用行列式阶解方程组的特点
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4•1xx11
2x2 5x2
3 6
•x 1 2x2 ••3 •••• 3x2 6
•••x••1••x
2
x
2 2
•3 2
•••x••1••••x•••
1 2 •6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 3 6
1 2 3 0 1 2
1 0 1
0 1
2
x1• 1, ••x 2 •6
这就是 矩阵
由mn个数按一定的 次序排成的m行n列的 矩形数表称为mn矩 阵,简称矩阵.
横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列
a ij 称为矩阵的第i行j列的元素.
元素为实数的称为实矩 阵,我们只讨论实矩阵.
矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，例如
a 11
a 12
A
a 21
a 22
am1 am2
0 0
a 11
1.Omn 2.
0
0
a nn
k
3.
k
1
4.
E n
1
a 11
5.
a 12
a 22
a 1n
a 2n
a 11
a21
a 22
a nn
an1
a
n2
a nn
6.梯形阵 设 A (a )ij mn 若当i>j时(i<j)时,恒有
aij 0且各行中第一个（最后一个)非零元素前(后)
2
aa12aa222133xx3aa3 与1233
x1 x2 x3
b11t1 b21t1 b31t1
b12t2 b22t2 b32t2
y 1
(a b 11 11
ab 12 21
a b )t 13 31 1
B
(a b a b a b )t
11 12
12 22
13 32 2
b11
y 2
负矩阵
A
aij
mn
的负矩阵为 a ij mn
记作 -A,即 A aij mn
3.数乘
k
a11
kA
ka 21
ka m1
ka12 ka
22
ka
m2
ka1n
ka 2n
ka mn
称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA
k 1 A k 1 A 1A A oAO k(lA) (kl) A,(k l) A kA lA,
(a b 21 11
a b 22 21
a b )t 23 31 1
(a b21 12 a b 22 22 a b 23 32 )t2
b21 b31
b12 b22 b32
a11 a21
a12 a22
a13 a23
b11 b21 b31
b12
b22 =
b32
ab 11 11
0 0
0 0
0 0
8 0
9 1
1 0 0 0 0
5 0 6 0 0
2 0
3 0
4 0
0 0
00
4 4 3 2 1 1 2 3 0 0 1 0 0 0 0
它们是梯形阵吗? 不是!
请你记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义.
梯形阵是最常用的矩阵!
矩阵的运算
一、线性运算
1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数, 且对应元素相等.即
矩阵的概念
❖ 1.矩阵的定义 方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
a
m1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
系数排成一个矩形数表
a 11
a 12
a21
a 22
am1
a m2
a 1n
a 2n
a mn
)
b2 j
c a b a b a b
ij
i1 1 j
i2 2 j
is sj
bsj
C A B mn
ms sn
例：A
1 1
11,
B
1 1
11
AB 00 00 = O
BA
2 2
2 2
显然 AB BA
这正是 矩阵与 数的不同
例：A
2 3
46,
B
1 2
41,C 11
10
AB
6 9
k(A B) kA kB
例1、设
A 13
0 1
22
B
2 2
1 3
0 4
C
3 2
31
则
2
A
2 6
0 2
44
3B
Βιβλιοθήκη Baidu
6 6
3 9
012
3C 96 93
2A
3B
4 0
3 11
48
而•2A 3C•无意义.
矩阵的乘法
y1 y 2
a11 x1 a12 x2
a x a x
21
A
1
a22 11
a 21
= A a ij mn
B b ij mn
型号相同
对应元素相等
a b
ij
ij
2.加、减法 设矩阵
A
a B b 与 ij mn
ij mn
定义
A B (aij bij )mn A B (aij b )ij mn
显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)
A+O=O+A=A A-A=O
请特别注意 性质5,如果 不是同阶方 阵结果不成 立.
AB A B B A BA
A B mn nm Amn Bnm 成立吗
不成立!
例3、设
b1
A a1••a 2•• ••a n
a 1n
a 2n
amn
简记为 A (a )
ij mn
列矩阵
脚标
(a a a )
11
12
1n
行矩阵
a11
a21
am1
a 11
a 12
当m=n时，即矩阵 的行数与列数相同 时,称矩阵为方阵。
Ann
a 21
a n1
a 22
a n2
主对角线
a 1n
a 2n
a nn
几种特殊形式的矩阵
4 6
,
AC
6 9
46 AB AC
但是 B C 请记住：
这又是 矩阵与 数的不同
1.矩阵乘法不满足交换率； 2.不满足消去率； 3.有非零的零因子。
1.( AB)C A(BC ) 2.A(B C) AB AC
(B C) A BA CA 3.k( AB) (kA)B A(kB) 4.Em Amn A A E mn n 5.设A, B为同阶方阵 ,则
ab 21 11
ab 12 21
ab 22 21
ab 13 31
ab 23 31
ab 11 12
ab 21 12
ab 12 22
ab 22 22
ab 13 32
ab 23 32
一般地，有
A
(a ij
) ms
B
(b ij
) sn
C AB (cij )mn
b
1
j
cij
(ai1
ai2
ais
面零元素的个数随行数增大而增多(减少),则称为 上(下)梯形矩阵.简称为上(下)梯形阵.
它们统称为梯形阵
1 0 0 0 0
9 6 0 0 0
1 5
2 2
3 3
0 3
0 7
1 2 3 4 5
0 0 7 8 0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 1 0 0 0 2 2 0 0
5 7 0 12 3 0 1 2 2 1
2x2 5x2
3 6
•x 1 2x2 ••3 •••• 3x2 6
•••x••1••x
2
x
2 2
•3 2
•••x••1••••x•••
1 2 •6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 3 6
1 2 3 0 1 2
1 0 1
0 1
2
x1• 1, ••x 2 •6
这就是 矩阵
由mn个数按一定的 次序排成的m行n列的 矩形数表称为mn矩 阵,简称矩阵.
横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列
a ij 称为矩阵的第i行j列的元素.
元素为实数的称为实矩 阵,我们只讨论实矩阵.
矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，例如
a 11
a 12
A
a 21
a 22
am1 am2
0 0
a 11
1.Omn 2.
0
0
a nn
k
3.
k
1
4.
E n
1
a 11
5.
a 12
a 22
a 1n
a 2n
a 11
a21
a 22
a nn
an1
a
n2
a nn
6.梯形阵 设 A (a )ij mn 若当i>j时(i<j)时,恒有
aij 0且各行中第一个（最后一个)非零元素前(后)
2
aa12aa222133xx3aa3 与1233
x1 x2 x3
b11t1 b21t1 b31t1
b12t2 b22t2 b32t2
y 1
(a b 11 11
ab 12 21
a b )t 13 31 1
B
(a b a b a b )t
11 12
12 22
13 32 2
b11
y 2
负矩阵
A
aij
mn
的负矩阵为 a ij mn
记作 -A,即 A aij mn
3.数乘
k
a11
kA
ka 21
ka m1
ka12 ka
22
ka
m2
ka1n
ka 2n
ka mn
称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA
k 1 A k 1 A 1A A oAO k(lA) (kl) A,(k l) A kA lA,
(a b 21 11
a b 22 21
a b )t 23 31 1
(a b21 12 a b 22 22 a b 23 32 )t2
b21 b31
b12 b22 b32
a11 a21
a12 a22
a13 a23
b11 b21 b31
b12
b22 =
b32
ab 11 11
0 0
0 0
0 0
8 0
9 1
1 0 0 0 0
5 0 6 0 0
2 0
3 0
4 0
0 0
00
4 4 3 2 1 1 2 3 0 0 1 0 0 0 0
它们是梯形阵吗? 不是!
请你记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义.
梯形阵是最常用的矩阵!
矩阵的运算
一、线性运算
1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数, 且对应元素相等.即
矩阵的概念
❖ 1.矩阵的定义 方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
a
m1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
系数排成一个矩形数表
a 11
a 12
a21
a 22
am1
a m2
a 1n
a 2n
a mn
)
b2 j
c a b a b a b
ij
i1 1 j
i2 2 j
is sj
bsj
C A B mn
ms sn
例：A
1 1
11,
B
1 1
11
AB 00 00 = O
BA
2 2
2 2
显然 AB BA
这正是 矩阵与 数的不同
例：A
2 3
46,
B
1 2
41,C 11
10
AB
6 9
k(A B) kA kB
例1、设
A 13
0 1
22
B
2 2
1 3
0 4
C
3 2
31
则
2
A
2 6
0 2
44
3B
Βιβλιοθήκη Baidu
6 6
3 9
012
3C 96 93
2A
3B
4 0
3 11
48
而•2A 3C•无意义.
矩阵的乘法
y1 y 2
a11 x1 a12 x2
a x a x
21
A
1
a22 11
a 21
= A a ij mn
B b ij mn
型号相同
对应元素相等
a b
ij
ij
2.加、减法 设矩阵
A
a B b 与 ij mn
ij mn
定义
A B (aij bij )mn A B (aij b )ij mn
显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)
A+O=O+A=A A-A=O
请特别注意 性质5,如果 不是同阶方 阵结果不成 立.
AB A B B A BA
A B mn nm Amn Bnm 成立吗
不成立!
例3、设
b1
A a1••a 2•• ••a n
a 1n
a 2n
amn
简记为 A (a )
ij mn
列矩阵
脚标
(a a a )
11
12
1n
行矩阵
a11
a21
am1
a 11
a 12
当m=n时，即矩阵 的行数与列数相同 时,称矩阵为方阵。
Ann
a 21
a n1
a 22
a n2
主对角线
a 1n
a 2n
a nn
几种特殊形式的矩阵
4 6
,
AC
6 9
46 AB AC
但是 B C 请记住：
这又是 矩阵与 数的不同
1.矩阵乘法不满足交换率； 2.不满足消去率； 3.有非零的零因子。
1.( AB)C A(BC ) 2.A(B C) AB AC
(B C) A BA CA 3.k( AB) (kA)B A(kB) 4.Em Amn A A E mn n 5.设A, B为同阶方阵 ,则
ab 21 11
ab 12 21
ab 22 21
ab 13 31
ab 23 31
ab 11 12
ab 21 12
ab 12 22
ab 22 22
ab 13 32
ab 23 32
一般地，有
A
(a ij
) ms
B
(b ij
) sn
C AB (cij )mn
b
1
j
cij
(ai1
ai2
ais
面零元素的个数随行数增大而增多(减少),则称为 上(下)梯形矩阵.简称为上(下)梯形阵.
它们统称为梯形阵
1 0 0 0 0
9 6 0 0 0
1 5
2 2
3 3
0 3
0 7
1 2 3 4 5
0 0 7 8 0
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