必修二解析几何

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角

(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：

经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2

x 1－x 2.

3．直线方程

1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．

2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．

3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B

.

基础练习

1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 的值是________．

2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．

3．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．

4．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．

例一：1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________．

2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫

2π3，π则k 的取值范围是________．

3．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．

4．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．

5．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．

6．函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π

4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为

________．

例2：根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为

1010

； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.

（3）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：

(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为1

6.

(4)过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．

(5)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．

(1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣

⎡⎦

⎤－

33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． [变式训练]

经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是________．

例3：与基本不等式相结合求最值问题

1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：

(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．

2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

例4：直线方程与平面向量的综合

已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原MB取得最小值时，直线l的方程．

点．求当|MA·||

第二节两直线的位置关系

1．两直线的位置关系

2(1)两点间的距离：

平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式 d (A ，B )＝|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (2)点到直线的距离：

点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |

A 2＋

B 2.

(3)两条平行线间的距离：

两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2

.

[基础练习]

1．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 2．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．

3．已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．

4．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.

5．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．

[典例]已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|P A|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.

与直线7x＋24y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是

__________________．

对称问题

角度一点关于点的对称

1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

角度二点关于线对称

2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A关于直线l的对称点A′的坐标．

角度三线关于线对称

3．在[角度二]的条件下，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．