二次函数第3课时教案
人教版九年级上册数学精品教学课件 第22章 二次函数 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
1 令 x＝0 得 y＝− 45 ×(0 − 15)2 + 45＝40，
∴ 点 B 的坐标为 (0，40).
∴ 这名运动员起跳时的竖直高度为 40 米．
能力提升 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状 可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直 钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主 塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面 的高度为 0.5 m.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0). y 根据对称性，如果不计其它因素，
●B (1，2.25)
A●(0，1.25)
那么水池的半径至少要 2.5 m，才
能使喷出的水流不致落到池外.
●
D
O
●
C
x
例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距 离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行 的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时， 篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中 心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少？
OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面
直角坐标系，抛物线可以用 y＝ − 1 x2 + 2x + c 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式；6
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
∴
6
抛物线解析式为
y＝−
1
x2
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出
2.2 二次函数的图象与性质(第3课时)优秀教学设计
《二次函数的图象与性质（第3课时）》教学设计说明一、教学目标1、学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解h a ,对二次函数图象的影响.2、培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力.二、教学重点：二次函数2)(h x a y -=的图象与性质.教学难点：二次函数2)(h x a y -=图象与图象2ax y =之间的关系，h a ,对二次函数图象的影响.三、教学过程分析第一环节: 回顾，引入新课1、问题1 说说二次函数y=ax2+c(a ≠0)的图象的特征.问题2 说一说二次函数 y=ax2+c （a ≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 图象的平移关系？思考 函数的图象与函数 的图象有什么关系呢？（完成书37页的做一做）设计意图：复习前两节课内容，唤醒学生记忆，提出问题，为下面的教学作准备.第二环节: 合作探究,发现和验证探究：2)(h x a y -=的图象和性质学生独立完成课本37页上“做一做”，完成后小组内交流.()212-=x y 22x y =观察上表，比较22x 与2)1(2-x 的值，它们有什么样的关系？2、在同一坐标系中作出22x y =与2)1(2-=x y 的图象.同伴交流：你是怎样作的?3、结合图象，议一议二次函数2)1(2-=x y 的图象与二次函数22x y =的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？4、结合初二图形变换的知识，能否用移动的观点说明函数2)1(2-=x y 与22x y =的图象之间的关系呢?5、猜一猜：2)1(2+=x y 的图象是怎么样的？它的图象与22x y =的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！得出结论：二次函数22x y =、2)1(2-=x y 、2)1(2+=x y 的图象都是抛物线，并且形状相同，位置不同.将22x y =的图象向右平移一个单位,就得到2)1(2-=x y 的图象; 将22x y =的图象向左平移一个单位,就得到2)1(2+=x y 的图象. 设计意图：通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论.先猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验证，亲身经历探索函数性质的过程.第三环节：巩固新知：1、将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位2.把抛物线y = -x 2沿着x 轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .3.二次函数y =2(x - )2图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是________.4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标5. 若（- ，y 1）（- ，y 2）（，y 3）为二次函数y =(x -2)2图象上的三点，则y 1 ，y 2 ，y 3的大小关系为_______________. 第四环节：典例解析：例1 抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．第五环节：课堂小结比较y=ax2 ， y=ax ²+k ， y=a(x-h)² 的图像的不同拓展探究二：k h x a y +-=2)(的图象和性质想一想：由二次函数y=2x ²的图象你能得到y=2(x+3)²的图象吗？由y=2(x+3)²的图象你能得到y=2(x+3)²- 的图象吗？设计意图:经过前期的探索,学生完全有能力推测出表达式的变化会引起图象的何种变化.因此,先让学生合情推理，再画图验证，培养学生的合情推理能力和分析能力， 有利于培养学生的数学直觉和感悟能力.利用图象,直观地研究二次函数的性质,可以培养学生用数形结合的方法思考,积累研究函数性质的经验.最后,总结规律, 有效地让学生从感性认识上升到了理性认识, 并形成自己对本节课重点内容的理解.23445421小结：学生交流后得出结论:当k>0时，向上平移|k| 个单位长度当k<0时，向下平移|k| 个单位长度2.练一练： 1）若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________ 2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x23) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-14) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x 轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______ 小结:本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出 的性质:(1)a 的符号决定抛物线的开口方向(2)对称轴是直线x=h。
2.2 二次函数的图象与性质 第3课时 教案
一、情境导入二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到： 当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度．问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论． 二、合作探究探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 【类型一】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a＝－12，h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2的性质若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型四】 二次函数y ＝a (x －h )2与三角形的综合如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A 的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S 梯形ABOD －S △ACD －S △BOC ＝12(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB－12CD ·AD ＝12(4＋16)×6－12×2×4－12×4×16＝24. 方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 【类型五】 二次函数y ＝a (x －h )2的探究性问题某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位得到． (1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象； (2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点为B . ①求线段AB 的长及直线AB 的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝174，因此这个C 点的坐标为C 4(－2，174)． 综上所述，存在四个点，C 1(－2，217)，C 2(－2，－217 )，C 3(－2，－16)，C 4(－2，－174)．方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 三、板书设计二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质。
1.2 第3课时 二次函数的图象与性质-2024-2025学年九年级数学下册课件(湘教版)
（h,k）
当x=h时，y最小值=k
当x＜h时，y随x的 增大而减小；x＞h 时，y随x的增大而 增大.
a＜0
向下 直线x=h
（h,k）
当x=h时，y最大值=k 当x＞h时，y随x的 增大而减小；x＜h 时，y随x的增大而 增大.
练一练
1点．坐标抛是物_线(_0_,-y_6_)_，12它x可2 以 看6 作的是开由口抛__向物__上线__，对y 称 轴12 是x2___y向_轴____下__，平顶
横坐标
a a
纵坐标
1 a-12
2
1 a-12 3
2
观察上表你 发现了什么？
从上表看出： 对于每一个相同的x 值， 函数
y
1 2
(
x
1)2
3的值都要比函数
y
1 2
(
x
1)2
的值大3，
y
8
y
1 2
(
x
1)2
3
76Leabharlann 5 4y1 2
(x
1)2
3
2
1
-4
-3
-2
y
1 2
(
x
1)2
-1
O1
2
3
4
5
6x
向上平移3个单位
y
1 2
(
x
1)2
3
探究三、 将二次函数
y
1 2
(x
1)2
的图象向下平移 7 个单位，
得到的是哪个函数的图象？
y
1 2
(
x
1)2
7
探究四、二次函数 y a( x h)2 与 y a(x h)2 k
人教版九上数学教学课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
答：这个喷水池的直径 AB 是 20 m。
Thank you!
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离 池中心3m，水管应多长.
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点
3
与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直
随堂测试
基础巩固 1.抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平 移方法中正确的是( B ) A．先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
3 4 m 处达到最高，高度为 6 m，之后落在水池边缘，求这个喷水池的直径 AB 的值．
解：设 y 轴右侧抛物线的解析式为 y＝a(x－4)2＋6，将(0，10 )代入得 3
16a＋6＝10 ，解得 a＝－1 ，∴抛物线的解析式为 y＝－1 (x－4)2＋6，令 y
3
6
6
＝0 得－1 6
(x－4)2＋6＝0，x1＝10，x2＝－2(舍) ∴AB＝10－(－10)＝20(m).
R·九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
新课导入
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
实际问题与二次函数第三课时教案
26.3实际问题与二次函数教案教学设计思路本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。
教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。
通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。
一、教学目标：1．知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。
2．过程与方法经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。
3．情感态度与价值观体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
二、教学重点难点：1．重点通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。
2．难点利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
三、教学过程：(一)创设情境导入新课小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。
水面下降1 m时，水面宽度增加多少?(二)探究：①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。
怎么建立坐标系呢？②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。
即抛物线的表达式.③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。
教师关注：（１）学生能否用函数的观点来认识问题；（2）学生能否建立函数模型；（3）学生能否找到两个变量之间的关系；（4）学生能否从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．解法探讨：以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.归纳总结：(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系。
冀教版九年级数学下册30 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案与反思
第3课时二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质知人者智，自知者明。
《老子》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像．2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，图像经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－b2a＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－b2a＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )A．a＞1B．－1＜a≤1C．＞0D．－1＜a＜2解析：抛物线的对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，∵函数图像开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－10)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h (h >0)个单位所得函关系式为y ＝a (x －h )2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”． 【类型五】二次函数的图像与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图像经过A (2，0)、B (0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△AB 的面积．解：(1)把A (2，0)、B (0，－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 得：⎩⎨⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的解析式为y ＝－错误!x 2＋4x －6. (2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6. 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
《二次函数的图像》第3课时教案
《二次函数的图像》第3课时教案教学目标：1、了解二次函数图像的特点。
2、掌握一般二次函数c bx ax y ++=2的图像与2ax y =的图像之间的关系。
3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。
教学重点：二次函数的图像特征教学难点：例2的解题思路与解题技巧。
教学设计：一、回顾知识1、二次函数k m x a y ++=2)(的图像和2ax y =的图像之间的关系。
2、讲评上节课的选作题对于函数122+--=x x y ，请回答下列问题：（1）对于函数122+--=x x y 的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？思路：把122+--=x x y 化为k m x a y ++=2)(的形式。
122+--=x x y =[][]2)1(2)1(2)12()12(2222+--=-+-=-++-=-+-x x x x x x在2)1(2+--=x y 中，m 、k 分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移得到的？二、探索二次函数c bx ax y ++=2的图像特征1、问题：对于二次函数y=ax ²+bx+c （ a ≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax ²+bx+c 转化为y = a(x+m)2 +k 的形式 ？ c bx ax y ++=2 =a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2ax y =的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。
练习：课本第37页课内练习第2题（课本的例2删掉不讲）2、二次函数c bx ax y ++=2的图像特征（1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线； （2）对称轴是直线x=a b 2-，顶点坐标是为（ab 2-，a b ac 442-） (3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
九年级数学下册 12 二次函数yax h2的图象与性质(第3课时)教案 (新版)湘教版 教案
第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【知识与技能】1.能够画出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响.2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想. 【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】掌握y=a(x-h)2的图象及性质.【教学难点】理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响.一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出y=12x2与y=12(x-1)2的图象，完成下表.2.二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x2的图象有什么关系？12(x-1)2,当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表.三、典例精析，掌握新知例1 教材P12例3.【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象. 例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合.①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上，且-12＜x1＜x2，试比较y1,y2的大小.解:①∵y=x+1,∴令y=0，则x=-1,∴A（-1,0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2.②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1,∵a=-2＜0,∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又-12＜x1＜x2,∴y1＞y2.【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限3.在反比例函数y=kx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线y=13x2向平移个单位得抛物线y=13(x+1)2;(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.5.（某某某某中考）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点（1，-3）.(1)求抛物线的解析式;(2)画出函数的大致图象;(3)从图象上观察,当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.【答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)左,1 (2)y=-2x25.解：(1)y=-13(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0.五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系.12第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a,h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h 决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想.。
二次函数(第3课时)教案
26.1二次函数（第3课时）教案教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，明白得二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，明白得二次函数y＝ax2＋b的性质，明白得函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
正确明白得二次函数y＝ax2＋b的性质，明白得抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。
教学过程：一、提出咨询题1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、分析咨询题，解决咨询题咨询题1：关于前面提出的第2个咨询题，你将采取什么方法加以研究?(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)咨询题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?教学要点1．先让学生回忆二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。
2．教师讲明什么缘故两个函数自变量x能够取同一数值，什么缘故不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。
解：(1)列表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2…18 8 2 0 2 8 18 …y＝x2＋1 …19 9 3 l 3 9 19 …(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。
【精】 《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案
《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。
让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。
第3课时 实际问题与二次函数(3)(教案)
第3课时实际问题与二次函数（3）【知识与技能】能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.【过程与方法】再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.【情感态度】进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.【教学重点】用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.【教学难点】根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.一、情境导入，初步认识问题1 如图所示，交通运输业的不断发展使得人们的日常生活越来越便利，隧道的开凿也让许多天堑变通途.一般情况下，隧道都有一定高度，超过高度的车辆无法通过，因此，在隧道入口处常常会设有提醒司机的限高标志.同学们，这个隧道的外形轮廓是不是很像我们学过的二次函数图形？如果已知一辆车的高度和隧道设计的相关数据，你能判断出该车是否能安全通过隧道吗？问题2如图所示，我想班上很多同学都喜欢篮球这项运动，都希望有天能像林书豪和姚明那样在NBA的赛场上驰骋吧？其实篮球运动中很多问题也涉及到了我们现在所学的二次函数.【教学说明】教师演示一些图片：拱桥，喷泉，投篮等，创设一些学生熟悉的情境，提高学生的学习兴趣，引入新知.二、思考探究，获取新知【设计说明】要解决上述问题，我们往往要通过建立合理的平面直角坐标系后，建立二次函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应，将实际语言转化为数学语言.问题（教材第51页探究3）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？【教学说明】教学时，为了便于学生探究，教师可设置如下问题予以引导：①对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线表达式就好了.你能确定这条抛物线的表达式吗？（设置疑问，激发学生的求知欲望.）②你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？不妨试试看，并尝试着求出此时抛物线的表达式.（同学间可相互交流，教师巡视，及时予以指导，鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并尝试求出相应抛物线表达式.在这一过程中应让学生体验到恰当的尝试过程中体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思想.）在学生完成上述探究后，结合相应的图象，师生一同完成本题的解答.三、运用新知，深化理解1.一自动喷灌设备的喷流情况如右图所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，其喷出的水流成抛物线形.喷头B与水流最高点C 的连线与水管AB之间夹角为135°（即∠ABC=135°），且水流最高点C比喷头B高2米.试求水流落点D与A点的距离.（精确到0.1米）2.如图，一位篮球运动员在离篮筐水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，球的出手高度为1.8m.当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心离地面的距离为3.05m,你能求出球所能达到的最大高度约是多少吗？（精确到0.01m）【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可以让学生在小组内完成，也可以采用分组的方法进行.教师巡视，对优胜者给予鼓励，让他们体验成功的快乐；对尚有困难的学生应给予指导，鼓励他们探究下去.最后教师可展示优秀者作品，或在黑板上进行评析，尽量让学生能掌握这类建立坐标系的问题的解法.【答案】1.解：如图所示，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.连BC,则∠ABC=135°，过C 点作CE ⊥x 轴，垂足为E ，又过B 点作BF ⊥CE ，垂足为F.由题意易证四边形AEFB 为矩形，∴∠ABF=90°，∴∠CBF=135°-90°=45°，∴∠BCF=45°，Rt △CBF 为等腰直角三角形，又由题意易知AB=1.5米，CF=2米，∴BF=CF=2米,而CE=CF+EF=CF+AB=3.5米，则B （0，1.5），C （2，3.5）.设该图象解析式为y=a(x-h)2+k,则y=a(x-2)2+3.5,将B （0，1.5）代入可求得a=-12. ∴y=-12(x-2)2+3.5.设D （m,0）代入，得m=7≈4.6.（负值已舍去）即DA=4.6米.2.解：如图所示，以篮框所在直线为y 轴，地面所在直线为x 轴，其交点为坐标原点O.建立平面直角坐标系，设篮框中心点为A 点，运动员出手点为B 点，顶点为C 点，依题意可得A(0,3.05),B(-4,1.8),设C(-1.5,m ），设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c,将A 、B 代入可求得1.8=16a-4b+3.05①又由图象可知-2b a=-1.5,b=3a,将其代入①中，可求得a=-0.3125,则b=-0.9375. ∴y=-0.3125x 2-0.9375x+3.05.则m=244ac b a≈3.75（m ）. 即球所能达到的最大高度约是3.75m.四、师生互动，课堂小结1.构建二次函数模型解决实际应用问题时，应关注自变量的取值范围并结合二次函数性质进行探讨；2.对具有抛物线形状的实际问题，应能根据图形的特征建立恰当的平面直角坐标系，这样能更快捷的解决问题，应注意体会.1.布置作业：从教材习题22.3中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.。
2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 实际问题与二次函数(第3课时)
22.3 实际问题与二次函数（第3课时）一、教学目标【知识与技能】能根据实际问题构建二次函数模型,并利用函数性质来解决实际问题.【过程与方法】再次经历利用二次函数解决实际问题的过程,进一步体验数学建模思想,培养学生解决实际问题的能力.【情感态度与价值观】进一步体会数学知识的应用价值,感受数学来自于生活又服务于生活,激发学习数学的兴趣.二、课型新授课三、课时第3课时,共3课时。
四、教学重难点【教学重点】用函数知识解决实际问题,感受数学建模思想.【教学难点】根据抛物线型实际问题,建立恰当的平面直角坐标系,建立二次函数模型.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件3:如图是一个二次函数的图象,现在请你根据给出的坐标系的位置,说出这个二次函数的解析式类型.（二）探索新知探究建立平面直角坐标系解答抛物线形问题出示课件5:如图,一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分,拱桥的跨度是4.9米,水面宽是4米时,拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时,拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？教师问:你能想出办法来吗？(出示课件6)学生答:建立函数模型.教师问:这是什么样的函数呢？学生答:拱桥的纵截面是抛物线,所以应当是个二次函数.教师问:怎样建立直角坐标系比较简单呢？(出示课件7)学生答:以拱顶为原点,抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系,如图．教师问:从图看出,什么形式的二次函数,它的图象是这条抛物线呢？学生答:由于顶点坐标系是（0.0）,因此这个二次函数的形式为2.y ax = 教师问:如何确定a 是多少？(出示课件8)学生答:已知水面宽4米时,拱顶离水面高2米,因此点A （2,-2）在抛物线上,由此得出-2=a ×22,解得1.2a =-因此,212y x =-,其中｜x ｜是水面宽度的一半,y 是拱顶离水面高度的相反数,这样我们就可以了解到水面宽度变化时,拱顶离水面高度怎样变化．教师问:由于拱桥的跨度为4.9米,因此自变量x 的取值范围是:2.45 2.45x -≤≤.现在你能求出水面宽3米时,拱顶离水面高多少米吗？(出示课件9)学生答:水面宽3m 时,3,2x =从而2139 1.125,228y ⎛⎫=-⨯=-=- ⎪⎝⎭ 因此拱顶离水面高1.125m.教师问:建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？(出示课件10) 师生共同总结如下:出示课件11:例1 图中是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m时,水面宽度增加了多少？学生独立思考后,师生共同总结如下:(出示课件12,13,14)解法一:如图所示以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2.当拱桥离水面2m时,水面宽4m.即抛物线过点(2,-2),∴-2=a×22,∴a=-0.5.∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2.当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有-3=-0.5x², 解得x=±√6,这时水面宽度为2√6m,因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√6-4)m.解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.此时,抛物线的顶点为(0,2),因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax²+2.当拱桥离水面2m时,水面宽4m,即:抛物线过点(2,0),0=a×22+2,a=-0.5.因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x²+2.当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:-1=-0.5x²+2解得x=±√6,这时水面宽度为2√6m.因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√6-4)m.解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以其中的一个交点(如左边的点)为原点,建立平面直角坐标系.此时,抛物线的顶点为(2,2).因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)²+2.∵抛物线过点(0,0),∴0=a×(-2)²+2.∴a=-0.5.因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2)²+2.当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有-1=-0.5(x-2)2+2,解得x1=2-√6,x2=2+√6这时水面的宽度为x2-x1=2√6,因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2√6-4)m.出示课件15:回顾“最大利润”和“桥梁建筑”解决问题的过程,你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.学生交流后,师生共同总结如下:1.理解问题；2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系；3.用数学的方式表示出它们之间的关系；4.做数学求解；5.检验结果的合理性.出示课件16:巩固练习:有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m．如图所示的直角坐标系中,求出这条抛物线表示的函数的解析式.学生思考后自主解答.解:设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.∵该抛物线过(10,-4),∴-4=100a,a=-0.04.∴y=-0.04x2 .出示课件18:如图,一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮,篮球准确落入篮圈,已知篮球运行的路线为抛物线,当篮球运行水平距离为2.5m时,篮球达到最大高度,且最大高度为3.5m,如果篮圈中心距离地面3.05m,那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？学生自主思考后,师生共同解决如下.出示课件19:解:如图,建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5,3.05）,篮球在最大高度时的位置为B（0,3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.设以y 轴为对称轴的抛物线的解析式为y=a(x-0)2+k,即y=ax 2+k.而点A,B 在这条抛物线上,所以有所以该抛物线的表达式为y=﹣0.2x 2+3.5.当x=﹣2.5时,y=2.25.故该运动员出手时的高度为2.25m.出示课件20:巩固练习:一名同学推铅球,铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位:m ）与水平距离x （单位:m ）近似满足函数关系y ＝112-x 2+23x+c,其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m ．（1）求铅球出手时离地面的高度；（2）在铅球行进过程中,当它离地面的高度为112m 时,求此时铅球 的水平距离．学生自主思考后板演如下:解:（1）根据题意,将（10,0）代入y ＝112-x 2+23x+c, 得112-×102+23×10+c ＝0, 解得c ＝53, 即铅球出手时离地面的高度53m ； （2）将y ＝1112代入112-x 2+23x+53＝1112, ,整理,得x 2﹣8x ﹣9＝0,解得x 1＝9,x 2＝﹣1（舍）,∴此时铅球的水平距离为9m ．（三）课堂练习（出示课件22-30）1.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示,以水平方向为x 轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．2.足球被从地面上踢起,它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t 来表示,其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间,则球在 s 后落地.3.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为2113822y x x =-++,那么铅球运动过程中 最高点离地面的距离为 米.4.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5m（如图）,则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A.50mB.100mC.160mD.200m5.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图,板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为12m,抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式．（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在AB上,每扇窗户宽1.5m,高1.6m,相邻窗户之间的间距均为0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？6.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,求这条抛物线对应的函数表达式；(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.参考答案:1.解:（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0）,将（8,0）代入y=a（x﹣3）2+5,得25a+5=0,解得a=﹣0.2, ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y=1.8时,有﹣0.2（x﹣3）2+5=1.8,解得:x1=﹣1,x2=7,因此为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时,y=﹣0.2（x ﹣3）2+5=3.2．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2x 2+bx+3.2,∵该函数图象过点（16,0）,∴0=﹣0.2×162+16b+3.2,解得b=3.∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2x 2+3x+3.2=﹣0.2（x ﹣7.5）2+14.45．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为14.45米．2.43.24.C5.解:（1）设抛物线的表达式为y=ax 2.∵点B （6,﹣5.6）在抛物线的图象上,∴﹣5.6=36a,745=-a . ∴抛物线的表达式为2745=-y x . （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C,D 两点,D 点坐标为（k,t ）,已知窗户高1.6m,∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4.∴27445--=k ,解得k=7±, 即k 1≈5.07,k 2≈﹣5.07.∴CD=5.07×2≈10.14（m ）.设最多可安装n 扇窗户,∴1.5n+0.8（n ﹣1）+0.8×2≤10.14,解得n ≤4.06．则最大的正整数为4．答:最多可安装4扇窗户.6.解:根据题意,得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）,对称轴为y 轴,设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450,81.5）,代入上式,得81.5=a •4502+0.5. 解得2811.4502500a == 故所求表达式为210.5(450450).2500y x x =+-≤≤ (2)当x=450﹣100=350（m ）时,得213500.549.5(m)2500y =⨯+= 当x=450﹣50=400（m ）时,得214000.564.5(m)2500y =⨯+= （四）课堂小结通过本节课的学习,你有什么收获？（五）课前预习预习下节课（23.1第1课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本课时教学与上一课时基本相同,所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系,使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系,并求出相应抛物线表达式,在这一过程中让学生体验探究发现的快乐,体会数学的最优化思考.。
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
二次函数的图像(第3课时)教案
季节中的花开花落，都有自己的命运与节奏，岁月如歌的谱曲与纳词，一定是你。
人生不如意十之八九，有些东西，你越是在意，越会失去。
一个人的生活，快乐与否，不是地位，不是财富，不是美貌，不是名气，而是心境。
有时候极度的委屈，想脆弱一下，想找个踏实的肩膀依靠，可是，人生沧海，那个踏实肩膀的人，也要食人间烟火，也要面对自己的不堪与无奈。
岁月告诉我：当生活刁难，命运困苦，你的内心必需单枪匹马，沉着应战。
有时候真想躲起来，把手机关闭，断了所有的联系，可是，那又怎样，该面对的问题，依旧要面对。
与其逃避，不如接纳；与其怨天尤人，不如积极主动去解决。
岁月告诉我：美好的人生，一半要争，一半要随。
有时候想拼命的攀登，但总是力不从心。
可是，每个人境况是不同的，不要拿别人的标准，来塑造自己的人生。
太多的失望，太多的落空，纯属生活的常态。
岁月告诉我：挫败，总会袭人，并且，让你承受，但也，负责让你成长。
人生漫长，却又苦短，幽长的路途充满险阻，谁不曾迷失，谁不曾茫然，谁不曾煎熬？多少美好，毁在了一意孤行的偏执。
好也罢，坏也罢，人生的路，必须自己走过，才能感觉脚上的泡和踏过的坑。
因为懂得，知分寸；因为珍惜，懂进退。
最重要的是，与世界言和，不再为难自己和别人。
《菜根谭》中说：花看半开，酒饮微醉。
就是说，做事不必完美，享乐不可享尽，这是一种含苞待放的人生状态。
即使是最美的月亮，也会有盈亏的自然之道。
否则便是过犹不及，弄巧成拙。
心灵松绑了，活着才自由。
半生已过，走走停停，看透了生活，选择了顺流的方式，行走。
流水今日，明月前身。
感谢每一粒种子，每一缕清风，每一个阳光的日子，于时光的碎屑中，静品一盏流年的香茗。
撕开浮云的遮掩，其实，每个人心中都有各自的山水，都有一段难捱的时光，好在，总有一天，你的淡然低调，你的暗自努力，你的理性豁达，终将点燃你的整个世界，让故事的结局，美好而温柔。
苏轼在《水调歌头》里写道：人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第3课时)》示范教学课件
向上
观看动图，思考抛物线 y＝ax²＋k(a＞0)与抛物线 y＝ax²(a＞0)有什么关系？
归纳
开口方向
顶点坐标
最大（小）值
对称轴
增减性
二次函数 y＝ax2＋k(a＞0)的图象性质
向上
(0，k)
当 x＝0 时，y最小值＝k
y 轴
当 x＞0 时，பைடு நூலகம் 随 x 的增大而增大；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
4
－4
x
y
x
y
O
y＝－2x2－1
y＝－2x2＋1
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
思考
（1）抛物线 y＝－2x²＋1，y＝－2x²－1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
函数
y＝－2x²＋1
y＝－2x²－1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
y 轴
x
y
y＝－2x2＋1
O
y＝－2x2－1
2
－2
－4
－6
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y＝－2x²＋1， y＝－2x²－1 的图象．
解：先列表，然后描点，再分别画出它们的图象．
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
y＝－2x2＋1
y＝－2x2－1
O
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
2
－2
－4
－6
数学九年级上册《二次函数-第三课时》教案
板书设计：22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象和性质
二次函数y=ax2+k的性质
教学后记（反思成败、总结经验）：
3、二次函数y=ax2+k（a，k是常数），当x取值x1、x2时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视
五、能力提升：（7分钟）
独立完成学思练巩固提升
六、课堂小结(2分钟，学生回答)
二次函数y=ax2+k的性质及平移规律
七、作业布置
教材习题22.1第5（1）题
（1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7 （3）y=2x2-1
5.完成学思练自学检测部分
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视
四、巩固练习（8分钟）
1、二次函数y=ax2+k的图象经过点A（2，3）， B（3，5），求这个函数的解析式。
2、已知二次函数y=2x2+3，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小？
会作函数的图象．
教学难点
能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
教学方法与手段
自主学习——合作交流——当堂训练
教学准备
课件、教材、三角板
第 一 课时
课时数
1 课时
教学流程
二次备课(标、增、改、删、调)
一、旧知回顾：（3分钟）
二次函数y=ax2有什么性
二、自主探究：（12分钟）
探究：
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=x2，y=x2+2 , y=x2-2
初中20-20学年度第一学期教学设计
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26.1 二次函数(3)
教学目标：
1、使学生能利用描点法正确作出函数y = ax2+ b的图象。
2、让学生经历二次函数y = ax2+ bx+ c性质探究的过程，理解二次函数y = ax2+ b的性质及它与函数y = ax2的关系。
重点难点：
会用描点法画出二次函数y = ax2+ b的图象，理解二次函数y= ax2+ b的性质，理解函数y= ax2+ b与函数y= ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y = ax2+ b的性质，理解抛物线y= ax2+ b与抛物线y= ax2的关系是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1. ___________________________________________ 二次函数y= 2x2的图象是 ,它的开口向
__________________________________________________ ,顶点坐标是______ ;对称轴是 ______ , 在对称轴的左侧，y随x的增大而_________ ，在对称轴的右侧，y随x的增大而__________ ，函数y = ax?与x = ______ 时，取最_______ 值，其最_______ 值是______ 。
2 .二次函数y = 2x2+ 1的图象与二次函数y = 2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标
是否相同？
二、分析问题，解决问题
问题1:对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？
(画出函数y = 2x2和函数y = 2x2的图象，并加以比较)
. . ____________________________________ 2 2 . .
问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y = 2x与y = 2x + 1的图象吗？
教学要点
1 •先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y= 2x2的图象。
2 •教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y = 2x2+ 1的对应值表，并让学生画出函数y= 2x2+ 1的图象.
3 •教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。
解：(1)列表:
x—3—2—10123
2
y = x1882028P18
2
1993l3919 y = x + 1
(2) 描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y= 2x2和y = 2x2+ 1的图象。
(图象略)
问题3:当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
教师引导学生观察上表，当x依次取一3,—2,—1, 0, 1, 2, 3时，两个函数的函数
值
之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y= 2x2 + 1的函数
值都比函数y = 2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y= 2x2+ 1和y = 2x2的图象，先研究点(一1, 2)和点(一1 , 3)、点(0 , 0)和点(0 , 1)、点(1 , 2)和点(1 , 3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y= 2x2 + 1的图象上的点都是由函数y = 2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
问题4:函数y= 2x2+ 1和y = 2x2的图象有什么联系？
由问题3的探索，可以得到结论：函数y= 2x2+ 1的图象可以看成是将函数y = 2x2的图
象向上平移一个单位得到的。
问题5:现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？
让学生观察两个函数图象，说出函数y= 2x1 2 3+ 1与y = 2x2的图象开口方向、对称轴相同，
但顶点坐标不同，函数y = 2x2的图象的顶点坐标是(0, 0)，而函数y= 2x2+ 1的图象的顶点坐标是(0 , 1)。
问题6:你能由函数y= 2x2的性质，得到函数y= 2x2+ 1的一些性质吗？
完成填空：
当x ____ 时，函数值y随x的增大而减小；当x _________ 时，函数值y随x的增大而增大，当x _____ 时，函数取得最_______ 值，最______ 值y= ________ .
以上就是函数y = 2x2+ 1的性质。
三、做一做
问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y = 2x2—2与函数y= 2的图象，再作比较，说说
它们有什么联系和区别？
教学要点
1 •在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；
2 •让学生发表意见，归纳为：函数y = 2x2—2与函数y= 2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。
函数y= 2x2—2的图象可以看成是将函数y = 2x2的图象向下平移两个单位得到的。
问题8:你能说出函数y = 2x2—2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗？
教学要点
1 .让学生口答，函数y= 2x2—2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0 , —2)；
2 •分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x v0时，函数
值y随x的增大而减小；当x> 0时，函数值y随x的增大而增大，当x= 0时，函数取得最小值，最小值y = —2。
1 2 1 2
问题9:在同一直角坐标系中。
函数y= —-x2+ 2图象与函数y = —-x2的图象有什么关
系？
要求学生能够画出函数y=—3x2与函数y= —3x2+ 2的草图，由草图观察得出结论：函
3 3
1 2 1 2
数y=—T1/3X + 2的图象与函数y = —rx的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不
3 3
1 2 1 2
1
[函数y=—-x2+ 2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0 , 2)]
3
问题11:这个函数图象有哪些性质？
1 2
让学生观察函数y = —-x2+ 2的图象得出性质：当x v0时，函数值y随x的增大而增大；当
x> 0时，函数值y随x的增大而减小；当x= 0时，函数取得最大值，最大值y= 2。
四、练习：P9练习1、2、3。
同，函数y = —§x2+ 2的图象可以看成将函数y= —?x2的图象向上平移两个单位得到的。
1 2一
冋题10:你能说出函数y =—rx + 2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
3
五、小结
1 •在同一直角坐标系中，函数y= ax4 5+ k的图象与函数y= ax2的图象具有什么关系？
2 .你能说出函数y = ax2+ k具有哪些性质？
六、作业：1. P19习题26. 2 1 .⑴
2 .选用课时作业优化设计.
第一课时作业优化设计
1 .分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。
(1) y =- 2x 与y = —2x —2;
(2) y = 3x + 1 与y= 3x —1。
2. 在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，
1 2 1 〔2c
y =产，y =於 + 2, y =歹—2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。
1 2 你能说出抛物线y = 2X2+ k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
1
3 .根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y = ^x2得到抛
1 2 1 2
物线y = -x + 2 和y= -x —2?
2 2
4 2 1 2 1 2
4 .试说出函数y =於，y= ^x + 2, y = ^x —2的图象所具有的共同性质。