垂径定理教学案例

<垂径定理》教学案例

一、教学目标

知识与技能

1、研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.

2、学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。

过程与方法

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，

学习证明的方法。

情感态度价值观

在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新

意识和良好的运用数学的习惯和意识。

教学重点

垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。

教学难点

垂径定理及其推论的运用。

教具

圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件

学情分析

本节课是在上节课学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课。在上节课结

束时留给学生这样一个问题“你还想进一步研究什么?”通过学习，学生很容易联系到上

节课学习了圆、弧、弦、直径、半径等有关知识。那么圆内这些元素还具有哪些性质呢?

学生自然地从上节课过渡到这节课的学习，同时培养了学生勤于动脑，勤于思考的好习

惯，激发了学生学习的兴趣与热情。

本节课主要有两方面的内容：一是圆的轴对称性，二是垂径定理及其推论。开始以赵州

桥的问题引入课题，带着问题进行学习。圆的轴对称性主要是通过动手操作得出结论，

圆是轴对称图形，根据轴对称性进一步研究圆中相等的弦、弧得出垂径定理及其推论。

利用此定理再去解决赵州桥问题，每一个环节都是环环相扣，不是孤立存在的。

二、教学过程

（一）创设情境导入新课

1.将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？

2.将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？

3.一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？

4.赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？

师生行为:前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。

后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。

（二）合作交流探究新知Array 1.圆的对称性

（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？

2.垂径定理

（思考）如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。

①这个图形是对称图形吗

②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。

③你能用一句话概括这些结论吗？

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 ④ 你能用几何方法证明这些结论吗？ ⑤ 你能用符号语言表达这个结论吗？ 3．垂径定理的推论 如上图，若直径CD 平分弦AB 则 ① 直径CD 是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？ ② 你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧） ③ 如果弦AB 是直径，以上结论还成立吗？ 师生行为：圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。 教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。 学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。 学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。 教师明确定理中的条件和结论，初步理解“知二得三”口诀的含义。 教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。 垂径定理的内容比较多，且为考察重点，非一课时所能解决，所以此内容最少需两课时来探究。 本节课主要探讨垂径定理及第1条推论，还有它们的应用。 而其它推论和更深入的应用，放在下一节课进行研究。 （三）灵活应用 提高能力 简单应用 如图，在⊙O 中，直径MN ⊥AB 于C ，则下列结论错误的是（ ） A 、 A C=BC B 、AN=BN C 、OC=CN D 、AM=BM 1、典型应用 如图。在⊙O 中弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB

的距离OD=3cm ，则⊙O 的半径为 cm （1） 连结什么可得到一个直角三形？ （

2） 利用什么知识可以解得半径。 （3） 从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？ 2、生活中的应用 如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB 是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD 为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗? 提示：此中直角三角形AOD 中只有AD 是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。 3、利用垂径定理进行的几何证明 教材练习第2题。

简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.

师生行为：在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半

径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。

此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进A

行综合应用。

教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。

本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。

（四）小结升华与作业

本节课你学到了哪些数学知识？

在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？

这些方法中你又用到了哪些数学思想？

师生行为：教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自己进行小结，养成梳理知识的习惯

作业布置

教材练习第1题

分层作业

如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是多少？

（2）家庭作业练习本

教学反思：

反思之一：实际问题的意义的看法

数学来源于生活，又服务于生活。在实际生活中，数、形随处可见，无处不在。好的实际问题容易引起学生的兴趣，激发学生探索和发现问题的欲望，使学生感到数学课很熟悉，数学知识离我们很近。学生在解决实际问题的过程中，主要困难有两点，一是学生一见到实际问题就畏惧，根本不去读题，二是学生对实际背景不熟悉。为此，本节课设计了一个实际问题，这样做的好处，一是具有非常实际的用途，二是与本节课的内容具有直接关系。这个问题解决了，以后学生再讲到类似的实际问题时，就不会感到陌生。

每种教学模式都有其优劣，如果一味地按一种教学模式贯穿于整个教学过程，并不能达到最好的教学效果。对于我们教师来说，应根据不同的教学内容，选择不同的教学模式来教学，这样效果会更好。本节课，由于学生的差异较大，所以选择了小组合作这种教学模式，发挥小组合作学习的优势，给学生创造一个宽松的学习环境，使学生消除畏惧怕错的心理压力，激发学生的创新精神，帮助学生树立学好知识的信心和勇气。

反思之二：需要更加关注学生

教学中，把尊重学生，关注学生的发展动态始终放在第一位。在这节课中，注重学生间的合作交流，给学生多次展示自己的机会，锻炼学生的胆量，培养学生语言表达能力及逻辑推理能力，并给予适当的鼓励和表扬，使学生有成功感，增强学生学好数学的信心。

在知识发生发展与应用过程中注重教学思想方法的渗透，如本节课从特殊到一般的数学思想，交给学生解决问题的办法，使学生学会学习。