清华大学“应用随机过程” 讲义五
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第五讲
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
1
• 作业题 1(1~5，9)，2，3，14(1)，16，
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
2
Brown运动
预备知识：随机变量序列的四种收敛性
回忆实数序列的收敛性定义 :
{an , n
≥ 1}, lim n→∞
an
=
a
∀ε > 0, ∃n ≥ 1,当k ≥ n时, 恒有 | ak − a |< ε.
25
随时随地等可能
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
26
进一步地, 可得到 E(B(tn+1) | B(t1) = x1,…, B(tn ) = xn ) = xn. 即E(B(tn+1) | B(t1),…, B(tn )) = B(tn ).
Brown运动的鞅性
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
m.s.
lim
n→∞
X
n
=
X , 或者 X n
m.s.→ X .(n → ∞)
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
11
4. 依分布收敛（弱收敛）
对于r.v.s.{X n , n ≥ 1}, 记 :
Fn (x) = P( X n ≤ x), F (x) = P( X ≤ x) 分别是X n和X的分布函数. 若对F (x)的连续点有 :
24
又根据马氏性, 可得到
B(tn+1)关于B(t1) = x1,…, B(tn+1) = xn的c. p.d. f . 为p(xn+1 − xn , tn+1 − tn ).
P( B(t n +1 )
≥
xn
|
B(t1 )
=
x1,…,
B(tn )
=
xn )
=
1 2
.
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
对于r.v.s.{X n , n ≥ 1}, 若 :
lim
n→∞
E
|
X
n
(ω)
−
X
(ω
)
|p
=
0,
则称{X n , n ≥ 1}以Lp收敛于X .记为
X n Lp → X .(n → ∞)
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应用随机过程讲义 第五讲
10
当p
=
2时,
lim
n→∞
E
|
X
n
(ω
)
−
X
(ω )
|2
=
0,
称{X n , n ≥ 1}均方收敛 到X (mean square ).记为
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应用随机过程讲义 第五讲
3
1. 几乎处处收敛(以概率1收敛) (almost surely a.s. /almost everywhere a.e.)
一随机变量序列{X n (ω), n ≥ 1},
若ω ∈ Ω固定,则X n (ω)是一实数序列.
lim
n→∞
X
n
(ω)
=
X
(ω).
若对∀ω ∈ Ω, X n (ω)均收敛, 则X n (ω) → X (ω)可视为函数的收敛.
对于r.v.s.{X n , n ≥ 1}, 若 : ∀ε > 0
lim
n→∞
P(ω
:|
X
n
(ω)
−
X
(ω)
|<
ε
)=1,来自则称{X n , n ≥ 1}依概率收敛于X .记为
P
lim
n→∞
X
n
=
X
,
或者X
n
P→
X
.(n
→
∞)
由以概率1收敛可以推出依概率收敛
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
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3. Lp(p>0)收敛
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
13
背景，定义与性质
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应用随机过程讲义 第五讲
14
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应用随机过程讲义 第五讲
15
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应用随机过程讲义 第五讲
16
乘积每一项方差趋于0
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
17
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应用随机过程讲义 第五讲
lim
n→∞
Fn
(
x)
=
F
(
x),
则称{X n , n ≥ 1}依分布函数收敛 于X .记为
X n d → X .(n → ∞)
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
12
几种收敛性的关系
(1) X n a.e.→ X ⇒ X n P→ X , (2) X n Lp → X ⇒ X n P→ X , (3) X n Lp → X ⇒ X n d → X .
P{ω
:
lim
n→∞
X
n
(ω)
=
X
(ω)}
=
1,
则称X n (ω)几乎处处(以概率1) 收敛到X (ω).
记为 :
lim
n→∞
Xn
a.s. =
X
, 或者X n
a.e.→
X
,
Xn
a.s.→
X.
这种收敛方式要求最高 但不要求每点相等，因为不影响分布函数.
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应用随机过程讲义 第五讲
7
P{ω : X (ω) = Y (ω)} = 1
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22
这里变换的Jacobi行列式|J|=1
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应用随机过程讲义 第五讲
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应用随机过程讲义 第五讲
(ω)}即为无理点全体.
P{ω
:
lim
n→∞
X
n
(ω)
=
X
(ω)}
=
P(B
)
=
1,
P{ω
:
lim
n→∞
Xn
(ω)
≠
X
(ω)}
=
P(B)
=
0.
X n (ω)几乎处处(以概率1)收敛到X (ω).
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应用随机过程讲义 第五讲
6
现将Ω扩展到任意的概率空间.
对于r.v.s.{X n (ω), n ≥ 1}, 若
⇒ ∀x ∈ R, P( X ≤ x) = P(Y ≤ x). 可用公理化定义加以证明.
令
B
= {ω
:
lim
n→∞
X n (ω)
=
X
(ω)},
B
= {ω
: lim n→∞
X n (ω)
≠
X
(ω)}.
则X n a.e.→ X ⇔ P(B ) = 0.
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2. 依概率收敛
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应用随机过程讲义 第五讲
4
概率空间 (Ω, # , P) = ([0,1], "[0,1], P) [c, d ] ⊂ [0,1], 定义 P([c, d ]) = d − c
r.v.
X
(ω
)
=
0
1
ω ∈ B = {[0,1]上有理点全体 } ω ∈ B = {[0,1]上无理点全体 }
∀ω ∈ [0,1], Y (ω ) = 1.
X
n
(ω
)
=
1
0
ω ∈ ( 1n ,1] ω ∈ (0, 1n]
n ≥1
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应用随机过程讲义 第五讲
5
∀ω ∈ Ω, X n (ω) → Y (ω)
∀ω
∈
Ω,
X
n
(ω
)
→
X 1
(ω
)
ω∈B ω∈B
集合{ω
:
lim
n→∞
X n (ω)
=
X
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1
• 作业题 1(1~5，9)，2，3，14(1)，16，
2005-1-3
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2
Brown运动
预备知识：随机变量序列的四种收敛性
回忆实数序列的收敛性定义 :
{an , n
≥ 1}, lim n→∞
an
=
a
∀ε > 0, ∃n ≥ 1,当k ≥ n时, 恒有 | ak − a |< ε.
25
随时随地等可能
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
26
进一步地, 可得到 E(B(tn+1) | B(t1) = x1,…, B(tn ) = xn ) = xn. 即E(B(tn+1) | B(t1),…, B(tn )) = B(tn ).
Brown运动的鞅性
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m.s.
lim
n→∞
X
n
=
X , 或者 X n
m.s.→ X .(n → ∞)
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11
4. 依分布收敛（弱收敛）
对于r.v.s.{X n , n ≥ 1}, 记 :
Fn (x) = P( X n ≤ x), F (x) = P( X ≤ x) 分别是X n和X的分布函数. 若对F (x)的连续点有 :
24
又根据马氏性, 可得到
B(tn+1)关于B(t1) = x1,…, B(tn+1) = xn的c. p.d. f . 为p(xn+1 − xn , tn+1 − tn ).
P( B(t n +1 )
≥
xn
|
B(t1 )
=
x1,…,
B(tn )
=
xn )
=
1 2
.
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对于r.v.s.{X n , n ≥ 1}, 若 :
lim
n→∞
E
|
X
n
(ω)
−
X
(ω
)
|p
=
0,
则称{X n , n ≥ 1}以Lp收敛于X .记为
X n Lp → X .(n → ∞)
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10
当p
=
2时,
lim
n→∞
E
|
X
n
(ω
)
−
X
(ω )
|2
=
0,
称{X n , n ≥ 1}均方收敛 到X (mean square ).记为
2005-1-3
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3
1. 几乎处处收敛(以概率1收敛) (almost surely a.s. /almost everywhere a.e.)
一随机变量序列{X n (ω), n ≥ 1},
若ω ∈ Ω固定,则X n (ω)是一实数序列.
lim
n→∞
X
n
(ω)
=
X
(ω).
若对∀ω ∈ Ω, X n (ω)均收敛, 则X n (ω) → X (ω)可视为函数的收敛.
对于r.v.s.{X n , n ≥ 1}, 若 : ∀ε > 0
lim
n→∞
P(ω
:|
X
n
(ω)
−
X
(ω)
|<
ε
)=1,来自则称{X n , n ≥ 1}依概率收敛于X .记为
P
lim
n→∞
X
n
=
X
,
或者X
n
P→
X
.(n
→
∞)
由以概率1收敛可以推出依概率收敛
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应用随机过程讲义 第五讲
9
3. Lp(p>0)收敛
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
13
背景，定义与性质
2005-1-3
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14
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
15
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
16
乘积每一项方差趋于0
2005-1-3
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17
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
lim
n→∞
Fn
(
x)
=
F
(
x),
则称{X n , n ≥ 1}依分布函数收敛 于X .记为
X n d → X .(n → ∞)
2005-1-3
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12
几种收敛性的关系
(1) X n a.e.→ X ⇒ X n P→ X , (2) X n Lp → X ⇒ X n P→ X , (3) X n Lp → X ⇒ X n d → X .
P{ω
:
lim
n→∞
X
n
(ω)
=
X
(ω)}
=
1,
则称X n (ω)几乎处处(以概率1) 收敛到X (ω).
记为 :
lim
n→∞
Xn
a.s. =
X
, 或者X n
a.e.→
X
,
Xn
a.s.→
X.
这种收敛方式要求最高 但不要求每点相等，因为不影响分布函数.
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应用随机过程讲义 第五讲
7
P{ω : X (ω) = Y (ω)} = 1
27
2005-1-3
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2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
19
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
20
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
21
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
22
这里变换的Jacobi行列式|J|=1
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
23
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
(ω)}即为无理点全体.
P{ω
:
lim
n→∞
X
n
(ω)
=
X
(ω)}
=
P(B
)
=
1,
P{ω
:
lim
n→∞
Xn
(ω)
≠
X
(ω)}
=
P(B)
=
0.
X n (ω)几乎处处(以概率1)收敛到X (ω).
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
6
现将Ω扩展到任意的概率空间.
对于r.v.s.{X n (ω), n ≥ 1}, 若
⇒ ∀x ∈ R, P( X ≤ x) = P(Y ≤ x). 可用公理化定义加以证明.
令
B
= {ω
:
lim
n→∞
X n (ω)
=
X
(ω)},
B
= {ω
: lim n→∞
X n (ω)
≠
X
(ω)}.
则X n a.e.→ X ⇔ P(B ) = 0.
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8
2. 依概率收敛
2005-1-3
应用随机过程讲义 第五讲
4
概率空间 (Ω, # , P) = ([0,1], "[0,1], P) [c, d ] ⊂ [0,1], 定义 P([c, d ]) = d − c
r.v.
X
(ω
)
=
0
1
ω ∈ B = {[0,1]上有理点全体 } ω ∈ B = {[0,1]上无理点全体 }
∀ω ∈ [0,1], Y (ω ) = 1.
X
n
(ω
)
=
1
0
ω ∈ ( 1n ,1] ω ∈ (0, 1n]
n ≥1
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应用随机过程讲义 第五讲
5
∀ω ∈ Ω, X n (ω) → Y (ω)
∀ω
∈
Ω,
X
n
(ω
)
→
X 1
(ω
)
ω∈B ω∈B
集合{ω
:
lim
n→∞
X n (ω)
=
X