必修二解析几何
数学必修二知识点归纳
数学必修二知识点归纳数学必修二的知识点主要包括空间几何、解析几何和向量。
一、空间几何1.空间几何的基本概念：空间几何是研究空间中物体的形状、大小和位置关系的数学分支。
它涉及到点、直线、平面以及它们的性质和关系。
2.空间几何的基本定理：包括空间中两点间的距离公式、直线与平面相交的条件和性质、平面与平面相交的条件和性质等。
3.空间几何的公理和定理：例如公理一“过两点有且只有一条直线”，公理二“两点之间线段最短”，公理三“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”等。
4.空间几何的坐标系：通过坐标系可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数方法解决几何问题。
常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和球面坐标系等。
二、解析几何1.解析几何的基本概念：解析几何是使用代数方法研究几何问题的一个数学分支。
它涉及到平面直角坐标系、点的坐标、直线的方程、圆的方程等基本概念。
2.解析几何的基本定理：例如直线的斜率公式、点到直线的距离公式、圆的切线判定定理等。
3.解析几何的方程和曲线：例如直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程等。
4.解析几何的变换：包括平移变换、对称变换和旋转变换等，这些变换可以帮助我们研究图形的性质和关系。
三、向量1.向量的基本概念：向量是既有大小又有方向的量，它可以用来表示力和速度等物理量。
向量的模长、向量的加法、数乘以及向量的内积等基本概念也是学习的重点。
2.向量的运算性质：向量具有加法交换律、加法结合律、数乘分配律等运算性质，这些性质可以帮助我们简化向量的运算。
3.向量的应用：向量在物理和工程等领域有广泛的应用，例如力的合成与分解、速度和加速度的计算等。
通过向量的应用，我们可以更好地理解物理现象和解决实际问题。
北师大版数学必修2第二章解析几何初步归纳总结课件
得xy′′＝＝3－x－4x45－y5＋3y4＋，8.
把(x′，y′)代入方程 y＝x－2 并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线 l2 的方程为 7x－y－14＝0.
(3)设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线 l′，则直线 l 上任一 点 P(x1，y1)关于点 A 的对称点 P′(x，y)一定在直线 l′上，反 之也成立．
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离是 d＋r， 最小距离是 d－r，其中 d 为圆心到直线的距离．
②当直线与圆相交时，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r， 则有(2l )2＋d2＝r2.
③当直线与圆相交时，设弦为 AB，则 |AB|＝ 1＋k2AB·|xA－xB|， |AB|＝ 1|k＋ABk| 2AB·|yA－yB|.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1 与 l2 相交⇔A1B2≠A2B1， 特别地 A1A2＋B1B2＝0 时⇔l1⊥l2； ②l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且 A1C2≠A2C1； ③l1 与 l2 重合⇔A1B2＝A2B1 且 A1C2＝A2C1. 4．两条直线的交点
当|C1C2|＝|r1－r2|时，两圆内切； 当|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2 时，两圆相交； 当|C1C2|<|r1－r2|时，两圆内含． 10．空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 ∠xOy＝∠xOz＝135°，∠yOz＝90°，x 轴、y 轴、z 轴的正 半轴分别指向右手拇指、食指、中指．
作点 P(x，y，z)的步骤与方法：从原点出发沿 x 轴正(x>0) 或负(x<0)方向移动|x|个单位，再沿 y 轴正(y>0)或负(y<0)方向移 动|y|个单位，最后沿 z 轴正(z>0)或负(z<0)方向移动|z|个单位．
高中数学必修二平面解析几何知识点梳理教学内容
高中数学必修二平面解析几何知识点梳理平面解析几何1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.（2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+by a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：BA k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点．4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式：(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A C By Ax d +++=． 7．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221B A C C d +-=．8．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解．10．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ．（3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=． （2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D（3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．11．圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l =+；（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y k x x k AB -+=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔．②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔． 【P 到圆心距离2200()()d a x b y =-+-】13．直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22BA CBb Aa d +++=):圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d ．14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； 无公切线内含⇔⇔-<21r r d ；条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ．15．圆系方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x（1）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．（2）过圆1C :011122=++++F y E x D y x 与圆2C :022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数．特别地，当1λ=-时，2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是 121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．16．圆的切线方程：（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．（3）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =．17．把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．18．对称问题：（1）中心对称：① 点关于点对称：点),(11y x A 关于),(00y x M 的对称点)2,2(1010y y x x A --．② 直线关于点对称：法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．法2：求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程．（2）轴对称：① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．点 A A '、关于直线l 对称⎩⎨⎧''⇔上中点在⊥l A A l A A ⎩⎨⎧'-=⇔'方程中点坐标满足·l A A k k l A A 1 ． ② 直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）法1：若b a ,相交，求出交点坐标，并在直线a 上任取一点，求该点关于直线l 的对称点．若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距离相等．法2：求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程．（3）点(a , b )关于x 轴对称：(a ,- b )、关于y 轴对称：(-a , b )、关于原点对称：(-a ,- b )、点(a , b )关于直线y=x 对称：(b , a )、关于y=- x 对称：(-b ,- a )、关于y = x +m 对称：(b -m 、a +m )、关于y=-x+m 对称：(-b+m 、-a+m ) ．19．若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛++++33321321y y y x x x ，． 20．各种角的范围：直线的倾斜角 ︒<≤︒1800α 两条相交直线的夹角 ︒≤<︒900α两条异面线所成的角︒0α︒90<≤。
必修2第二章解析几何复习
数学必修2 解析几何复习一、直线的倾斜角、斜率以及直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (4)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )2．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或43．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 4．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为 ．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0. 综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.7.直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 ∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 8.已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为 ．答案 x ＋13y ＋5＝0二、两直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.3．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 4．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行 5．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定 答案 C 2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C 3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝ .答案 1 4．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3 答案 C 5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是 ． 答案3246．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝ . 答案 0或17. 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．三、圆的方程1.圆的定义与方程2．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． 3．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1.以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A2．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为 ． 3．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1 D ．a ＝±4 答案 A 5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A(x －2)2＋(y －1)2＝1 B(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D(x －3)2＋(y －1)2＝1 答案 A四、直线与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．1．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[－3,1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C 2．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为 ． 答案 2 2 3．若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A[－2，2] B[－22，22] C[－2－1，2－1] D[－22－1,22－1] 答案 D4.过点A (3,5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为 ． 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)， ∵|OA |＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1,2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2， 即|3－2k |＝2k 2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.5.已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8 答案 B解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.。
必修2解析几何知识归纳与题型
必修2<解析几何>部分----直线与圆一、知识点整理1. 直线的倾斜角与斜率的概念 2．求斜率的两种方法 ① 定义:tan k， (α∈[)()0000180,9090,0⋃ ) ；② 斜率公式: 直线经过两点1122,,,x y x y ，1212y y kx x 3．直线方程的几种形式:① 点斜式_________________ , ②斜截式_____________，适用范围____________， ③ 两点式_________________;④截距式_____________，适用范围_____________ ⑤一般式: ，适用所有的直线 ⑥几种特殊的直线方程与x 轴垂直的直线_____________; 与y 轴垂直的直线_____________；过原点(不包括坐标轴)的直线______________ ；在两坐标轴上截距相等的直线方程：x y a y kx +==或；在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程：（x y a y kx -==或4．两条直线的位置关系(一)： 已知直线111:l yk x b , 222:l y k x b （斜率k 存在）①1l 与2l 相交⇔_________________； ②1l 与2l 平行⇔_________________________ ； ③1l 与2l 重合⇔_________________； ④⇔⊥21l l __________________________ . 5．两条直线的位置关系(二) 已知直线11110l A xB yC ：,22220l A x B y C ：则①1//l 2l ⇔____________________； ②⇔⊥21l l __________________________ 6．点00x y ，到直线0l Ax By C ：的距离d =_______________平行直线110l AxByC ：和220l AxByC ：间的距离为d=________7. 直线系：已知直线0l Ax By C ++=：（1）过定点的直线系方程：00(,)P x y 为定值，k 为参数00()y y k x x -=- （2）平行与垂直直线系：①与l 平行的直线系：0Ax By m ++=； ②与l 垂直的直线系：0Bx Ay m -+=（3）过12,l l 交点的直线系：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（不含2l ） 8.对称（1）点关于点对称：11(,)P x y 关于00(,)M x y ）的对称点0101(2,2)P x x y y '-- （2）点关于线的对称：设(,)P a b9．判断直线与圆的位置关系的方法.(1)代数法:由直线方程与圆的方程联立消元得一元二次方程利用∆求解; (2)几何法:由圆心到直线距离d 与半径r 比较大小来判断. 10．圆222xay br 的切线问题(1) 切点已知： 与圆222r y x =+相切于点00P x y ，的切线方程是200x x y y r +=； 与圆222)()(r b y a x =-+-相切于点00P x y ，的切线方程为：200()()()()x a x a y b y b r --+--=(2) 切点未知：00P x y ，为圆外的一点，求过P 的切线方程（两条切线）：设点斜式，由圆心到直线距离d 等于半径求出k 值（注意：应考虑斜率不存在的情况）11．圆的弦长公式：弦长AB = 12．两圆的位置关系：圆1C :222111x a y b r ； 圆2C :222222x a y b r相离⇔12C C 12r r外切⇔12C C 12r r 相交⇔12r r -<12C C 12r r内切⇔12C C =12r r - 内含⇔120C C ≤<12r r - 13. 过两圆221111:0C x yD xE yF ++++=和222222:0C x yD xE yF ++++=的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（不含C2），其中1λ≠-为参数） 若C1与C2相交，则两方程相减（即1λ=-）所得一次方程就是公共弦所在直线方程。
《高一数学必修二课件：解析几何》
高一数学必修二课件：解 析几何
本课件介绍解析几何的基础知识，包括直线的方程、平面直角坐标系、向量 的概念和运算等内容，帮助高一学生系统掌握解析几何的要点。
直线的方程
1 截距式
通过截距与交点的运算，求解直线的 方程。
2 点斜式
通过已知直线的一个点和斜率，求解 直线的方程。
3 一般式
通过直线的一般方程，推导解析几何中的直线参数化方程。
3 平行向量
学习判断向量是否平行、 共线的方法和条件。
向量的运算
1
加法
掌握向量的加法法则，了解向量之间的相加关系。
2
减法
理解向量的减法规则，学会向量之间的相减操作。
3
数量积
认识数量积的定义和性质，掌握数量积的计算方法。
向量的坐标表示及其运算法则
分解式
学习将向量按照坐标方向进行 分解，并掌握分解式的计算。
平面直角坐标系
X轴和Y轴
了解平面直角坐标系中的横轴 和纵轴，以及坐标的表示方法。
坐标平面
认识坐标平面上的点，理解平 面直角坐标系的基本原理。
象限
区分坐标平面上的四个象限， 掌握象限与坐标的关系。
向量的基本概念
1 向量的定义
2 零向量
通过方向和大小来定义向 量，了解向量的表示方法。
了解零向量的特征及其在 向量运算中的作用。
两点间线段的中点坐标公式
空间内 直线垂直于坐标轴 点与点之间的距离
数学内 正交坐标系中 两点间线段的中点坐标公式
向量的叉积及应用
叉积的定义
叉积的几何应用
了解向量叉积的几何和代数定义， 掌握叉积的计算方法。
学习叉积在计算平行四边形面积 和判断垂直性方面的应用。
高中数学必修二平面解析几何
高中数学必修二平面解析几何
本文从知识点梳理、圆的方程、两个经典的解题和圆的方程的解释过程三个方面，分享了高中数学必修课《二平面解析几何》中圆的方程的介绍。
一、知识梳理
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
二、平面解析几何——圆的方程两个易误点
三、经典考题
1、求圆的方程
(1)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
(2)(2016·高考浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x ＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是
________．
解题方法：求圆的方程的两种方法
2、与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题解题方法
3、与圆有关的轨迹问题
(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
求与圆有关的轨迹方程的方法
(2017·湖南箴言中学三模)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．。
高二数学必修二：空间解析几何习题解析
高二数学必修二：空间解析几何习题解析解析题目一：已知平面α过点A(1,2,3)，且与平面x-2y+z+5=0垂直，求平面α的解析式。
解析过程：由题可知，平面α过点A(1,2,3)，设平面α的解析式为Ax+By+Cz+D=0，代入点A得到A+2B+3C+D=0。
平面α与平面x-2y+z+5=0垂直，两个平面的法向量垂直，即平面α的法向量与平面x-2y+z+5=0的法向量的点积为0。
平面x-2y+z+5=0的法向量为(1,-2,1)，则有A+B+C=0。
联立方程组得到A=-3B，C=-2B，代入A+2B+3C+D=0中得到D=5B。
平面α的解析式为-3Bx+By-2Bz+5B=0，若取B=1，则平面α的解析式为 -3x+y-2z+5=0。
解析题目二：已知直线l过A(2,1,5)且与平面x+2y-3z+4=0平行，求直线l的解析式。
解析过程：由题可知，直线l过点A(2,1,5)，设直线的解析式为\[\begin{cases}x=2+at \\y=1+bt \\z=5+ct \\\end{cases}\]其中a，b，c为参数。
直线l与平面x+2y-3z+4=0平行，由平行条件可知直线l的方向向量与平面的法向量平行。
平面x+2y-3z+4=0的法向量为(1,2,-3)。
设直线l的方向向量为(m,n,p)，则有\[m:1=n:2=p:-3\]。
取m=1，得到直线l的方向向量为(1,2,-3)。
直线l的解析式为\[\begin{cases}x=2+t \\y=1+2t \\z=5-3t \\\end{cases}\]解析题目三：已知点A(1,2,3)和直线l的方向向量为(2,1,-1)，求直线l的解析式。
解析过程：由题可知，直线l的方向向量为(2,1,-1)，设直线的解析式为\[\begin{cases}x=1+2t \\y=2+t \\z=3-t \\\end{cases}\]其中t为参数。
直线l的解析式为\[\begin{cases}x=1+2t \\y=2+t \\z=3-t \\\end{cases}\]解析题目四：已知平面α过点A(1,2,3)，且与直线l:x=2t,y=3-t,z=4t相交于点B，求点B的坐标。
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
![[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理](https://img.taocdn.com/s3/m/bd436cdecaaedd3382c4d387.png)
第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。
必修二《解析几何》点到直线的距离 教学课件分解
行，则它们之间的距离是( )．
A．4
B. 2 13 C. 5 13 D. 7 13
13
26
26
解析 ∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，
∴3∶2＝6∶m，∴m＝4.
直线6x＋4y＋1＝0可以化为3x＋2y＋ 1 ＝0，由两条
平行直线间的距离公式可得：
2
d＝
|
1 2
(
3
)
|＝
7 2
32 22
(3) A(1,-2)， 4x+3y=0
3.求下列两条平行线的距离： (1) 2x+3y-8=0 ， 2x+3y+18=0
(2) 3x+4y=10 ， 3x+4y-5=0
(3) 2x+3y-8=0 ， 4x+6y+36=0
4.完成下列解题过程：
⑴ P在x轴上，P到直线l1: x- 3 y +7=0与直线
2h
AB边上的高 h就是点C到 AB的距 C 1
离．
-1 O 1 2
B 3x
AB边所在直线的方程为： y3 x1 ， 13 31
即：xy40.
点 C1， 0到xy40的距离
104
h
5
.
1212
2
1
5
因此，B C222
5. 2
y 4A
3
2h
1
C -1 O 1 2
B 3x
例3 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
l2: 12x-5y+40=0的距离相等，求P点坐标。 解：设P(x,0),
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
必修II 第二章解析几何初步小结
必修II 第二章解析几何初步1、直线方程的五种形式点斜式：00()y y k x x -=- 斜截式：y =kx +b 两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--截距式：1x y a b+= 一般式: 0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）2、圆的方程圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，圆心为，半径为圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 圆心为 ，半径为3、两条直线的位置关系：11112222121212121212121211112221212:;:::::0,0,,,,l y k x b l y k x b l l k k l l k k b b l l k k b b l A x B y C A x B y C A A B B =+=+≠=≠==++=++=与相交与平行且与重合且若若都不为零12l l 与平行：111222A B C A B C =≠ 12:l l 与相交1122A BA B ≠12l l 与垂直: 12120A A B B += 12l l 与重合：111222A B CA B C ==4、直线与圆的位置关系直线0Ax By C ++=与圆 222()()x a y b r -+-=的位置关系有三种：（1）若d =，0d r >⇔⇔∆<相离（2）0d r =⇔⇔∆=相切 （3）0d r <⇔⇔∆>相交5、两圆的位置关系设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为1212,,||r r OO d =121212121212||||0||d r r d r r r r d r r d r r d r r >+⇔=+⇔-<<+⇔=-⇔<<-⇔外离外切相交内切内含6、直线系（1）过定点的直线系，思想方法是分离变量 （2）平行（垂直）直线系：与直线0Ax By C ++=平行的直线系：'0(')Ax By C C C ++=≠与直线1x y a b +=平行的直线系：(1)x ya bλλ+=≠ 与直线0Ax By C ++=垂直的直线系：'0Bx Ay C -+=（3）过12,l l 交点的直线系（共点直线系）：111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=（不含2l ）（4）二元二次方程111222()()0A x B y C A x B y C ++++=表示两条直线1l ：111A x B y C ++=0和2l ：222A x B y C ++=07、对称问题（1）点(,)P x y 关于点（a,b ）的对称点是'(2,2)P a x b y --（2）直线0Ax By C ++=关于点（a,b ）的对称直线是(2)(2)0A a x B b y C -+-+= （3）点00(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点：利用垂直、中点解决。
必修二知识归纳3(解析几何)
必修二知识归纳3（解析几何）一．直线（一）直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角α的定义范围是∈α 2.直线的斜率：已知直线上两点),(,),(222111y x P y x P ，则当21x x =时，斜率 ； 当21x x ≠时，斜率=k （二）直线的方程1.点斜式： （不包括 的直线）2.斜截式： （不包括 的直线） 注：用点斜式和斜截式是要注意斜率是否存在3.两点式： （不包括 ， 直线）4.截距式： （不包括 ， ， 直线） 其中a 是直线与x 轴的交点的横坐标，称为直线在x 轴的上的截距；b 是直线与y 轴的交点的纵坐标，称为直线在y 轴的上的截距5.一般式： （A ，B 不全为0）注：（1）与x 轴平行或重合的直线只有在y 轴上的截距b ；与y 轴平行或重合的直线只有在x 轴上的截距a（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，则有①直线过原点；②斜率1-=k （3）若直线在两坐标轴上的截距之和为0，则有①直线过原点；②斜率1=k（4）若直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则有①直线过原点；②斜率1±=k （5）若直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，则有斜率1±=k （三）两直线的位置关系：重合、平行、相交1.若直线的斜率存在，设直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=，则 两直线的位置关系重合 平行 相交结论21k k ≠2．若直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ，则两直线的位置关系重合 平行 相交结论2121B B A A ≠ 注：与直线0=++C By Ax 平行的直线可以设为0=++m By Ax （四）两直线垂直1. 若直线的斜率存在，设直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=，则⇔⊥21l l 2．若直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ，则0212121=+⇔⊥B B A A l l 注：与直线0=++C By Ax 垂直的直线可以设为0=+-m Ay Bxαy x O（五）距离与中点 1. 若),(,),(222111y x P y x P ，则=21P P 线段21P P 的中点坐标是（六）点到直线的距离1. 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离=d注：①若Q 是直线l 上任意一点，则min )(PQ d = ②三角形的高可以看着点到直线的距离2.两平行线0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 间的距离=d 注：若P 是直线1l 上任意一点，Q 是直线2l 上任意一点，则min )(PQ d = （七）对称性： 1.关于点对称：点),(00y x P 关于点),(b a M 的对称点),(Q （即M 是线段PQ 的中点）2.关于直线l 对称：点),(00y x P 直线0:=++C By Ax l 关于对称点Q （即直线l 是线段PQ 的中垂线） 求法：设),(y x Q ，由①PQ l ⊥②上中点在线段l PQ 列出方程组，从而求得Q 的坐标 特别地：（1）点),(00y x P 关于x y l =:的对称点),(001x y Q（2）点),(00y x P 关于x y l -=:的对称点),(003x y Q --（八）典型例题 1.求直线的方程：（1）已知直线过一点，常设成 ，但要注意考虑斜率不存在的情况（2）已知直线斜率，常设成 2.证明三点C B A ,,共线法一：AC AB k k =；法二：点C 在直线AB 上3.证明四边形ABCD 是平行四边形法一：一组对边平行且相等；法二：两组对边分别平行；法三：两组对边分别相等； 法四：两条对角线的中点重合即对角线互相平分4.角平分线问题：①角平分线上任一点到两边的距离相等②一条边上任一点关于角平分线的对称点在另一条边上 5.中线问题：设点并利用中点公式二 圆（一）圆的方程1.定义：到定点C 的距离等于常数r 的点的轨迹2.圆的标准方程方程： (0)r >其中圆心为(,)a b , 半径为r 注：①圆心为(,)a b 且与x 轴相切的圆的半径=r ②圆心为(,)a b 且与y 轴相切的圆的半径=rCP MN ③圆心为(,)a b 且与两坐标轴圆相切的圆的半径=r3. 圆的一般方程： （ ） 其中圆心为（ ， ），半径F E D r 42122-+=注：①0422=-+F E D 时表示 ②当0422<-+F E D 时不表示任何图形（二）点与圆的位置关系：点在圆外、点在圆内、点在圆上位置关系点),(00y x P 在圆C 外点),(00y x P 在圆C 内PC 与r 的关系r PC >r PC <标准方程222()()x a y b r -+-=一般方程022=++++F Ey Dx y x0002020>++++F Ey Dx y x002020<++++F Ey Dx y x（三）直线与圆的位置关系：相交、相切、相离位置关系相离 相切 相交 圆心到直线的距离d 与半径的关系直线与圆的方程消元后所得一元二次方程的判别式∆1.直线与圆相切①若点),(00y x P 在圆222()()x a y b r -+-=上，切线只有1条且方程200))(())((r b y b y a x a x =--+--特别地：若点),(00y x P 在圆222r y x =+上，则切线只有一条，且方程为200r y y x x =+②若点),(00y x P 在圆C 222()()x a y b r -+-=外，则切线有两条，此时可以利用r d =求切线的方程（设切线方程是点斜式时注意对斜率 进行讨论。
完整版必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案
1．直线的倾斜角与斜率：x 轴订交的直线，若是把 x 轴绕着 （1 ）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 叫做 直线的倾斜角 .倾斜角[0,180 ) ,90 斜率不存在 .（2 ）直线的斜率：ky 2y 1( x 1 x 2 ), k tan ．（ P 1 ( x 1 , y 1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) ） .x 2 x 12．直线方程的五种形式：（ 1）点斜式： y y 1 k( x x 1 ) ( 直线 l 过点 P 1 ( x 1 , y 1 ) ，且斜率为 k )．注：当直线斜率不存在时，不能够用点斜式表示，此时方程为xx 0 ．（ 2）斜截式： ykx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).y y 1xx 1( y 1 y 2 ， x 1x 2 ).（ 3）两点式：y 1x 2 x 1y 2注：① 不能够表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线；② 方程形式为： (x 2 x 1 )( yy 1 ) ( y 2y 1 )( x x 1 )0 时，方程能够表示随意直线．（ 4）截距式：xy 1 （ a, b 分别为 x 轴 y 轴上的截距，且 a 0,b 0 ）．a b注：不能够表示与 x 轴垂直的直线， 也不能够表示与 y 轴垂直的直线， 特别是不能够表示过原点的直线．（ 5）一般式： Ax ByC 0(其中 A 、 B 不一样样时为 0)．一般式化为斜截式：yA x C，即，直线的斜率：kA ．BBB注：（ 1）已知直线纵截距b ，常设其方程为 ykx b 或 x0．已知直线横截距x 0 ，常设其方程为 x my x 0 ( 直线斜率 k 存在时， m 为 k 的倒数 )或 y 0 ．已知直线过点 (x 0 , y 0 ) ，常设其方程为 y k (x x 0 ) y 0 或 x x 0 ．（2）分析几何中研究两条直线地址关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩 可正，可负，也可为 0.（ 1）直线在两坐标轴上的截 距相等 直线的斜率为 或直线过原点．．．．． 1（ 2）直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点．．．．．．．．（ 3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为1 或直线过原点． ．．．．．．． 4．两条直线的平行和垂直 ：（ 1）若 l 1 : y k 1 x b 1 ， l 2 : y k 2 x b 2① l 1 // l 2k 1 k 2 , b 1 b 2 ；② l 1 l 2k 1k 21.（ 2）若 l 1 : A 1 x B 1 y C 10 ， l 2 : A 2 x B 2 y C 20 ，有① l 1 // l 2A 1B 2A 2B 1且 A 1C 2 A 2 C 1 ．② l 1l 2A 1 A 2B 1B 2 0．5．平面两点距离公式：( P 1 ( x 1 , y 1 ) 、 P 2 (x 2 , y 2 ) ) ， P 1 P 2(x 1x 2 )2 ( y 1 y 2 ) 2 ． x 轴上两点间距离：AB x B x A．x0x1x 22线段P1P2的中点是 M ( x0 , y0 ) ，则．y1y 2y 026．点到直线的距离公式：点P( x0 , y0 ) 到直线 l： Ax By C 0 的距离：d Ax0By0CA2 B 2．7．两平行直线间的距离：两条平行直线 l1： Ax By C1 0， l2： Ax By C 20 距离：dC1 C2A2．B2 8．直线系方程：（ 1）平行直线系方程：①直线 y kx b 中当斜率k必可是b变动时，表示平行直线系方程．．②与直线 l : Ax By C0 平行的直线可表示为Ax By C10 ．③过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax By C0平行的直线可表示为：A( x x0 ) B( y y0 ) 0 ．（ 2）垂直直线系方程：①与直线 l : Ax By C0 垂直的直线可表示为Bx Ay C10 ．②过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax By C0垂直的直线可表示为：B( x x0 ) A( y y0 ) 0 ．（ 3）定点直线系方程：①经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为y y0k(x x0 ) (除直线 x x0),其中 k 是待定的系数．②经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为A(x x0 )B( y y0 )0,其中 A,B是待定的系数．（ 4）共点直线系方程：经过两直线l1：A1x B1 y C10， l 2： A2 x B2 y C 20 交点的直线系方程为A1x B1 y C1( A2 x B2 y C 2 )0 (除l 2)，其中λ是待定的系数．9．曲线C1: f ( x, y) 0与 C2 : g (x, y)0 的交点坐标方程组 f ( x, y)0的解．g ( x, y)0 10．圆的方程：a)2( y b) 2r 2（r（ 1）圆的标准方程：( x0 ）．（ 2）圆的一般方程：x2y 2Dx Ey F0(D 2 E 24F0) ．（ 3）圆的直径式方程：若 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )，以线段 AB为直径的圆的方程是：( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0．注： (1) 在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是( D ,E) ， r1 D 2 E 24F ．（ 2）一般方程的特点：222① x 2和 y 2的系数相同且不为零；②没有 xy 项；③D2 E 24F0（ 3）二元二次方程 Ax 2BxyCy 2Dx Ey F 0 表示圆的等价条件是：①AC0；②B 0；③D 2E 2 4AF0 ．11．圆的弦长的求法：l ，弦心距为 d ，半径为 r ，（1）几何法：当直线和圆订交时，设弦长为则：“半弦长 2 +弦心距 2=半径 2”—— ( l)2d 2 r 2 ；（2）代数法：设2的斜率为 ， 与圆交点分别为 ( , ) ( , ) l k l y 1 x 2 y 2 ，则A x 1 ，B|AB|1 k 2| x Ax B | 11| y A y B |k2（其中 | x 1x 2 |,| y 1 y 2 |的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或 x ，利用韦达定理求解）12．点与圆的地址关系：点 P( x 0 , y 0 ) 与圆 ( x a)2( yb) 2 r 2 的地址关系有三种① P 在在圆外 dr( x 0a) 2 ( y 0 b) 2 r 2 ．② P 在在圆内 dr(x 0a) 2( y 0 b) 2 r 2 ．③P 在在圆上d r( x 0a) 2 ( y 0 b) 2r 2 ．【P 到圆心距离d( a x 0 )2 (b y 0 )2 】13．直线与圆的地址关系：0 与 圆 ( x a) 2( y b) 2r 2 的 位 置 关 系 有 三 种直 线 Ax By C( dAa Bb CA2B2):圆心到直线距离为 d ，由直线和圆联立方程组消去 x （或 y ）后，所得一元二次方程的鉴别式为．d r相离0； d r 相切0 ； d r 订交 0 ．14．两圆地址关系 : 设两圆圆心分别为 O 1 ,O 2 ，半径分别为 r 1 , r 2 ， O 1O 2 dd r 1 r 2 外离 4条公切线 ； d r 1 r 2 内含无公切线 ； dr 1 r 2外切3条公切线 ； dr 1 r 2内切1条公切线 ；r 1 r 2 d r 1 r 2订交 2条公切线 ．15．圆系方程： x 2 y 2 Dx Ey F 0( D 2 E 2 4F0)（ 1）过点 A( x 1, y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) 的圆系方程：(x x 1)( x x 2 ) ( y y 1 )( y y 2 )[( x x 1 )( y 1 y 2 ) ( y y 1 )(x 1x 2 )] 0( x x 1)( xx 2 ) ( y y 1)( y y 2 ) (ax by c) 0 , 其中 axby c0 是直线 AB 的方程．0 与圆 C : x 2y 2（2 ）过直线 l ： AxBy CDxEy F 0的交点的圆系方程：x 2 y 2 Dx Ey F( Ax ByC ) 0, λ是待定的系数．（3 ）过圆 C 1 : x 2y 2D 1xE 1 yF 1 0 与圆 C 2 : x 2y 2 D 2 x E 2 y F 2 0 的交点的圆系方程： x 2y 2 D 1 x E 1 yF 1(x 2y 2D 2 xE 2 yF 2 ) 0 , λ是待定的系数．特别地，当1时， x2y2D1 x E1 y F1(x2y2 D 2 x E2 y F2) 0就是( D1 D 2 )x ( E1E2 ) y (F1F2 )0 表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．16．圆的切线方程：（ 1）过圆x2y 2r 2上的点 P(x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x y0 y r 2．（ 2）过圆 ( x a)2( y b) 2r 2上的点P( x0, y0)的切线方程为: ( x a)( x0a)( y b)( y0b)r 2．（ 3）过圆x2y 2Dx Ey F0 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为:x0 x y0 y D ( x0x)E( y0y)F0 ．22(4)若 P( x0 ,y0)是圆 x2y 2r 2外一点,由P( x0,y0)向圆引两条切线,切点分别为A,B则直线 AB的方程为xx0yy0r 2(5)若 P(x0,y0)是圆 ( x a) 2( y b)2r 2外一点,由P( x0,y0)向圆引两条切线,切点分别为 A,B 则直线 AB的方程为(x0a)( x a)( y0b)( y b)r 2（ 6）当点P( x0, y0)在圆外时，可设切方程为y y0k( x x0 ) ，利用圆心到直线距离等于半径，即 d r ，求出 k ；或利用0，求出 k ．若求得 k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线 x x0．17．把两圆x2y 2D1 x E1 y F10 与 x 2y2 D 2 x E2 y F20方程相减即得订交弦所在直线方程:(D1 D 2 ) x( E1E2 ) y( F1F2 )0．18．空间两点间的距离公式 :若 A ( x1, y1, z1)， B ( x2, y2, z2)，则 AB(x2x1 )2(y2y1)2 ( z2 z1 )2一、选择题1．已知点A(1,2), B(3,1)，则线段 AB 的垂直均分线的方程是（）A ．4 x 2 y 5B．4x 2 y 5C．x 2 y 5D．x 2y 52．若A(1, m) 三点共线则 m 的值为（）2,3), B(3, 2), C (Ａ．112Ｂ．Ｃ． 2Ｄ． 2 2x y23．直线 1 在 y 轴上的截距是（）b2a2A ．b B．b2C．b2D．b4．直线kx y 1 3k ，当k变动时，所有直线都经过定点（）A ．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)5．直线x cos y sin a0 与 x sin y cos b 0 的地址关系是（）A ．平行B．垂直C．斜交D．与a,b,的值相关6．两直线3x y 3 0 与 6x my 1 0 平行，则它们之间的距离为（）A ．4B．213 C ．513 D ．7101326207．已知点A(2,3), B( 3,2) ，若直线l过点 P(1,1)与线段 AB 订交，则直线l的斜率 k 的取值范围是（）33k 23D．k 2A ．k B． C ．k 2或k444二、填空题1．方程x y 1 所表示的图形的面积为_________。
(完整word版)高中数学必修2《解析几何》常用公式结论
高中数学必修21、直线的倾斜角与斜率：tan k α=，当α∈[0°,90°）时，斜率k ∈[0，+∞）；当α∈（90°,180°）时，斜率k ∈（－∞，0）。
过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线斜率公式：2121y y k x x -=-.2、直线的五种方程：⑴点斜式：00()y y k x x -=- (直线l 过点00(,)P x y ，且斜率为k )．⑵斜截式：y kx b =+(k 为直线的斜率，b 为直线l 在y 轴上的截距).⑶两点式：112121y y x x y y x x --=-- (12y y ≠且12x x ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y ).⑷截距式：1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，且0a b ≠、)⑸一般式：0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3、两条直线平行和垂直的等价关系：(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则①121212||,l l k k b b ⇔=≠②12l l ⊥(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2①11112122112212220A B C l ||l A B A B C C A B C ⇔=≠-=≠或且B B ；②121l l A ⊥⇔4、五种常用直线系方程：⑴斜率为k 的直线系方程为：y kx b =+（k 为常数，b 为参数；）.⑵过定点()00,M x y 的直线系方程为：()00y y k x x -=-及0x x =⑶与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（C λ≠）⑷与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+=（λ⑸过直线1111A B C 0l x y ++=：和2222A B C 0l x y ++=：()()111222A B C A B C 0x y x y λ+++++=（不含2l）（λ为参数） 5、两点间距离公式：12PP ｜111(,)P x y 、特别的：点(,)P x y 到坐标原点(0,0)O 的距离为：||OP=6、点到直线的距离公式：d =(点00(,)P x y ，直线l ：Ax By++7、两条平行直线间的距离公式：d =(直线1l ：10Ax By C ++=，2l ：8、光的反射定律：。
高中必修二解析几何公式
一 四种常用直线系方程 (1)(1)定点直线系方程：经过定点定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．是待定的系数．(2)(2)共点直线系方程：共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C l +++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．是待定的系数．(3)(3)平行直线系方程：直线平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By l ++=(0l ¹)，λ是参变量．参变量．(4)(4)垂直直线系方程：与直线垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A (A≠≠0，B ≠0)0)垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是0Bx Ay l -+=,λ是参变量．是参变量．二 点到直线的距离0022||Ax By C d A B++=+(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 三 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：所表示的平面区域是： 若0B ¹，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.四 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ¹），则，则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分所表示的平面区域上下两部分. .五 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程）圆的参数方程 cos sin x a r y b r qq =+ìí=+î.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).六 圆系方程(1)(1)过点过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x l --+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c l Û--+--+++=,其中0a x b y c ++=是直线AB 的方程的方程,,λ是待定的系数．是待定的系数． (2)(2)过直线过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C l +++++++=,λ是待定的系数．是待定的系数．(3) (3) 过圆过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F l +++++++++=,λ是待定的系数．系数．七 点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种的位置关系有三种若2200()()d a x b y =-+-，则，则d r >Û点P 在圆外在圆外;;d r =Û点P 在圆上在圆上;;d r <Û点P 在圆内在圆内. .八 直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种的位置关系有三种: :0<D ÛÛ>相离r d ;0=D ÛÛ=相切r d ;0>D ÛÛ<相交r d .其中22BA CBb Aa d +++=. 九 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，dO O =21条公切线外离421ÛÛ+>r r d ;条公切线外切321ÛÛ+=r r d ;条公切线相交22121ÛÛ+<<-r r d r r ;条公切线内切121ÛÛ-=r r d ;无公切线内含ÛÛ-<<210r r d .十 圆的切线方程(1)(1)已知圆已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=. 当00(,)x y 圆外时圆外时, , 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．轴的切线． ③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．，必有两条切线．(2)(2)已知圆已知圆222222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2200x x y y r +=; ②斜率为k 的圆的切线方程为21y kx r k =±+.。
高中数学 必修二 解析几何考点分析总结
高中数学必修二解析几何考点分析总结考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况： 由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0rb y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切； （2）几何方法如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，222)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=d与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
例1 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18)答案C 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k ＋2k |k 2＋1<1，∴－24<k <24.例2 圆(x －3)2+(y －3)2=9上到直线3x +4y －11=0的距离为1的点有几个？ 解析：圆(x －3)2+(y －3)2=9的圆心为O 1(3，3)，半径r =3， 设圆心O 1(3，3)到直线3x +4y －11=0的距离为d ，则d23=<如图1，在圆心O 1的同侧，与直线3x +4y －11=0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又r －d =3－2=1，所以与直线3x +4y －11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。
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直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.3．直线方程1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.基础练习1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 的值是________．2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．3．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．4．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．例一：1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________．2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π则k 的取值范围是________．3．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．4．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．5．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．6．函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________．例2：根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.（3）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.(4)过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．(5)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． [变式训练]经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是________．例3：与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.例4：直线方程与平面向量的综合已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原MB取得最小值时，直线l的方程．点．求当|MA·||第二节两直线的位置关系1．两直线的位置关系2(1)两点间的距离：平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式 d (A ，B )＝|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (2)点到直线的距离：点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[基础练习]1．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 2．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．3．已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．4．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.5．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．[典例]已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|P A|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.与直线7x＋24y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是__________________．对称问题角度一点关于点的对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．角度二点关于线对称2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A关于直线l的对称点A′的坐标．角度三线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．角度四对称问题的应用4．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．巩固练习1．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝________.2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．3. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．4．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．课后练习1．若直线l1：x＋2y－4＝0与l2：mx＋(2－m)y－1＝0平行，则实数m＝________.2．已知直线l经过点P(2,1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则直线l的方程是________．3. 已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为________．4．若直线y＝kx＋1与直线2x＋y－4＝0垂直，则k＝________.5. 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|P A|＝|PB|，若直线P A的方程为x －y＋1＝0，则直线PB的方程是________．7．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(－3，－4)．若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝10，则点C的坐标是________．9．过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程是________．圆的方程（1）[学习要求]1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径； 3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程． [知识梳理]1. 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程： .2. 圆心在原点(0,0)，半径为r 时，圆的方程则为： ；3. 单位圆： ；其方程为： ． [例题解析]例1：（1）写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M -，(5,1)N -是否在这个圆上；（2）求圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程．例2：（1）求以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的圆的方程； （2）已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，求以线段PQ 为直径的圆的方程． （3）过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是例3：已知隧道的截面是半径为4m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出半圆的方程，对应求出当3x =时的值，比较得出结论．例4：设圆满足(1)y 轴截圆所得弦长为2.(2)被x 轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l :x －2y =0的距离最小的圆的方程．[随堂练习]1.圆的方程：（1）圆心在原点，半径为6； （2）经过点(6,3)P ，圆心为(2,2)C -．2．已知圆的方程为222()()x a y b r -+-=(0)r >，确定下述情况下,,a b r 应满足的条件：（1）圆心在y 轴上： ； （2）圆与x 轴相切： ； （3）圆心在直线310x y +-=上：_________．3. 圆的内接正方形相对的两个顶点为(5,6)A ，(3,4)C -，求该圆的方程．4．求过两点(0,4)A ，(4,6)B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程．圆的方程（2）[学习要求]1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．[知识梳理]1．以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程： ．2.将222()()x a y b r -+-=展开得： ．3.形如220x y Dx Ey F ++++=的都表示圆吗？ ．（1）当2240D E F +->时，方程表示以 为圆心， 为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，方程表示 ；（3）当2240D E F +-<时， ；4．圆的一般方程： ．注意：对于圆的一般方程特点（1）2x 和2y 的系数相等，且都不为0（通常都化为1）；（2）没有xy 这样的二次项；（3）表示圆的前提条件： 2240D E F +->，通常情况下先配方配成22()()x a y b m -+-=，通过观察m 与0的关系，观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件2240D E F +->．[例题解析]例1：求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程．例2：设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。