2020年江苏省高中数学奥林匹克夏令营代数综合8月5日(图片版,无答案)

2020江苏省数学夏令营2020年8月5号

代数综合 顾滨

1. 已知实数1201n x x x <<<<<，

证明：()()()()()11212111112n n n x x x x x x x x −−+−−+

+−−<.

2. 当01a <<时，求证：

()11222113k k k n k a a a −+=−<∑.

3. 设12,,

,n x x x R ∈，求证：()1cos 2i j i j n

n x x ≤<≤−≥−∑. 4． 设复数z 满足12z +>，证明：311z +>.

5. 已知:数列{}n a 的首项为112a =

.前n 项和为n S ,且有123,2,3,4,2n n n a a n n −−==,求证: 20191S <.

6. 已知：()()

()sin sin sin ,,,,0,sin sin sin a c a c a b c d b d b d π−==∈−，证明：,a b c d ==.

7. 设2n ≥，12,,,n x x x 是在()0,1之间的实数，证明：存在某个,11i i n ≤≤−，使得：

()()111114

i i n x x x x +−≥

−. 8. 已知数列{}n a 对于任意的1n ≥,满足1120,1n n n a a a a +>=

+,求证:存在正整数n ,

使得n a >. 9. 设[],,,1,2x y z t ∈，试求最小的正实数k ，使得y z x z y t z t k x y y t x z t x ⎛⎫+++++≥+

⎪++++⎝⎭

. 10. 试求: ()()()cos cos cos cos cos cos αβγαββγγα+++−+−+−的最小值.

11. 对于正整数2n ≥满足1(1,2,,)i a i n ≤=的复数12,,,n a a a ，试求

12111n i n i a

a a a =+++∑的最小值.

12. 已知：正数数列{}n a 满足1212,93a a =

=，且满足411843,2n n n a a a n +−++=≥,试求数列的通项公式.

13. 已知12,,,n z z z 为n 个复数，满足1(1,2,

,)j z j n ≤=，证明:存在R θ∈及{,}i i j e e θθε∈− (1,2,

,)j n =，使得11n j j j z ε=≤∑.

14. 已知实数,x y 满足2

29x y +=

,试求函数(,)f x y =.

15. 设[0,1],1,2,,,1,2,

,ij x i m j n ∈==，求证： ()11111111n m m n ij ij j i i j x x ====⎛⎫⎛⎫−+−−≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∏∏∏∏.

16. 给定正整数2n ，求最小的实数c ，使得对任意非负实数12,,,n a a a ，都存在{1,2,,}i n ，满足

11i i i a a c a ，其中010n a a .