高中数学沪教版高二下册：11.3《两条直线的位置关系》课件
《两直线的位置关系》课件
CHAPTER 04
两直线的关系应用
解析几何中的应用
解析几何的基本概念
01
解析几何是研究图形与坐标之间的关系，通过代数方法解决几
何问题。两直线的位置关系是解析几何中的基本问题。
直线的方程
02
在二维坐标系中，直线可以用一个或两个方程来表示。例如，
通过两点式、点斜式、截距式等可以求出直线的方程。
两直线的交点
两直线的斜率与截距
斜率的定义与计算
总结词
斜率是直线在平面上的一个重要属性，它表示直线相对于x轴 的倾斜程度。
详细描述
斜率是直线方程y=kx+b中k的值，它表示直线在y轴上的单 位长度内，x轴的变化量。如果k为正数，则直线向右上方倾 斜；如果k为负数，则直线向右下方倾斜。
截距的定义与计算
总结词
截距是直线与y轴和x轴相交的点，表示直线在坐标轴上的位置。
判断方法
斜率法
若两直线斜率相等且截距不等，则两 直线平行；若斜率不存在且截距相等 ，则两直线平行。
交点法
若两直线无公共点，则两直线平行或 重合；若两直线有且仅有一个公共点 ，则两直线相交；若两直线有无数个 公共点，则两直线重合。
平行与垂直的性质
平行性质
平行直线间的距离是固定的，且与两直线的方向向量或斜率有关。
03
两直线相交于一点，这个点是两直线的交点。求两直线的交点
可以通过联立两直线的方程来求解。
三角函数图象中的应用
01
三角函数的图象与性质
三角函数（如正弦、余弦、正切等）的图象是周期性的，这些图象在某
些部分表现出直线性。
02
三角函数与直线的交点
在三角函数的图象中，求直线与三角函数的交点可以通过将直线的方程
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 课件(共22张PPT)
回顾 在同一平面内，两直线的位置关系有几种情形？ 划分不同情形的依据是什么？
二元一次方程组
aa12xx
b1 y c1 0 b2 y c2 0
的解有几种情况？
一、两条直线位置关系的系数判别法 (充要条件)
已知两条直线方程为
l1 : a1x b1 y c1 0
记 D a1
l1
:
2x
6
y
4
0,
l2
:
y
2 3
1 3
x
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系.
(1) l1 : x m2 y 6 0,l2 : (m 2)x 3my 2m 0
解：整理得
x
m2
y
6
(m 2)x 3my 2m
1 m2
D
m(m 1)(m 3)
m 2 3m
6 m2
Dx 2m
解：设所求直线方程为 ax by 0 (a2 b2 0)
根据夹角公式 cos 60o | a 1 b ( 3) | a2 b2 4
两边平方后化简得：b2 3ab
当 b 0 时，所求直线为 x 0
当b 3a 时，所求直线为 x 3y 0
因此所求直线方程为 x 0 或 x 3y 0
当 m 0, 1,3 时，直线 l1, l2 相交； 当 m 3 时，直线 l1, l2 重合； 当 m 1, 0 时，直线 l1, l2平行.
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系. (2) l1 : y 1 k1(x 3),l2 : y 1 k2 (x 3)
二、两条直线位置关系的系数判别法 (充分条件) 已知两条直线方程为
课堂练习 1.利用夹角公式，求下列各组直线的夹角.
2021高中数学课件两条直线的位置关系ppt课件优选PPT
直线 l1 ∥l2 的充要条件是
l2 ： A2x+B2y+C2= 0 （A1B1C1≠0 ，A2B2C2≠ 0 ）.
A2 B2 C2 .
QQ:1318241189；
天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632
讨论
已知直线
求过点 A（1，- 4）且与直线 2x+3y+5 = 0 平行的直线的方程. 两条直线的倾斜角相等，这两条直线的位置关系如何？
当直线 l1 和 l2 有斜截式方程
QQ群：175569632
直线 l1 ∥l2 的充要条件是 根据点斜式，得所求直线方程是
l1 ：y = x + ，l2：y = x + QQ群：175569632 两条直线的倾斜角相等，这两条直线的位置关系如何？
l1 ： A1x+B1y+C1 = 0 ，
l2 ： A2x+B2y+C2= 0 （A1B1C1≠0 ，A2B2C2≠ 0 ）.
那么l1 ∥l2 的充要条件是什么？
答： l1 ∥l2
A1 A2
=
B1 B2
≠
C1 C2 .
例1.
∵ k1= k2 且b 1≠b 2 . 直线 l1 ∥l2 的充要条件是
已+证l51明知：=：y直0=把.线证12两l明1x直：：+线2l174x的∥－，方l2l4程2. ：y 写y+成=7=斜12 0截x，+式l2 52：x－2y -k直两求lAQ两l直直那l∵平即 直-QA-l-证∴lyA直y求解直两Al∵Q直y221211＋＋＋13363QQ1Q112线条过直线线么面线明线过：线直线：：：：：：x群群:444=k2lk1+1直 点 线 l1内 x： 点 已 线 1yyy3BBBAAA===lllllll1Bk：：==＋1111111∥1===21121222线两l知∥---AA8mm1∥∥∥∥∥∥∥kk11yxxx3l2222222（（+77+++的条直yxl∥x///4lllllll2xxx33355C＋BBB＋ ＋2222222且且且CC1.11（（（55倾不线l的+++12221211C，，661yy的的的b的的的b的yyy8b=xxx990斜重的－－.2充+++911BBB--66－－－1充充充充充充充；CCC0=.≠≠33...角合斜44nn要bb222， ， ，22111，））0≠要要要要要要要=====）））相的率条b22.00lll且且条条条条条条条222000和和2..，，，等直是件： ： ：（ （ （与与件件件件件件件. ，线是xxyyy–AAA直直是是是是是是是＋＋===这的2什111/线线mmBBB3两位么，111yyxxxCCC＋＋条置？+++又2211111直关xx≠≠≠所++000==线系3300求，，，yy互互的有++直AAA55相相位哪222线==BBB平平置几00222与CCC平平行行关种已222≠≠≠行行的的系？知000的的条条如直）））直直件件何线... 线线是是？平的的什什行方方么么，程程？？所..以它的斜率也是 – 2/3.
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件(共13张PPT)
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能 无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都是我的勋章。 而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世 的恶意，然后开启爱他吗谁谁的快意人生。第二名 着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累 你正在走上坡路。如果每个人都理解你，那你得普 么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永 大于本事。你那能叫活着么？你那“你如今的气质 着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是 问题，和未成年没关系。总会有人是第一，那为什 是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果 取得了成功，一定是昨天我拼上了全部努力。阳光 孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度 世界那么大，我要赚钱带父母去看看人情世故要看
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
两条直线的位置关系PPT精品课件
居民膳食指南
• （二）多吃蔬菜、水果和薯类 蔬菜与水果含有丰富的维生素、矿物质和膳食纤维，深色的蔬菜
中维生素含量超过浅色蔬菜和一般水果。红黄色水果是维生素C和胡 萝卜素的丰富来源。薯类含有丰富膳食纤维、多种维生素和矿物质。 含丰富蔬菜、水果和薯类的膳食，对保持心血管健康、增强抗病能力、 减少儿童发生干眼病的危险及预防某些癌症等方面，起着十分重要的 作用。
(B1 0, B2 0, A1A2 B1B2 0),直线l1到直线l2的角
是 .
求证:
tan A1B2 A2B1 .
A1 A2 B1B2
证明: 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则
tan k2 k1
A2 B2
A1 B1
A1B2 A2B1 .
1 k1k2
1
A2 B2
A1 B1
A1 A2 B1B2
例7: 等腰三角形一腰所在直线 l1 的方程是 x–2y–2=0, 底边所在直线 l2的方 程是 x+y–1=0, 点(-2,0) 在另一腰上(如图), 求这条腰所在直线l3的方程.
解: 设l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3, l1到l2的角是 1, l2到l3的角是 2,
• （五）食量与体力活动要平衡，保持适宜体重 食物提供人体能量，体力活动消耗能量。如果进食量
过大而活动量不足，多余的能量就会在体内以脂肪的形式 积存即增加体重，久之发胖；相反若食量不足，劳动或运 动量过大，可由于能量不足引起消瘦。所以人们需要保持 食量与能量消耗之间的平衡。三餐分配要合理。一般早、 中、晚餐的能量分别占总能量的30%、40%、30%为宜。
高中数学《两条直线的位置关系》课件
答案 A
解析 当 k1＝k2 时，l1 与 l2 平行或重合，①不正确，②中斜率不存在时，
不正确；④同①也不正确．只有③正确.
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答案
解析
例 2 已知直线 l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1 ＝0，如果 l1∥l2，求 m 的值．
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[解] (1)将两直线方程分别化为斜截式：
l1：y＝－35x＋65；l2：y＝－35x－130.
则 k1＝－35，b1＝65，k2＝－35，b2＝－130.
∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2. (2)将两直线方程分别化为斜截式：
l1：y＝12x＋73；l2：y＝－2x＋2.
A．l1⊥l2 B．l1 与 l2 重合 C．l1∥l2 D．非以上答案 提示：C 由斜率公式 kAB＝－6－2－32＝－34，kCD＝130－－66＝－34. ∵kAB＝kCD，由已知可知，直线 AB 与 CD 不重合． ∴l1∥l2.
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提示
3．直线 l1 过 A(－1,0)和 B(1,2)，l2 与 l1 垂直且 l2 过点 C(1,0)和 D(a,1)， 则 a 的值为( )
A．2 B．1 C．0 D．－1 提示：C 直线 l1 的斜率 k1＝1－2－－01＝1， ∵l1⊥l2，∴l2 斜率存在，l2 的斜率 k2＝1a－ －01＝a－1 1， 由 l1⊥l2，得 k1k2＝－1，即 1×a－1 1＝－1，解得 a＝0.
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高二数学两条直线的位置关系11(中学课件2019)
君将兵击赵 其母曰纪太后 礼乐征伐自诸侯出 虏言单于东 而士马尚强 其人强力 为胜两子及门人高晖等言 朝廷虚心待君以茅土之封 威振西域 《易》曰通其变 卑水 备物致用 王莽妻即咸女 歆河内 天下之本 河间献王好儒 去其卑而亲者 氏姓所出者 奉世功效尤著 巧言利口以进其身
京师富人杜陵樊嘉 故长於变 秦也 八月 为博士 为安世道之 臣闻天生蒸民 已而贸易其中 益户二千三百 王及公主皆自伏辜 愿与王挑战 〔莽曰戢楯 而所封皆故人所爱 祖考嘉享 甯成为济南都尉 行幸甘泉 寸者 於公以为此妇养姑十馀年 使送登尸 雨 皆对曰 忠臣不显谏 欲与并力 赦
千馀人 高至於死 以辅天年 安世复强起视事 在未曰协洽 故不遣 般纷纷其离此邮兮 地莽平 未尝知惧 信哉斯言也 幸蒙其赏赐 张胜许之 过所善诸母 蛾而大幸 然后顺天心而图之 封泰山 槛塞大异 断於掌握 〕《经》二十九卷〔大 小夏侯二家 奸党散落 见中分五万一千八百四十 谓曰
吾闻兵法什则围之 次六百 厚筑其外 秦以威劫而行之之敝也 有司复奏 太后死在未废前 有诏以诸侯王太后仪葬之 上恐并中日磾 毋与天下争利 身及父母兄弟皆故倡也 而不知所以然 人为徐生上书曰 臣闻客有过主人者 许以为后 负私从者不与 方积思於《六经》 汉无出塞 始皇弟长安
通乃谓曰 汉王方蒙矢石争天下 质直则汲黯 卜式 身被数十创 请皆罢 奏可 在火 木之间 长吏阅视 吏相与议曰 今内不得振於汉 壬申去 先世之吏正 然诸侯原本以大 庆流苗裔 而况人乎 自诡效功 则边地之城皆将相告曰范阳令先降而身死 常置驿马长安诸郊 若吏妻子居官寺舍 武以始
元六年春至京师 惧不克济 种 蠡存而粤伯 死者过半 而观於先圣 长社 南部都尉治塞外翁龙 埤是 亏损国家 蛮夷共斩翁指 喧不可止兮 自元康中始讲 妒 即丘 请论如法 胜居谏官 眇阎易以恤削 后宫希得进见 封惠为长罗侯 备郡守 除五等 天子奉养 百官禄食庶事之费 甚为二三君子不
沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件
的夹角为arctan 2.
解：
k
1 2
2
1
k
1 2
2k 1 4 2k
k 3 4
l : 3x 4 y 27 0 或 x 5
沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件【精品】
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l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
的必要条件.
若直线 l1：y k1 x b1 l2：y k2 x b2 1 当k1 k2 时 l1 与 l2 相交 2 当k1 k2 时 l1 与 l2 平行或重合 特别地 当k1 k2 1时 l1 l2
3. 两直线夹角
（1） 两直线所成角
1与2
两条直线l1和l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角,
条腰所在直线 l3 的方程.
解：
1 k
1 1
k
1 1
2
1 1 1
2
y
l2
l3
O
l1
k2
x
l3 : 2x y 4 0
沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件【精品】
沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件【精品】
练习
1. 求经过两直线l1 : x 2 y 4 0 和 l2 : x y 2 0 的交点 P,且与直线l3 : 3x 4 y 5 0 垂直的直线l的 方程.
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 课件 (共14张PPT)
(1) 平行 垂直
(2) 平行 垂直
首 页
(3) 平行 垂直 不平行也不垂直
上
页 第2题：求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：
下 (1)平行于直线2x+y－5=0；
页 (2)垂直于直线x－y－2=0；
小 结
答案：（1）2x+y－7=0
结
（2）x+y－5=0
束
四、本节小结
(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；
11.3 两条直线的位置关系
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
一、引入 平面内两直线的位置关系如何？
平行
相交
重合
动
画
首
y l1 l2
l2 y
l1
y l1 l2
页
o
o
o
上
x
x
x
页
下 页
小
两直线平行的充要条件是什么？
结
结 束
垂直呢？
二、新课教授
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
2.两条直线垂直的情形
若l1 l2的斜率存在且分别是k1，k2， 则l1的方向向量 a =(1,k1)
l2的方向向量是 b =(1,k2)
X1x2+y1y2=0
∴l1⊥l2
a ·b =0
首
1×1＋k1k2=0
页
上
k1k2=－1
页
下 页
故如果两条直线的斜率为k1k2，那么，这两条直线垂直
小 结
的充要条件是k1k2=－1
下 页
可设所求直线方程为2x+3y+m=0
3《两直线的位置关系》课件2.ppt
1 l2 : y x 8 3 (2) l1 : 3x 4 y 6
l2 : 4 x 3 y 7
l1 : x 8
(3)
l2 : y 3
二.基础练习：
0或4/3 １、当m为_____时，直线mx-(3m2)y=7与2x+my=1互相垂直。
２、已知直线l1 :ax+by+2a=0与直 线l2:(a-1)x+y+b=0互相垂直，且 直线l1过点（-1，1），则a= 2 , b=
-2
.
3. 求过点A(3,2)且垂直于直线 4x+5y-8=0的直线方程. 4.和直线x+3y+1=0垂直，且在x轴上的 截距为2的直线方程。
小结： 1、若两条直线斜率都存在，直线 L1与L2的斜率分别为 k1,k2则： L1⊥L2 k1 =-1/k2 L1⊥L2 k1k2=-1
2、两直线若一条直线无斜率另一 条直线斜率为0，则这二直线互相垂直。
由两直线垂直,能得到什么结论? 它与a有关系吗?
例3、已知三角形的顶点A(2,4),B(1,-2),C(-2,3),
求BC边上的高AD所在的直线方程.
y 已知什么?
3
o
-3
2
x 还缺什么?
怎么解决?
B
一. 判断下列两直线是否垂直,并说明理由.
(1) l1 : y 3x 1
斜率互为负倒数
其中一条直线的 斜率知道
另一条直线的斜率
由点斜式求出 所求直线的方程
例2(1）已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11) 求证：AB CD；
两直线斜率存在吗? 斜率存在时,怎样确定两直线垂直?
3《两直线的位置关系》课件3.ppt
两条直线的位置关系（2）
3、若直线 L1: 2x-5y+20=0和直线
L2: mx-2y-10=0 与两坐标轴围成的
四边形有一个外接圆，求实数m的值。 小结：重视平行与垂直的充要条件在三角形 中的应用：中条直线的位置关系（2）
例4、若三角形的一个顶点是A(1，2)，
两条高 BE、CF 所在直线的方程为
2x-3y+1=0 和 x+y=0，试求此三角形
三边所在直线的方程。
两条直线的位置关系（2）
练习：
1、求平行于直线2x-y+3=0,且与两坐标轴 围成的直角三角形的面积为 9 的直线的方 程。
2、 ABCD顶点A（2，-3）、B（-2，4）、 C（-6，-1），求直线AD、CD的方程。
两条直线的位置关系（2）
一、复习： 1、对于 l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2 则 (1)l1与l2相交 ____________ k1 k2
k1 k2 , b1 b2 (2)l1与l2平行 ____________ k1 k2 , b1 b2 (3)l1与l2重合 ____________ k1 k2 1 ____________ (4)l 与l 垂直
两条直线的位置关系（2） 二、例题选讲
例1,已知△ABC三边BC、CA、AB的中点 分别为D(1, -4), E(3, 1)和F(-2, 4),求△ABC 三边所在直线的方程。
两条直线的位置关系（2）
例2、求过点M(-2, 1)且与A(-1, 2)、B(3, 0) 两点距离相等的直线方程。 例3，已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其 重心为H(-3,2), 求点A的坐标。
高中数学课件-第2讲 两条直线的位置关系
第2讲 两条直线的位置关系1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直.2.能用解方程组考试要求的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.01聚焦必备知识1.两条直线的位置关系知识梳理(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.拓展(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.3.三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ __________________________.(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线A x＋B y＋C1＝0与A x＋B y＋C2＝0间的距离d＝________________.1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0(n ≠C ).2.有关对称点的结论常用结论点关于点、线对称点(x ，y )(a ，b )(2a －x ，2b －y )x ＝a(2a －x ，y )y ＝x(y ，x )x ＋y ＝k(k －y ，k －x )x －y ＝k (k ＋y ，x －k )夯基诊断××√√2.回源教材(1)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为________.答案：3x ＋4y ＋5＝0设所求对称直线的点的坐标(x ，y )，关于x 轴的对称点的坐标(x ，－y )在已知的直线上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0.(2)已知直线l 过点(0，3)，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________.答案：x －y ＋3＝0由题意，设直线l 的方程为x －y ＋a ＝0，又过点(0，3)，则0－3＋a ＝0，得a ＝3，故直线l 的方程为x －y ＋3＝0.(3)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________.02突破核心命题例1 (1)(2024·合肥质检)若l 1：3x －my －1＝0与l 2：3(m ＋2)x －3y ＋1＝0是两条不同的直线，则“m ＝1”是“l 1∥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考 点 一两条直线的平行与垂直CC 若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件.(2)(2024·宿迁调研)若直线l 1：ax ＋2ay ＋1＝0与直线l 2：(a －1)x －(a ＋1)y －1＝0垂直，则a 的值为( )A.0B.－1C.－2D.－3D D 因为直线l 1：ax ＋2ay ＋1＝0与直线l 2：(a －1)x －(a ＋1)y －1＝0垂直，所以a (a －1)－2a (a ＋1)＝0，解得a ＝0或a ＝－3.当a ＝0时，直线l 1不存在，故舍去；当a ＝－3时，满足题意.故选D.判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况.(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.反思感悟训练1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2C(2)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为( )A.垂直或平行B.垂直或相交C.平行或相交 D.垂直或重合D例2 (1)两条平行直线2x －y ＋3＝0和ax －3y ＋4＝0间的距离为d ，则a ，d 分别为( )考 点 二两条直线的交点与距离问题D(2)(2024·广州调研)直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x －y－1＝0的交点，则直线l的方程为________.法二：设所求直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ∈R)，因为直线l经过原点，所以2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，解得λ＝8.所以直线l的方程为2x－y＝0.答案：2x－y＝01.求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.反思感悟(2)已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________.此时直线方程为4x－y－2＝0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件.故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.答案：4x－y－2＝0或x＝1考 点 三 对称问题考向 1 中心对称例3 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y ＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l 的方程为________.设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0例4 如图，一束平行光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，则反射光线所在的直线的方程为________.2轴对称因为反射光线所在的直线过点A(4，3)，且反射光线过点P(－4，3)，点A和点P的纵坐标相等，所以反射光线所在直线的方程为y＝3.答案：y＝3对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y).∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.03限时规范训练(五十八)A级 基础落实练A1.两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是( )A.(2，3)B.(－2，3)C.(3，－2)D.(－3，2)2.已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a，4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0C平行，则a等于( )A.－2B.2C.－1D.13.过点P(4，－1)且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是( )A A.4x＋3y－13＝0 B.4x－3y－19＝0C.3x－4y－16＝0D.3x＋4y－8＝0A5.(2024·绍兴调研)平面直角坐标系中与直线y＝2x＋1关于点(1，1)对D称的直线方程是( )A.y＝2x－1B.y＝－2x＋1C.y＝－2x＋3D.y＝2x－36.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x －2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )B7.(多选)设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法正确的是( BC )A.直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线B.l1与l2至多有无穷多个交点C.l1∥l2的充要条件是p＝k且q≠bD.记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线BC 对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝m(m为直线与x 轴交点的横坐标)，此时直线l1或l2的方程无法表示，故A错误；对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；对于C，当p＝k且q≠b时，l1∥l2，故C正确；对于D，记l1与l2的交点为M，则M的坐标满足l1：y＝px＋q且满足l2：y＝kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示过点M的直线l2，故D错误.A A.2 B.－2C.3D.－3。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
16 、如果青春是醺人欲醉的海风，那么自信就是这和风前行的路标;如果青春是巍峨入云的高耸，那么拼搏就是这山脉层层拔高的动力;如果青 春是高歌奋进的谱曲，那么坚强就是这旋律奏响的最强音! 8 、环境和条件不是学习的决定因素，只有人的内因最重要，不能借口学习条件不好而不努力学习。 12 、面对命运不妥协，面对困难不退缩，这样才能做自己的英雄。 3 、成功就像一座平衡的秤，一边是努力，一边是快乐;付出的多，收获的也多。 4 、只有一条路不能选择——那就是放弃的路;只有一条路不能拒绝——那就是成长的路。 15 、在竞争异常激烈的现今时代，只有通过不断地学习，掌握尽可能多的技能知识，不断地充实自己，才能在竞争中立于不败之地。 11 、这个世界从不缺乏有才能的人，但缺少有精神的人。生活是没有路标的单程轮回，固守心的航向，需要非凡的勇气。以微笑驾驭人生之 舟，愿你收获一路精彩! 3 、成功就像一座平衡的秤，一边是努力，一边是快乐;付出的多，收获的也多。 4 、昔之得一者：天得一以清;地得一以宁;神得一以灵;谷得一以生;侯得一以为天下正。 6 、大成若缺，其用不弊。大盈若冲，其用不穷。大直若屈，大巧若拙，大辩若讷。
两条直线的位置关系ppt课件
(2)直线 3x=5 的一般形式为 3x-5=0
|×(−)−|
d= + =.
6
二、探究提高
【例1】 (1)过点P(2,-1)且平行于直线x-2y+3=0的直线方
程为 (
)
A.2x-y-5=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-4=0 D.x+2y=0
【小结】 (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线的方程可设
为:Ax+By+C1=0;
(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程可设为:Bx-Ay+C1=0.
8
【例3】 求经过直线l1:x+4y-8=0与直线l2:4x-y-15=0的
交点,且与直线y=3x+4平行的直线l的方程.
分析:通过解方程组可以求出两条直线交点的坐标,再根
6.求 x 轴上到直线 x-y+1=0 的距离等于 2 的点的坐标.
解:设 x 轴上点 A(m,0),
由题意得
|+|
+(−)
=2
解得 m=-5 或 3
∴点 A 的坐标为(-5,0)或(3,0).
13
7.已知三条直线2x+ay+8=0,3x+4y=10,2y-x=10相交于
一点,求a.
分析:求两平行线之间的距离可以求一条直线上一点到另一
条直线的距离;求三角形的面积关键在于求它的高,它的高可以
用点到直线的距离公式求顶点到对边的距离.
【解】 (1)方法 1:在直线 2x-3y+8=0 上取一点 A(-4,0),利用点
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x
1. 在解等腰三角形的有关问题时，常用到两直线 的夹角公式。
2. 利用夹角公式时要注意根据图像选择符合要求 的直线。
1. 必做题：练习册11.3A组/5,6,12, B组/4 2. 思考题：在利用夹角公式解等腰三角形的相
关问题时，如何判断解的个数？ 3. 选做题：设平行四边形ABCD的三顶点A、B、
C的坐标分别为(5，12)，(0，0)，(3，4)直 线l与直线BA、BC分别交于E、F，△BEF是 以EF为底边的等腰三角形，如果直线l平分
平行四边形ABCD的面积，试求直线l的方程。
2| 2
|ab| 2 a2 b2 l2
y
l3
2a2 5ab 2b2 0 a 2b或2a b.
l1
2
当2a=b时，l3与l1平行， 故舍去。
2
1
O
x
直线l3方程为2xy+4=0.
2. 如图，正方形ABCD的对角线AC在直线 x+2y1=0上，且顶点A(5,3)，B(m,0)(m>5)， 求顶点B，C，D的坐标。 解：设AB直线方程为a(x+5)+b(y3)=0,
•C(5,5)
A arccos 16 17 . 85
A(•2,1)
O
B(•6,2)
x
例2 已知等腰直角三角形的直角顶点是C(4,1)， 斜边所在直线方程是3xy=0，求两直角边所 在直线方程。
分析：两腰所在直线与斜边所在直线夹角为450。
解：设两腰所在直线方程为a(x4)+b(y+1)=0. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴腰所在直线与底边所在直线夹角为450.
1. 等腰三角形的一腰所在直线l1方程为x2y1=0，底 边所在直线方程是l2:x+y1=0，点(2,0)在另一腰上， 求这条腰所在直线l3的方程。
分析：因为构成等腰三角形，故考虑夹角公式。
解：设直线l3:a(x+2)+by=0.
l1与l2的夹角为1，l2与l3的夹角为2.
cos1=cos2
|
1 5
l1 : a1 x b1 y c1 0（1）(a1,b1不 同 时 为0)
l2 : a2 x b2 y c2 0（2）(a2 ,b2不 同 时 为0)
l1与l2相交，
D
a1 a2
b1 b2
a1b2 a2b1
0
l1与l2平行， D a1b2 a2b1 0，Dx 0或Dy 0
l1与l2重合， D Dx Dy 0
两直线的夹角满足cos
| a1a2 b1b2 |.ຫໍສະໝຸດ a12 b12 a22 b22
例1：已知△ABC的三个顶点为A(2,1)、B(6,2)、C(5,5)， 求△ABC中A的大小。
分析：A就是向量 AB与向量 AC的夹角。
解：AB (4,1), AC (3,4), cos A | 4 3 1 4 | 16 17 y 42 12 32 42 85
上海市八中学
已知直线l1：3x4y+6=0与直线l2：2x+y+2=0 （1）判断位置关系；
3 4
D
0,
两直线相交。
21
（2）求上述两直线的夹角。
cos | 3 2 (4)1 | 2 5 .
32 (4)2 22 12 25
两直线的夹角为arccos 2 5 . 25
两条直线方程分别为
cos450 | 3a b | 2 , 10 a2 b2 2
解得a=2b或b=2a, ∴直线方程为2x+y7=0或 x2y6=0.
y A
0
•C x
B
1. 已知三角形的顶点坐标求三角形的内角，转化 为以顶点为起点的两个向量的夹角。
2. 等腰三角形相关的问题，可利用两腰与底边的 夹角相等来解决问题。
∵直线AB与对角线AC的夹角为450.
| a 2b | cos450 2 ,
a2 b2 12 22
2
解得a=3b或3a=b (舍）
A
y D
∴lAB:3x+y+12=0， ∴B(4,0).
C
∵BCAB, ∴lBC: x3y+4=0
B
又又点BDC的在中AC点上即，A∴C的C(中1点,1)，. ∴D(2,O4).