用行列式阶解方程组的特点
方程组的行列式解法和高斯消元法
方程组的行列式解法和高斯消元法方程组是我们学习高等数学的基础，而解方程组的方法则是数学研究的重点之一。
其中，行列式解法和高斯消元法是两种常见的解方程组的方法。
本文将会介绍这两种方法的具体操作和优缺点。
一、行列式解法行列式解法是一种基于行列式的方法，它适用于二元线性方程组和三元线性方程组。
对于二元线性方程组：$$\left\{\begin{aligned}&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2\end{aligned}\right.$$我们可以将这个方程组转换为矩阵形式：$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} &a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1 \\b_2\end{pmatrix}$$然后，我们可以求出系数矩阵的行列式$D$以及增广矩阵的行列式$D_x$和$D_y$，其中$D_x$和$D_y$分别表示将系数矩阵中第一列和第二列替换为增广矩阵的列向量得到的矩阵的行列式。
这个过程可以表示为：$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix},D_x=\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix},D_y=\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}$$最后，我们可以通过克拉默法则得到方程组的解：$$x_1=\frac{D_x}{D},x_2=\frac{D_y}{D}$$对于三元线性方程组，我们可以采用类似的方法求解。
行列式
第一章 行列式行列式的理论起源于线性方程组，是线性代数中的重要概念之一.在数学的许多分支和工程技术中有广泛的应用.本章主要介绍n 阶行列式的概念、性质、计算方法及其用行列式解n 元线性方程组的克莱姆（Cramer ）法则.1.1 n 阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式在许多实际问题中，人们常常会遇到求解线性方程组的问题，我们在初等数学中曾学过如何求解二元一次线性方程组和三元一次线性方程组.例如对于以12,x x 为未知元的二元一次线性方程组11112212112222,.a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ (1.1) 利用消元法，得112212211122122112212212112121(),().a a a a xb a a b a a a a x a b b a -=--=-当112212210a a a a -≠时，方程组（1.1）有唯一解122122*********b a a b x a a a a -=-,112121211221221a b b a x a a a a -=-. （1.2）根据这个解的特点得到启发，为了简明的表达这个解，引入了二阶行列式的概念. 定义1.1 记号11122122a a a a 表示代数和11221221a a a a -，称为二阶行列式，即1112112212212122a a a a a a a a =-.其中数11122122,,,a a a a 叫做行列式的元素，横排叫行，竖排叫列.元素ij a 的第一个下标i 叫做行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标j 叫做列标，表明该元素位于第j 列.由上述定义可知，二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得的代数和.这个规律性表现在行列式的记号中就是“对角线法则”.如下图1-1，把11a 到22a 的实连线称为主对角线，把12a 到21a 的虚连线称为副对角线.于是，二阶行列式等于主对角线上两元素的乘积减去副对角线上两元素的乘积.11122122a a a a 图1-1由上述定义得，112122122222b a b a a b b a =-，111112121212.a ba b b a a b =-若记11122122a a D a a =，1121222b a D b a =，1112212a b D a b =.则方程组（1.1）的解可用二阶行列式表示为1212,D Dx x D D==. （1.3） 注 从形式上看，这里分母D 是由方程组（1.1）的系数所确定的二阶行列式（称为系数行列式），1x 的分子1D 是用常数项1b ，2b 替换D 中的第一列所得的行列式，2x 的分子2D 是用常数项1b ，2b 替换D 中的第二列所得的行列式.本节后面讨论的三元一次线性方程组的解也有类似的特点，请读者学习时注意比较.总之，当（1.1）式中未知量的系数排成的行列式0D ≠时，方程组（1.1）的解可由（1.3）式给出.例1.1 解线性方程组12122313,54 2.x x x x +=⎧⎨-=-⎩ 解 因为232(4)3523054D ==⨯--⨯=-≠-，而113313(4)3(2)4624D ==⨯--⨯-=---，22132(2)1356952D ==⨯--⨯=--.所以1146223D x D -===-， 2269323D x D -===-. 现在来看三元一次线性方程组：111122133121122223323113223333,,.a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （1.4） 同样，由消元法可得，当111213212223112233122331132132313233a a a D a a a a a a a a a a a a a a a ==++ 1322311221331123320a a a a a a a a a ---≠时，（1.4）的解为1122331223313232132231223312332211233123311321313231121331123331122312231121321223112213112321(),1(),1().x b a a a a b a b a a a b a b a b a a D x a b a b a a a a b a b a b a a a a b D x a a b a b a b a a b a a a a b a b a D ⎧=++---⎪⎪⎪=++---⎨⎪⎪=++---⎪⎩（1.5） 同前面一样，为方便记忆，我们引入三阶行列式的概念：定义1.2 记号111213212223313233a a a a a a a a a 表示代数和 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为三阶行列式，即111213212223112233122331132132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++ 132231122133112332a a a a a a a a a ---.注 这个行列式含有三行、三列，其展开式是6个项的代数和.这6个项中的每一项都是由不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正号或负号构成的.我们可用一个简单的规律来记忆，就是所谓三阶行列式的对角线规则：111213212223313233a a a a a a a a a 图1-2即实线上三个元的乘积构成的三项都冠以正号，虚线上三个元的乘积都冠以负号.例1.2 计算三阶行列式212431235-. 解 按对角线法则，有2124312351122(4)32321(4)5231235-=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯302241220610=+--+-=.有了三阶行列式后，（1.5）可以很有规律的表示为312123,,.D D Dx x x D D D===其中1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =，111213212223313233a a a D a a a a a a =上面三式右边居分母的位置的三个行列式都是D ，它是线性方程组（1.4）的系数按原有相对位置而排成的三阶行列式，也称为方程组（1.4）的系数行列式，而在123,,x x x 的表达式中的分子分别是把系数行列式D 中第1,2,3列换成常数项123,,b b b 而得到的三阶行列式.依次记为1D ，2D ，3D .这与二元线性方程组的解具有相同的规律.不仅如此，以后我们还可以看到：n 元线性方程组的解也同样可以用“n 阶行列式”来表达，其情况与二元、三元线性方程组解的表达式完全类似.例1.3 解线性方程组123123123241,532,1.x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ 解 因为24115380111--=-≠-， 114125311111D -=-=--，22111239111D ==-，32411526111D -=-=--.故有11118D x D ==-，2298D x D ==-，3334D x D ==-. 1.1.2 n 阶行列式通过前面的讨论，对于二阶和三阶行列式可用对角线法则定义，但是对于n 阶行列式如果用对角线法则来定义，当3n >时，它将与二阶、三阶行列式没有统一的运算性质，因此，对一般的n 阶行列式要用其它的方法来定义，在线性代数中有不同的定义方式，我们在本书中采用下面的递推法来定义.从二阶、三阶行列式的展开式中，可发现它们都遵循着相同的规律——可按第一行展开.即1112112212212122a a D a a a a a a ==-，111213222321232122212223111231323331333132313233a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a ==-+ （1.6）111112121313a M a M a M =-+.其中2223113233a a M a a =，2123123133a a M a a =，2122133132a a M a a =.11M 是原来三阶行列式D 中划掉元素11a 所处的第1行和第1列的所有元素后剩下的元素按原来的次序排成的低一阶的行列式.称11M 为元素11a 的余子式.同理，12M 和13M 分别是12a 和13a 的余子式.为了使三阶行列式的表达式更加规范化，令111111(1)A M +=-，121212(1)A M +=-，131313(1)A M +=-，111213,,A A A 分别称为元素111213,,a a a 的代数余子式.因此，式（1.6）即为111112121313D a A a A a A =++， （1.7）同样，111211221221111112122122a a D a a a a a A a A a a ==-=+. （1.8）其中11112222(1)A a a +=-=，12122121(1)A a a +=-=-.注 定义一阶行列式1111a a =（不要把一阶行列式11a 与11a 的绝对值相混淆）. 如果把式（1.8）和式（1.7）作为二阶、三阶行列式的定义，那么这种定义的方法是统一的，它们都是利用低一阶的行列式来定义高一阶的行列式.因此，我们自然而然地会想到，用这种递推的方式来定义一般的n 阶行列式.这样定义的各阶行列式就会有统一的运算性质，下面我们具体给出n 阶行列式的递推法定义，定义1.3 由2n 个数组成的n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =是一个计算式.当1n =时，定义1111D a a ==；当2n ≥时，定义1111121211111nn n j j j D a A a A a A a A ==+++=∑， （1.9）其中111(1)jj j A M +=-，1j M 是原来n 阶行列式D 中划掉元素1j a 所处的第1行和第j 列的所有元素后剩下的元素按原来的次序排成的低一阶的行列式.即212121231313131111j j n j j n j n nj nj nna a a a a a a a M a a a a -+-+-+=，(1,2,,)j n =.在D 中, 1122,,,nn a a a 所在的对角线称为行列式的主对角线，另外一条对角线称为行列式的副对角线.由定义可见，二阶行列式的展开项共有2!项，三阶行列式的展开项共有3!项，n 阶行列式的展开项共有!n 项，其中每一项都是不同行不同列的n 个元素的乘积，在!n 项中，带正号的项和带负号的项各占一半.例1.4 计算下三角形行列式（主对角线以上所有的元素全为零的行列式称为下三角形行列式）11212212000n n nna a a D a a a =.解 行列式第一行的元素121310n a a a ====，由定义得1111D a A =.11A是1n -阶下三角形行列式，则334344112234000n n nna a a A a a a a =.依次类推，不难求出1122nn D a a a =，即下三角形行列式等于主对角线上各元素的乘积.注 主对角线下方所有的元素全为零的行列式称为上三角形行列式，除了主对角线上元素之外其余元素全为零的行列式，称为主对角形行列式.特别地，有1122112200000nn nna a D a a a a ==.例1.5 证明1(1)2122121112100000(1).n n n nn n n n n n nn nna a a D a a a a a a a ----==-证 行列式第一行的元素111213110n a a a a -=====，由定义得1212123231111112112100000000(1)n n n n n n n n n nn n nn nnn nn nn a a a a a a D a A a a a a a a a a ----+---===-.依次类推，不难求出(1)21211(1)n n n n n D a a a --=-.特别地，有1(1)21212111000000(1).0n n n n n n n n a a D a a a a ---==-例1.6 计算四阶行列式0004004304334333D =.解 由例1.6知43200040043(1)444425604334333D ⨯==-⨯⨯⨯=.习题 1.11. 计算下列二阶行列式. （1）1314； （2）22a b ab； （3）22111x xx x -++.2. 计算下列三阶行列式.（1）123312231； （2）111314895； （3）xyx y yx y x x y yy+++.3. 当x 为何值时，314000xx x x=.1.2行列式的性质上一节已经介绍了行列式的定义,从定义中我们可以看出一个n 阶行列式的展开式共有!n 项,而且每一项都是n 个元素的乘积.因此直接用定义来计算行列式一般是比较困难的.为了简便地计算行列式的值,我们给出行列式的性质,利用这些性质简化行列式的计算. 1.2.1 行列式的性质定义1.4 设111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =，如果把它的行变成列，就得到了一个新的行列式112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =，此时，T D 称为D 的转置行列式，记为T D （或'D ）.例如，令321124236D =，那么D 的转置行列式就是312223146T D =.性质1 行列式与它的转置行列式相等，即TD D =.注 由性质1知，行列式中行和列具有相同的地位，行列式的行具有的性质，它的列也同样具有.反之亦然.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 行列式中如果有两行（列）的对应元素相等，则此行列式的值为零. 证 互换行列式中相同的两行（列），有D D =-，故0D =. 性质3 用数k 乘行列式的某一行（列），等于用数k 乘此行列式，即1112111121112121212n ni i in i i in n n nnn n nna a a a a a D ka ka ka k a a a kD a a a a a a ===. 推论2 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 推论3 如果行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零. 推论4 行列式中如果有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值为零.例1.7 设1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，求11121321222331323362233a a a a a a a a a ----. 解 11121311121321222321222331323331323362233(2)333a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----=----111213212223313233(2)(3)6a a a a a a a a a =--=. 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，设11121112212ni i i i in in n n nna a a Dbc b c b c a a a =+++， 则D 等于两个行列式之和11121111211212121212nni i in i i in n n nnn n nna a a a a a Db b bc c c D D a a a a a a =+=+. 注 （ⅰ）上述结论可推广到有限个行列式的情形.（ⅱ）行列式1D 、2D 的第i 行是把D 的第i 行拆成两行，其它的1n -行与D 的各对应的行完全一样.（ⅲ）当行列式的某一行（列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（列）可分解成两个行列式.若n 阶行列式的每个元素都表示成两数之和，则它可分解成2n个行列式. 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另外一行（列）对应的元素上去，则行列式的值保持不变.例如，以数k 乘第j 列加到第i 列上，有1111111111121222212222111i j n i j j n i j n i j j n n ninjnnn ni njnjnna a a a a a ka a a a a a a a a ka a a D D a a a a a a ka a a ++===+.证1111111111212i 22212221115i j n j j n j n j j n n ninjnnn njnjnna a a a a ka a a a a a a a ka a a D a a a a a ka a a +性质40D D +=性质.高阶行列式计算比较复杂，因此我们考虑是否将其化为较低阶的行列式进行计算.在1.1节n 阶行列式的定义中，已经包含了这一思想，相当于按第一行展开.实际上，n 阶行列式可以根据需要按照任何一行任何一列进行展开.定义1.5 在n 阶行列式D 中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的次序排成的1n -阶行列式称为D 中元素ij a 的余子式，记为ij M .再记(1)i jij ij A M +=-，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那么这个行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积.即ij ij D a A =.证明从略.定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122,i i i i in in D a A a A a A =+++ (1,2,).i n =或1122,j j j j nj nj D a A a A a A =+++ (1,2,).j n =证明从略.这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.特别地当行列式中某一行或某一列中含有较多零时比较实用.推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即11220,i j i j in jn a A a A a A +++= ().i j ≠或11220,i j i j ni nj a A a A a A +++= ().i j ≠1.2.3 行列式的计算利用前面行列式几个关于行和列的性质，我们可以把行列式化为上三角形行列式，从而计算行列式的值.今后为了表示方便，记i r 表示第i 行，i c 表示第i 列；i j r r ↔()i j c c ↔表示互换第i 行（列）和第j 行（列）的元素；i j r kr +()i j c kc +表示第j 行（列）的元素乘以k 加到第i 行（列）上去.例1.8 计算行列式0113110212302110D -=-.解 3112411102110201130113(1)(1)12300132221100314r r D r r r r ---↔-------32344211211020*******(1)004100213300213041r r r r r r --+-↔-----43110201132500021325r r -+=---.例1.9 计算行列式3111131111311113D =.解 注意到行列式各行（列）的元素之和为6，故可把第2行，第3行，第4行的元素同时加到第一行，提出公因子6，然后每一行减去第一行化为上三角形行列式来计算.1234666611111311131161131113111131113D r r r r +++=2131411111020064800200002r r r r r r --=-.注 仿照上述方法，可到更一般的结果：1[(1)]()n a b b bb a b ban b a b b b a b bbba-=+--.例1.10 计算行列式1122330000001111a a a a D a a --=-.解 根据行列式的特点，可把第1列加到第2列，然后第2列加到第3列，再将第3列加到第4列，使行列式中的零元素增多.112222132333300000000000000012111231a a a a a D c c c c a a a a -++--1243123300000040001234a a c c a a a a +=.例1.11 解方程1231112311223112321123110n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a xa a a a a a a x-------+-+-=+-+-，其中10a ≠.解 对左端的行列式，从第二行开始每一行都减去第一行得：12311211212100000000()()()00000n n n n n a a a a a a x a x a a x a x a x a x a x------=-----.即1121()()()0n a a x a x a x ----=.解得方程的1n -个根112211,,,n n x a x a x a --===.例1.12 计算五阶行列式52112112112112D --=--.解 方法一 把5D 化为上三角形行列式521322121551122121212112551211211212D r r r r ----------435421215511221251212115122952929111212701229r r r r ----------5122970270.251229=⨯⨯⨯⨯=方法二 把5D 按第1行展开,建立递推关系.544311212212112D D D D --=+=+-，继续用递推关系，得5433233222(2)52D D D D D D D D =+=++=+ 212215(2)2125.D D D D D =++=+而221512D -==，122D ==.故51255270D =⨯+⨯=.习题1.21. 用行列式的性质计算下列行列式.（1）34215352152809229092； （2）1111111111111111------；（3）ab acae bd cdde bf cfef---. 2. 利用行列式的性质计算下列行列式（1）1234234134124123； （2）1200340000511111.3.用行列式的性质证明下列行列式.（1）111111112222222233333233a kb bc c a b c a kb b c c a b c a kb b c c a b c ++++=++； (2) 22322(b)111a ab b aa b b a +=-4. 解方程2211231223023152319x x -=-.1.3 克莱姆法则本节将应用行列式讨论一类线性方程组的求解问题，这里只讨论未知量个数和方程的个数相等的情形，至于一般情形留到第三章讨论.在1.1节中我们给出了二阶行列式求解二元线性方程组的方法，把这个方法推广到利用n 阶行列式求解n 元线性方程组，这个法则就是著名的克莱姆（Cramer ）法则. 设含有n 个未知量，n 个方程的线性方程组为11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.10）称为n 元线性方程组，当其右端的常数项12,,n b b b 不全为零时，线性方程组（1.10）称为非齐次线性方程组；当其右端的常数项12,,n b b b 全为零时，称为齐次线性方程组，即1111221211222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.11）线性方程组（1.10）的系数ij a 构成的行列式，称为该方程组的系数行列式，记为D .即111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =.定理（克莱姆法则）若线性方程组（1.10）的系数行列式0D ≠，则线性方程组（1.10）有唯一解，其解为j j D x D=， (1,2,,)j n =，其中j D (1,2,,)j n =是把D 中第j 列元素12,,,j j nj a a a 对应地换成常数列12,,,n b b b ，而其余的各列保持不变所得到的行列式，即11111111111j j nj n nj nnj nna ab a a D a a b a a -+-+=.证明从略.推论 如果线性方程组（1.10）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 注 克里姆法则虽然给出了一种求解线性方程组的方法，但有其局限性.首先它只能解决方程个数和未知量个数相同的方程组，其次它的计算量比较大，需要计算1n +个n 阶行列式，当未知量的个数较多时就不太实用，最后要求系数行列式不等于零，对于系数行列式为零的情况就失去作用了.例1.13 解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解 该线性方程组的系数矩阵为215107513751313061306212021202127712147607712D -------===-------3533301027072772---=--==≠-----.从而由克莱姆法则知，方程组有唯一解.且1815193068152120476D ---==---，22851190610805121076D --==----，32181139********46D --==--，4215813092702151470D --==---. 于是得113D x D ==，224D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. 对于齐次线性方程组（1.11）易见120n x x x ====一定是该方程组的解，称其为齐次线性方程组的零解.如果一组不全为零的数是齐次线性方程组（1.11）的解，则称这种解为齐次线性方程组的非零解.定理1.2 如果齐次线性方程组（1.11）的系数行列式0D ≠，则它仅有零解. 定理1.3 如果齐次线性方程组（1.11）有非零解，则它的系数行列式必为零.注 定理1.3说明系数行列式0D =是齐次线性方程组有非零解的必要条件，在后面我们还会证明这个条件还是充分的.例1.14 问λ为何值时齐次线性方程组123123123(1)240,2(3)0,(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解?解 由定理1.2知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式0D =. 而124231(2)(3)111D λλλλλλ--=-=⋅-⋅--.如果齐次线性方程组有非零解，则(2)(3)0D λλλ=⋅-⋅-=. 即0λ=或2λ=或3λ=时，齐次线性方程组有非零解.习题1.31. 用克莱姆法则解下列线性方程组. （1）251,372;x y x y +=⎧⎨+=⎩（2）20,230,0;bx ay ab cy bz bc cx az -+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩2. 判断齐次线性方程组123123123220,240,5820x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩是否只有零解?总习题一1.填空题. （1）sin cos cos sin x x xx-= .（2）210341102-= .（3）232323232122313341445155= . （4）已知1112132122233132332a a a a a a a a a =，则212223111213311132123313222333a a a a a a a a a a a a =+++ .（5）当k = 时，方程组12312312330,230,0x x kx kx x x x kx x -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解.2. 选择题.（1）12410221λλ-=-，则λ=（ ）. （A ）3λ=- （B ）10λ= （C ）3λ=-或2λ= （D ）3λ=-或10λ=（2）四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ）. （A ）12341234a a a a b b b b - （B ）12341234a a a a b b b b + （C ）()()12123434a a bb a a b b -- （D ）()()23231414a a b b a a bb -- （3）已知n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是（ ）. （A ）n D 中有一行（或列）的元素全为零 （B ）n D 中有两行（或列）的元素对应成比例（C ）n D 中至少有一行的元素可用行列式的性质全化为零 （D ）n D 中各列的元素之和为零（4）已知线性方程组1223132,23,0,bx ax ab cx bx bc cx ax -=-⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩则（ ）.（A ）当0a =时，方程组无解（B ）当0b =时，方程组无解 （C ）当0c =时，方程组无解（D ）当,,a b c 取任意实数时，方程组均有解 3. 计算下列行列式的值.（1）a b a b a b a b+--+； （2）111xy zxy z xyz+++; （3）4111141111411114； （4）100110011001a b c d ---.4. 解下列方程.（1）1212110111x x x +-+=-+； （2）2222333311110x a b c x a b c x a b c =.5. 用克莱姆法则解线性方程组.12342341242342348,3,30,73 5.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=⎩ 6. 已知非齐次线性方程组12312312334,231,325x x x x x x x x x μ-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有多个解，求μ的值.7. 问λ为何值时，齐次线性方程组()()123123123(1)240,230,10x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解.8. 已知齐次线性方程组1231123213222,533,2x x x tx x x x tx x x tx-+=⎧⎪-+=⎨⎪+=-⎩只有零解，求参数t .。
二阶与三阶行列式分析
二阶与三阶行列式分析二阶行列式分析：二阶行列式是由两行两列元素组成的方阵。
例如，一个二阶行列式可以表示为：abcd其中a、b、c、d是实数。
二阶行列式的计算方法是将对角线上的元素相乘，然后减去另一条对角线上的元素相乘。
根据这个定义，二阶行列式的值可以表示为：abc d ， = ad - bc其中ad表示a和d的乘积，bc表示b和c的乘积。
三阶行列式分析：三阶行列式是由三行三列元素组成的方阵。
例如，一个三阶行列式可以表示为：abcdefghi其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是实数。
三阶行列式的计算方法可以通过展开定理来计算。
展开定理指出，三阶行列式可以按照第一行或第一列展开为两个二阶行列式的乘积。
根据展开定理，三阶行列式的值可以表示为：abcdefg h i ， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh其中aei、bfg、cdh分别表示第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积，ceg、bdi、afh分别表示第一列的元素与其对应的代数余子式的乘积。
行列式的应用：行列式在线性代数中起着重要的作用，具有广泛的应用。
以下是几个行列式的应用示例：1.解线性方程组：通过求解行列式的值，可以确定线性方程组的解的排列情况和数量。
2.计算面积和体积：通过行列式的计算，可以求得平面上一组向量所围成的面积，或者三维空间中一组向量所围成的体积。
3.判断向量的线性相关性：使用行列式可以判断一组向量是否线性相关，通过计算行列式的值，若行列式为0则表示向量线性相关，否则线性无关。
4.矩阵的逆、行列式的转置：行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。
总结：二阶行列式可以通过对角线元素的乘积减去反对角线元素的乘积来计算。
三阶行列式可以通过展开定理，将其展开为两个二阶行列式的乘积。
行列式在线性代数中有广泛的应用，包括解线性方程组、计算面积和体积、判断向量的线性相关性等。
行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
9.4三阶行列式(三)
第九章 矩阵和行列式初步9.4 三阶行列式 (三)教学目标：1.会用三阶行列式解三元一次方程组2.会用三阶行列式判别三元一次方程组的根的情况，主要是唯一解的情况 教学重点：用三阶行列式解三元一次方程组和判断唯一解 教学难点：用三阶行列式解三元一次方程组和判断唯一解 一、新课讲解1.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 333222111c b a c b a c b a D = 333222111c b d c b d c b d D x = 333222111c d a c d a c d a D y = 333222111d b a d b a d b a D z = D D x x =D D y y = DDz z =例1：用行列式解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++152257236z y x z y c z y x例2：书上例52.用三阶行列式判断三元一次方程组的解的情况 ⑴当0≠D 时，方程组有唯一解⑵当0===y x D D D 时，方程组有无穷多个解 ⑶当0=D ，y x D D 、至少有一个不为0，方程组无解如：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++555533331z y x z y x z y x 有无穷多个解⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++321z y x z y x z y x 无解 例3：求关于z y x 、、的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++31z y x m z my x mz y x 有唯一解的条件，并在次条件下写出该方程组的解 二、课堂小结1.用三阶行列式解三元一次方程组2.用三阶行列式判断根的情况 三、回家作业 四、课后反思。
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
常见行列式
常见行列式常见行列式是指在线性代数中常出现的一些具有特定形式的行列式。
行列式是一个矩阵的一个重要性质，它代表了该矩阵的某些特征。
接下来我将介绍一些常见的行列式，并解释它们的特点和应用。
首先，最常见的行列式就是二阶和三阶行列式。
二阶行列式是一个2×2的矩阵，记作|A|=ad-bc。
其中，a、b、c和d为矩阵A的元素。
二阶行列式的求解方法是将对角线上的乘积相加，并减去非对角线上的乘积。
二阶行列式常用于计算平面上两个向量的行列式，从而判断它们的线性相关性。
三阶行列式是一个3×3的矩阵，记作|A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)。
三阶行列式的求解方法是将每个元素与与其对应的代数余子式相乘，然后按正负号相加。
三阶行列式广泛应用于三维几何体的体积计算和解线性方程组等问题。
其次，特殊的行列式包括单位矩阵和零矩阵的行列式。
单位矩阵是一个n×n的矩阵，主对角线上的元素均为1，其他元素均为0。
单位矩阵的行列式为1，它表示了一个矩阵在相似变换下的不变性。
零矩阵是一个所有元素都为0的矩阵，它的行列式为0。
此外，对角矩阵和上三角矩阵的行列式也具有一定的特殊性质。
对角矩阵是一个所有非对角元素都为0的矩阵，对角元素可以相同也可以不同。
对角矩阵的行列式等于对角元素的乘积。
上三角矩阵是一个除了主对角线以下的元素都为0的矩阵，它的行列式等于主对角线上的元素的乘积。
对角矩阵和上三角矩阵的行列式的计算相对简单，这使得它们在实际问题中的应用更加方便。
另外，行列式的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是一个矩阵的一个标量，特征向量是对应于特征值的一个向量。
行列式的特征值和特征向量有着丰富的几何意义和应用。
特征值和特征向量可以用于求解线性方程组、矩阵的对角化和求取矩阵的幂等等问题。
最后，通过行列式的定义和性质，我们可以推导出一些行列式的重要公式，如拉普拉斯展开公式和克拉默法则等。
二阶三阶行列式
二阶三阶行列式1.引言1.1 概述二阶行列式和三阶行列式是线性代数中常见的概念。
行列式是一个整数或实数的方阵，它具有很多重要的性质和应用。
二阶行列式是一个2×2的方阵，而三阶行列式是一个3×3的方阵。
在本文中，我们将介绍二阶行列式和三阶行列式的定义以及计算方法，并总结它们的特点和重要性。
在二阶行列式部分，我们将详细介绍二阶行列式的定义和计算方法。
二阶行列式的定义是由其中的四个元素按一定的规则相乘再相减得到的一个数值。
计算二阶行列式可以使用简单的公式，即将对角线上的两个元素相乘再相减。
我们将提供详细的计算示例，并讨论二阶行列式在几何学和线性方程组中的应用。
在三阶行列式部分，我们将进一步介绍三阶行列式的定义和计算方法。
三阶行列式的计算比较复杂，需要按一定的规则进行乘法和加减运算。
我们将解释这些规则，并提供实际的计算例子。
此外，我们还将探讨三阶行列式在向量空间和线性方程组中的应用，以及它们与二阶行列式之间的关系。
通过本文的学习，读者将能够理解二阶行列式和三阶行列式的概念和计算方法。
同时，他们还将认识到行列式在数学和实际应用中的重要性。
了解行列式可以帮助我们解决各种问题，包括求解线性方程组、计算向量的正交性和计算面积和体积等。
行列式是线性代数中的基础知识，对于进一步学习和应用线性代数的内容具有重要的意义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍二阶行列式的概念和定义，详细阐述其计算方法。
然后，我们将进一步探讨三阶行列式的定义和计算方法。
在分析和比较二阶行列式与三阶行列式的异同之后，我们将总结这两者的特点和应用。
本文的主要目的是通过对二阶和三阶行列式的研究，帮助读者更好地理解和应用行列式的相关概念和计算方法。
具体来说，本文的内容安排如下：2. 正文2.1 二阶行列式2.1.1 定义在这一部分中，我们将引入二阶行列式的概念，并详细解释其定义。
通过具体的例子，我们将展示如何构建并计算二阶行列式。
系数行列式解法
系数行列式解法一、系数行列式解法的概念与特点系数行列式解法是指利用行列式性质和矩阵运算来求解线性方程组、矩阵特征值等问题的一种数学方法。
系数行列式解法具有如下特点：1.适用范围广泛：系数行列式解法可以应用于各种线性方程组、矩阵特征值等问题求解。
2.计算过程直观：系数行列式解法通过行列式与矩阵的关系，使得计算过程较为直观易懂。
3.结果唯一：对于线性方程组，系数行列式解法得到的结果是唯一的。
二、系数行列式的计算方法1.直接计算法：直接根据行列式的定义，计算行列式中的元素值并进行运算。
2.扩展法：将行列式扩展为更大的行列式，从而降低原行列式的阶数，简化计算过程。
3.递推法：通过递推关系式，逐步计算出较低阶的行列式值，进而求得高阶行列式的值。
4.高斯消元法：将线性方程组化为阶梯形或行最简形式，从而计算出系数行列式的值。
三、系数行列式在实际问题中的应用1.线性方程组求解：系数行列式解法可以方便地求解线性方程组，得到方程组的解。
2.矩阵特征值求解：通过计算矩阵的系数行列式，可以求得矩阵的特征值和特征向量。
3.线性变换与矩阵乘法：系数行列式在线性变换和矩阵乘法中起到重要作用，可以用于分析线性变换的性质。
四、系数行列式的优缺点分析优点：1.计算过程简洁；2.适用范围广泛；3.结果唯一。
缺点：1.对高阶行列式的计算效率较低；2.在实际应用中，可能存在计算误差。
五、提高系数行列式计算效率的方法1.矩阵分解：将矩阵进行分解，降低矩阵的阶数，从而提高计算效率。
2.算法优化：针对不同问题，采用合适的算法进行优化，提高计算速度。
六、总结与展望系数行列式解法作为一种数学方法，在实际问题中具有广泛的应用。
通过对系数行列式的计算方法、应用领域以及优缺点的分析，可以更好地理解和运用系数行列式解法。
行列式的计算方法与其在线性方程组的简单应用
本科生毕业论文题 目： 行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用姓 名： 学 号： 系 别：年 级: 专 业：摘 要《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。
行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
当看到一个貌似非常复杂的n 阶行列式时，仔细观察，会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。
掌握住这些规律，选择合适的计算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种计算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。
行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。
它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。
关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized compulsory of the basic mathematic. The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation, alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours . There are a lot of calculations ofn order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,and we will find that their elements are arranged in rows or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method,it can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an important theory in linear equations and it is an indispensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and promotion. It is not only the solution of linear equations of the important tool, but also in some other branch has a wide range of applications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations目录引言 (1)1 n阶行列式的定义 (3)2 n阶行列式的性质 (3)3 计算n阶行列式的具体方法与技巧 (4)3.1 利用行列式定义直接计算 (4)3.2 利用行列式的性质计算 (5)3.3 化为三角形行列式 (6)3.4 降阶法 (7)3.5 逆推公式法 (8)3.6 利用范德蒙德行列式 (9)3.7 加边法（升阶法） (9)3.8 数学归纳法 (10)3.9 拆开法 (11)4 行列式在线性方程组中的初步应用 (11)4.1 克拉默（Gramer）法则 (12)4.2 克拉默（Gramer）法则的应用 (12)4.2.1 用克拉默（Gramer）法则解线性方程组 (13)4.2.2 克拉默法则及其推论在几何上的应用 (14)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)引 言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位.因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r ，它的两端的电位差v ，那么通过这段导线的电流强度i ，就可以有关系式v ir =求出来.这就是所谓解一元一次方程的问题.在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a bx a x a ，当021122211≠-a a a a 时，次方程组有惟一解，即 211222112122211a a a a b a a b x --=， 211222111122112a a a a ba b a x --=.我们称21122211a a a a -为二级行列式，用符号表示为 21122211a a a a -=22211211a a a a于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式 22211211a a a a 0≠时，该方程组有惟一解，即.,222112112211112222112112221211a a a a ba b a x a a a a a b a b x ==对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.,,333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a称代数式312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++为三级行列式，用符号表示为：312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a .我们有：当三级行列式=d 333231232221131211a a a a a a a a a 0≠时，上述三元线性方程组有惟一解，解为 d d x 11=，d dx 22=，d d x 33= 其中3332323222131211a a b a a b a a b d = ，3333123221131112a b a a b a a b a d =，3323122*********b a a b a a b a a d =在本论文中我们将把这个结果推广到n 元线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的情形.为此，我们首先要给出n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本论文的主要内容.1 n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a (212222111211)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a ...2121（1）的代数和，这里j 1j 2…j n 是1,2,…,n 的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j 1j 2…j n 是偶排列时，（1）带正号，当j 1j 2…j n 是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可以写成nnn n nna a a a a a a a a ..................212222111211=∑Γ-nnn j j j nj j j j j j a a a ...21)...(212121...)1(这里∑nj j j ...21表示对所有阶排列求和.定义表明，为了计算n 阶行列式，首先作所有有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。
行列式及其性质
行列式及其性质行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一个标量值。
在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。
本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及其相关概念。
一、行列式的定义行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。
对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A的行列式记作|A|或det(A)，即：|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn二、行列式的性质1. 行列式的性质1：行列式与转置若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2. 行列式的性质2：行列式的倍数若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。
3. 行列式的性质3：交换行（列）若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。
4. 行列式的性质4：行列式的线性性质对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。
5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系如果矩阵A中存在一行（列）全为0，则行列式det(A) = 0；如果矩阵A的某一行（列）成比例，则行列式det(A) = 0。
三、行列式的应用1. 行列式在线性方程组求解中的应用行列式可以用来判断线性方程组的解的唯一性以及是否有解。
对于一个n阶齐次线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组只有零解；如果行列式为零，则该方程组有非零解。
系数行列式
• 讲解矩阵运算的方法
⌛️
系数行列式在矩阵运算中的性质与定理
系数行列式在矩阵运算中的性质
• 行交换性质
• 行倍加性质
• 行倍乘性质
• 对角线求和性质
系数行列式在矩阵运算中的定理
• 拉普拉斯展开定理
• 分块矩阵定理
• 转置定理
06
系数行列式的综合应用与练习题
系数行列式的综合应用案例
利用系数行列式解线性方程组的方法
• 高斯消元法
• 拉普拉斯展开法
• 分块矩阵法
系数行列式在解线性方程组中的应用案例
系数行列式在解线性方程组中的应用案例一
• 分析计算过程
• 讲解解线性方程组的方法
系数行列式在解线性方程组中的应用案例二
• 分析计算过程
• 讲解解线性方程组的方法
⌛️
系数行列式在解线性方程组中的应用案例三
• 将行列式分解为分块矩阵的形式
• 根据分块矩阵的行列式计算原行列式
行列式的计算方法之一：高斯消元法
• 将线性方程组化为行阶梯形式
• 根据行阶梯形式计算行列式
行列式的计算方法之二：拉普拉斯展开法
• 将行列式的一行或一列展开为多项式形式
• 根据展开式计算行列式
系数行列式的计算技巧与优化
系数行列式计算中的化简技巧
D O C S S M A RT C R E AT E
系数行列式：概念、性质与计算
CREATE TOGETHER
DOCS
01
系数行列式的定义与概念
系数行列式的定义与解释
系数行列式是一个方阵
• 由有限个元素构成
• 行数和列数相等
系数行列式的元素是代数表达式
行列式解方程
行列式解方程1. 介绍行列式是线性代数中的重要概念，它在解方程组、计算特征值和特征向量等方面起着关键的作用。
本文将介绍如何使用行列式来解方程，并且给出一些实际的例子。
2. 行列式基础知识2.1 行列式的定义行列式是一个方阵（即行数和列数相等）所具有的一个标量值。
以二阶行列式为例，对于一个二阶方阵 A = [[a, b], [c, d]]它的行列式记作 |A| 或 det(A)，计算公式为： |A| = ad - bc2.2 行列式的性质行列式具有一些重要的性质，这些性质在解方程时非常有用。
以下是一些常用的性质：•交换行：当交换方阵的两行时，行列式的值改变符号。
•交换列：当交换方阵的两列时，行列式的值改变符号。
•行（列）倍乘：将方阵的某一行（列）乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。
•行（列）相加：将方阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值保持不变。
3. 使用行列式解方程组在解线性方程组时，可以使用行列式的方法，通过求解方阵的行列式来获得方程组的解。
3.1 二元一次方程组的解法考虑一个包含两个变量x和y的线性方程组：a11 * x + a12 * y = b1a21 * x + a22 * y = b2其中，a11, a12, a21, a22, b1和b2是已知常数。
通过构造系数矩阵A和常数向量b，我们可以将上述方程组写成矩阵形式：A * X = b其中，A是一个2x2的矩阵，X是包含变量x和y的列向量，b是包含常数b1和b2的列向量。
解方程组的关键是求解矩阵A的逆矩阵A^-1。
逆矩阵满足以下条件：A * A^-1 = I，其中I是单位矩阵。
计算逆矩阵的方法之一是使用伴随矩阵。
伴随矩阵的定义为：adj(A) = [[a22, -a12],[-a21, a11]]通过伴随矩阵，可以计算A的逆矩阵：A^-1 = (1 / det(A)) * adj(A)其中，det(A)是A的行列式。
三阶行列式与线性方程组图文
图形化表示方法
三阶行列式的图形化表示
通过几何图形（如立方体、平行六面体等）来表示三阶行列式的各个元素，使得行列式的求解过程更 加直观。
线性方程组的图形化表示
通过平面直角坐标系或空间直角坐标系，将线性方程组的解表示为图形上的点、线或面，使得方程组 的解更加直观。
直观理解两者关系
要点一
通过图形化表示，可以直观地看 出三阶行列式与线性方程组之…
线性方程组的概念
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，用于求解多个未知数的 值。
三阶行列式与线性方程组的关系
三阶行列式可以用于判断线性方程组是否有解，以及求解线性方程组 中的未知数。
常见误区及注意事项
将三阶行列式与二阶行列式混淆，导致计算错误。需 要注意三阶行列式的计算规则与二阶行列式有所不同。
列式相似。
矩阵理论
行列式是矩阵理论中的重要概念， 高阶行列式的研究有助于深入理
解矩阵的性质和运算。
线性代数
在线性代数中，行列式与矩阵、 线性方程组等概念紧密相关，高 阶行列式的研究有助于解决更复
杂的线性代数问题。
与其他数学分支的联系
01
微分学
在多元函数微分学中，雅可比行列式（一种特殊的三阶行列式）用于表
矩阵基础
了解矩阵的基本概念、运算和性质，如矩阵的加法、数乘 、转置等。这些知识将为学习三阶行列式打下基础。
代数运算
具备基本的代数运算能力，如加法、减法、乘法、除法等 ，以及因式分解、整式运算等技巧。这些技能在计算三阶 行列式时将发挥重要作用。
02 三阶行列式基础
三阶行列式定义
表示方法
通常使用双竖线 || 或方括号 [] 表示 ，如 |a11 a12 a13| 或 [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]。
行列式性质及其计算方法
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1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算 。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展 开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所 构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工 具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时 ，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的 符号变化。 以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获 取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于 用数k乘此行列式。 行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些 性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计 算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时， 需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法
3行列式的定义及性质
x1
x2
x1 x2 1 1 得：AX x2 1 1 x1
X x1
x2 1 1
对于由两个方程作成的二元线性方程组：
当
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 , x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21
对于 4 阶或 4 阶以上的行列式已不能单纯用
正，
负去确定每一项的符号。
a11
如
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
中 a14 a23 a32 a41 这一项
a21 a31 a41
所带的符号是正的，因为 4，3，2，1 是偶排列。
a1n a2 n1 an1 一般地， n 阶行列式中， n n 1 n 1...21 所带的符号是： 1 1 2
a31 ... an1
1
n n 1 2
a1n a2 n1 ...an1
副对角线（次对角线）之上三角形行列式
0 0
0 0 0 ...
n n 1 2
... ... ...
0 0 ...
0 a2 n 1 a3 n 1 ... an n 1
a1n a2 n a3n ... ann
0 0 ... 0 ann
a11a22 ...ann
下三角形行列式
a11 a21
a12 a32 ... 0
... a1 n 2 ... a3 n 2 ... ... ... 0
a1 n 1 a2 n 1 0 ... 0
a1n 0 0 ... 0
3
行!列!式
第 " 章 ! 行列式
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例 ! 求解三元一次方程组
解 ! 先计算系数行列式 # ’" " # # # # ’& +" ’& ’" ’" +&+#’"+#+# ! ’#+ " +#,’) $’" "& $ +#,’-’" 由于 *"%! 知方程组有唯一解 & 再计算 " ’" " # " # # + $ +’" ,’-#) +#,’) $ & &!
系数行列式解法
系数行列式解法摘要：一、引言二、系数行列式的概念与性质1.定义2.性质三、系数行列式的计算方法1.替换法2.拉普拉斯展开式3.克莱姆法则四、系数行列式在数学中的应用1.线性方程组的解法2.矩阵的逆3.特征值与特征向量五、系数行列式的实际应用举例六、总结正文：一、引言系数行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解决许多数学问题时都发挥着重要作用。
本文将详细介绍系数行列式的概念、性质以及计算方法，并通过实际应用举例来展示其在数学领域的重要性。
二、系数行列式的概念与性质1.定义系数行列式是一个n阶方阵的元素按照一定规则组合起来得到的一个标量。
对于一个n阶方阵A，其系数行列式记作|A|，定义如下：|A| = a11 * a22 * ...* annn - a12 * a23 * ...* an1n + a13 * a24 * ...* an2n - ...+ (-1)^(n+1) * a1n * a2n-1 * ...* an1其中，aij表示方阵A中第i行第j列的元素。
2.性质系数行列式具有以下几个重要性质：(1) 行列式与它的转置行列式相等，即|A| = |A^T|。
(2) 互换行列式的两行（或两列），行列式的值变为原来的相反数。
(3) 行列式的某一行（或列）乘以一个常数k，行列式的值也要乘以k。
(4) 行列式的某一行（或列）加上另一行（或列）的k倍，行列式的值不变。
三、系数行列式的计算方法1.替换法替换法是一种较为直观的计算方法，通过对方阵的元素进行替换，使得行列式的值逐渐简化。
该方法适用于较小规模的方阵。
2.拉普拉斯展开式拉普拉斯展开式是一种基于二项式定理的计算方法，可以将行列式的值表示为一系列项的和。
该方法适用于较大规模的方阵。
3.克莱姆法则克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法，它利用系数行列式的性质，将线性方程组的解与系数行列式的值联系起来。
该方法适用于求解线性方程组。
四、系数行列式在数学中的应用1.线性方程组的解法线性方程组的解法与系数行列式密切相关。
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a 1n
a 2n
amn
简记为 A (a )
ij mn
列矩阵
脚标
(a a a )
11
12
1n
行矩阵
a11
a21
am1
a 11
a 12
当m=n时，即矩阵 的行数与列数相同 时,称矩阵为方阵。
Ann
a 21
a n1
a 22
a n2
主对角线
a 1n
a 2n
a nn
几种特殊形式的矩阵
k(A B) kA kB
例1、设
A 13
0 1
22
B
2 2
1 3
0 4
C
3 2
31
则
2
A
2 6
0 2
44Leabharlann 3B6 63 9
012
3C 96 93
2A
3B
4 0
3 11
48
而•2A 3C•无意义.
矩阵的乘法
y1 y 2
a11 x1 a12 x2
a x a x
21
A
1
a22 11
a 21
)
b2 j
c a b a b a b
ij
i1 1 j
i2 2 j
is sj
bsj
C A B mn
ms sn
例：A
1 1
11,
B
1 1
11
AB 00 00 = O
BA
2 2
2 2
显然 AB BA
这正是 矩阵与 数的不同
例：A
2 3
46,
B
1 2
41,C 11
10
AB
6 9
ab 21 11
ab 12 21
ab 22 21
ab 13 31
ab 23 31
ab 11 12
ab 21 12
ab 12 22
ab 22 22
ab 13 32
ab 23 32
一般地，有
A
(a ij
) ms
B
(b ij
) sn
C AB (cij )mn
b
1
j
cij
(ai1
ai2
ais
这就是 矩阵
由mn个数按一定的 次序排成的m行n列的 矩形数表称为mn矩 阵,简称矩阵.
横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列
a ij 称为矩阵的第i行j列的元素.
元素为实数的称为实矩 阵,我们只讨论实矩阵.
矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，例如
a 11
a 12
A
a 21
a 22
am1 am2
4•1xx11
2x2 5x2
3 6
•x 1 2x2 ••3 •••• 3x2 6
•••x••1••x
2
x
2 2
•3 2
•••x••1••••x•••
1 2 •6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 3 6
1 2 3 0 1 2
1 0 1
0 1
2
x1• 1, ••x 2 •6
面零元素的个数随行数增大而增多(减少),则称为 上(下)梯形矩阵.简称为上(下)梯形阵.
它们统称为梯形阵
1 0 0 0 0
9 6 0 0 0
1 5
2 2
3 3
0 3
0 7
1 2 3 4 5
0 0 7 8 0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 1 0 0 0 2 2 0 0
5 7 0 12 3 0 1 2 2 1
请特别注意 性质5,如果 不是同阶方 阵结果不成 立.
AB A B B A BA
A B mn nm Amn Bnm 成立吗
不成立!
例3、设
b1
A a1••a 2•• ••a n
矩阵的概念
❖ 1.矩阵的定义 方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
a
m1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
系数排成一个矩形数表
a 11
a 12
a21
a 22
am1
a m2
a 1n
a 2n
a mn
0 0
a 11
1.Omn 2.
0
0
a nn
k
3.
k
1
4.
E n
1
a 11
5.
a 12
a 22
a 1n
a 2n
a 11
a21
a 22
a nn
an1
a
n2
a nn
6.梯形阵 设 A (a )ij mn 若当i>j时(i<j)时,恒有
aij 0且各行中第一个（最后一个)非零元素前(后)
负矩阵
A
aij
mn
的负矩阵为 a ij mn
记作 -A,即 A aij mn
3.数乘
k
a11
kA
ka 21
ka m1
ka12 ka
22
ka
m2
ka1n
ka 2n
ka mn
称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA
k 1 A k 1 A 1A A oAO k(lA) (kl) A,(k l) A kA lA,
0 0
0 0
0 0
8 0
9 1
1 0 0 0 0
5 0 6 0 0
2 0
3 0
4 0
0 0
00
4 4 3 2 1 1 2 3 0 0 1 0 0 0 0
它们是梯形阵吗? 不是!
请你记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义.
梯形阵是最常用的矩阵!
矩阵的运算
一、线性运算
1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数, 且对应元素相等.即
2
aa12aa222133xx3aa3 与1233
x1 x2 x3
b11t1 b21t1 b31t1
b12t2 b22t2 b32t2
y 1
(a b 11 11
ab 12 21
a b )t 13 31 1
B
(a b a b a b )t
11 12
12 22
13 32 2
b11
y 2
= A a ij mn
B b ij mn
型号相同
对应元素相等
a b
ij
ij
2.加、减法 设矩阵
A
a B b 与 ij mn
ij mn
定义
A B (aij bij )mn A B (aij b )ij mn
显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)
A+O=O+A=A A-A=O
(a b 21 11
a b 22 21
a b )t 23 31 1
(a b21 12 a b 22 22 a b 23 32 )t2
b21 b31
b12 b22 b32
a11 a21
a12 a22
a13 a23
b11 b21 b31
b12
b22 =
b32
ab 11 11
4 6
,
AC
6 9
46 AB AC
但是 B C 请记住：
这又是 矩阵与 数的不同
1.矩阵乘法不满足交换率； 2.不满足消去率； 3.有非零的零因子。
1.( AB)C A(BC ) 2.A(B C) AB AC
(B C) A BA CA 3.k( AB) (kA)B A(kB) 4.Em Amn A A E mn n 5.设A, B为同阶方阵 ,则