二次函数与平行四边形综合

y A D

x T H C B O 1

1

第十八讲二次函数与平行四边形综合

一、教学内容

1.二次函数的表示,二次函数图像与性质；

2.平行四边形的性质和判定；

3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题； 二、例题细看

【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3

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y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、，

将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C （1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q ，

为线段BT 上一点，直接写出QA QO -的取值范围.

【考点分析】二次函数综合题

【PEC 分析】（1）点A 的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A 的坐标为（8，0）；

点B 的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B 的坐标为（0，6）； 由题意得：BC 是∠ABO 的角平分线，所以OC=CH ，BH=OB=6 ∵AB=10，∴AH=4，设OC=x ，则AC=8-x 由勾股定理得：x=3

∴点C 的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；

（2）求得直线BC 的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三函数即可求得；

y x O M H G F E D C B A

（3）如图，由对称性可知QO=QH ，|QA-QO|=|QA-QH|．当点Q 与点B 重合时，Q 、H 、A 三点共线，

|QA-QO|取得最大值4（即为AH 的长）；设线段OA 的垂直平分线与直线BC 的交点为K ，当点Q 与

点K 重合时，|QA-QO|取得最小值0．

【跟踪练习】例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

【例2】 如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在

第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90︒得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值；

⑵ 点A 位置改变时，AMH ∆的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．

【PEC 分析】（1）由题意知OB=2OA=2n ，在直角三角形AEO 中，OF=OB-BF=-2n-AF ，因此可用勾股定理求出AF 的表达式，也就求出了FB 的长，由于F 的坐标为（0，m ）据此可求出m ，n 的关系式，可用n 替换掉一次函数中m 的值，然后将A 点的坐标代入即可求出k 的值．

（2）思路同（1）一样，先用n 表示出E 、F 、G 的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a ，b ，c 与n 的函数关系式，然后用n 表示出二次函数的解析式，进而可用n 表示出H 点的坐标，然后求出△AMH 的面积和矩形AOBC 的面积进行比较即可．

A

y C ()A a b ，

()D e ，

()B c d ， O x 图4

【跟踪练习】（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；

（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；

归纳与发现

（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶

点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 运用与推广

（4）在同一直角坐标系中有抛物线2

(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫

-

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．

y C ()A (40)D ， (12)B ， O x 图1 y C ()A (0)D e ， ()B c d ， O x 图2 y C

()A a b ， ()

D e b ，()B c d ，

O x

图3

(12,36)

x

y

O

R

Q

P B C A 【例3】 如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3

tan 4

B =

，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函

数，其图象是过点()1236，

的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求AB 的长；

（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：

张明：图2中的抛物线过点()1236，

在图1中表示什么呢？ 李明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，那么()1236，

表示当12AP =时，AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系.

赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！

孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了. 请根据上述对话，帮他们解答这个问题.

【考点点评】本题结合三角形、矩形的相

关知识考查了二次函数的应用，用数形

结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键

【PEC 分析】（1）由于y 是x 的函数且过（12，36）点，即AP=12时，矩形的面积为36，可求出PQ 的长，进而在直角三角形BPQ 中得出BP 的值，根据AB=AP+BP 即可求出AB 的长．

（2）与（1）类似，可先用AP 表示出BP 的长，然后在直角三角形BPQ 中，表示出PQ 的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y ，x 的函数关系式．然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x 的值．