数学是研究和描述自然现象和社会现象客观规律的重要工.

第一章 函 数

数学是研究和描述自然现象和社会现象客观规律的重要工具。人们早就注意到事物的发展变化和影响发展变化的因素间的关系，并抽象成量与量之间的发展变化关系。17世纪上半叶，人们在研究物体运动问题时萌发了关于函数概念的认识，经过大约200年的努力，德国数学家狄利克雷（P.G.L.Dirichlet ，1805年—1859年）给出了函数的现代定义。在数学的庞大家族中，主要以函数为研究对象的数学分支有“微积分学”、“实变函数论”、“复变函数论”等；而函数思想方法作为一种基本的数学观念已渗透到数学、自然科学、经济科学和管理科学等各个领域。

函数是近代数学的基本概念之一，是微积分学研究的对象。高等数学就是以函数为主要研究对象的一门数学课程；其中极限是贯穿高等数学始终的一个重要概念，它是这门课程的基本推理工具；连续则是函数的一个重要性态，连续函数是高等数学研究的主要对象。

基本内容：基本概念：映射与函数概念；函数的图象与几何特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性）；基本初

等函数、初等函数、复合函数、分段函数以及反函数概念。

基本运算：函数的定义域；函数的四则运算及其复合运算；函数的图形变换等。

基本理论：对应法则。

具体应用：函数在具体问题中的应用。

本章重点：函数的概念，基本初等函数及定义域、图象、简单性质等

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1．掌握数集的定义及表示法，并能用邻域表示实数。

2．掌握实数绝对值的定义与简单性质，并能用不等式和绝对值表示实数的范围。

3．掌握函数的概念，重点是定义域、对应法则、值域环节。

4．理解并能熟记基本初等函数的定义、定义域、解析式、值域、图象和性质。

5．搞清楚复合函数的概念、复合与分解。侧重于分解。

6．了解分段函数的概念、反函数概念。

7．领会初等函数的概念，把握函数的特性。

一、知识梳理与链接

（一）基本概念

1．实数、绝对值、集合

① 实数

人们的实践活动总是要与数打交道，它是数学中最重要基本的对象。数可归纳为

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧虚数

无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数（自然数）整数有理数实数复数.. 【注】在高等数学中，所遇到的数基本上是实数。

② 绝对值

绝对值是表示数a 在数轴上的对应点到原点的距离，函数的定义域或区间范围及其邻域等往往用绝对值表示。

数a 的绝对值定义为 ⎩⎨

⎧<-≥=0,0,a a a a a

③邻域

【定义】以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记为)(a U

设δ是任一正数，则开区间),(δδ+-a a 就是点a 的一个邻域，这个邻域称为点a 的δ邻域，记作 ),(δa U ，即 }{δδδ+<<-=a x a x a U ),(

其中：点a 称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。

由于δδ+<<-a x a 相当于δ<-a x ，因此}{δδ<-=a x x a U ),( 因为a x -表示点x 与点a 间的距离，所以),(δa U 表示：与点a 距离小于δ的一切点x 的全体。

点a 的δ邻域去掉中心a 后，称为点a 的去心δ邻域，记作 ),(0δa U ，即 }{δδ<-<=a x x a U 0),(0 这里a x -<0是表示a x ≠

④集合

集合是数学上一个最基本的概念，数学的每一个分支都离不开它。

按照某一法则规定的研究对象的全体称为集合，集合里的各个对象称为这个集合的元素。元素是构成集合的事物或对象，集合是一个基本的数学工具，应用越来越广泛。

集合的种类很多，常用到的有以元素多少的分类 ⎩⎨⎧素构成的）无限集（由无限多个元

构成的）有限集（由有限个元素集合 全集：研究的所有事物全体构成的集合，记为U 或I

【注意】全集是相对的，在一定条件下是，在另一条件下则不是

空集：不包括任何元素的集合。记为φ或｛｝

子集：若A 的元素都是集B 的元素（A a ∈，则B a ∈），称A 为B 的子集，记为B A ⊆

2．映射

【定义】设X 、Y 是两个非空集合，如果存在一个对应法则f ，使得对X 中每个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作Y X f →:

3．函数的定义

【定义】设数集R D ⊂，则称映射f ：R D →为定义在D 的函数，通常简记为 )(x f y =，D x ∈

其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作f D ，即D D f =

【定义】设有两个变量x 和y ，若按照某种对应规则或规律，变量x 在数集D 中每取一个值，变量y 就有一个确定的值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，通常简记为 )(x f y =，D x ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作f D ，即D D f =.

4.显函数、隐函数、复合函数、参数方程所确定的函数、反函数、分段函数

给定的函数基本上是用公式表示的，因为这种表示法便于理论上的分析研究，而用公式表示的函数尤以显函数、隐函数、复合函数、参数方程所确定的函数、分段函数为多见。

显函数：形如 )(x f y =，D x ∈ 的给定的函数，则称y 为x 的显函数。

隐函数：若自变量为x 的函数y 是由方程 0),(=y x F 确定的，则称y 为x 的隐函数。

参数方程所确定的函数：设t 为参变量，若自变量为x 的函数y 是由方程组 ⎩

⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的，则称y 为由参数方程所确定的x 的函数。