第六章 频域特性分析讲解
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控制工程基础课件第六章 频率特性分析
G
j
arctan
1
n 2
n2
当=0时，G j 1，G j 0；
当=n时，G j 2，G j 90； 当=时，G j ，G j 180。
二阶微分环节的极坐标图也于阻尼比有关，对应不同的 ξ值，形成一簇坐标曲线，不论ξ值如何，当ω=0时，极 坐标曲线从(1,0)点开始，在ω=∞时指向无穷远处。
第6章 频率特性分析
本章介绍线性系统的频域分析方法。该方法是通 过控制系统对正弦函数的稳态响应来分析系统性能的。
频率特性不仅能反映系统的稳态性能，也可用来 研究系统的稳定性和动态性能。
6.2 频率响应与频率特性
一、频率特性的概念
1、频率响应：是系统对正弦输入的稳态响应。
2、频率特性：给线性系统输入某一频率的正弦波，
1 1 jT
G j 1 U jV
1 jT
1
1 T 22
j T 1 T 22
A e j
实频特性为U 虚频特性为V
1； 1+T 2 2
T。 1+T 2 2
幅频特性为A 1 ；
1 T 22
相频特性为 G j arctanT
特殊点：
当=0时，G j 1，G j 0； 当=1/T时，G j 1 ,G j 45；
取拉氏变换为： Xi s
A
s2
2
电路的输出为： X0 s G s Xi s 上式取拉氏反变换并整理得
1A Ts 1 s2 2
x0 t
AT 1 T2
e t/T
2
A sin t arctan T
1 T2 2
x0 t
AT 1 T2
e t/T
2
A sin t arctan T
第6章-频域分析
第6章 频域分析
1. 电路的频域分析
研究在不同频率的正弦激励作用下电路的稳态响 应，从而获得电路的频率特性。
2. 本章主要介绍
频域分析中的交流小信号分析 零极点分析。
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
1
6.1 交流小信号分析
1. 交流小信号分析
[1] 研究对象：在小信号输入情况下，电路的电压增益、频率 特性等性能。
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
30
可以将F表示为以下两个等价的形式：
（1）多项式之比：
（2）多项式根的形式：
n
aiS i
F
i0 m
bjS j
i0
n
(S zi )
F(S) K
i0 m
(S pj )
j0
式中ai
,
b
为常数。
j
式中zi和p j分别是F (S)的零点和极点。
若输入源为1，则F为电路的传输函数，其形式可为： F(S) N(S) D(S ) 其中，N (S )和D(S )由上式定义。
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
31
6.2 零极点分析
2. 网络函数的计算机生成方法 [1] 网络函数分母的生成：在频域分析的每个频点（对应一
个Si）上，对电路方程TX=B的系数矩阵T进行分解，有： LUX=B
在下右图所示的二极管交流小信号模型中，GDM和CD均依赖 于直流工作点。
ID RS
GDM RS
CD 二极管原始模型
CD 二极管交流小信号模型
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
1. 电路的频域分析
研究在不同频率的正弦激励作用下电路的稳态响 应，从而获得电路的频率特性。
2. 本章主要介绍
频域分析中的交流小信号分析 零极点分析。
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
1
6.1 交流小信号分析
1. 交流小信号分析
[1] 研究对象：在小信号输入情况下，电路的电压增益、频率 特性等性能。
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
30
可以将F表示为以下两个等价的形式：
（1）多项式之比：
（2）多项式根的形式：
n
aiS i
F
i0 m
bjS j
i0
n
(S zi )
F(S) K
i0 m
(S pj )
j0
式中ai
,
b
为常数。
j
式中zi和p j分别是F (S)的零点和极点。
若输入源为1，则F为电路的传输函数，其形式可为： F(S) N(S) D(S ) 其中，N (S )和D(S )由上式定义。
计算机辅助电路设计与分析
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31
6.2 零极点分析
2. 网络函数的计算机生成方法 [1] 网络函数分母的生成：在频域分析的每个频点（对应一
个Si）上，对电路方程TX=B的系数矩阵T进行分解，有： LUX=B
在下右图所示的二极管交流小信号模型中，GDM和CD均依赖 于直流工作点。
ID RS
GDM RS
CD 二极管原始模型
CD 二极管交流小信号模型
计算机辅助电路设计与分析
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第六章-2-Bode图
Wintersweet 浙江大学控制科学与工程学系
2
Bode plots (Logarithmic plots )
Bode图（对数坐标图）
对数坐标图的优点 1) 将乘积和除法的数学操作转化为加法和减法; 2) 传递函数的获取大多采用图表法，而不是分析法; 3) 半对数坐标扩展了低频段 首先运用直线近似的方法来获得系统的近似特性，然后修正直线， 提高精度. 对数坐标图 足够多的数据 极坐标图
dB
可以计算出 ω 对应的Lm，然后绘制出频率响应。但是绘制对数幅 频渐近特性曲线会更容易，也更常用. 当 ω很小时, 也就是说 ωT<<1
Lm1 jT 20 log1 0
1
dB
Lm(dB) 20 -20 1/T 10/T ω
对数幅频渐近特性曲线 Lm 在低 频段为 0 dB 线
1
浙江大学控制科学与工程学系
Bode plots (Logarithmic plots )
自动控制理论
第六章
频域特性分析法
周立芳
浙江大学控制科学与工程学系
浙江大学控制科学与工程学系
Bode plots (Logarithmic plots )
主要内容
简介 Bode 图 (对数频率特性曲线) 极坐标图 Nyquist’s yq 稳定判据 相角裕度和幅值裕度，以及与稳定性的关系 ………
dB
K m (1 jT1 )(1 jT2 ) r G ( j ) 2 ( j ) m (1 jTa )[1 (2 / n ) j (1 / n )( j ) 2 ]
对数幅值:
LmG ( j ) LmK m Lm(1 jT1 ) rLm(1 jT2 ) mLm( j ) 2 1 2 Lm L (1 jTa ) Lm L 1 j 2 ( j ) n n
第6章 信号与系统的时域和频域特性第6章 信号与系统的时域和频域特性
对理想特性逼近得越精确 ， 实现时付出的代 价越大 ， 系统的复杂程度也越高。
一 阶RC高通滤波网络 一 阶RC低通滤波网络
由同一类型储能元件构成的二阶非谐振系统， 可以分别构成低通 、高通 、带通 、带阻等滤波特性。
含有电容和电感两类储能元件的二阶系统具有 谐振特性 ，在无线电技术中 ， 常利用它们的这一性
第6章 信号与系统的时域和频域特性
TIME AND FREQUENCY
CHARACTERIZATION OF SIGNALS
AND SYSTEMS
6 . 0 引 言 Introduction
在以前的讨论中 ， 已经看到
■ 在时域 ， 系统的特性由 或 描述；
y(t)=x(t)*h(t) y(n)=x(n)*h(n)
二. 信号的不失真传输条件 如果系统响应与输入信号满足下列条件 ， 可视 为在传输中未发生失真。
y(t)= kx(t-t0) y(n)=kx(n-n0) 这就要求系统的频率特性为
H ( jo) = ke- 0 0 H ( e 0 ) = keo
据此可得出信号传输的不失真条件：
h(t)=kd(t-t0) —— 时域表征
能构成带通 、带阻滤波网络。
例如
R
工程实际中常用的逼近方式有：
1.Butterworth滤波器： 通带 、阻带均呈单调衰减 ， 也称通带最平逼近； 2.Chebyshev滤波器：
通带等起伏阻带单调 ， 或通带单调阻带等起伏；
3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）
通带 、阻带等起伏 。
n 阶雅可比椭圆函数
■ LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面 : 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
一 阶RC高通滤波网络 一 阶RC低通滤波网络
由同一类型储能元件构成的二阶非谐振系统， 可以分别构成低通 、高通 、带通 、带阻等滤波特性。
含有电容和电感两类储能元件的二阶系统具有 谐振特性 ，在无线电技术中 ， 常利用它们的这一性
第6章 信号与系统的时域和频域特性
TIME AND FREQUENCY
CHARACTERIZATION OF SIGNALS
AND SYSTEMS
6 . 0 引 言 Introduction
在以前的讨论中 ， 已经看到
■ 在时域 ， 系统的特性由 或 描述；
y(t)=x(t)*h(t) y(n)=x(n)*h(n)
二. 信号的不失真传输条件 如果系统响应与输入信号满足下列条件 ， 可视 为在传输中未发生失真。
y(t)= kx(t-t0) y(n)=kx(n-n0) 这就要求系统的频率特性为
H ( jo) = ke- 0 0 H ( e 0 ) = keo
据此可得出信号传输的不失真条件：
h(t)=kd(t-t0) —— 时域表征
能构成带通 、带阻滤波网络。
例如
R
工程实际中常用的逼近方式有：
1.Butterworth滤波器： 通带 、阻带均呈单调衰减 ， 也称通带最平逼近； 2.Chebyshev滤波器：
通带等起伏阻带单调 ， 或通带单调阻带等起伏；
3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）
通带 、阻带等起伏 。
n 阶雅可比椭圆函数
■ LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面 : 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
自动控制原理：第六章频域分析法——伯特图及稳定性分析
0.1
0.05
0.05
0.1 0.3
(1 T 2 2
j2T)1
0.7
1
1
10
/ n
(ω) arctan[(2ζωT)/ (1 ωT2 )] 相角：0°~-180°
6.4 系统开环频率特性-典型环节的伯德图特性：
令
dA ( ) d
0,得
谐振
20
10
Bode Diagram 转折频率
0 K 0
90
K 0 180
101
100
101
102
/(rad/sec)
6.4 系统开环频率特性-典型环节的伯德图
2) 积分环节( j )1，微分环节( j )
Bode Diagram 20
1 j
L() /(dB)
积分
A( ω ) 1 ,( ω ) 90
ω
0 j
20
微分 A(ω) ω,(ω) 90
6.3 频率特性图示法-对数幅相频率特性曲线
6.3.3 对数幅相特性曲线（尼科尔斯（N.B.Nichols）曲线）
横坐标为相位()
纵坐标为对数幅值L()=20lgA()
绘制过程：
0
L() /(dB)
从伯德图中分别读取各频率 10 下L()和()的值，
20
在尼科尔斯坐标系中确定相
应的点并将频率作为参变 30 量标于各点旁，
r n 1 2 2
A(r ) Am 2
1
1 2
L() /(dB)
0
-10 -20
(1 T 22
j2T)1
0.05 0.1 0.3
-30
0.7
1 -40
第六章信号与系统的时域和频域特性
H ( j) t0
上式表明： 当系统的相位特性仅仅是附加一个线性相移 t 0 ， 则系统对信号的作用，只是信号在时间上平移了 t 0 ,在频域 里发生了相移。 上述改变并没有丢失信号所携带的任何信息，只是 发生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的，通常 认为信号没有失真。
8
2.系统相位为非线性相位
s(t ) h(t ) * u(t ) h d
t
24
见P318,Fig6.14
理想的低通滤波器的单位冲击响应的主瓣是从 c 延伸到 ，所以阶跃响应就在这个时间间隔内受到
最显著的变化。也就是说阶跃响应的所谓上升时间是 反比于相关滤波器的带宽；
c
在阶跃响应的跃变部分，会有超过其最后稳态的超量， 并且出现称之为振铃的振荡现象。产生这一结果的重
率成正比，也即系统的相位特性是一条通过原点的直线。 时延的概念可以推广到包括非线性相位特性的系统中。 对于传输系统，其相移特性可以用“群时延”（或称 为“群延时”）来描述。 定义群时延为：
d H j d
12
由于一个非线性相位系统，在 0 窄带范围内 可近似为相位的变化为线性的，即
模特性改变 相位特性改变
系统相移
7
二、 线性与非线性相位
1. 系统相位为线性相位
若连续时间LTI系统： 则 Y ( j )
X j e
y(t ) x(t t0 )
时移系统
输入信号相移 随频率线性变化； 斜率为时移值。
jX j jt0
e
H ( j) e jt0 ,
28
理想滤波器特性
1.通带绝对平坦，衰减为零
非理想滤波器特性
6信号与系统的时域和频域特性汇总
6.2.1 线性和非线性相位 一、线性与非线性相位 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变都会引起信号 波形的改变，即发生失真。 当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只是信号在时间 上的平移。
若连续时间LTI系统:
则
这种失真并没有丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的 延迟，因而在工程应用中是允许的。 如果系统的相位特性是非线性的，不同频率分量受相位特性影响 产生的时移不同叠加起来一定会变成一个与原信号很不相同的信 号波形。 对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线性相位系统，当 相位特性的斜率是整数时只引起信号的时间平移。
增加时延
| X ( j ) | e
j X ( j )
| X ( j ) | e
时移特性 time
j[ X ( j )t0 ]
X ( j )e x(t ) X ( j ) shifting
F 1
j t0
x(t t0 )
F 1
实函数
X ( j )
d X ( j ) Delay : 时延 d
1 2 x(t ) 1 cos(2 t 1 ) cos(4 t 2 ) cos(6 t 3 ) 2 3
x(t )
k
xk e jk 2 t
1 jφ1 1 jφ2 1 jφ3 a 0 =1; a1 = e ; a 2 = e ; a 3 = e 4 2 3 1 -jφ1 1 -jφ2 1 -jφ3 a -1 = e ; a -2 = e ; a -3 = e 4 2 3
1、改变输入信号各频率分量的幅度；
2、改变输入信号各频率分量的相对相位。 LTI系统频率响应的模和相位表示：
第6章频域分析
零极点分析的另一个重要作用是常常用于判 定放大器或反馈系统的稳定性，以及用来说明自 激振荡器建立自激振荡的条件。鉴于零极点分析 在电路系统中的重要作用。
返回
这一节中，从CAD的角度介绍计算网络函数 零极点的分析方法。 1.电路网络的零点和极点 设电路方程为TX=B (1) 解向量X由节点电位和某些支路电流组成。电路 是由电压源或电流源激励的，用UI和II表示，输出 用UO 和IO 表示。若电路有一输入，定义以下６个 网络函数：
的 PN 结的等效电导。电导 GG，gm，gmB 和分别是直流工
GG
I DS U DS
I DS U BS
工作点
gm
I DS U GS
工作点
g mB
工作点
电容CGD ，CGS ，CGB ，CBD 和CBS 分别为MOS 直流工作点的函数，其值由３章中MOS场效应晶 体管电容公式决定。
返回
二极管的电流与端电压的关系为：
I D I S (e
U D / VT
1)
在直流工作点上，求等效跨导 GDM 和等效电容 CD：
G DM
I D U D
工作点
IS VT
e
U D / VT
(1)
CD
q D I S nkT
exp(
qU D nkT
) C JO (1
输入阻抗： 输入导纳： 电压传输函数： 电流传输函数： 传输阻抗： 传输导纳：
ZI=UI/II YI=II/UI TU=UO/UI TI=IO/II ZTR=UO/II YTR=IO/UI (2)
这些函数都是 S 的有理函数。
我们求解(1)式中的 X 并设输出 F 是解向量 X 的线性组合， 即 F=e X
频域分析
自动控制原理 清华大学出版社、北京大学出版社 姚佩阳
频域分析特点： 应用奈奎斯特稳定判据，可以根据系统的开环频率特性 研究闭环系统的稳定性，不必解特征根； 频率特性与系统参数和结构密切相关，可以用研究频率 特性方法，把系统参数和结构的变化和系统的动态过程 性能指标联系起来； 频率特性有明显的物理意义，很多元部件的这一特征都 可用实验法确定，对于难以从分析其物理规律来列出运 动方程的元部件和系统有很大实际意义； 频域分析法不仅试用线性定常系统分析研究，还推广到 非线性控制系统； 当系统在某些频率范围里存在严重噪声时，应用频域分 析法可以抑制。
6、一阶微分环节 传递函数：G(s)= τs+1 频率特性函数：G(j ω)=j ω τ +1 对数幅频特性： 对数相频特性： 伯德图：
7、二阶微分环节 传递函数： 频率特性函数： 对数幅频特性： 对数相频特性： 伯德图：
特点： （1）应用开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性。 （2）便于研究系统参数和结构改变对其稳定性的 影响。 （3）很容易研究包含延迟环节系统的稳定性。 （4）奈氏判据的推广可用来分析某些非线性系统 的稳定性。
为了避免当系统的元件参数发生变化时，系统由稳 定变为不稳定，并且为了保证系统具有良好的动态 特性，给出了系统的稳定裕度指标：相角裕度γ和 幅值裕度h，以衡量开环福相曲线接近临界点的程 度。来自
6.4.1幅值裕度h 如图，G(jω)H(jω)曲线与负实轴的焦点称为相位交 界点，其角频率为相位交界频率ω g。 Arg G(j ω g)H(j ω g)=-180° 幅值裕度h = 幅值裕度是该闭环系统达到不稳定边缘为止上课增 加的开环增益的分贝数。
频域分析特点： 应用奈奎斯特稳定判据，可以根据系统的开环频率特性 研究闭环系统的稳定性，不必解特征根； 频率特性与系统参数和结构密切相关，可以用研究频率 特性方法，把系统参数和结构的变化和系统的动态过程 性能指标联系起来； 频率特性有明显的物理意义，很多元部件的这一特征都 可用实验法确定，对于难以从分析其物理规律来列出运 动方程的元部件和系统有很大实际意义； 频域分析法不仅试用线性定常系统分析研究，还推广到 非线性控制系统； 当系统在某些频率范围里存在严重噪声时，应用频域分 析法可以抑制。
6、一阶微分环节 传递函数：G(s)= τs+1 频率特性函数：G(j ω)=j ω τ +1 对数幅频特性： 对数相频特性： 伯德图：
7、二阶微分环节 传递函数： 频率特性函数： 对数幅频特性： 对数相频特性： 伯德图：
特点： （1）应用开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性。 （2）便于研究系统参数和结构改变对其稳定性的 影响。 （3）很容易研究包含延迟环节系统的稳定性。 （4）奈氏判据的推广可用来分析某些非线性系统 的稳定性。
为了避免当系统的元件参数发生变化时，系统由稳 定变为不稳定，并且为了保证系统具有良好的动态 特性，给出了系统的稳定裕度指标：相角裕度γ和 幅值裕度h，以衡量开环福相曲线接近临界点的程 度。来自
6.4.1幅值裕度h 如图，G(jω)H(jω)曲线与负实轴的焦点称为相位交 界点，其角频率为相位交界频率ω g。 Arg G(j ω g)H(j ω g)=-180° 幅值裕度h = 幅值裕度是该闭环系统达到不稳定边缘为止上课增 加的开环增益的分贝数。
频域分析法经典
0Βιβλιοθήκη Re1
0 j
0
三、微分环节
传递函数:
G s s 频率特性:
A 及相频特性
G(j ) j e
π j 2
1. 幅频特性
A
L ,
( )
2
2
0
2. 对数频率特性
π 2
dec B d 20
L 20lg A 20lg
1
20lg A 20lg j n 20n lg n G j j nπ ( ) 2
Im
900
3.幅相频率特性
n
n n
令 dA 0
特征点1: n 时 A n 1 2 n 2 特征点2:
A ,
1
0.3 0.5 0.707
谐振频率 r n 1 2 2 谐振峰值
5-2 典型环节与开环系统频率特性
比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节（一阶系统） 一阶微分环节
振荡环节（二阶系统）
一阶不稳定环节
一、比例环节
传递函数: G s K 频率特性: G j K 1. 幅频特性
A K
A 及相频特性
2 n 1 2 arctan n 2 n G(j ) j 2 2 2 2 2 2 1 n 1 2 2 1 2 2 n n n n 2 n , 0 ~ 90o 2 n arctan 2 o n , 90 1 n o o n , 90 ~ 180
0 j
0
三、微分环节
传递函数:
G s s 频率特性:
A 及相频特性
G(j ) j e
π j 2
1. 幅频特性
A
L ,
( )
2
2
0
2. 对数频率特性
π 2
dec B d 20
L 20lg A 20lg
1
20lg A 20lg j n 20n lg n G j j nπ ( ) 2
Im
900
3.幅相频率特性
n
n n
令 dA 0
特征点1: n 时 A n 1 2 n 2 特征点2:
A ,
1
0.3 0.5 0.707
谐振频率 r n 1 2 2 谐振峰值
5-2 典型环节与开环系统频率特性
比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节（一阶系统） 一阶微分环节
振荡环节（二阶系统）
一阶不稳定环节
一、比例环节
传递函数: G s K 频率特性: G j K 1. 幅频特性
A K
A 及相频特性
2 n 1 2 arctan n 2 n G(j ) j 2 2 2 2 2 2 1 n 1 2 2 1 2 2 n n n n 2 n , 0 ~ 90o 2 n arctan 2 o n , 90 1 n o o n , 90 ~ 180
频域分析
（2）时域分析的缺陷
高阶系统的分析难以进行； 系统某些元件的传递函数难以列写，整个系统的分析工 作难以进行；
（3）频域分析的目的
频域分析：以输入信号的频率（ s jw）为变量，在频率 域研究系统的结构参数与性能的关系。 优点： 无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统 性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析； 可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的统）； sT （延迟环节传递函数：Gs e ）
５.微分环节 微分环节的传递函数是s， 其频率特性为：
G(jω) jω ω e
π j 2
0 Re
0
Im
微分环节的幅频特性和相频特性的 表达式为：
图12
A( ) π ( ) 2
微分环节的对数幅频特性和相频 L()(db) 特性为： L( ) 20 lg 20db / dec π 1 ( ) 2 ()() 由图可见，其对数幅频特性为 90 一条斜率为+20db/dec的直线， 此线通过ω=1，L(ω)=0 db的 点。相频特性是一条平行于横 轴的直线，其纵坐标为π/2。
频率特性的图示方法 系统的频率特性可分解
G( jw) 实部 虚部 U (w) jV (w)
G( jw) A(w)e
j ( w)
尼奎斯特图 系统频率特性 G( jw) 是个向量。
幅频特性 G( jw) [U ( w)] 2 [V ( w)] 2
V (w) 相频特性 G( jw) arctan U (w)
r 1 2 2
谐振频率
( 0.707)
r 1 2 2 n ( 0.707)
自动控制原理 第6章 控制系统的频域分析习题答案
GK (S )
10 (1 10S ) 3
⑵
GK (S )
1 S (1 5S )(1 10S )
解：⑴系统的三个开环极点均为-0.1，故开环系统稳定。系统开环频率特性为：
G K ( j )
10 10 e j 3 arctan 10 M ( )e j ( ) 3 2 3 (1 j10 ) ( 1 100 )
Im
其幅相特性图如右图所示。 令 ImG K ( j ) 0 可解出：
1 50
1 5 2
Re ‐1 0
10 1 此时: G K j 1 3 5 2
G K ( j ) 曲线顺时钟包围 1, j 0 点两圈，
故闭环系统不稳定，有两个正根。
第6章
控制系统的频域分析
6-2 画出下列传递函数在复平面上的频率响应特性(幅相特性)曲线的大致形状：
⑴
G(S )
1 S (10 S 1)
Im Re 0
⑶
G(S )
2 (10 S 1)(5S 1)
Im
Байду номын сангаас
解：⑴
⑶
2 0
Re
6-4 已知下列负反馈系统的开环传递函数，试用奈奎斯特判据判别闭环系统是否 稳定： ⑴
Im
其中：
10 M ( ) ( 1 100 2 ) 3 ( ) 3 arctan 10
‐1
其幅相特性图如右图所示。 令 ( ) 可解出： 3 / 10
10 0 Re
3 10 此时: M 10 ( 31) 3 0.0579 1
6-7 控制系统如图 6-25 所示，求出使系统闭环稳定的最小δ的取值。
第六章 频域特性分析
（2） 低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为20lg K 。
1 : 0 90o Ts 1
1 : 180o 90o Ts 1
Ts 1: 0 90o
Ts 1: 180o 270o
（4）非最小相位一般由两种情况产生: 系统内包含有非最小相位元件(如 延迟因子); 内环不稳定。 （5）最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系 (Bode定理)
3. 对数幅相特性曲线：尼克尔斯曲线、增益-相位图
4. 对数频率特性曲线：伯德图(Bode图) 将系统频率特性G(j ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐标 图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进 行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度:lgw）和相 频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10 为数幅值曲线及相位曲线分别由各串联环节 对数幅值曲线和相位曲线叠加而成。
典型环节的对数渐近幅频对数曲线为不同斜率的直线或 折线，故叠加后的开环渐近幅频特性曲线仍为不同斜率的线 段组成的折线。 因此，需要首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确 定线段转折频率（交接频率）以及转折后线段斜率的变化， 那么，就可绘制出由低频到高频的开环对数渐近幅频特性曲 线。
对数幅频特性记为
对数相频特性记为
单位为分贝（dB)
单位为弧度（rad)
§5-6 典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)
如将系统频率特性G(j ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上, 分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横 轴：对频率取以10为底的对数后进行分度）和相频特性曲线（纵轴： 对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度） ，合称为伯德图(Bode图)。
频域特性
4.1 频域特性在通讯系统中，经常会遇到各种不同频率的正弦信号。
通信系统就是对这些不同频率正弦信号进行处理和传递。
这种方法对控制工程产生了巨大的影响。
控制系统的运动过程也可以看作是不同频率正弦信号在控制系统各环节中以一定的函数关系传递的过程。
控制系统的输入信号可以分为周期信号和非周期信号两类。
周期性的输入信号，可以分解为一系列正弦谐波信号之和。
它所包含的频率成分是基波和各次谐波，其频谱是离散的。
而非周期性的输入信号，如阶跃函数，则可以看作是幅值无穷小而且含有一切连续频率成分的无穷多个谐波之和，即非周期函数的频谱是连续的。
不论周期的或非周期的输入函数，其最基本的成分是正弦函数。
研究控制系统对正弦输入信号的响应，就可以了解控制系统运动的特点。
这种思路，形成了控制系统的一种基本分析方法——频率法。
应用频率法对控制系统进行分析，称为频域分析。
4.1频率特性控制系统对正弦输入信号的稳态响应称为系统的频率响应。
我们现在来讨论线性定常系统的频率响应。
图4.1表示了一个线性定常系统。
系统的传递函数为G(s),输入函数是正弦函数图4.1 线性定常系统式中X为正弦函数的最大振幅，为角频率。
x(t)的拉普拉斯变换为设系统的传递函数可以分解为式中B(s)为s的有理多项式。
控制系统在正弦输入信号x(t)作用下的输出上式展开为部分分式后得求上式的拉普拉斯反变换，可以得到}(4.1)当t趋于无穷大时，（4.1）式含有项的分量都为零，所以系统的稳态响应为(4.2)式中的系数可按留数定理确定复变函数可表示为下列指数形式式中是的模，是的相角。
可以表示为对于则有因此，式(4.2)可表示为(4.3)式（4.3）式表明，线性定常系统在正弦信号输入下的稳态输出，仍是同频率的正弦量，但是振幅和相位与输入信号不同。
线性定常系统对正弦输入的稳态响应是由系统的特性决定的。
稳态输出与输入的振幅比为(4.4)稳态输出与输入的相位差为(4.5)若已知的模和相位角，完全可以根据输入信号确定系统的稳态输出。
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设系统的传递函数为：
G(s) C(s) b0sm b1sm1 bm1s bm
R(s)
sn a1sn1 an1s an
已知输入 r(t) Asin(t)
c(t) ae jt ae jt G( jw) e j()e jt A G( jw) e j()e jt A
第六章 复（频）域响应分析
时域分析存在的问题： 1.系统阶次高时，分析求解困难。 2.不便于分析系统结构或参数变化对系统性能的
影响。 3.系统中含有无法写出微分方程的环节时，该方
法失效。 4.输入复杂时，不易分析.
6.1频率特性及其几何表示法
一、基本概念
1、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为
系统传函由多个典型环节相串联： 系统幅相特性为：
系统的幅频特性与相频特性为：
r
A(w) Ai (w) i 1 r
(w) k (w) k 1
系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积；
系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。
二、一般传递函数的幅相特性曲线
（一）解析法：消去ω，获得u，v之间的关系表达。
一、典型环节的幅相特性曲线
（一）比例环节（K）
（二）积分环节（1/s）
（三）微分环节（s） （四）一阶微分（导#43;1)
（六）二阶振荡环节
（七）二阶微分环节
（八）时延（延迟）环节
时延（延迟）环节=多个小时间常数的惯性环节串联
具有不灵敏区 或特性不易用表达式表达的惯性环节=时延（延迟）环节
2j
2j
G( jw) Asin(t ()) Ac sin(t ())
线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号。
A() G( j) 幅频特性
() G( j)
相频特性
线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，
其输出与输入的幅值比为 A() G( j)
对数幅频特性记为
单位为分贝（dB)
对数相频特性记为
单位为弧度（rad)
L(w) (dB) ... 40 20
0
0.01
－20
－4...0
(w)
... 90o
45o
0o 0.01
－45o －9...0o
0. 1
1
10
对数幅频特性
0. 1
1
10
对数相频特性
w lgw w lgw
6.2幅相频率特性曲线
1 : 180o 90o Ts 1
Ts 1: 0 90o Ts 1: 180o 270o
（4）非最小相位一般由两种情况产生: 系统内包含有非最小相位元件(如 延迟因子); 内环不稳定。
（5）最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系 (Bode定理)
（二）系统频率特性常用的图解形式
输出与输入的相位差
() G( j)
在系统闭环传递函数G(s)中，令s=j，即可得到系统 的频率特性。
G(s) 1 1 RCs
G( j) 1 1 1 RCj 1 Tj
频率特性与传递函数具有十分相的形式 G( j) G(s) s j
sp
传递 函数
微分 方程
（二）描点法:大致曲线趋势、 ω=0， ω= ∞ 附近形状 （1）传递函数为标准型：
lim x0
s
in x
x
1
lime jx lim(cosx jsin x) 1 jx
x0
x0
例：
§5-5 最小相位系统和非最小相位系统
（1）如果系统开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为 最小相位系统，如
（2）系统的开环传递函数在右半S平面上有一个(或多个)零点或极点, 则该 系统称为非最小相位系统。开环传递函数含有延迟环节的系统也称非最小相 位系统。
（3）具有相同幅值的两个系统, 由0时, 最小相位系统的相角迟后最小, 而非最小相位系统的相角迟后则较大。
1 : 0 90o Ts 1
2. 伯德图(Bode图) 如将系统频率特性G(j ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐标 图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行 分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度:lgw）和相频 特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为 底的对数后进行分度lgw ），合称为伯德图(Bode图)。
当在0～变化时,相量G(j) 的幅值和相角随而变化,与此对应的 相量G(j) 的端点在复平面 G(j)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。
3. 对数幅相特性曲线：尼克尔斯曲线、增益-相位图
4. 对数频率特性曲线：伯德图(Bode图) 将系统频率特性G(j ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐标 图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进 行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度:lgw）和相 频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10 为底的对数后进行分度lgw ），合称为伯德图(Bode图)。
=0.7sin(2t-45o)
二、频率特性表示法：解析式、图形来表示。
（一）解析表示
幅频-相频形式 ： 指数形式(极坐标) ： 三角函数形式： 实频-虚频形式：
（二）系统频率特性常用的图形形式
1. A(),() 曲线
2. 极坐标图-奈奎斯特图（Nyqusit）-幅相特性曲线
系统频率特性为幅频-相频形式
系统
j p
频率 特性
p d dt
s j
例1某单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=1/(s+1), 试求输入信号r(t)=2sin t时系统的稳态输出。 解 首先求出系统的闭环传递函数(s) ，令s=j 得
如=2, 则 (j2)=0.35 -45o 则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o)
系统的频率响应, 记为css(t) 2、频率特性
幅频特性: 稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值
（模）之比:
A() Ac G( j)
A
相频特性: 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差:
() G( j)
（幅相）频率特性:G(j)的幅值和相位均随输入正弦信号
角频率的变化而变化。G( j ) A(w)e j ()