王明慈 概率论与数理统计 第二版 习题解答 习题一

___
∵ P( A B ) =
解：
___
___
P( A B )
___
P( B )
___ ___
∴ P( A B ) = P( A B ) P ( B ) = 0.6 × (1 − 0.4) = 0.36,
___ __
而 P ( A) = P ( A B ) + P ( AB ), 所以 P ( AB ) = P ( A) − P ( A B ) = 0.5 − 0.36 = 0.14.
（1）在什么条件下 P ( AB ) 取最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下 P ( AB ) 取最小值，最小值是多少？ 解： （ 1） AB ⊂ B , AB ⊂ A ，根据概率的单调性有
ww
w.
⎧ P( AB) ≤ P( A) ⇒ P( AB) ≤ min( P( A), P( B)) = 0.5 ，所以 ⎨ ⎩ P( AB) ≤ P( B)
设 A − “两次都出现三点”， B − “出现的点数能被 3 整除”，
13 某种集成电路使用到 2000h 还能正常工作的概率是 0.94， 使用到 3000h 还能正常工 作的概率是 0.87，求已经工作了 2000h 的集成电路还能继续工作到 3000h 的概率。 解：设 A − “用到 2000h 还能工作”， B − “用到 3000h 还能正常工作”，则 B ⊂ A,
= P (C ) + P ( A ∪ B ) − P[( A ∪ B) ∩ C ]
= P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) + P (C ) − P ( AC ∪ BC )
= P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) + P (C ) − [ P ( AC ) + P ( BC ) − P ( ACBC )] = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC )
P( AB) 在 AB ⊂ B且AB ⊂ A 的条件下取得最大值 0.5.
（2）注意到 P ( A) + P ( B ) = 0.5 + 0.6 = 1.1 > 1 ，所以当 A ∪ B = Ω ， 时， P ( AB )
取得最小值，最小值为 P ( B ) − P ( A) = 0.1. 5 设 P ( A) > 0, P( B) > 0, 将下列四个数
网
率 p1 =
2 1 C194 C6 ≐ 0.0855; 3 C200
3 C194 （2） p2 = 3 ≐ 0.9122; C200
ww
w.
（3） p3 = 求概率为
4 P 10 = 0.504. 104
6 在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数字全不同的概率（设后面四个数 字中的每一个数字等可能地取自 0，1，2，……9） 。
co m
2 1
求概率为
166 = 0.083. 2000
11 从 0，1，2，……9 这十个数字中任取 3 个不同的数字，求下列事件的概率： A − “这三个数字中不含 0 和 5”， B − “这三个数字中包含 0 或 5”， C − “这三个数 字含 0 但不含 5”. 解：这三个数字中不含 0 和 5 则只能从余下的 8 个数字中选取，所以
P( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P (BC ) + P ( ABC )
=1 −
1 3 = 。 4 4
答 案
3
w.
5 一批产品共有 200 件，期中有 6 件废品，求： （1）任取 3 件产品恰有 1 件是废品的概率； （2）任取 3 件产品没有废品的概率； （3）任取 3 件产品中废品不少于 2 件的概率。
w. ww
________
课
当 A ⊆ B 时， AB = A .
（3） A, B , C 都不发生。解： A B C ；
（4） A, B , C 不都发生。解： A, B , C 不都发生是 A, B , C 都发生的对立事件，可表示
为 ABC ； （5） A 不发生，且 B, C 中至少有一事件发生；解： A( B ∪ C ) ； （6） A, B , C 中至少有一事件发生。解： A ∪ B ∪ C ；
ww
w.
P( A1 ) = 0.6, P( A2 ) =
___
P(击中) =
P(i ≤ 3) = P ( A1 ) + P( A1 A2 ) + P( A1 A2 A3 ) = 0.6 + 0.4 × 0.4 + 0.4 × 0.6 × 0.3 = 0.832.
这里用到了每次射击是相互独立的。 18 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四 级射手 1 人， 一， 二， 三， 四级射手能通过选拔而进入比赛的概率分别为 0.9，0.7，0.5，0.2， 求任取一位射手能通过选拔进入比赛的概率。 解：设 Ai 表示选中第 i 级射手， Bi 表示第 i 级射手通过选拔。 所以由全概率公式所以概率为 p =
3 C8 7 P( A) = 3 = , ，事件 B 包含 0 或 5 刚好是 A 的逆事件，所以 C10 15
余下的 8 个数字中选取 2 个，所以 P (C ) =
C82 7 = . 3 C10 30
12 将一枚均匀的塞子掷两次，已知出现的点数之和能被 3 整除，求恰好是两次都出现 3 点的概率。
___ ___
kh da
课
P( AB) P( B) 0.87 = = = 0.9255. P( A) P( A) 0.94
____
1× 1 1 1 P( AB) C6 × C6 1 所以 P ( A B) = = = . 12 P( B) 12 1 1 C6 × C6
__ __ __ 1 9 1 , P( A1 A2 ) = P( A1 ) P( A2 A1 ) = × , 则 题 目 要 求 的 概 率 10 10 9
答 案
4
三 ， 第 四 次 取 得 正 品 的 方 法 有 P3 P2 ⋅ P7 P6 种 方 法 ， 所 以 所 求 概 率
p=
17 猎人在距离 100m 处射击一动物，击中的概率是 0.6；如果第一次未击中，则进行第 二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为 150m；如果第二次又未击中，则进行第三次 射击，这时距离变为 200m。假定击中的概率与距离成反比，求猎人最多射击三次的情 况下击中动物的概率。 解：动物被击中的概率与距离成比例，先求比例系数，
w.
网
Ω = {(1, 2,3), (1, 2, 4), (1, 2,5), (1,3, 4), (1,3,5), (1, 4,5), (2,3, 4), (2,3,5), (2, 4,5), (3, 4,5)}; A = {(1, 2,3), (1, 2, 4), (1, 2,5), (1,3, 4), (1,3,5), (1, 4,5)}.
P( A A ∪ B ) =
___
P[ A ∩ ( A ∪ B ] P( A ∪ B )
___
___
=
P( A ∪ A B )
___
___
=
Fra Baidu bibliotekP( A)
___
16 盒中里有 10 个电子元件，其中有 7 个正品，3 个次品，从中每次抽取一个，不放 回地连续抽取四次，求第一，第二次取得次品且第三第四次取得正品的概率。
后
答 案
{(1, 2), (1,5), (2,1), (2, 4), (3,3), (3, 6), (4, 2), (4,5), (5,1), (5, 4), (6,3), (6, 6)}
w.
解：出现的点数能被 3 整除的样本点共有
网
co m
P( A) = 1 − P( B) = 1 −
7 8 = , C 事件已经确定了选中 0，又不能选中 5 所以只能从 15 15
P( A), P( AB), P( A) + P( B), P( A ∪ B) 按由小到大的顺序排列，用符号 ≤ 联系他 们，
并指出在什么情况下可能有等式成立。
kh da
课 后
4.设 P ( A) = 0.5, P ( B ) = 0.6, 问：
答 案
w.
网
co m
P( AB) ≤ P( A) ≤ P( A ∪ B) ≤ P( A) + P( B).
4 解：后面四个数字不考虑异同共有10 种方法，若四个数字全不同有 P 10 种方法，故所 4
10.从 1 ∼ 2000 的整数中随机地取出一个数，求： （1）这个数能被 5 整除的概率； （2）这个数能被 4 和 6 整除的概率。 解： （ 1） 1 ∼ 2000 中共有 400 个数能被 5 整除，2000 个数中任取一个数共有 2000 种 取法，所以所求概率为
解：
⇓
⇓
⇓
B⊇ A B⊆ A
AB = φ (等式成立的条件)
1 1 , P( AB) = P( AC ) = 0, P( BC ) = , 求 A, B, C 中至少 3 4
6 设 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = 有一事件发生的概率。
解：因为 P ( AB ) = P ( AC ) = 0, 所以 P ( ABC ) ≤ P ( AB ) = P ( AC ) = 0, 再由概率的非 负性，有 P ( ABC ) = 0, 最后由上题的结论有
（2）1 ∼ 2000 中能被 4 和 6 整除的数（即为能被 12 整除的数）共有 166 个，所以所
kh da
课
1 3 C194 C62 + C6 ≐ 0.0004. 3 C200
后
解： （ 1）任取 3 件产品共有 C200 ，其中恰有 1 件是废品的取法有 C194C 6 种，所求的概
400 = 0.2. 2000
第一章 1 写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点。 （1）同时掷三枚塞子，记录三枚塞子的点数之和， A − “点数之和大于 10”， B − “点数之和小于 15”。 解：三枚塞子掷得的点数最小为 3，最大为 18，并且可以组成这中间的连续自然数。 所以样本空间及各事件可表示为：
Ω = {3， 4， 56 ， ⋯16 17 ，18} ， ， A = {11,12,13,14,15,16,17,18}, B = {3, 4,5, 6 ⋯12,13,14}.
co m
3
（2）一盒中有 5 只外形相同的电子元件。分别标有号码 1，2，3，4，5，从中任取 3 只， A − “最小号码为 1”。
（9） A, B , C 中最多有一事件发生。解： AB ∪ BC ∪ AC 。 3 设 A, B , C 为三个事件，证明：
______________________
P( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P (BC ) + P ( ABC ) 。
证明：将 A ∪ B ≜ D ，则
P( A ∪ B ∪ C ) = P(C ∪ D)
= P (C ) + P ( D) − P(CD)
__ __ __ __ __ __ __
（7） A, B , C 中恰有一事件发生。解： A B C + A B C + A B C ； （8） A, B , C 中至少有二事件发生。解： AB ∪ BC ∪ AC ；
kh da
后
__ ___ __
解：当 A ⊇ B 时， A ∪ B = A;
答 案
解：从 5 个电子元件中任取 3 只有 C5 种取法，故样本空间共有 C5 个样本点，即：
3
2.下列各式在什么条件下成立？ A ∪ B = A; AB = A.
3 设 A, B , C 表示三个事件，试将下列事件用 A, B , C 表示出来。
___ __
（1）仅 A 发生。解： A B C ；
（2） A, B , C 都发生。解： ABC ；
ww
w.
所以 P ( B A) =
14 某人忘记电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码，求他拨号不超 过两次而接通的概率。 解：设 Ai 表示第 i 次拨通。则根据题意有
P( A1 ) =
p = P( A1 ) + P( A 1 A2 ) = 0.1 + 0.1 = 0.2.
15 设 P ( A) = 0.5, P( B) = 0.4, P( A B ) = 0.6, 求 P ( AB ), P( A A ∪ B ).