直线的参数方程
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
直线 l 过点(2,3),倾斜角为 60°的直线方程有 哪些不同的表达形式?
问题1 上述问题中的直线可以用 点斜式 写方程,也 可以由参数方程写出.
过点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方 ������ = ������������ + ������������������������������
������
线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 4 ������ .
【解析】曲线 C 的极坐标方程为 ρ=6sin θ,化为直角坐标方程为
������-������ ������������ ������
2.直线 ������ = -������- ������������,(t 为参数)上与点 P(-2,3)距 ������ = ������ + ������������
离等于 ������的点的坐标是( C ).
A.(-4,5)
B.(-3,4)
得
������ = -������- ������ ������′ ������ 其中 t′=
������t.
������ = ������ + ������ ������′
������
������
������������������������ = - ������ ,
设倾斜角为 θ,有
������
【解析】直线 2x-y+1=0 的参数方程是 ������ = ������-������, (t
������ = ������-������������
为参数),选择 C.
2
直线
������ ������
= =
���-���������++������������������,(t
为参数)上对应
t=0,t=1
么形式?
直线的参数方程形式不是唯一的,直线的参数
方程可以写成
������ ������
= =
������������ �������Байду номын сангаас����
+ +
������������������������,(t
为参数),这里的
a,b∈R,其中当 a2+b2=1 时,t 有明确的几何意义,它
表示 ������������������ .此时,我们可以认为 a=cosα,b=sinα(α 为倾斜角);当 a2+b2≠1 时,t
������������������������ = ������ ,
������
θ∈[0°,180°),故 θ=135°,选 D.
利用参数的几何意义求距离
������ = ������- ������ ������,
在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
������ (t 为参
������ = ������ + ������ ������
1.若直线的参数方程为
������ ������
= =
������������-+������������������������,(t
为参数),则直线的斜率为(
D
).
A.������
B.-������
������
������
C.������
D.-������
������
������
【解析】k=������-������=-������������=-������.
没有明确的几何意义.
问题4
如何用直线 l 的参数方程求弦长和求弦的中点
坐标?
一般是先设出直线 l 的参数方程为
������ ������
= =
������������ ������������
+ +
������������������������������������������������������������,(t
������������ ������������
=
������ ������
∴直线截椭圆的弦长是|t1-t2|=
(������������
+
������������)������
-������������������
������������
=������.
������
[问题]上述解法中存在什么错误吗? [结论]存在,没有正确理解直线方程中参数的几何意义,正确解答如下:
������
数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极
点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 ������sinθ. (1)求圆 C 的直角坐标方程;
(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(3, ������),求|PA|+|PB|.
入椭圆方程可得:(������-������)������+(1+t)2=1,
������
即������t2+������t+������=0.
������ ������ ������
设方程的两实根分别为 t1、t2,则
������������
+
������������
=
-
������ ������
两点间
的距离是( B ).
A.1 B. ������������
C.10 D.2 ������
【解析】t=0,t=1 对应的两点分别为(2,-1)和(5,0),
所以两点间的距离为 ������������.
3 设直线的参数方程为 ������ = -������ + ������,(t 为参数),则点 ������ =������ ������-������������
C.(-3,4)或(-1,2)
D.(-4,5)或(0,1)
【解析】设直线的倾斜角为 α,则 tan α=-1,所以 α=135°,直线
������ = -������- ������ ������',
的参数方程可以写为
������ (t'为参数),令 t'=± ������,得点的坐
������ = ������ + ������ ������'
由于 Δ=(3 ������)2-4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,所以
������������ + ������������ = ������ ������, ������������·������������ = ������.
又直线 l 过点 P(3, ������)
∴由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 ������.
(3,6)到直线的距离是 ������ ������������ . 【解析】直线的普通方程为 3x+y+1=0,所以点
(3,6)到直线的距离是 d=|������×������+������+������|=������ ������������.
������������+������������ ������
直线的参数方程在圆锥曲线中的应用
求直线
������ ������
= =
������������-+������,������被椭圆������������������+y2=1
所截得的弦长.
【解析】将直线的参数方程 ������ = ������-������, (t 为参数)代 ������ = ������ + ������
x1=-1,x2=������������.直线 l 与抛物线 C 的交点坐标为
(-1,2),(������,������).
������ ������
直线的参数方程
直线 ������ = -������-������������������������������������°,(t 为参数)的倾斜角为( D ). ������ = ������ + ������������������������������������° A.30° B.45° C.120° D.135° 【解析】对直线参数方程作适当变形,
程为 ������ = ������������ + ������������������������������ (t 为参数).
问题2 上述直线 l 的参数方程中参数 t 的几何意义 参数 t 的绝对值等于直线上动点 P 到定点
P0(x0,y0)的距离,即|t|=|P0P|.
问题3
直线 l 的参数方程形式一定吗?还可以写成什
C.
������ = ������-������
(t
为参数)
D.
������ = ������ + ������ ������ ������ ������ (t 为参数)
������ = ������-������������
������ = ������ + ������ ������
������
为参数)化为普通方程,得 x+y-1=0.将抛物线 C 的参
数方程
������ ������
= =
������ ������������
������ (s
为参数)化为普通方程,得
y=2x2.
联立方程 ������ + ������-������ = ������消去 y,得 2x2+x-1=0,解得 ������ = ������������������
直线的参数方程
1.通过实例了解直线的参数方程的建立过程,并会 与普通方程进行互化.
2.掌握参数方程的不同表示形式,理解其中有几何 意义的参数的含义.
3.能够运用参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关 系,解答距离和弦长问题,运用运动变化的观点看待问 题.根据实例说明某些直线用参数方程表示比用普通方 程表示更方便,感受参数方程的优越性.
������ = ������- ������ ������′
直线的参数方程可化为
������
(t′= ������t 为参数),代入椭圆
������ = ������ + ������ ������′
������
方程可得:(������- ������������������′)������+(1+ ������t′)2=1,即������t′2+3 ������t′+1=0.设方程的两实根
������
标分别为(-3,4)或(-1,2),选择 C.
3.已知以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立极坐标系,曲线 C 的极
������ = ������ ������,
坐标方程为 ρ=6sinθ,直线 l 的参数方程为
������
(t 为参数),直
������ = ������ ������ + ������
【解析】(1)由 ρ=2 ������sin θ,得 x2+y2-2 ������y=0,即 x2+(y- ������)2=5.
(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得(3- ������t)2+( ������t)2=5,即
������
������
t2-3 ������t+4=0.
4 求直线 l: ������ = -������- ������������,(t 为参数)与抛物线 ������ = ������ + ������������
������ = ������, C: ������ = ������������������(s 为参数)的交点坐标.
【解析】将直线 l 的参数方程 ������ = -������- ������������,(t ������ = ������ + ������������
������
,再代
入直线的参数方程得到中点坐标.
1 下列可以作为直线 2x-y+1=0 的参数方程的是( C ).
A.
������ ������
= =
������ ������
+ +
������������(t
为参数)
B. ������ = ������-������ (t 为参数) ������ = ������-������������
为参数),代入圆锥曲线的方程,
得到关于 t 的二次方程,由判别式 Δ 和韦达定理得 到 t1+t2,t1t2 的值,再由弦长公式 ������������ = ������������-������������ 计算.
用弦的中点坐标计算时,先计算
t=������������+������������
������
������
������
分别为 t1′,t2′,则
������������′
+
������������′
=
-
������ ������ ������
,
������������′������������′
=
������ ������
,
则直线截椭圆的弦长是|t1′-t2′|= (������������′ + ������������′)������-������������������′������������′=������������������.