高中数学题型解法归纳《解三角形题型的解法》

【知识要点】

一、直角三角形中各元素间的关系：

在ABC ∆中，0

90,,,.C AB c AC b BC a ==== （1）三边之间的关系：222a b c +=(勾股定理） （2）锐角之间的关系：090A B +=； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

sin cos a A B c ==

，cos sin b A B c ==，tan a

A b

=. 二、斜三角形中各元素间的关系：

在ABC ∆中，A B C 、、为其内角，a b c 、、分别表示A B C 、、的对边. （1）三角形内角和：A B C π=++.

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

R C

c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍.

2222cos a b c bc A =+-； 2222cos b a c ac B =+-； 2222cos c a b ab C =+-.

222

222

222

cosA cosB

cosC

222b c a a c b a b c bc

ac

ab

222

2cos a b c ab C 2222cosA c b a bc 222

2cosB a c b ac

三、三角形的面积公式：

（1）111

222a b c S ah bh ch ∆=

==（a b c h h h 、、分别表示a b c 、、的高）

； （2）111sin bcsinA acsin 222S ab C B ∆===＝2

1

四、解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及

内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：

第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角.

第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

解三角形如果出现多解，要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验. 五、三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点. （1）角的变换

因为在ABC ∆中，A B C π=++，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；

tan()tan A B C +=-；2

sin 2cos ,2cos 2sin

C

B A

C B A =+=+. （2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 六、求解三角形应用题的一般步骤： （1）分析：分析题意，弄清已知和所求；

（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义. 七、解应用题中的几个角的概念 （1）仰角、俯角的概念：

在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角.如图：

（2）方向角：相

对于某正方向的水平角.如南偏西

045等.

（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角. 【方法讲评】

题型一 求三角形的角和边

使用情景 解三角形

解题步骤

一般利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变形来解答.

【例1】在ABC ∆中，已知22=a ，32=b ，045=A ，求c B C 、、．

【点评】（1）利用正弦定理和余弦定理时，注意使用的数学情景，知道两边和其中一边的对角一般利用正弦定理解答；（2）已知两边和其中一边的对角，一般要讨论，利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系定理检验. 学科@网

【反馈检测1】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin C sin cos sin cos a b -B B

=

B A

． （1）求角A 的大小；

（2）若3a =，sinC 2sin =B ，求b ，c 的值．

题型二 求三角形的面积

使用情景 解三角形

解题步骤

利用公式11

sin 22

a S ah a

b C =

=解答. 【例2】 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23cos cos 3b c C

A a

-=

. （1）求角A 的值； （2）若角6

B π

=

，BC 边上的中线7AM =，求ABC ∆的面积.

【点评】求三角形的面积一般利用公式11

sin 22

a S ah a

b C =

=解答，注意灵活选用公式. 【反馈检测2】在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π

=． （Ⅰ）若ABC △3a b ，；

（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．