.离散型随机变量及其概率分布

当 | x | 1
xk1
1
k 1
1 x
(k
k 2
1) x k 2
1 (1 x)2
(k
k 3
1)(k
2) x k 3
2 (1 x)3
C x 2 k3 k 1 k 3
1 (1 x)3
Ch2-23
归纳地
C x r1 kr k 1 k r
1 (1 x)r
令 x 1 p
C r1 k 1
(1
k r
p)kr
口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.
Ch2-25
(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
Pn (k) P{X k} Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
1 x 2
0.84 0.096 0.936, 2 x 3
0.936 0.0384 0.9744 , 3 x 4
1
x4
Ch2-18
F( x)
1
• o• o• o•
•o
o• • • • •
0 1234
x
1.用概率分布来计算事件的概率
Ch2-19
已知X的概率分布律 P(X xk ) pk (k 1,2,3) ，则
F(x) P(X x) pk P(a X b) pk
xk x
axk b
2.用分布函数来计算事件的概率
已知分布函数 F(x) P(X x), x ， 则
P(a X b) F(b) F(a) P(a X b) F(b 0) F(a 0)
P(a X b) F(b) F(a 0) P(a X b) F(b 0) F(a)
或 x1 x2 x3 x4 x5 x6 或见书P31
16 16 16 16 16 16
Ch2-14
例2 有10双不同的鞋子，丢了6只，求所 剩完整的鞋子的双数的概率分布
解
X4
567
Pi
C160 26 C260
0.347
C110C94 24 C260
0.520
C120C82 22 C260
0.130
其中 xk1 xk .
F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取
值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .
Ch2-16
例3 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.令 X 表示
首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概 率分布与 p = 0.4 （绿灯）时的分布函数. 解
X ~ B(n, p)
当n = 1 时的二项分布就是0–1 分布即
X ~ B(1, p)
二项分布的取值情况 设
X
~
B( 8,
1 3
)
Ch2-26
P8 (k )
P{X
k}
C8k ( 13)k (1
1 3
)8k
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00015
C130 C260
0.003
10双中取6双，每双取1只共 C160 26 10双中取1双，9双中有4双各丢1只共 C110C9424
Ch2-15
离散随机变量及分布函数
F(x) P( X x) P( ( X xk ))
xk x
P(X xk ) pk
xk x
xk x
pk P(X xk ) F(xk ) F(xk1)
出发地
甲地
P(X k) pk (1 p), k 0,1,2,3
P(X 4) p4,
Ch2-17
p 0.4 k 0 1 2
3
4
代入 pk 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.0256
] ]• ] • ] • • •
x0 1 2 3 4
x
0,
x0
F(x) 0.6,
0 x 1
P(X x) 0.6 0.24 0.84,
1 (1 (1
p))r
1 pr
C r1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
k r
常见离散型随机变量的分布
Ch2-24
(1) 两点分布（0 – 1 分布）
X = xk 1 0
Pk
p 1-p
0<p<1
或 P(X k) pk (1 p)1k , k 0,1
应用 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 场合 分布描述, 如产品是否合格、人
P(X b) F(b 0)
P(a X ) 1 F(a 0)
P(a X ) 1 F(a)
P(X b) F(b)
P(X b) F(b) F(b 0)
Ch2-20
例4 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算 P(1 X 3) .
解 P(1 X 3) P(X 1) P(X 2) P(X 3) 0.6(0.4 0.42 0.43) 0.3744
Ch2-12
§2.2离散型随机变量
离散随机变量及分布律
定义1 若随机变量 X 只能取有限个或可 列个值, 则称 X 为离散型随机变量.
描述X 的概率特性常用概率分布(分布列或 发布律)
即 P(X xk )或P(X xk ) pk , k 1,2,
或X P
x1 x2 xk p1 p2 pk
或 P(1 X 3) F(3) F(1 0) 0.9744 0.6
此式应理解为极限 lim F(x) x1
Ch2-21
例5 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标
必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目
标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需
或 X ~ x1 x2 xk
Ch2-13
p1 p2 pk
概率分布的性质(两条)
pk 0, k 1,2,
非负性
pk 1
规范性或归一性
k 1
例1 设随机变量X为骰子掷出的点数，显
然X=1,2,3,4,5,6，相应的概率都是1/4,X
的分布列为 P(X xi ) 1 6, i 1,2,3,4,5,6
轰击次数 X 的概率分布.
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次，
第 k 次击中目标)
C r1 k 1
p r 1 (1
p)kr
p
帕斯卡
C r1 k 1
pr
(1
p)kr
k r,r 1,
分布
Ch2-22
注
C r1 k 1
Hale Waihona Puke Baidu
p
r
(1
p)kr
1
k r
利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质