中考复习几何三大变换

几何综合——三大变换
【例1】已知△ABC ，AD ∥BE ，若∠CBE ＝4∠DAC ＝80°，求∠C 的度数。

C
D
E
B
A
【例2】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，且BD ＝BC ，AC ⊥BD 。

求证：AD ＋BC ＝2CM 。

M
D
C
B A
【例3】已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG ⊥DE 于点H 。

⑴求证：FG ＝DE 。

⑵求证：FD EG 。

H
G
F
E
D
C B
A
【例4】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD ＝CE 。

求证：2DE ≥BC 。

E
D
C
B A
【例5】(2007北京)如图，已知△ABC 。

⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此 图中只存在．．．
两对．．
面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。

板块二 轴对称变换
【例6】把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上， B 'C '交CD 于点N ，已知正方形的边长为1，求△DB'N
的周长。

N
C'
F
E
B'
D C B
A
【例7】（2009山西太原）问题解决：
如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D 、重合），压平后得到折痕MN 。

当
12CE CD 时，求
AM
BN
的值。

图1
N M
F E
D C
B
A
【例8】⑴(2009浙江温州)如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙O 的半径为2，圆心在正方形的中
心上，将纸片按图示方式折叠，使EA '恰好与⊙O 相切于点A '(△EF A '与⊙O 除切点外无重叠部分)，延长F A '交CD 边于点G ，则A 'G 的长是________。

G F
C
⑵将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝5，则BC 的长是________。

D
C
B
A
【例9】(2010北京)问题：已知△ABC 中，∠BAC ＝2∠ACB ，点D 是△ABC 内的一点，且AD ＝CD ，BD
＝BA 。

探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值。

请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

⑴当∠BAC ＝90°时，依问题中的条件补全下图。

观察图形，AB 与AC 得数量关系为________； 当推出∠DAC ＝15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为_______； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为_________。

C
B
A
⑵当∠BAC ≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与⑴中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

【例10】(海淀教研资料)已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，若∠A ＝60°，∠B
＝100°，∠EDC
＝80°且2ABC CDE S S +=△△AC 的长。

E
D
C
B
A
板块三 旋转变换（加强旋转中全等及相似的应用）
【例11】(2008北京)问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG ，PC 。

若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，探究PG 与PC 的位置关系及
PG
PC
的值。

小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
⑴写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及
PG
PC
的值； 图1
P
G
F
E
D
C
B
A
⑵将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)。

你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。

图2
A
B C
D
E
F
G P
⑶若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求
PG
PC
的值(用含α的式子表示)。

图2
A
B C
D
E
F
G P
【例12】(2009北京)在平行四边形ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针
旋转90°得到线EF (如图1)。

⑴在图1中画图探究：
①当P 1为射线CD 上任意一点(P 1不与C 点重合)时，连结EP 1，将线段EP 1绕点E 逆时针旋转90°得到 线段EG 1。

判断直线FG 1与直线CD 的位置关系并加以证明；
② 当2P 为线段DC 的延长线上任意一点时，连结2EP ，将线段2EP 绕点E 逆时针旋转90°得到线
2EG 。

判断直线12G G 与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论。

⑵ 若6AD =，4
tan 3
B =，1AE =，在①的条件下，设1CP x =，11P
FG S y =△，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

测 试 题
1.（2010上海）已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，2DE =，1EC =（如图所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为 。

A
B
C
D
E
2. （2010黄冈）如图矩形纸片ABCD ，5cm AB =，10cm BC =，CD 上有一点E ，2cm ED =，AD 上有一点P ，3cm PD =，过P 作PF AD ⊥交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是________cm 。

F
Q
E P
D
C
B
A
3.（2010东城期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为()80-，和()06，。

将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转α度，得到四边形OA B C '''，使得边'A 'B 与y 轴交于点D ，此时边OA '、B C ''分别与BC 边所在的直线相交于点P 、Q 。

⑴ 如图1，当点D 与点B '重合时，求点D 的坐标； ⑵ 在⑴的条件下，求
PQ
OD
的值； ⑶ 如图2，若点D 与点B '不重合，则PQ
OD
的值是否发生变化？若不变，试证明你的结论；若有变化，请说明理由。

4.（2010昌平期末）ABC △和DBE △是绕点B 旋转的两个相似三角形，其中ABC ∠与DBE ∠、A ∠与D ∠为对应角。

⑴如图1，若ABC △和DBE △分别是以ABC ∠与DBE ∠为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B 、C 、D 在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD 与线段EC 的关系；
⑵若ABC △和DBE △为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD 与线段EC 的关系，并说明理由；
⑶若ABC △和DBE △为如图3的两个三角形，且ACB ∠=α，BDE β∠=，在绕点B 旋转的过程中，直线AD 与EC 夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，
请说明理由。

30︒
30︒
B
C
D
E
图3
A
B C
D
E
图2
图1
D C
B A
5.（2008实验中学单元测试）如图，AOB △是等腰三角形，AO AB =， A OB ''△与AOB △关于直线l 对
称。

连接BB '和AB '，如果2ABB AB B ''∠=∠，那么B AO '∠和B AB '∠的数量关系是 。

l
B'
A'
O
B
A
答 案
1．1或5
2．
134
3．⑴点D 的坐标为()010，； ⑵略； ⑶略。

4．⑴略；⑵略；⑶略。

5．3B AO B AB ''∠=∠。