王明慈 概率论与数理统计 第二版 习题解答 习题一
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计第二版参考答案
习题2参考答案2.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/6 5/36 1/91/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124CC C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628CC C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++=(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314kk lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯=1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X CC ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X CC C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5) 01.51.5{0}0!P X e-=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e ee---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
概率统计参考答案 第二版 王明慈
概率统计参考答案习题一1、 写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点：（1） 同时郑三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和。
解：设三枚骰子点数之和为k ，k=3,,4,5,…,18;则样本空间为{k |k 3,4,...,18}Ω==,且事件A={k |k 11,12,...,18}=，事件B={k |k 3,4,...,14}=。
（2） 解：设从盒子中抽取的3只电子元件为(i,j,k)，(i,j,k)为数列1,2,3,4,5的任意三个元素构成的组合。
则Ω={（1,2,3）,(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。
2、 下列式子什么时候成立？解：AUB=A ：成立的条件是B ⊂A ；（2）AB=A ：成立的条件为A ⊂B 。
3、 设A 、B 、C 表示三事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来。
解：（1） 仅A 发生：ABC ；（2） A 、B 、C 都发生：ABC ；（3） A 、B 、C 都不发生：ABC ；（4） A 、B 、C 不都发生：ABC ；（5） A 不发生，且B 与C 中至少发生一事件：(A B C)U ；（6） A 、B 、C 中至少有一事件发生：AUBUC ；（7） A 、B 、C 中恰好有一事件发生：ABC+ABC+ABC ；（8） A 、B 、C 中至少二事件发生：BC ABC ABC ABC A +++=（AB ）U （AC ）U （BC ）；（9） A 、B 、C 中最多一事件发生：BC ABC ABC ABC A +++=(AB)U(AC)U(BC)------------------。
4、 设P(A)=0.5,P(B)=0.6，问：（1） 什么条件下，P(AB)取得最大值，最大值是多少？解：由P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）得到P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （AUB ）<=0.5+0.6-0.6=0.5，此时，P （AUB ）=0.6。
概率论与数理统计第二版-课后答案-科学出版社-参考答案-最新
概率论与数理统计第二版-课后答案-科学出版社-参考答案-最新习题2参考答案2.12.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)用丫表示乙在两次投篮中所投中的次数，Y~B(2,0.4)(1)两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=C：0.7°0.32C：°.400.62C20.710.3； C；%。
.©C20.720.30C20.420.60 0.3124 (2)甲比乙投中的次数多P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=1 1 1 0 02 2 2 0 0 0 2 2 2 0 IllC20.710.31C 20.400.62C20.720.30C2°.400.62C2°.720.300.562812 3 22.4解:(1) P{1 < X< 3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=15 15 15 52.5 解:1 1(D P{X=2,4,6,…}=* 2 22k=lim1[i (泸(2) P{X>3} =1 -P{X<3} =1 -P{X=l}- P{X=2} = l-i-i = -2 4 4 2.6解：设心表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0, 1, 2P{X = 0} = P{A, A 2 A 3A 4} = P(A i )P(A 2\ 4叫 14 A 2)P (4 14心尸18 17 16 15 12—X — X — X —=—20 19 18 17 19P{X = 1J = P{4瓦瓦石} + P {瓦4,入石} + P{N 忑4石} + P{瓦石入儿}2 18 17 1618 2 17 1618 18 2 16 18 17 162 =——X — X — X ------- 1 ---- X — X — X ------ 1 ---- X — X — X — + ——X — X — X —=20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 1712 323 P{X = 2} = \-P{X = 0}-P{X = \} = } - - =—19 95 952. 7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)P(X >3) = P(X = 3)4-P(X = 4) = C ：0.4'0.6i + C ：0.4°0.6° =0.1792(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 0. 4)P(X^3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(% = 5) = (7J 0.430.62 + C"0.440.6' + C ；0.羊0.6。
概率论与数理统计(第二版)课后答案
各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以 选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以 选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以 选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或 所以 选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容 （C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容 （D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以 选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立 所以 选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以 选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则 样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ； （2）)(C B A ； （3）C B A C B A C B A ； （4）AC BC AB ； （5）C B A ； （6）C B A ； （7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。
概率论与数理统计(王明慈第二版)第2章随机变量及其分布8节
j
同理随机变量Y的边缘概率函数为
j
P (Y y j ) P ( X xi , Y y j ) pij p j
i
i
2019/2/1 2
X 以及Y 的边缘分布也可以由下 表表示
Y X x1
y1 p11 p21
y2 p12 p22
… … …
x
2 6 dy 6( x x ) 0 x 1 2
其他
0 y 1
fY ( y)
f ( x, y)dx
6dy 6( y y) 0, 其他
y
y
2019/2/1
7
小结： 二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系： 边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边 缘分布确定联合分布。 难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘 密度不为零的范围。
14
y
P{ X x | y Y y y}
y x
x
y y y y
f ( x, y )dydx fY ( y )dy f ( x, y )dy )dx fY ( y )dy
y
y y 1 y y y y 1 y y
(
P{X x | y Y y y} FX |Y ( x | y) lim y 0
称为在条件Y= y下X的条件分布函数.
随机变量X在Y=y的条件下的条件密度函数
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y)
随机变量Y在X=x的条件下的条件密度函数
注：条件密度函数的性质与普通密度函数类似
2019/2/1 16
概率论与数理统计第二版课后习题答案
概率论与数理统计第二版课后习题答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。
而课后习题是学习这门学科的重要环节，通过解答习题可以巩固所学知识，提高问题解决能力。
本文将为大家提供《概率论与数理统计第二版》课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一章：概率论的基本概念1. 事件A、B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A∪B)。
解答：由于A、B相互独立，所以P(A∩B)=P(A)×P(B)=0.3×0.4=0.12。
根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.4-0.12=0.58。
2. 设A、B为两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，若P(A∩B)=0.3，求事件“既不发生A也不发生B”的概率。
解答：事件“既不发生A也不发生B”可以表示为A和B的补集的交集，即A'∩B'。
根据概率的补集公式，P(A')=1-P(A)=0.4，P(B')=1-P(B)=0.3。
由于A、B相互独立，所以P(A'∩B')=P(A')×P(B')=0.4×0.3=0.12。
第二章：离散型随机变量及其分布律1. 设随机变量X的分布律为：P(X=k)=C(10,k)×(0.3)^k×(0.7)^(10-k)，其中C(10,k)表示10中取k的组合数。
求P(X≥6)。
解答：P(X≥6)=1-P(X<6)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)]=1-[C(10,0)×(0.3)^0×(0.7)^10+C(10,1)×(0.3)^1×(0.7)^9+C(10,2)×(0.3)^2×(0.7)^8+ C(10,3)×(0.3)^3×(0.7)^7+C(10,4)×(0.3)^4×(0.7)^6+C(10,5)×(0.3)^5×(0.7)^5]=1 -[1×1×(0.7)^10+10×0.3×(0.7)^9+45×0.09×(0.7)^8+120×0.027×(0.7)^7+210×0. 0081×(0.7)^6+252×0.00243×(0.7)^5]=1-0.0282≈0.9718。
概率论与数理统计及其应用第二版课后答案解析
全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）
求该数大于 330 的概率。
解：仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全
体三位数的个数有 55 4 100 个。（1）该数是奇数的可能个数为
4 43 48 个，所以出现奇数的概率为
48 0.48 100
（2）该数大于 330 的可能个数为 2 4 5 4 5 4 48，所以该数大于
P( A) P( AB) P( AB ) 5% 45% 50% ； P(B) P(BA) P(BA) 5% 10% 15% ； （2）根据条件概率公式： P(B | A) P(AB) 5% 0.1；
P( A) 50%
（3） P(B | A) P(BA) 10% 0.2 ；
P( A) 1 P( A)
1 12.1%
即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为
17.06%.
15，计算机中心有三台打字机 A,B,C，程序交与各打字机打字的概率
依次为 0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为 0.01, 0.05, 0.04。
已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在 A,B,C 上打
也是红球”记为事件 B 。则事件 A 的概率为
P( A) 2 2 2 2 1 5 （先红后白，先白后红，先红后红） 43 43 6
所求概率为
P(B |
A)
P( AB)
21 43
1
P(A) 5 5
6
10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有 5%的人 以为自己患癌症，且确实患癌症；有 45%的人以为自己患癌症，但 实际上未患癌症；有 10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症； 最后 40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以 A 表示事件 “一病人以为自己患癌症”，以 B 表示事件“病人确实患了癌症”，求 下列概率。 （1）P(A),P(B) ；（2）P(B | A) ；（3）P(B | A) ；（4）P( A | B ) ；（5）P(A | B) 。 解：（1）根据题意可得
概率论与数理统计一二章习题详解 (1)
习题一（A ）1. 用三个事件,,A B C 的运算表示下列事件： （1）,,A B C 中至少有一个发生；（2）,,A B C 中只有A 发生； （3）,,A B C 中恰好有两个发生；4）,,A B C 中至少有两个发生； （5）,,A B C 中至少有一个不发生；（6）,,A B C 中不多于一个发生. 解：（1）A B C U U （2）ABC (3) ABC ABC CAB U U(4) AB BC CA U U (5) A B C U U (6) AB BC C A U U2. 在区间[0,2]上任取一数x ， 记1{|1},2A x x =<≤ 13{|}42B x x =≤≤，求下列事件的表达式：（1）AB ； （2）AB ； (3) A B U .解：（1）{|1412132}x x x ≤≤<≤或 （2）∅（3）{|014121x x x ≤<<≤或3. 已知()0.4,()0.2,()0.1P A P BA P CAB ===，求()P A B C U U . 解：0.2()()P A P AB =-,0.1()(())()()()()()()P C AB P C A B P C P CA CB P C P CA P CB P ABC -=-=-=--+U U ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC =++---+U U =0.40.20.10.7++= 4. 已知()0.4,()0.25,()0.25P A P B P A B ==-=，求()P B A -与()P AB .解：()()()0.25P A B P A P AB -=-=, ()0.15P AB =,()()()0.250.150.1P B A P B P AB -=-=-=,()()1()()()P AB P A B P A P B P AB ==--+U 10.40.250.150.5=--+=5.将13个分别写有,,,,,,,,,,,,A A A C E H I I M M N T T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN ”的概率. 解：232224813!13!p ⨯⨯⨯⨯==6. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率. 解：1254535099392C C p C == 7. 某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率.解：1212312p =: 8. 在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率. 解：设i A 表示第i 次取到次品，1,2,3i =，12395945()0.0461009998P A A A ==9. 两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率. 解：1112122214p ⨯⨯⨯== 10. 两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要6小时.假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率. 解：22246371()1()24416p -=-=-=11. 任取两个不大于1的正数，求它们的积不大于29，且它们和不大于1的概率. 解：29xy ≤， 1x y +≤ ，所以 13x =，23x = 23131212ln 23939p dx x =+=+⎰12. 设(),(),P A a P B b==证明：1(|)a bP A Bb+-≥.证明：()()()() ()()()P AB P A P B P A B P A BP B P B+-==U()()11()P A P B a bP B b+-+-≥≥13. 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐汽车的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.若坐火车来，迟到的概率是0.25；若坐船来，迟到的概率是0.3；若坐汽车来，迟到的概率是0.1；若坐飞机来，则不会迟到.求他迟到的概率.解：0.30.250.20.30.10.10.145⨯+⨯+⨯=14. 设10个考题签中有4个难答，3人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲未抽到难签而乙抽到难签；（3）甲、乙、丙均抽到难签.解；（1）42105 p==（2）64410915 p==（3）4321109830 p==15. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“＊”和“-” .由于通信系统受到干扰，当发出信号“＊”时，收报台未必收到信号“＊”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“＊”和“-”；同样，当发出信号“-”时，收报台分别以0.9和0.1收到信号“-”和“＊”.求：（1）收报台收到信号“＊”的概率；（2）当收到信号“＊”时，发报台确实是发出信号“＊”的概率.解：（1）0.60.80.40.10.52⨯+⨯=（2）0.4812 0.5213=16. 设,A B相互独立，()0.6,()0.4P A B P B==U，求()P A.解：()0.6()()()0.4()() P A B P A P B P AB P A P AB ==+-=+-U0.2()0.4()P A P A =-, 1()3P A =17. 两两独立的三事件,,A B C 满足,ABC =∅并且1()()()2P A P B P C ==<. 若9()16P A B C =U U ，求()P A . 解：293()3()16P A P A =- ,216()16()30P A P A -+=21()(,()34P A P A ==舍） 18、证明：（1）若(|)()P A B P A >，则(|)()P B A P B >.（2）若(|)(|)P A B P A B =，则事件A 与B 相互独立. 证明：（1）()()()P AB P A P B > ,()()()P AB P A P B > ()()()()()()()P AB P A P B P B A P B P A P A >= (2) ()()P A B P A B =,()()()1()P AB P A B P B P B -=- ()()()P AB P A P B =19. 甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击.设甲、乙、丙的命中率分别为0.4，0.5，0.7. 又飞机中1弹，2弹，3弹而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1. 若三人各向飞机射击一次，求：（1）飞机坠毁的概率；（2）已知飞机坠毁，求飞机被击中2弹的概率.解：（1）0.2(0.40.50.30.60.50.30.60.50.7)0.6(0.40.50.30.40.50.70.60.50.7)0.40.50.70.20.360.60.410.140.458⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯+=（2） 0.60.410.540.458⨯=20. 三人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码能被译出的概率.解：0.250.350.40.250.650.60.750.350.60.750.650.40.250.350.60.250.650.40.750.350.4⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.0350.09750.15750.1950.05250.0650.105 0.7075=++++++=21. 在试验E中，事件A发生的概率为()P A p=，将试验E独立重复进行三次，若在三次试验中“A至少出现一次的概率为1927”，求p.解：00333191(1)1(1)27C p p p=--=--，13p=22. 已知某种灯泡的耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个该型号的灯泡在使用1000小时以后至多有一个坏掉的概率.解：31230.20.80.20.0830.80.040.104C+⋅=+⨯⨯=23. 设有两箱同种零件，在第一箱内装50件，其中有10件是一等品；在第二箱内装有30件，其中有18件是一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件，每次1个，求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）已知第一次取出的零件是一等品，，第二次取出的零件也是一等品的概率.解：（1）1011810.4 502302+=(2) 5110911817519117 [][] 225049230294549529+=+19512612499()0.4856 449295684+=+==（B）1.箱中有α个白球和β个黑球，从中不放回地接连取1(1)k kαβ++≤+次球，每次1个.求最后取出的是白球的概率.解：(1)(2)()()(1)()kkαβαβαβαααβαβαβαβ+-+-+-=++-+-+LL2. 一栋大楼共有11层，电梯等可能地停在2层至11层楼的每一层，电梯在一楼开始运行时有6位乘客，并且乘客在2层至11层楼的每一层离开电梯的可能性相等，求下列事件的概率：（1）某一层有两位乘客离开；（2）没有两位及以上的乘客在同一层离开；（3）至少有两位乘客在同一层离开.解：（1）4 2242666 199()()101010 C C=（2）6 10 10! P(3)610 110!P -3.将线段(0,)a任意折成3折，求此3折线段能构成三角形的概率.解：{}(,)0,0,0x y x a y a x y aΩ=<<<<<+<，(,)0,0,222a a aA x y x y x y a⎧⎫=<<<<<+<⎨⎬⎩⎭，211222142a apa==4. 设平面区域D由四点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)围成的正方形，现向D内随机投10个点，求这10个点中至少有2个落在由曲线2y x=和直线y x=所围成的区域1D的概率.解：121()6p x x dx=-=⎰，00101910101515 1()()()()6666C C--9109105105515 1()()166662929687510.5260466176⨯=--=-=-=5. 设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份. 随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率.解：（ 1）13171529 31031532590 ++=（2）13717815202020 310931514325243029616119030++==-6. (Banach问题)某数学家有两盒火柴，每盒装有N根，每次使用时，他在任一盒中取一根，问他发现一空盒，而另一盒还有k根火柴的概率是多少.解：22221111 2()(1)()2222N k N N N k N NN k N kp C C-----=-=习题二（ A ）1．同时抛掷3枚硬币，以X表示出现正面的枚数，求X的分布律。
王明慈_概率论与数理统计_第二版_习题解答_习题五,六
n n n n
n n
+
=
+
+ + +
∴= − + +⋅+ −
+ +
+
又
化简得
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
2
1 2 1 2
1 2
2
2 2
1 2 1 2
1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1
1 1
nn X X
n n
nn X X n S n S
S
n n n n n n
i
x x
s x x
s x x
x x σ
=
=
=
= = =
= − = − + − + + − =
= − = =
= −
∑
∑
∑
∼
…
解
10
2
1
9
4.194.
10
i
S
=
= =∑
2.设抽样得到100个样本观测值如下：
计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。
解：由书上127页（5.20）（5.21）（5.22）式可知：
2
1
S
2
2
S
1 2
n n +
证明：（1）.联合样本的样本均值；
1 1 2 2
1 2
n X n X
X
n n
+
=
+
（2）.联合样本的样本方差
( ) ( ) ( )
( )( )
2
《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1
13. 乘以什么常数将使变成概率密度函数? 解：令
即 即 14. 随机变量，其概率密度函数为
() 试求；若已知，求.
解：
, 若，由正态分布的对称性 可知 .
15. 设连续型随机变量的概率密度为 以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数，试求概率.
解： 。
16. 设随机变量服从[1,5]上的均匀分布，试求. 如果 （1）； （2）. 解：的概率密度为 （1） （2） 17. 设顾客排队等待服务的时间（以分计）服从的指数分布。某顾
（1）
（2） 3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的 概率是相互独立的，且概率均是0.4，设为途中遇到红灯的次数，试求 （1）的概率分布； （2） 的分布函数。 解： （1） 列成表格
（2） 4. 试求习题1.3中第11题的分布函数，并画出
的曲线。 解：
5. 设连续型随机变量的分布函数为 试求:（1）的值； （2）； （3）概率密度函数.
7. 已知事件相互独立，求证与也独立。 证明：因为、、相互独立，
与独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照
顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需 要工人照顾的概率。
解： 令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么 令表示最多有一台机床需要工人照顾， 那么
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中 出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试 求
（1）的概率分布； （2）。 解： （1） （2） 5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答 案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？ 解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为，所以这是一个,的独立重 复试验。
[学习]概率论与数理统计王明慈第二版第2章随机变量及其分布9节
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PX k PY n k
k 0
n
n
PX k， Y n k
2018/12/30
f Z z
f Z z
f X x f Y z x dx
f X z y f Y y dy
14
例5. 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别是
e x , x 0 e y , y 0 f X ( x) ; fY ( y ) ; 0, x 0 0, y 0 求Z=X+Y的概率密度。
0
z
1 e ze
∴Z的分布函数
z
z
y
ze z , z 0 Z的概率密度f Z ( z ) 0, z 0
2018/12/30
1 e z ze z , z 0 FZ ( z ) z0 0,
O
x
16
3.极值分布
设随机变量 X , Y是相互独立，分布函数 为 FX x , FY y ．
则X n 的分布函数 Fn z Fi z
X 1 的分布函数 F1 z 1 {1 Fi z }
i 1
n
i 1 n
特别地, 若X1 , X 2， , X n是相互独立，且服从相 同分布
设X i的分布函数为 F ( z),则
Fn z {F z } ，
上式对y求导数，得 Y的概率密度为 1
0 y 1 1 y 4 其他
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P( A A ∪ B ) =
___
P[ A ∩ ( A ∪ B ] P( A ∪ B )
___
___
=
P( A ∪ A B )
___
___
=
P( A)
___
16 盒中里有 10 个电子元件，其中有 7 个正品，3 个次品，从中每次抽取一个，不放 回地连续抽取四次，求第一，第二次取得次品且第三第四次取得正品的概率。
P( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P (BC ) + P ( ABC )
=1 −
1 3 = 。 4 4
答 案
3
w.
5 一批产品共有 200 件，期中有 6 件废品，求： （1）任取 3 件产品恰有 1 件是废品的概率； （2）任取 3 件产品没有废品的概率； （3）任取 3 件产品中废品不少于 2 件的概率。
第一章 1 写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点。 （1）同时掷三枚塞子，记录三枚塞子的点数之和， A − “点数之和大于 10”， B − “点数之和小于 15”。 解：三枚塞子掷得的点数最小为 3，最大为 18，并且可以组成这中间的连续自然数。 所以样本空间及各事件可表示为：
Ω = {3， 4， 56 ， ⋯16 17 ，18} ， ， A = {11,12,13,14,15,16,17,18}, B = {3, 4,5, 6 ⋯12,13,14}.
ww
w.
所以 P ( B A) =
14 某人忘记电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码，求他拨号不超 过两次而接通的概率。 解：设 Ai 表示第 i 次拨通。则根据题意有
P( A1 ) =
p = P( A1 ) + P( A 1 A2 ) = 0.1 + 0.1 = 0.2.
15 设 P ( A) = 0.5, P( B) = 0.4, P( A B ) = 0.6, 求 P ( AB ), P( A A ∪ B ).
4 解：后面四个数字不考虑异同共有10 种方法，若四个数字全不同有 P 10 种方法，故所 4
10.从 1 ∼ 2000 的整数中随机地取出一个数，求： （1）这个数能被 5 整除的概率； （2）这个数能被 4 和 6 整除的概率。 解： （ 1） 1 ∼ 2000 中共有 400 个数能被 5 整除，2000 个数中任取一个数共有 2000 种 取法，所以所求概率为
P( AB) 在 AB ⊂ B且AB ⊂ A 的条件下取得最大值 0.5.
（2）注意到 P ( A) + P ( B ) = 0.5 + 0.6 = 1.1 > 1 ，所以当 A ∪ B = Ω ， 时， P ( AB )
取得最小值，最小值为 P ( B ) − P ( A) = 0.1. 5 设 P ( A) > 0, P( B) > 0, 将下列四个数
co m
2 1
求概率为
166 = 0.083. 2000
11 从 0，1，2，……9 这十个数字中任取 3 个不同的数字，求下列事件的概率： A − “这三个数字中不含 0 和 5”， B − “这三个数字中包含 0 或 5”， C − “这三个数 字含 0 但不含 5”. 解：这三个数字中不含 0 和 5 则只能从余下的 8 个数字中选取，所以
（2）1 ∼ 2000 中能被 4 和 6 整除的数（即为能被 12 整除的数）共有 166 个，所以所
kh da
课
1 3 C194 C62 + C6 ≐ 0.0004. 3 C200
后
解： （ 1）任取 3 件产品共有 C200 ，其中恰有 1 件是废品的取法有 C194C 6 种，所求的概
400 = 0.2. 2000
w.
网
Ω = {(1, 2,3), (1, 2, 4), (1, 2,5), (1,3, 4), (1,3,5), (1, 4,5), (2,3, 4), (2,3,5), (2, 4,5), (3, 4,5)}; A = {(1, 2,3), (1, 2, 4), (1, 2,5), (1,3, 4), (1,3,5), (1, 4,5)}.
co m
3
（2）一盒中有 5 只外形相同的电子元件。分别标有号码 1，2，3，4，5，从中任取 3 只， A − “最小号码为 1”。
（9） A, B , C 中最多有一事件发生。解： AB ∪ BC ∪ AC 。 3 设 A, B , C 为三个事件，证明：
______________________
P( A), P( AB), P( A) + P( B), P( A ∪ B) 按由小到大的顺序排列，用符号 ≤ 联系他 们，
并指出在什么情况下可能有等式成立。
kh da
课 后
4.设 P ( A) = 0.5, P ( B ) = 0.6, 问：
答 案
w.
网
co m
P( AB) ≤ P( A) ≤ P( A ∪ B) ≤ P( A) + P( B).
___
∵ P( A B ) =
解：
___
___
P( A B )
___
P( B )
___ ___
∴ P( A B ) = P( A B ) P ( B ) = 0.6 × (1 − 0.4) = 0.36,
___ __
而 P ( A) = P ( A B ) + P ( AB ), 所以 P ( AB ) = P ( A) − P ( A B ) = 0.5 − 0.36 = 0.14.
= P (C ) + P ( A ∪ B ) − P[( A ∪ B) ∩ C ]
= P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) + P (C ) − P ( AC ∪ BC )
= P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) + P (C ) − [ P ( AC ) + P ( BC ) − P ( ACBC )] = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC )
网
率 p1 =
2 1 C194 C6 ≐ 0.0855; 3 C200
3 C194 （2） p2 = 3 ≐ 0.9122; C200
ww
w.
（3） p3 = 求概率为
4 P 10 = 0.504. 104
6 在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数字全不同的概率（设后面四个数 字中的每一个数字等可能地取自 0，1，2，……9） 。
后
答 案
{(1, 2), (1,5), (2,1), (2, 4), (3,3), (3, 6), (4, 2), (4,5), (5,1), (5, 4), (6,3), (6, 6)}
w.
解：出现的点数能被 3 整除的样本点共有
网
co m
P( A) = 1 − P( B) = 1 −
7 8 = , C 事件已经确定了选中 0，又不能选中 5 所以只能从 15 15
3 C8 7 P( A) = 3 = , ，事件 B 包含 0 或 5 刚好是 A 的逆事件，所以 C10 15
余下的 8 个数字中选取 2 个，所以 P (C ) =
C82 7 = . 3 C10 30
12 将一枚均匀的塞子掷两次，已知出现的点数之和能被 3 整除，求恰好是两次都出现 3 点的概率。
P( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P (BC ) + P ( ABC ) 。
证明：将 A ∪ B ≜ D ，则
P( A ∪ B ∪ C ) = P(C ∪ D)
= P (C ) + P ( D) − P(CD)
答 案
4
三 ， 第 四 次 取 得 正 品 的 方 法 有 P3 P2 ⋅ P7 P6 种 方 法 ， 所 以 所 求 概 率
p=
17 猎人在距离 100m 处射击一动物，击中的概率是 0.6；如果第一次未击中，则进行第 二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为 150m；如果第二次又未击中，则进行第三次 射击，这时距离变为 200m。假定击中的概率与距离成反比，求猎人最多射击三次的情 况下击中动物的概率。 解：动物被击中的概率与距离成比例，先求比例系数，
w. ww
________
课
当 A ⊆ B 时， AB = A .
（3） A, B , C 都不发生。解： A B C ；
（4） A, B , C 不都发生。解： A, B , C 不都发生是 A, B , C 都发生的对立事件，可表示
为 ABC ； （5） A 不发生，且 B, C 中至少有一事件发生；解： A( B ∪ C ) ； （6） A, B , C 中至少有一事件发生。解： A ∪ B ∪ C ；
解：从 5 个电子元件中任取 3 只有 C5 种取法，故样本空间共有 C5 个样本点，即：
3
2.下列各式在什么条件下成立？ A ∪ B = A; AB = A.
3 设 A, B , C 表示三个事件，试将下列事件用 A, B , C 表示出来。
___ __
（1）仅 A 发生。解： A B C ；
（2） A, B , C 都发生。解： ABC ；
__ __ __ __ __ __ __
（7） A, B , C 中恰有一事件发生。解： A B C + A B C + A B C ； （8） A, B , C 中至少有二事件发生。解： AB ∪ BC ∪ AC ；