高中数学解析几何专题精编版

高中解析几何专题（精编版）

1. （天津文）设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)

P a b 满足212||||.PF F F =

（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；

（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与

圆

22(1)(16x y ++-=相交于M ，N 两点，且5

||||8

MN AB =，求椭圆的

方程。

【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距

离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。

（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，

2c =，整理得2

210,1c c c a a

a ⎛⎫

+-==- ⎪⎝⎭得（舍）

或11

,.22

c e a ==所以

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直

线FF 2

的方程为).y x c =-

A ，

B 两点的坐标满足方程

组2223412,

).

x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得

2580x cx -=。解得1280,5x x c ==

，得方程组的解21128,0,5,.

x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪

⎨⎨

=⎪⎪⎩=⎪⎩

不妨设8,55A c c ⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

，

(0,)B ，

所以16||.5AB c == 于是5

||||2.8

MN AB c ==

圆心(-到直线PF 2

的距离|||2|

.22

c d +=

= 因为2

2

2

||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

，所以223(2)16.4c c ++=

整理得2712520c c +-=，得26

7

c =-（舍），或 2.c =

所以椭圆方程为22

1.1612x y +

= 2. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b

+=>>

右焦点为

（），斜率

为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）.

（I ）求椭圆G 的方程； （II ）求PAB ∆的面积. 【解析】

解：

（Ⅰ）由已知得c c a ==

解得a =

又222 4.b a c =-=

所以椭圆G 的方程为22

1.124

x y +

= （Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y += 由⎪⎩⎪

⎨⎧=+

+=14

1222y x m x y 得

.01236422=-++m mx x

设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x

则,4

32210m

x x x -=+=

4

00m

m x y =+=

因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB.

所以PE 的斜率.14

3342-=+

--

=

m m k 解得m=2。

此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y 所以|AB|=23.

此时，点P （—3，2）到直线AB ：02=+-y x 的距离,2

2

32

|

223|=

+--=d 所以△PAB 的面积S=

.2

9||21=⋅d AB

3. (全国大纲文)已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。 【解析】22．解：（I ）F （0，1），l 的方程为21y x =-+，

代入2

2

1y x +=并化简得 242210.x x --=

…………2分

设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y

则122626

,44x x =

= 1212122

2()21,x x y y x x +=+=++=

由题意得3123122

()() 1.x x x y y y =-+==-+=- 所以点P 的坐标为2

(1).2

-- 经验证，点P 的坐标为2

(1)-满足方程 22

1,2

y x +=故点P 在椭圆C 上。

（II ）由2(1)P -和题设知， 2Q PQ 的垂直一部分线1l 的方程为

2.y x = ①

设AB 的中点为M ，则21

(

)42

M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为 21.24

y x =

+ ②

由①、②得12,l l 的交点为21

(,)88

N -