复数，d表示z₁和z₂间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：|z-z0|=r(r>0).⑵曲线方程的复数形式：①|z-z0|=r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②|z-z₁|=|z-z₂|表示线段z₁z₂的垂直平分线的方程.③|z-z₁|+|z-z₂|=2a(a>0且2a>|z₁z₂|表示以Z₁,Z₂为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示线段Z₁,Z₂）.④||z-z₁|-|z-z₂||=2a(0<2a<|z₁z₂|,表示以Z₁,Z₂为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设z₁,z₂是不等于零的复数，则①||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,λ>0).②||z₁|-|z₂||≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ>0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0).注：3. 共轭复数的性质：注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：zⁿ=z·z·z...z}n(n∈N﹢)②对任何z，z₁,z₂∈C及m,n∈N﹢有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i²=-1,i的4次方=1若由就会得到-1=1的错误结论.②在实数集成立的|x|=x₂. 当x为虚数时，|x|≠x²，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若ω是1的立方虚数根。
高考复习：复数的概念及运算
高考复习：复数的概念及运算contents•复数的基本概念•复数的运算性质目录•复数的三角形式•复数的应用与例题解析CHAPTER复数的基本概念0102复数的定义复平面复数的实部是`a`，表示在实轴上的点；虚部是`b`，表示在虚轴上的点。
实部和虚部模和辐角复数的几何意义复数的四则运算01020304加法减法乘法除法CHAPTER复数的运算性质运算法则例子定义运算法则例子030201运算法则例子定义CHAPTER复数的三角形式总结词通过运用正弦函数，可以将复数表示为正弦形式，简化复数的表示和计算。
详细描述复数的正弦形式是利用正弦函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(cosθ+sinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
这种表示方法将复数转化为实数和虚数的和，方便进行计算和简化。
例如，计算复数的乘法时，可以将正弦和余弦部分分别相乘，再相加得到结果。
总结词详细描述总结词通过运用正切函数，可以将复数表示为正切形式，方便进行计算和简化。
详细描述复数的正切形式是利用正切函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(tanθ)，其中r为模长，θ为辐角。
这种表示方法将复数转化为实数和虚数的比值，方便进行计算和简化。
例如，计算复数的乘法时，可以将实数部分相乘，虚数部分相乘，再相除得到结果。
但是需要注意正切函数在某些角度下存在无穷大或无穷小的值，这会导致计算出现误差或溢出等问题。
因此在实际计算中需要注意角度的范围和数值稳定性。
CHAPTER复数的应用与例题解析复平面向量解析几何力学在处理波动、振动等问题时，复数能够帮助我们更好地理解系统的稳定性和频率响应。
电学在电学中，复数被广泛应用于交流电、电磁场等领域。
量子力学在量子力学中，复数被用来描述微观粒子的波函数和能量。
控制理论在控制系统中，复数被用来描述系统的稳定性和性能。
信号处理在信号处理领域，复数被用来进行傅里叶变换、滤波等操作。
图像处理在图像处理中，复数被用来进行图像的频域分析和滤波。
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
复数知识点复习
复数知识点复习咱今儿来好好复习复习复数这个知识点，这玩意儿在数学里可重要着呢！先来说说啥是复数。
复数啊，就像是数学世界里的“神秘嘉宾”，它由实部和虚部组成。
比如说，3 ＋ 4i ，这里的 3 就是实部，4i 就是虚部。
记得我之前教过一个学生小明，他一开始对复数那是一头雾水。
有一次做作业，他把复数的运算弄了个乱七八糟。
我就问他：“小明啊，你咋把这简单的复数都给搞晕啦？”小明愁眉苦脸地说：“老师，我觉得这复数太抽象了，我搞不明白。
”我笑着告诉他：“别着急，咱们慢慢来。
”咱先看看复数的加法。
复数的加法就跟合并同类项差不多。
比如说，（2 ＋ 3i) ＋（1 ＋ 2i) ，那就是实部相加 2 ＋ 1 ＝ 3 ，虚部相加 3i ＋2i ＝ 5i ，最后结果就是 3 ＋ 5i 。
这多简单，就像你把一堆苹果和一堆梨分别加起来一样。
再说说复数的减法。
其实和加法原理差不多，就是实部减实部，虚部减虚部。
举个例子，（5 ＋ 4i) （2 ＋ 2i) ，那就是 5 2 ＝ 3 ，4i 2i＝ 2i ，结果就是 3 ＋ 2i 。
然后是复数的乘法。
这个可得仔细点，（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝ ac ＋adi ＋ bci ＋ bdi²。
因为 i²＝－1 ，所以化简一下就好啦。
比如说，（2＋ 3i)（1 ＋ 2i) ，算出来就是 2×1 ＋ 2×2i ＋ 3i×1 ＋ 3i×2i ＝ 2 ＋ 4i ＋3i ＋ 6i²＝ 2 ＋ 7i 6 ＝－4 ＋ 7i 。
复数的除法稍微有点麻烦，得先把分母实数化。
比如说，（2 ＋3i)÷（1 ＋ 2i) ，分子分母同时乘以分母的共轭复数 1 2i ，然后按照乘法法则计算就行啦。
咱再回过头来说说小明。
经过我这么一番耐心讲解，小明慢慢开窍了。
后来有一次测验，他在复数的题目上做得可好了，还跑来跟我炫耀：“老师，我现在觉得复数也没那么难嘛！”我笑着拍拍他的肩膀说：“对呀，只要用心，啥都能学会！”总之，复数这部分知识，只要多练习，多琢磨，就一定能掌握好。
高三一轮总复习高效讲义第6章第4节复数课件
(2)几何意义：复数的加、减法可按向量的平行四边
形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2，
→ OZ
＝OZ1＋OZ2，
Z1Z2＝OZ2－OZ1．
(3)复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律 ①交换律：z1＋z2＝____z_2＋__z_1____． ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝_____z_1_＋__(_z2_＋__z_3)______．
2．设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是( )
A．1
B． 3
C． 5
D．3
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x＋(y－2)i|＝1，所以 x2＋（y－2）2 ＝1，即x2＋ (y－2)2＝1，
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：因为11－ ＋ii
＝
（1－i）2 （1＋i）（1－i）
＝－22i
＝－i，11＋－ii
＝（1－（i1）＋（i）1＋2 i）
＝
2i 2
＝i，
所以z＝(－i)2 021＋i2 022＝－i－1＝－1－i，则－z ＝－1＋i．
答案：C
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 复数的运算[典例引领]
－
∴z0＝
z z
＝
3－i 3＋i
＝
3－i2
3＋i
3 2
i，
∴z0在复平面内对应的点为12，－
3 2
，∴z0在复平面内对应的点位于第四象限．
(2)复数z对应的点P的坐标为(－1，2)，所以复数z＝－1＋2i，
所以zi ＝－1＋i 2i ＝－－i－1 2 ＝2＋i，所以复数zi 的虚部为1．
复数知识点总结-高三数学一轮复习
知识点总结3 复数一．复数的相关概念及运算法则1.虚数单位：i ，规定i 2=−1；复数的代数形式：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫实部，b 叫虚部2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类① z 是实数⇔b ＝0；② z 是虚数⇔b ≠0；③ z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.3.共轭复数：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数z ＝a －b i.4.复数的模：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |=|a +bi |=√a 2+b 2.5.复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ).特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R ).6.复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝22ac bd c d ++＋22bc-a d c d +i(c ＋d i ≠0).(,,,)a b c d R ∈其中 [来源:] 二．复数的几何意义1.复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面上的点(,)Z a b 一一对应，2.复数(,)z a bi a b R =+∈对应平面向量OZ ；3.复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．4.复数(,)z a bi a b R =+∈的模||z 表示复平面内的点(,)z a b 到原点的距离．三．复数的几个常见结论1.(1±i)2＝±2i.2.11i i +-＝i ，11i i-+＝－i. 3.虚数单位的周期T =4 即：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z ).4.z ∙z ̅=|z |2=a 2+b 2；。
复数复习资料
复数复习资料复数复习资料复数是英语语法中的一个重要概念，它在我们日常的交流中扮演着重要的角色。
为了更好地理解和运用复数形式，我们需要进行复习和巩固。
本文将为大家提供一些复数复习资料，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、复数的基本规则复数形式的基本规则是在名词后面加上“s”。
例如，cat（猫）的复数形式是cats （猫们），book（书）的复数形式是books（书们）。
这种规则适用于大多数名词，但也有一些特殊情况需要注意。
1. 以“s”结尾的名词：如果一个名词已经以“s”结尾，那么在复数形式中不需要再加“s”。
例如，bus（公共汽车）的复数形式是buses（公共汽车们），而不是buss。
2. 以“x”或“ch”结尾的名词：如果一个名词以“x”或“ch”结尾，那么在复数形式中加“es”。
例如，box（盒子）的复数形式是boxes（盒子们），church（教堂）的复数形式是churches（教堂们）。
3. 以“y”结尾的名词：如果一个名词以“y”结尾，且“y”前面是辅音字母，那么在复数形式中将“y”改为“i”，再加“es”。
例如，city（城市）的复数形式是cities（城市们），但如果“y”前面是元音字母，那么只需在名词后面加“s”。
例如，toy（玩具）的复数形式是toys（玩具们）。
4. 以“f”或“fe”结尾的名词：如果一个名词以“f”或“fe”结尾，那么在复数形式中将“f”或“fe”改为“ves”。
例如，leaf（叶子）的复数形式是leaves（叶子们），但也有一些特殊情况，如roof（屋顶）的复数形式是roofs（屋顶们）。
二、不规则复数形式除了以上的基本规则外，还有一些名词的复数形式是不规则的，需要特别记忆。
1. 单复数形式相同：有一些名词的复数形式与单数形式相同，例如sheep（羊）、deer（鹿）、fish（鱼）等。
这些名词在单复数形式上没有变化。
2. 变化较大的名词：有一些名词的复数形式与单数形式相差较大，需要特别注意。
复数知识点复习
复数知识点复习复数是数学中的一个重要概念，在许多领域都有着广泛的应用。
下面咱们就来好好复习一下复数的相关知识。
一、复数的定义形如 a ＋ bi 的数叫做复数，其中 a 和 b 均为实数，i 为虚数单位，满足 i²＝－1。
a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作 Im(z)。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就称为纯虚数 bi。
二、复数的表示形式1、代数形式就是咱们最常见的 a ＋ bi 这种形式。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以 x 轴为实轴，y 轴为虚轴，复数 a ＋ bi 可以用坐标（a, b) 来表示。
3、三角形式复数 a ＋ bi 可以表示为r(cosθ ＋isinθ)，其中 r ＝√（a²＋ b²)，θ是复数的辐角。
4、指数形式根据欧拉公式 e^（iθ) ＝cosθ ＋isinθ，复数又可以写成 r e^（iθ) 的形式。
三、复数的运算1、加法和减法（a ＋ bi) ±（c ＋ di) ＝（a ± c) ＋（b ± d)i2、乘法（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i3、除法（a ＋ bi) ÷（c ＋ di) ＝（ac ＋ bd) ／（c²＋ d²) ＋（bc ad) ／（c²＋ d²)i四、复数的模和辐角1、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作｜z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)模的几何意义就是复数对应的点到原点的距离。
2、复数的辐角以 x 轴正半轴为始边，向量 OZ 所在的射线为终边的角θ 叫做复数z ＝ a ＋ bi 的辐角。
辐角主值通常用 arg z 表示，并且规定在0 ≤ arg z ＜2π 的范围内。
五、复数的性质1、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
2025届高考数学一轮复习——复数讲义
2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠； （3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。
复数知识点及题型总结
复数知识点及题型总结一、复数的构成1. 一般情况下，在词尾加 -s 表示复数形式例子：book → books, cat → cats, dog → dogs2. 以 s, x, sh, ch 结尾的词，在词尾加 -es 表示复数形式例子：box → boxes, bus → buses, brush → brushes, church → churches 3. 以辅音字母+y 结尾的词，变 y 为 i, 再加上-es 表示复数形式例子：baby → babies, city → cities, family → families4. 以 f 或 fe 结尾的词，变 f 或 fe 为 v, 再加上-es 表示复数形式例子：leaf → leaves, calf → calves, knife → knives5. 以 o 结尾的名词，有时加 -es 表示复数形式例子：tomato → tomatoes, hero → heroes, echo → echoes6. 某些词有不规则的复数形式例子：man → men, foot → feet, child → children, tooth → teeth二、复数的用法1. 表示两个或两个以上的事物，用复数形式例子：There are three cats in the garden.2. 表示概括的一类事物，用复数形式例子：Dogs are loyal animals.3. 表示一些特定的事物，用复数形式例子：They have two cars.4. 数词或量词后接名词时，名词用复数形式例子：Three books, five apples三、复数名词的题型1. 单选题例题：Which of the following is the plural form of "child"?A. childsB. childesC. childD. children答案：D. children分析：这是一道对复数形式的选择题，考查学生对复数构成规则的掌握情况。
复数专题复习(经典、全面)
复数专题复习(经典、全面)复数专题复一、复数的概念及运算：1、复数的概念：复数由实部和虚部组成，其中虚部用虚数单位i表示。
2、复数的分类：根据实部和虚部的取值情况，复数可以分为实数、虚数、纯虚数和非纯虚数。
3、复数的运算法则：加减法具有交换律和结合律，乘法具有交换律、结合律和分配律，除法可以通过复数的共轭和模来计算。
4、复数的共轭和模：复数的共轭是实部不变、虚部取相反数的复数，复数的模表示复数对应点与原点的距离。
5、复数共轭和模的运算性质：复数的共轭和模具有一些特殊的运算性质，例如复数的和的共轭等于各自的共轭之和，复数的积的模等于各自的模之积。
二、典型问题分析：考点1：复数的基本运算1.复数(1+3i)/(3-i)的值等于-1+i。
2.已知复数z满足(3+3i)z=3i，则z=-1+i。
3.复数(1-i)^2/(3+3i)的值等于-1/2+i/2.4.复数(1+i)^2/(1-i)的值等于1-i。
考点2：复数的模长运算1.已知复数z=(3+i)/(2-6i)，则|z|=11/10.2.已知|z-1+i|=2，复数z的实部为a，虚部为1，则1<a<3.考点3：复数的实部与虚部1.复数1-i的虚部为-1.考点4：复数与复平面内的点关系1.在复平面内，复数1+i对应的点位于第一象限。
1.正确的结论个数是1.2.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3i$，$z_2=5-i$，则 $f(z_1-z_2)=f(-3+4i)=-4-4i$，答案为 A。
3.设 $z=x+yi$，则 $(x+2)^2+(y-2)^2=1$，即$x^2+y^2+4x-4y+3=0$，这是一个圆心为 $(-2,2)$，半径为$\sqrt{2}$ 的圆。
$|z-2-2i|=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}$，是以$(2,2)$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆，最小值为 $2$，答案为 A。
4.$p=z+z^*=2a$，$q=z\cdot z^*=a^2+1$，因为 $a^2+1\geq 2a$，所以 $q\geq p$，答案为 D。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数.基本知识【1】复数的基本概念(1) 形如a + bi 的数叫做复数(其中a ，b R )；复数的单位为i ，它的平 方等于一1，即i 21.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部纯虚数：当a = 0且b(2) 两个复数相等的定义：0时的复数a+ b i 为纯虚数a bi c di a c 且b d (其中，a ， b ，c ,d , R )特别地 a bi 0 a b 0(3) 共轭复数：z a bi 的共轭记作z a bi ; (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi ，对应点坐标为p a,b ;(象限的复习)实数：当b = 0时复数 a + bi 为实数 虚数：当b 0时的复数a + bi 为虚数;设z 1 a 1bj ，Z 2a 2b 2i(1) 加法： Z 1 Z 2 a 1 a 2 b 1b 2 i ;(2) 减法： Z 1 Z 2 a 1 a 2th b 2 i ;(3) 乘法： Z 1 : Z 2 a ia2t 1b 2a2^ a 1b 2i特别 z z a 2 b 2。
(4) 幕运算:・1i i i 231 i4i i1 i.5 6i i1【3】 复数的化简c zadi( abi ,b 是均不为 0的实数) ;的化简就是通过分母实数化的方法将分母 化为实数：zc di c di a biac bdad bc i a bi a bi a bi2 ab 2对于:c di z a bi-a b 0， 当cab 时z :为实数; 当z 为纯虚数是z 可设为复数的基本运算【2】(5)复数的模：对于复数z bi ，\ a 2 b 2 叫做复数z 的模;二. 例题分析【例11已知z a 1 b 4 i ，求(1) 当a,b 为何值时z 为实数 (2) 当a,b 为何值时z 为纯虚数 (3) 当a,b 为何值时z 为虚数(4)当a,b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限A. 1 B . 0 C 1 D2 2【变式21求实数m 的值，使复数(m 2m 3) (m 3m 4)i 分别是：(1)实数。
复数复习题及答案
复数复习题及答案1. 复数的一般形式是什么？复数的一般形式是a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
2. 两个复数相加的规则是什么？两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的模长如何计算？复数a+bi的模长是|a+bi|=√(a^2+b^2)。
4. 复数的共轭复数是什么？复数a+bi的共轭复数是a-bi。
5. 两个复数相乘的规则是什么？两个复数相乘时，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
6. 复数的除法如何进行？复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/((c+di)(c-di))。
7. 复数的实部和虚部如何表示？复数a+bi的实部是a，虚部是b。
8. 复数的几何意义是什么？复数a+bi可以在复平面上表示为一个点，其中a是实轴上的坐标，b 是虚轴上的坐标。
9. 复数的幂运算如何进行？复数的幂运算可以通过欧拉公式来实现，即(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r=|a+bi|，θ=arg(a+bi)。
10. 复数的指数形式是什么？复数的指数形式是e^(a+bi)=e^a(cos(b)+isin(b))。
答案：1. a+bi2. (a+c)+(b+d)i3. √(a^2+b^2)4. a-bi5. (ac-bd)+(ad+bc)i6. (a+bi)(c-di)/((c+di)(c-di))7. 实部a，虚部b8. 复平面上的一个点9. r^n(cos(nθ)+isin(nθ))10. e^a(cos(b)+isin(b))。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
复数知识点和方法总结
复数知识点和方法总结一、英语复数的概念复数是英语名词的一种形式，用来表示两个或两个以上的人或物。
通常常见的复数形式是在词尾加-s或-es，例如：cat（猫）的复数形式是cats（猫咪们），而box（盒子）的复数形式是boxes（盒子们）。
复数形式可以是规则的，也可以是不规则的，需要根据具体的单词形式来记忆。
二、英语复数的构成1. 一般情况下，在名词词尾加-s构成复数，如：book（书）的复数形式是books（书籍）。
2. 名词词尾如果是s、x、z、ch、sh结尾，复数形式则是在词尾加-es，如：bus（公交车）的复数形式是buses（公交车辆）。
3. 以辅音字母+y结尾的单词，变复数时先将y改成i再加-es，如：baby（宝宝）的复数形式是babies（宝宝们）。
4. 以f或fe结尾的名词，变复数时通常将f或fe改成v再加-es，如：wolf（狼）的复数形式是wolves（狼群）。
5. 以不规则形式变复数的名词则需要特别记忆，如：man（男人）的复数形式是men（男人们）。
三、英语复数的用法1. 表示多个人或物英语复数形式用来表示多个人或物的情况，例如：trees（树木）表示多棵树，friends（朋友们）表示多个朋友。
2. 引出复数名词的量词在引出复数名词时，需要搭配相应的量词，如：a pair of shoes（一双鞋子）、three boxes of chocolates（三盒巧克力）。
3. 表示不可数名词的复数概念有些不可数名词在特定语境下也会出现复数形式，例如：waters（水域）表示多个水域、moneys（金钱）表示多种货币。
四、英语复数形式的记忆方法1. 规则单词的复数形式规则的复数形式可以根据单词的词尾来进行记忆，例如：以辅音字母+y结尾的单词变复数时，先将y变成i再加-es；以f或fe结尾的单词变复数时，通常将f或fe变成v再加-es。
2. 不规则单词的复数形式不规则单词的复数形式需要通过多读多记的方法来进行记忆，可以通过课文中的实际语境来帮助记忆。
第七章复数章末复习课件(人教版)
11－7i
(2)已知 a＋bi＝
Байду номын сангаас
(i 为虚数单位)，求实数 a＋b 的值．
1－2i
例14：已知|z|＝1. (1)求|z－(2＋2i)|的最值；
解：( 1) | z －( 2 ＋2i) | 表示复平面内单位圆上的点到点( 2, 2) 的距离， 由图 1 可知：
|z－(2＋2i)|min＝2 2－1， |z－(2＋2i)|max＝2 2＋1.
A．1＋2i
B．－1＋2i
C．1－2i
D．－1－2i
例6：(2020年新课标Ⅱ)(1－i)4＝ A．－4 C．－4i
( A)
B．4 D．4i
( D)
题型三 复数的模
例 7：(2020 年新课标Ⅰ)若复数 z＝1＋i，则|z2－2z|＝
A．0
B．1
C． 2
D．2
(D )
| |5－i
例 8：(2019 年天津)i 是虚数单位，则 1＋i 的值为____1_3___．
题型四 复数的几何意义
1 例 9：在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于
1－i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
例 10：设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
( D) ( C)
例 11：(1)设复数 z1 和 z2 在复平面内对应的点关于坐标原点对称，且 z1＝3－
例14：已知|z|＝1.
(2)求|z－i|·|z＋1|的最大值．
1
( 2) 由图
2
可知∠AEB
＝45°，S△ABE
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4 n+ 2
= − 1，i
4 n+3
= − i；
（3）i · i
nn+1·in+2·i
n+3
= − 1，
i ＋i
n
n+1
＋i
n+ 2
＋i
n+3
=0；
；
3 解法 3：选择支中的复数的模均为 +1 ，又 z ≥ 0，而方程右边为 2+i，它的实 4
部，虚部均为正数，因此复数 z 的实部，虚部也必须为正，故选择 B．
2 999 2 3
2
999
(3)解法 1：原式=(1+2i − 3 − 4i)+(5+6i − 7 − 8i)+…+(997+998i − 999 − 1000i) =250( − 2 − 2i)= − 500 − 500i
解法 2：设 S＝1+2i+3 i +…+1000 i ，则 iS＝i+2 i +3 i +…+999 i +1000i ∴(1 −i)S＝1+i+ i +…+ i
2 999
999
1000
，
−1000 i1000
【例 12】 设 z∈c，a≥0，解方程 z|z|＋az＋i=0。
边取模，得
3−i 16、 分）在复数范围内解方程 z +(z + z)i = （12 (i 为虚数单位) 2 +i
2
(3−i)(2−i) 解：设 x + yi,代入方程得 y +(x + yi+ x − yi)i = Z＝ x + (2+i)(2−i)
2
解：设 z=x+yi(x，y∈R)
将 z=x+yi 代入|z −4|＝|z −4i|可得 x＝y，∴z=x+xi
(2)当|z −1| ＝13 时，即有 x −x −6=0 则有 x=3 或 x= −2
2 2
综上所述 故 z＝0 或 z=3+3i 或 z=-2 −2i
(3) 1+2i+3 i +…+1000 i
z·z=|z|2=|z|2
i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(n∈N) ∈
3、复数加法的几何意义： 平行四边形法则 、复数加法的几何意义： 减法的几何意义： 减法的几何意义： 三角形法则
1．共轭复数规律 2．复数的代数运算规律 （1）i
4n
，
；
=1，i
4 n+1
=i，i
2
解:原方程整理得： 原方程整理得： 2 (x ( ＋ x＋3 m)-(2 ＋1) ＝0 ＋ ) (2x＋1)i＝ ∵ x、 m∈ R，由复数相等的充要条件得： 、 ∈ ，由复数相等的充要条件得： x 2 + x + 3m = 0 1 1 解得 x = − , m = . 2 12 2 x + 1 = 0
2 2
5 5 2 2 5 5 5 35 = x + y +2xi = − i∴x + y = ,2x = − ,解得：= − , y = ± x 3 3 3 3 6 6 5 35 ∴Z = − ± i 6 6
2 2
有实根． 已知关于 x 的方程 x 2 − (2i − 1) x + 3m − i = 0 有实根． 的取值范围是____________. 则实数 m 的取值范围是____________.
解:依题意可设两虚根为 m + ni , m − ni m + ni + m − ni = 2a 则由韦达定理得 2 ( m + ni )( m − ni ) = a − 4a + 4 又∵ m + ni + m − ni = 3 ,∴ 2 m + n = 3
2 2
2
2
9 1 7 ∴ a − 4a + 4 = 解得 a = 或 ( 舍去) 4 2 2 评注: 系数一元二次方程 一元二次方程有虚根一定是成 评注: 实系数一元二次方程 有虚根一定是成 对出现的.(两虚根互为共轭复数) .(两虚根互为共轭复数 对出现的.(两虚根互为共轭复数)
1 ∴实数 m 的取值范围是 . 12 评注: 一元二次方程系数为虚数时, 评注 : 一元二次方程系数为虚数时 , △ 法判别实 根已经不适用了. 根已经不适用了 .
5.已知关于 5.已知关于 x 的实系数方程 x －2 ax+a － 4 a+4=0 的两 +4=0 |+|x |=3， 虚根为 x1、 x2， 且| x1|+| 2|=3，则 a 的值为 ．