3 波动方程

1 4 理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；
第十章 机械波
机械波 振动状态的传播 →波 电磁波 §10-1 机械波的产生和传播 注意
一.机械波产生条件： (1)波源; (2)介质.
介质的质点并 不随波传播.
振动是波动的源 波是振动的传播
二、波的分类 特征 横波 振动方向⊥波传播方向 峰,谷交替 纵波 振动方向∥ 波传播方向 疏,密交替
振动相位)单位时间内所传播的距离（相速）.
u T
u Tu
7
注意
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！ → 在不同介质中波长不同。
小结：波动过程的特征
1.波动是振动状态的传播. 各振动质点并不随
波前进 (均在各自的平衡位置附近振动) 。
波的传播过程也就是波形的推进过程.
15
y o
x Δx
u
t1 t1 + Δ t
x
Δ x = uΔ t t1时刻, x处质点位移y t1＋Δt时刻, x + Δx处质点位移y
表明:Δt内振动状态沿波线传播了 Δ x = u Δ t 波形以速度u行进, 称 行波.
16
x +Δ x y = A cos[ω( t 1 + Δ t) ) +φ] u x = A cos[ω( t 1 - ) + φ ] u相速 u
2) 液体和气体中
u = B ρ (纵波) B为容变弹性模量
3) 软绳和弦线中
u= F μ
(横波)
F为张力 μ为质量线密度
26
练习1. 平面简谐波u=5103米/秒, A=1.0厘 米,ν=12.5kHz,沿x轴正向传播. 设坐标原点为 波源处,t=0,波源处质点位于正最大位移求 (1)波动方程, (2)x=10cm处振动方程
13
二、波动表达式的物理意义
y = Acos[(t - x/u)+φ]
设沿＋x传
1 x一定(x=x1), t变化
y = Acos[(t – x1/u)+φ]
y o t
-----x1处的质点在不同时刻的位移 x1处的质点振动方程 – x1/u 落后的时间 – ωx1/u 落后的相位 x1愈大，相位愈落后 x1处初相 – ωx1/u+φ
23
x y = A cos[ω( t ) + φ ] u
一般地 y u o
xb
b
p
x
在yo(t)已知时,求波动表式? u沿＋x，P落后O，取“－” x u沿－x, P超前O，取“＋”
x y = A cos[ω( t ) + φ ] u
y
b
u
x
在任意点yb(t)已知时,求波动表式
p
o
xb
x
x - xb y A cos[ ( t ) ] u
§10-2 平面简谐波 波动方程
一、波动表达式的建立
设一维简谐波沿ox正方向传播。 介质中各质点沿y方向振动。
9
y o
•
u
x
已知：o处质点的振动方程为:
p
•
yo = Acos(t+φ)
x 求:波线上p点处的振动方程？
分析：
1. P点的A, 与o 点 同；
2. P点将重复o点的振动；
时间上落后τ＝x / u
u t0 2
x

29
4
练习 某一时刻 t 绳上横波的波形曲线的 一部分,如图所示. 画出 t时刻曲线上各点的运动方向.
. 波速 . . u =λ ν o . .
y
波动表式
u
y = Acos[(t - x/u)+φ] ∂ y 振动速度 v = =-Aωcos[(t - x/u)+φ] ∂ t
28
. . ..
. .
x
=A0cos(4πt+π) B为原点 波动方程 yB波=A0cos[4π(t-x/u)+π] x 5 法２:直接考虑波线上任一点P,落后A τ =
代入yA中 ⇒ y B波
x-5 = A 0cos[4π (t )] 20
20
20
例3：图示为t=0时刻的波形图 y m u=8m/s 求:1波动方程
10 a •
x t (t ) u
x t (t ) 相位 u x - xb t (t ) u
t
25
波速u与介质的性质有关，ρ为介质的密度.
λ 可证 1) 固体中波速 u = = ν λ T u = G ρ (横波) G切变弹性模量
F S Y
u = Y ρ (纵波) Y杨氏弹性模量
C
解： y
•
8
u
•
5
B
A
•
x
A波 = A0cos4π[t
–(x/u)] (SI)
19
C B A P x 解： 法１）由ｙA振先求出B点振动方程
续：某点A的振动方程为 yA=A0cos4πt (SI) 求: 以B为坐标原点的波动表式？ u u=20m/s x o 8 5
• • •
yB=A0cos4π(t+5/20)
第十章教学基本要求
1 掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系； 2 理解机械波产生的条件.
掌握由已知质点的简谐运动方程得出波函数 的方法. 理解波函数的物理意义. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念.
3 了解惠更斯原理和波的叠加原理. 理解波 的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定 相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；
17
y2 = Acos[(t-x2/u)+φ0]
意义： 沿波传播方向各质点振动相位依次落后
解: 化成标准式 y 2 cos (t - 400x) 2 x y 2 cos (t ) A cos (t - x ) 2 1 400 u
(1)A=2, u = 1/400, = /2 , ν = 1/4, = u / ν = 1/100 ω (2)位相差 Δ φ = - ( x 2 - x 1 )
24
u沿＋x，P落后b，取“－” u沿－x, P超前b，取“＋”
小结：如何由振动方程求波动方程？ 根据已知点的振动方程及波的传播方向， 判定任意点的振动相对已知点是落后 还是超前；落后取“－”，超前取“＋” 并将落后或超前的时间(或相位)用坐标表 示出代入原振动方程中即得波动表式。 已知o: 已知b:
解: A=1.010-2m,ν= 12500Hz, = 2.5104 波源的振动方程: y = Acost x (1)波动方程 y A cos (t - )
(2)x=0.1m处的振动方程
-2
u
问：若已知x=0.1m处的振动方程，求Y波？
27
0. 1 y = 1.0 ×10 cos 2.5 ×10 π ( t 3) 5 ×10
相位上落后ωτ＝ωx / u
结论：
yp(t) = yo (t-τ)
yp = Acos[(t - x/u) +φ]
10
∵p点是任意的，→
标 准 式
x y p = A cos[ω( t - ) + φ ] u t x y = A cos[ 2π ( - ) + φ ] T λ x y = A cos[ 2π (ν t - ) + φ ] λ
例4. 由图示 写出波动方程 A 解:由图t = t0 , V0<0 x = 0, y =0，0
y
u
t = t0 X
y A cos[ ( t - ) t 0 ]
0 0 = A cos[ω( t 0 - ) + φ ] u - t0 2
代入波动表式： y = A cos[ω( t - x ) + φ ]
在yo(t)已知时,求波动表式 u沿＋x，取“－”； u沿－x,取“＋”
更通用的方法？思考？
12
y o
u
p
•
x
求Y0（t） U沿+x方向，p在右侧则p落后于o Yp振=Acos[w(t-x/u)+] 若p在x轴左侧，p超前于o Yp振=Acos[w(t+x/u)+]
U沿-x方向，p在左侧则p落后于o Yp振=Acos[w(t-x/u)+] 若p在x轴右侧，p超前于o Yp振=Acos[w(t+x/u)+]
•
c
•b
o
20
x(m)
2 画出a,b,c的振动方向 3 写出振动速度表式
解： A=10m,λ=40m, u=8m/s
ν =u λ =1 5
y = 10 cos[ 2π 5 ( t - x 8 ) + π 2 ] 振动速度 v = -4 π sin [ 2π 5 ( t - x 8) +π 2]
波动方程
2.沿波的传播方向上，各质点都将重复波源的
振动，但振动相位依次落后。
3.波的T,ν,ω与振源的T,ν,ω同, 与介质无关。
λ u 由介质决定 . 4 . 波传播速度 u = =ν λ T u 振源无关. y 质点振动速度
v t
8
•波动表达式（波动方程） 1)能表达任一时刻任一位置质点的 振动情况。 2)能表达任一时刻波的形状 及波形 的传播. •平面简谐波 在均匀、无吸收的介质中，当波源作谐振动 时的所形成的波称为～ 。
波线

波面 波前
球 面 波

平 面 波
5
四.波的物理描述
－波长 波的周期、频率
A O -A
波速
y
u

x
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻
的、相位差为 2 π 的振动质点之间的距离， 即一个完整波形的长度. 6
周期 T ：波前进一个波长的距离所
需要的时间.
频率 ：周期的倒数，即单位时间 内波动所传播的完整波的数目. 1 T 波速 u ：波动过程中,某一振动状态(即
14
X1处质点振动曲线
2 t一定(t=t1), x变化 ----- t1时刻波线上各质点的位移(波形图）
y o
y = Acos[(t 1– x/u)+φ]
u
t1 t2
t1时刻的波形方程
x
t1时刻波形图
若t不同， 各质点来自百度文库位移不同， 波形图不同
3 x, t均变化 -----波线上各不同质点在不同时刻的位移 反映了波形的传播
21
t = 0, x = 0, y = 0, v0 < 0 ⇒ φ = π 2 0 ∴y0 = 10cos[2π 5 t +π 2]
ω = 2π 5
作
业
P.89-90 10－8，11，12, 13, 下次课§10 -3,4
22
一般地
在yo(t)已知时,求波动表式 u沿＋x，取“－”；u沿－x,取“＋” 更一般的， 由已知点的振动方程及波的传播方向， 判定任意点的振动相对已知点是落后 还是超前；落后取“－”，超前取“＋” 并将落后或超前的时间(或相位)用坐标表 示出代入原振动方程中即得波动表式。
2
横波与纵波演示 横波：质点振动方向与波的传播方向 相垂直的波. （仅在固体中传播 ）

特征：具有交替出现的波峰和波谷.
3
纵波：质点振动方向与波的传播方向互 相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播）

特征：具有交替出现的密部和疏部.
4
三.波的几何描述
波线--- 振源沿波的传播方向作的有向线段。 波面--- 某时刻同相位的点连成的曲面 如平面波，球面波 波线⊥波面 波前--- 最远离波源的波面
利用
2π ω= T
u =λ ν
可见，y = f (x, t)
称之波动表达式
y 同理,若波沿-x向传播, P点振动超前o点，
u
•
o
p
•
x y = A cos [ ω ( t + ) + φ ] x u
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yp(t) = yo (t +τ)
一般地
yo振 = Acos(t+φ)
x y 波 A cos[ (t ) ] u
三、位相差与波程差的关系 讨论同一时刻同一波线上不同点间的Δφ y 已知 yo = Acos(t+φ0) u 则 y1 = Acos[(t-x1/u)+φ0] • • o x1 x2 x
Δφ= φ2 – φ1 =[(t-x2/u)+φ0] - [(t-x1/u)+φ0] = - /u(x2 -x1) = - 2π/λ(x2 -x1) <0
例1 设平面简谐波的波动方程为 y=2cos[(0.5t-200x)] (SI) 求(1)振幅,波长,波速和频率 . (2)x1=20,x2=21两点的位相差.
u 2π = ( x 2 - x 1 ) = -200π λ
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例2 有一平面波在均匀介质中以速度 u=20m/s沿直线传播，已知其路径上某点 A的振动方程为 y=A0cos4πt (SI) 求:1 以A为坐标原点的波动表式 2 以B为坐标原点的波动表式 3 B,C两点间的相位差