初中数学：解含绝对值的方程
初中数学重点梳理：含绝对值的方程组
含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。
知识梳理从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的。
由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点。
一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：（2）｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；（3）｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．注意：由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例题精讲【试题来源】【题目】设|﹣|≥0，||≥0，求x+y【答案】1【解析】解：分析从绝对值的意义知≥0，≥0，两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零，可得：，解得x=﹣y，把③代入①得﹣﹣=0，解之得y=﹣3，所以x=4，故有x+y=4﹣3=1．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】解方程组【答案】，，或．【解析】解：由①得x﹣y=1或x﹣y=﹣1，即x=y+1或x=y﹣1．与②结合有下面两个方程组，（1），把x=y+1代入|x|+2|y|=3得，|y+1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y+1可求出方程组（1）的解为：或，（2），把x=y﹣1代入|x|+2|y|=3得，|y﹣1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y﹣1可求出方程组（1）的解为：或．故原方程组的解为：，，或．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】解方程组：【答案】、【解析】解：原方程，把②代入①得：4y﹣4+|y﹣1|=5③，当y﹣1≥0时，③式=4y﹣4+y﹣1=5，解得y=2；把y=2代入②得：x=3或﹣5；当y﹣1≤0时，③式=4y﹣4﹣y+1=5，解得无解．综上得原方程组的解为：、．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】、、、【解析】解：1.当x＞0，y＞0时，原方程组为，方程组无解；2.当x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；3.当x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得；4.当x＜0，y＜0时，原方程组为，方程组无解；5.当x＜0，y＞0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；6.当x＜0，y＞0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得．综上得原方程组的解为：、、、【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】要使关于x的方程||x﹣3|﹣2|=a有三个整数解，则a的值是多少？【答案】2【解析】解：∵||x﹣3|﹣2|=a，∴a≥0．∴|x﹣3|﹣2=a或|x﹣3|﹣2=﹣a．当|x﹣3|﹣2=a时，|x﹣3|=2+a，∴x﹣3=2+a或x﹣3=﹣2﹣a．∴x1=5+a，x2=1﹣a，当|x﹣3|﹣2=﹣a时，|x﹣3|=2﹣a，a≤2，∴x﹣3=2﹣a或x﹣3=﹣2+a，∴x3=5﹣a，x4=1+a，若方程有3个不同的整数解，则x1，x2，x3，x4中必有2个相同．当x1，x2=2时，a=﹣2，与a≥0矛盾；当x1=x3时，a=0，此时原方程有2个解；当x1=x4时，a无解；当x2=x3时，a无解；当x2=x4时，a=0，此方程有2个解；当x3=x4时，a=2．综上有：当a=2时，原方程有3个不同的解【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7【答案】x=8/3或x=-2【解析】解：(1) 当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7．应舍去．-(x-2)-(2x+1)=7．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若|m|=m+1，则（4m+1）2011=【答案】-1【解析】解：根据题意，可得m的取值有三种，分别是：当m＞0时，则|m|=m+1可转换为m=m+1，此种情况不成立．当m=0时，则|m|=m+1可转换为0=0+1，此种情况不成立．当m＜0时，则|m|=m+1可转换为﹣m=m+1，解得，m=﹣．将m的值代入，则可得（4m+1）2011=[4×（﹣）+1]2011=﹣1．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知|x+1|=4，（y+2）2=0，则x﹣y的值【答案】5或-3【解析】解∵（y+2）2=0，∴|y+2|=0，∴y=﹣2；又∵|x+1|=4，∴x+1=±4，即x=3或﹣5．1.当x=3，y=﹣2时，x﹣y=5；2.当x=﹣5，y=﹣2时，x﹣y=﹣3；所以，x﹣y的值为5或﹣3；【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】解：由①得，x+y=|x﹣y|+2．∵|x﹣y|≥0，∴x+y＞0，∴|x+y|=x+y．③把③代入②，有x+y=x+2，∴y=2．将y=2代入①，有|x﹣2|=x，∴x﹣2=x ④x﹣2=﹣x ⑤．方程④无解，解方程⑤，得x=1．故原方程组的解为．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】方程丨x+3丨+丨3﹣x丨=丨x丨+5的解【答案】x1=，x2=﹣【解析】解：①当x＞3的时，原方程可化为：x+3+x﹣3=4.5 x+5整理得：2x=4.5x+5解出来显然x＜0，（矛盾）②当0＜x＜3时，原方程可化为：x+3+3﹣x=4.5x+5解得：x=（满足条件）；③当﹣3＜x＜0时原方程可化为：x+3+3﹣x=﹣4.5x+5解得：x=﹣（满足条件）；④当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣x﹣3+3﹣x=﹣4.5x+5解得：x=2（不满足条件）；∴x有两个解，为x1=，x2=﹣．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。
解含绝对值的方程的四种方法
“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。
解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。
下面举例说明解这类方程的几种常用方法。
一. 运用基本公式：若，则解方程例1. 解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例2. 解方程所以即或解方程（1），得解方程（2），得又因为，所以所以原方程的解为二. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4或4以上解：方程可化为所以所以方程的解有无数个，故选（D）。
三. 运用绝对值的非负性解方程例4. 方程的图像是（）A. 三条直线：B. 两条直线：C. 一点和一条直线：（0，0），D. 两个点：（0，1），（-1，0）而所以所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）故选（D）。
四. 运用绝对值的几何意义解方程例5. 解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。
五. 运用方程的图象研究方程的解例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。
故选（B）。
图1同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4个解。
去绝对值常用方法
去绝对值常用“六招”（初一）去绝对值常用“六招” （初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。
解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。
下面就教同学们去绝对值的常用几招。
一、根据定义去绝对值例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
代值后即可去掉绝对值。
解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。
解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。
分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。
解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求+ + 的值。
分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。
解绝对值方程的方法
解绝对值方程的方法绝对值方程是初中数学中常见的一种方程类型，解绝对值方程的方法有多种，本文将介绍其中的两种常用方法：分情况讨论法和代数法。
一、分情况讨论法分情况讨论法是解绝对值方程的常用方法之一，它的基本思想是将绝对值的取值范围分成几个情况，然后分别讨论每种情况下的方程解。
举个例子来说明分情况讨论法的具体步骤。
假设我们要解方程|2x-1|=3。
首先，我们将绝对值的取值范围分为两种情况：当2x-1≥0时，|2x-1|=2x-1；当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)。
对于第一种情况，即2x-1≥0，我们可以得到2x-1=3，解得x=2。
对于第二种情况，即2x-1<0，我们可以得到-(2x-1)=3，解得x=-1。
因此，原方程的解为x=2和x=-1。
使用分情况讨论法解绝对值方程时，我们需要根据绝对值的取值范围进行合理的分情况讨论，并对每种情况下的方程进行求解。
这种方法的优点是思路清晰，能够将问题分解为若干个简单的子问题，但对于复杂的绝对值方程，可能需要分的情况较多，计算量较大。
二、代数法代数法是解绝对值方程的另一种常用方法，它的基本思想是利用绝对值的定义进行代数变形，从而得到方程的解。
举个例子来说明代数法的具体步骤。
假设我们要解方程|2x-1|=3。
根据绝对值的定义，当2x-1≥0时，|2x-1|=2x-1；当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)。
对于第一种情况，即2x-1≥0，我们可以得到2x-1=3，解得x=2。
对于第二种情况，即2x-1<0，我们可以得到-(2x-1)=3，解得x=-1。
通过代数变形，我们得到了与分情况讨论法相同的结果。
使用代数法解绝对值方程时，我们需要根据绝对值的定义进行代数变形，并将方程转化为一元一次方程进行求解。
这种方法的优点是计算量相对较小，适用于简单的绝对值方程。
综上所述，解绝对值方程的方法有分情况讨论法和代数法两种常用方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
人教版七年级数学上思维特训(十一)含答案：含有绝对值的一元一次方程的解法
思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法方法点津 ·定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．一般有以下两种解法：1．几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解．2．代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解．||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a>0），0（a ＝0），－a （a<0）.典题精练 ·类型一 几何解法1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x 对应的点与原点的距离，即|x|＝|x －0|，也就是说|x|表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x 1－x 2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．例1：已知|x|＝2，求x的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x ＝－2或x＝2.例2：已知|x－1|＝2，求x的值．解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1.例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.图11－S－1解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x ＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3.仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值：(1)|x－3|＝3；(2)|4x＋2|＝8；(3)|x－3|＋|x＋4|＝9.类型二代数解法2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解．例1：解方程|2x－1|＝3.我们只要把2x－1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x－1＝3或2x－1＝－3.解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝－1.检验：(1)当x＝2时，原方程的左边＝|2x－1|＝|2×2－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝2是原方程的解．(2)当x ＝－1时，原方程的左边＝|2x －1|＝|2×(－1)－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x ＝－1是原方程的解．综上可知，原方程的解是x ＝2或x ＝－1.例2：解方程x ＋2|x|＝3.解：当x ≥0时，方程可化为x ＋2x ＝3，解得x ＝1，符合题意；当x ＜0时，方程可化为x －2x ＝3，解得x ＝－3，符合题意．所以原方程的解为x ＝1或x ＝－3.仿照上面的解法，解下列方程：(1)x ＋3|x －1|＝7；(2)|x －12|－x ＝1.详解详析1．解：(1)由题意，得在数轴上与数3对应的点之间的距离为3的点对应的数为0和6，即x ＝0或x ＝6.(2)由题意，得在数轴上与数－2对应的点之间的距离为8的点对应的数为6或－10，即4x ＝6或4x ＝－10，所以x ＝32或x ＝－52.(3)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数3和数－4对应的点之间的距离之和为9的点对应的数，即为x 的值．在数轴上，数3和－4对应的点的距离为7，满足方程的x 在数轴上的对应点在3的右边或－4的左边．若x 对应的点在3的右边，可得x ＝4；同理，若x 对应的点在－4的左边，可得x ＝－5.故原方程的解是x ＝4或x ＝－5.2．解：(1)当x ＜1时，方程可化为x ＋3(1－x)＝7，即3－2x ＝7，解得x ＝－2，符合题意；当x ≥1时，方程可化为x ＋3(x －1)＝7，即4x －3＝7，解得x ＝52，符合题意．所以原方程的解为x ＝－2或x ＝52.(2)原方程可变形为|x －12|＝x ＋1，根据绝对值的意义，得x －12＝1＋x 或x －12＝－(1＋x)，解得x ＝－3或x ＝－13，经检验：x ＝－3不是原方程的解，x ＝－13是原方程的解．所以原方程的解是x ＝－13.。
初中数学知识归纳解绝对值方程不等式的问题
初中数学知识归纳解绝对值方程不等式的问题绝对值方程和不等式是初中数学中的重要内容，掌握了解题方法和技巧，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对初中数学中解绝对值方程和不等式的方法进行归纳总结，帮助学生更好地掌握这些知识。
一、绝对值方程的解法绝对值方程一般形式为 |x| = a，其中 a 是一个非负实数。
解绝对值方程的基本思路是根据绝对值的性质将方程拆分成正负两种情况进行求解。
1. 当x≥0 时，|x| = x，此时方程化简为 x = a，解得 x = a。
2. 当 x<0 时，|x| = -x，此时方程化简为 -x = a，解得 x = -a。
因此，绝对值方程 |x| = a 的解为 x = a 或 x = -a。
扩展：绝对值方程 |x + b| = a，其中 a 为非负实数，b 为任意实数。
若a≥0，则 |x + b| = a 的解为 x = -b ± a。
二、绝对值不等式的解法绝对值不等式一般形式为 |x| < a 或 |x| > a，其中 a 是一个正实数。
解绝对值不等式的方法也是根据绝对值性质进行分类讨论。
1. 当x≥0 时，|x| < a 化简为 x < a，解得0 ≤ x < a。
2. 当 x<0 时，|x| < a 化简为 -x < a，解得 x > -a。
综合上述情况，绝对值不等式 |x| < a 的解为 -a < x < a。
3. 当x≥0 时，|x| > a 化简为 x > a 或 x < -a。
4. 当 x<0 时，|x| > a 化简为 -x > a，解得 x < -a。
综合上述情况，绝对值不等式 |x| > a 的解为 x < -a 或 x > a。
扩展：绝对值不等式 |x + b| < a，其中 a 为正实数，b 为任意实数。
绝对值方程详解及答案
第九讲 绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题【例1】方程5665-=+x x 的解是 ．(重庆市竞赛题)思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2( “希望杯；邀请赛试题)思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ， 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ；思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．(天津市竞赛题)【例4】解下列方程：(1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．学力训练1．方程15)1(3+=-xx 的解是 ；方程1213+=-x x 的解是 ．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝ ．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为 ．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值 ；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是 ．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是( )．A ．一2B ．0C ．32 D ．不存在 6．方程055=-+-x x 的解的个数为( )．A ．不确定B ．无数个C ． 2个D ．3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．已知关于 x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是( ) A ．5210或 B ．5210-或 C ．5210或- D ．5210--或 (山东省竞赛题)8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于( )．A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一21(重庆市竞赛题)9．解下列方程：(1)8453=+-x ；(2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ；(4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是 ．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是 ．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是 ．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有 个，它们的和是 ．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于( )．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．m>n>k B ．n>k>m C ．k>m>n D ． m>k>n17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有( )．A ．1个B ．2个C ． 3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值． (“华杯赛”邀请赛试题)20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．(江苏省竞赛题)22． (1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．参考答案。
七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程
七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______．(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )．(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围．例4解下列方程：．(1)|x－|3x＋1∣∣＝4；(天津市竞赛题) (2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1(北京市“迎春杯”竞赛题) (3|x－1|＋|x－5|＝4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况．(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．A 级1．若x=9是方程|31x －2|=a 的解，则a=_______；又若当a=l 时，则方程|31x －2|=a 的解是_______．2．方程|31y ＋2|－|2y －53|的解是_______，方程3(|x|一1)=5x ＋1的解是_______． 3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x=_______(北京市“迎春杯”竞赛题) 4．已知|x|=x ＋2，那么19x 99+3x ＋27的值为_______．(“希望杯”邀请赛试题)5．方程|||x|－2|－1|=2的解是_______．6．满足(a －b)2＋(b －a)|a －b|=ab(ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( )(A)ab<O (B)ab>O (C)a+b>O (D)a+b<O7．有理数a 、b 满足|a ＋b|<|a －b|，则( )．(A)a ＋b 6≥O (B)a ＋b<0 (C)ab<O (D)ab≥O8．若关于x 的方程|2x －3|＋m=0无解，|3x －4|＋n=0只有一个解，|4x －5|＋k=0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9．方程|x －5|＋x 一5=O 的解的个数为( )．(A)不确定 (B)无数个 (C)2个 (D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)lO ．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )．(A)0 (B)2 (C)1 (D)3． (全国初中数学联赛试题)11．解下列方程：(1)4－2|21x ＋1|=3； (2)|21x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|；(五城市联赛题) (4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|(全国通讯赛试题)12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a=0(0<口<1)的所有解的和． ．(陕西省竞赛题)B 级1．关于x 的方程|a|x=|a ＋1|－x 的解是x=0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a|x=|a＋1|－x 的解是x=l ，则有理数a 的取值范围是_______．2．若O<x<10，则满足条件|x －3|的整数a 的值共有_______个，它们的和是_______．(第十届“希望杯”邀请赛试题)3．若a>0，b<0，则使|x －a|＋|x －b|=a －b 成立的x 的取值范围是_______．(武汉市选拔赛试题)4．已知|a|＋a=0且a ≠一l ，那么11+-a a =_______．5．若有理数x 满足方程|1－x|=1＋|x|，那么化简|x －1|的结果是( )．(A)1 (B)x (C)x 一1 (D)1一x6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个．(A)0 (B)l (C)2 (D)大于2的自然数7．当a>0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )．(A)0.001<a<3 (B)O<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38．已知方程|x|=ax+l 有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>－1 (C)a ≥1 (D)a<19．设a 、b 为有理解，且|a|>O ，方程||x －a|－b|=3有三个不相等的解，求b 的值．(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?(江苏省竞赛题)。
初三数学下册含有绝对值的方程
初三数学下册含有绝对值的方程初三数学下册：含有绝对值的方程绝对值方程是初中数学中的重要概念之一，它在解方程的过程中起到了关键作用。
理解和掌握绝对值方程的解法，对于提高我们的数学解题能力至关重要。
本文将介绍绝对值方程的定义及解法，并通过例题来加深我们对该知识点的理解。
一、绝对值方程的定义绝对值是数学中常常遇到的一种运算符号，用两个竖线来表示。
对于任意的实数x，绝对值|x|的值等于x自身的绝对值(x≥0)，或者是x的相反数的绝对值(x<0)。
绝对值方程就是含有绝对值符号的方程。
二、绝对值方程的解法解绝对值方程的关键在于找到x能取到的不同值，从而得到方程的解集。
下面介绍两种常见的解法。
1. 分情况讨论法对于绝对值方程|A(x)|=B，可以根据A(x)的正负值来进行分情况讨论。
情况一：当A(x)≥0时，即A(x)的值大于等于0。
此时，绝对值不起作用，方程变为A(x)=B，解出x的值即可。
情况二：当A(x)<0时，即A(x)的值小于0。
此时，绝对值起作用，要将A(x)的符号取反，即-A(x)=B，解出x的值后再取反。
根据以上步骤，我们可以将绝对值方程转化为等式或不等式，进而求解出x的值。
2. 逆向迭代法逆向迭代法是一种通过逆向推导来解绝对值方程的方法，在一些特定的题目中十分有效。
步骤一：将绝对值方程两边平方，得到一个二次方程。
步骤二：解二次方程，得到x^2的两个解。
步骤三：将x^2的两个解分别带入原方程，得到两个绝对值方程。
步骤四：分别解两个绝对值方程，得到x的值。
三、例题分析下面通过几个例题来加深我们对绝对值方程的理解。
例题一：求方程|2x+1|-3=4的解。
解法：根据分情况讨论法，我们将|2x+1|-3=4分为两个情况进行讨论。
情况一：2x+1≥0时，即2x+1的值大于等于0。
此时，方程可以变为2x+1-3=4，解得x=2。
情况二：2x+1<0时，即2x+1的值小于0。
此时，方程可以变为-(2x+1)-3=4，解得x=-4。
绝对值与一元一次方程(含问题详解)-
绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、•12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。
初中数学培优专题学习专题09 含绝对值符号的一次方程_答案
专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-．又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0；当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2．综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2．例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5；当－3≤x ＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1；当x≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3；故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1且－1≤y≤5时， 有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6.例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx≤<⎧⎨-=⎩② 当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为 111m≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-14． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002²6． A 提示:a <b7． C8．A9．B10．C 提示:用筛选法11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3⑵ ｘ=4 ⑶43x =-或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a ,x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6. C 提示由绝对值的几何意义知-2≤3X ≤47. D 提示用绝对值得几何意义求解8. C 提示:当a ＞1时,方程有一负根;当a ＜1时,方程有一正根.9. 提示:若b +3,b -3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b =310. 提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a ＜3时,方程有一解;当a =±3时,方程有无穷多个解;当a >3或a ＜-3时,方程无解.11. 根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x ⨯+⨯++====⨯-⨯⊕ 解得x =±2003。
含绝对值符号的一元二次方程-初中数学知识点
含绝对值符号的一元二次方程
1．含绝对值符号的一元二次方程
含绝对值符号的一元二次方程．
方法一;分类讨论,即找出分段点考虑当绝对值符号内数式等于0时,x取值,由此分划,x取值范围.例如处理x+将x范围分为x小于-4,等于-4及x大于-4,这样消去了绝对值，将原方程转化为普通方程，进而求解。
4
又如解243
-=时分别考虑x大于0,等于0及小于0三种情况.但需要检验结果. (如给定方程考虑当x大x x
x=-,矛盾! )关于划分范围的方法若不是很熟练可参看百科"零点分段法”.
于0时解得6
方法二:整体换元.例如解246
-= ,如果分类讨论,虽然可行但较为繁琐.这里，我们可以将2x看成2x，
x x
则有24=6
-,把x视为未知数求解，解得x再分情况讨论(.上一题也可以) ,运算量就明显降低从这里就x x
可看出换元法的一一个优点形象的说，就是“过河拆桥”.
当然有些含绝对值的一元二次方程并非一定要使用此两种方法 (但这两种方法一般而言适用性很强)对于有些解法较为巧妙的试题(例如求含绝对值的二元二次方程组解的个数) ,可以通过观察,分析问题本质，设而不求,有时也是一种思路总之试题千变万化,因此解法也不必拘泥于以上两种方法.
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几种类型的一元一次方程的解法
几种类型的一元一次方程的解法 解一元一次方程时，一般按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等步骤来进行，但是对于某些特殊类型的一元一次方程，需根据实际情况来进行求解.下面分类举例说明.一、含绝对值的方程的解法解含有绝对值符号的一元一次方程的基本思路就是去掉绝对值符号.转化为一般方程来求解.常用的转化方法有以下几种：（一）、对于最简绝对值方程，依据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即：若||x a = ，则x a =± .例1.（2001年湖南常德中考题）已知|31|2x -=，则x =（ ）.（A ）1 （B ）－13 （C ）1或－13（D ）无解 解：由绝对值的定义，得312312x x -=-=-或，分别解得113x x ==-或，故选（C ）. 例2.（1996年“希望杯”赛题）若||,x a =则||x a -=（ ）.（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0 解：由绝对值的定义，得x a =±，分别代入||x a -中得： 当x a =时，||0x a -=；当x a =-时，||2x a a -=.故选（A ）. 例 3.（2001年重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.（A ）20或－21 （B ）－20或21（C ）－19或21 （D ）19或－21 解：由绝对值的定义，得|20002000|202000x +=±⨯，分别解得1921x x ==-或.故选（D ）.同步练习：1.（1997年四川省初中数学竞赛题）方程|5|25x x -+=-的根是_________.2.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1||102x --=，则x 的值是（ ）.（A ）10或25 （B ）10或－25（C ）－10或25 （D ）－10或－253.（2000年重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65x x +=-的解是_________.答案：1.x =－10；2.（C ）；3.11x = .（二）、对于含有双重或多重绝对值符号的较复杂的绝对值方程，可用零点分段法分类讨论转化为最简绝对值方程来解.例4.（“迎春杯”竞赛题）解方程|3||1|1x x x +--=+ 分析与解：（1）定零点令x ＋3＝0，x －1＝0.解得x ＝－3，x ＝1.（2）对x 的取值分段讨论以－3，1为界将数轴分为三段，即x ≤－3，－3＜x ≤1，x ＞1.（3）分别在每一段上讨论当x ≤－3时，－x －3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－5.当－3＜x ≤1时，x ＋3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－1.当x ＞1时，x ＋3－x ＋1＝x ＋1，解得x ＝3.同步练习：1.（2000年“希望杯”竞赛题）若0a <，则200011||a a+等于（ ）.（A ）2007a （B ）－2007a （C ）－1989a （D ）1989a2.（“江汉杯”竞赛题）方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（）个解.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1答案：1.（D）；2.（C）.（三）、对于某些特殊的绝对值方程，还可借助数轴用绝对值的几何意义求解.例5.（第11届“希望杯”竞赛题）适合|27||21|8++-=a a的整数的值的个数有（）.（A）5 （B）4 （C）3 （D）2解：由已知知，即在数轴上表示2a的点到－7和＋1的点的距离的和等于8，所以2a表示－7到＋1之间的偶数，有－6、－4、－2、0四个.故选（B）.例 6.（1999年武汉市竞赛题）若0,0><则使a b-+-=-成立的的取值范围是_______.x a x b a b||||解：||-表示数x和b的x bx a-表示数x和a的点的距离，||点的距离，a－b表示a、b的点的距离，可知，表示x的点应位于表示a、b的两点之间.故b≤x≤a即为所求的x的取值范围.同步练习：1.（1998年“希望杯”竞赛题）适合关系式|34||32|6-++=x x的整数的值是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2的自然数2.（“祖冲之杯”竞赛题）解方程x x-+-=：.|1||5|4答案：1.（C）；2.1≤x≤5.二、含字母系数的一元一次方程一个一元一次方程中，除了未知数以外，还有其它字母的方程叫做含有字母系数的方程，那么，这类方程怎样解呢？含字母系数的一元一次方程总可化为ax b=的形式.其方程的解由a b、的取值范围确定或对解方、的取值范围确定，当字母a b程的过程并未产生实质性的影响时，其解法同数字系数的一元一次方程一样；当字母a b、的取值范围围给出时，则需讨论解的情况.例7.解下列关于的方程：()()()(0)cx b c x a b x b a x a c--=---+≠.分析：这个方程中除了字母x外，还有字母a b c、、，由于说明是关于x的方程，应视为x未知数，a b c、、为已知数，故去括号，移项，合并同类项等整理时都要以x为未知数进行.例8.解关于x的方程：.分析：这个方程仍然以x为未知数，看作已知数来解.同步练习：解关于的方程.答案：11 xa =-.。
初中数学解含绝对值的方程练习题及答案
初中数学解含绝对值的方程练习题及答案解一元含绝对值的方程是初中数学学习中的重要内容之一。
学生在掌握了解一元含绝对值的方程的基本方法后，需要通过大量的练习题来巩固和提高解题能力。
本文将为您提供一些常见的初中数学解含绝对值的方程练习题及其答案，供您进行练习和参考。
一、练习题：1. 解方程 |2x + 1| = 5。
2. 解方程 |3x - 2| = 10。
3. 解方程 |4x - 3| = 7。
4. 解方程 |5x + 2| = 8。
5. 解方程 |6x - 7| = 12。
二、解答：1. 解方程 |2x + 1| = 5。
当2x + 1 > 0 时，方程可以写作 2x + 1 = 5，解得 x = 2。
当2x + 1 < 0 时，方程可以写作 -(2x + 1) = 5，解得 x = -3。
综合两种情况的解，得到方程的解集为 {-3，2}。
2. 解方程 |3x - 2| = 10。
当3x - 2 > 0 时，方程可以写作 3x - 2 = 10，解得 x = 4。
当3x - 2 < 0 时，方程可以写作 -(3x - 2) = 10，解得 x = -4。
综合两种情况的解，得到方程的解集为 {-4，4}。
3. 解方程 |4x - 3| = 7。
当4x - 3 > 0 时，方程可以写作 4x - 3 = 7，解得 x = 2。
当4x - 3 < 0 时，方程可以写作 -(4x - 3) = 7，解得 x = -1。
综合两种情况的解，得到方程的解集为 {-1，2}。
4. 解方程 |5x + 2| = 8。
当5x + 2 > 0 时，方程可以写作 5x + 2 = 8，解得 x = 1.2。
当5x + 2 < 0 时，方程可以写作 -(5x + 2) = 8，解得 x = -2。
综合两种情况的解，得到方程的解集为 {-2，1.2}。
5. 解方程 |6x - 7| = 12。
五年级数学技巧掌握解含绝对值的方程的秘诀
五年级数学技巧掌握解含绝对值的方程的秘诀解含有绝对值的方程是初中数学学习中的一个重要部分，也是许多学生感到困惑的一个难点。
在五年级阶段，掌握解含有绝对值的方程的技巧对于学生的进一步学习十分关键。
本文将介绍一些解含有绝对值的方程的秘诀，帮助五年级学生更好地掌握这一知识点。
一、理解绝对值的概念在解含有绝对值的方程之前，我们首先需要理解绝对值的概念。
绝对值表示一个数到0的距离，即一个数的非负值。
例如，|x|表示x到0的距离，无论x是正数还是负数，其绝对值都是非负数。
这一概念在解含有绝对值的方程的过程中至关重要，需要学生牢牢掌握。
二、分情况讨论对于含有绝对值的方程，通常需要分情况讨论。
具体而言，当方程中的变量的取值范围有限时，我们可以将其分为两种情况进行讨论，分别是变量大于等于0和变量小于0的情况。
然后分别解出两种情况下的方程，最后再通过将解代入原方程验证求得正确解。
三、解决含有一个绝对值的方程当方程只含有一个绝对值时，我们可以分别讨论绝对值内部的表达式的正负情况。
例如，对于方程|x + 2| = 3，我们可以分为以下两种情况进行讨论：情况一：x + 2 ≥ 0，即 x + 2 = 3。
解得 x = 1。
情况二：x + 2 < 0，即 - (x + 2) = 3。
解得 x = -5。
综合以上两种情况，方程的解为 x = 1 或 x = -5。
四、解决含有两个绝对值的方程当方程含有两个绝对值时，我们需要根据不同的情况进行讨论，通过分析绝对值内部表达式的正负情况，得出方程的解。
例如，对于方程|x - 3| + |8 - x| = 5，我们可以进行如下讨论：情况一：x - 3 ≥ 0 且 8 - x ≥ 0。
即x ≥ 3 且x ≤ 8。
此时方程变为 x - 3 + 8 - x = 5，解得 x = 6。
情况二：x - 3 ≥ 0 且 8 - x < 0。
即x ≥ 3 且 x > 8，不满足条件，无解。
初中数学知识归纳解绝对值方程的问题
初中数学知识归纳解绝对值方程的问题在初中数学学习中，解绝对值方程是一个重要的知识点。
绝对值方程是含有绝对值符号的方程，通常可以分为一元绝对值方程和二元绝对值方程两种类型。
解绝对值方程需要根据不同的情况进行讨论和分类，接下来将对初中数学知识归纳解绝对值方程的问题进行详细探讨。
一、一元绝对值方程的解法一元绝对值方程的一般形式为|ax + b| = c，其中a、b和c为已知常数。
为了解这类方程，我们首先需要明确的是绝对值的定义。
当x≥0时，|x| = x；当x<0时，|x| = -x。
基于这个定义，我们可以使用如下的步骤来解一元绝对值方程：步骤1：将绝对值符号去掉，得到两个方程，分别为ax + b = c和ax + b = -c。
步骤2：根据这两个方程进行求解。
对于第一个方程ax + b = c，我们可以通过移项得到ax = c - b，再除以a，即可得到x的解。
同理，对于第二个方程ax + b = -c，我们可以通过移项得到ax = -c - b，再除以a，即可得到x的解。
步骤3：判断解的合法性。
通常情况下，我们需要将求出的x值代入原方程进行验证，确保解符合原方程的要求。
二、二元绝对值方程的解法二元绝对值方程的一般形式为|ax + by| = c，其中a、b和c为已知常数。
解决二元绝对值方程需要根据具体的情况进行分类讨论，以下是二元绝对值方程的分类及解法：情况1：a ≠ 0 且b ≠ 0。
这种情况下，可以先化简方程，将绝对值内的部分展开，得到两个方程，分别为ax + by = c和ax + by = -c。
然后按照一元绝对值方程的方法进行求解即可。
情况2：a ≠ 0 且 b = 0。
这种情况下，绝对值内只有一个变量，方程化简后只得到一个方程。
我们可以将绝对值去掉，分别讨论x的正负情况，解得x的两个值。
情况3：a = 0 且b ≠ 0。
这种情况下，绝对值内只有一个变量，方程化简后只得到一个方程。
绝对值方程的解法初一
绝对值方程的解法初一绝对值方程是初中数学中比较基础的一部分，也是初中数学考试中出现频率比较高的一个知识点。
在解绝对值方程时，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，才能够更加准确地求出方程的解。
一、绝对值方程的定义绝对值方程是指一个方程中含有绝对值符号的方程，通常形式为：|x| = a，其中a为一个非负实数。
二、绝对值方程的解法解绝对值方程的方法主要有以下几种：方法一：分情况讨论法当绝对值符号内的表达式为正数时，方程变为x = a；当绝对值符号内的表达式为负数时，方程变为x = -a。
因此，我们可以将方程分成两种情况进行讨论，分别求出方程的解。
例如，对于方程|2x - 1| = 5，我们可以分别讨论2x - 1 > 0和2x - 1 < 0的情况，得到x = 3和x = -2的两组解。
方法二：代数法我们可以将绝对值符号内的表达式拆分成两种情况，一种是当x≥0时，|x| = x；另一种是当x<0时，|x| = -x。
然后将方程化简为一个一元二次方程，进而求出方程的解。
例如，对于方程|2x - 3| - x = 1，我们可以将绝对值符号内的表达式拆分成两种情况：当2x - 3≥0时，|2x - 3| = 2x - 3；当2x - 3<0时，|2x - 3| = -(2x - 3)。
然后将方程化简为一个一元二次方程，得到x = 4/3和x = -1/2的两组解。
方法三：图像法我们可以将绝对值符号内的表达式视为一条折线，然后根据方程所表示的图像进行分析，求出方程的解。
例如，对于方程|2x - 5| + |x + 1| = 6，我们可以将绝对值符号内的表达式视为两条折线，然后根据方程所表示的图像进行分析，得到x = -2、x = 1和x = 3的三组解。
三、绝对值方程的注意事项在解绝对值方程时，有一些需要注意的事项：1. 方程的解可能包含多组解。
2. 方程的解可能不存在。
3. 在分情况讨论法中，需要根据方程的实际情况进行分类讨论。
初中数学重点梳理：含绝对值的方程及方程组
含绝对值方程知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中含绝对值方程的常见题型及其求解方法，本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=． （2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． （4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=． （5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．例题精讲【试题来源】【题目】若关于x 的方程｜｜x-2｜-1｜=a 有三个整数解．则a 的值是多少？【答案】a=1【解析】 解： 若a ＜0，原方程无解，所以a ≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a ，所以 ｜x-2｜=1±a ．(1) 若a ＞1，则｜x-2｜=1-a ＜0，无解｜x-2｜=1＋a ，x 只能有两个解x=3+a 和x=1-a ．(2) 若0≤a ≤1，则由｜x-2｜=1+a ，求得x=1-a 或x=3+a ；由｜x-2｜=1-a ，求得x=1+a 或x=3-a ．原方程的解为x=3+a ，3-a ，1+a ，1-a ，为使方程有三个整数解，a 必为整数，所以a 只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a ≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围【答案】a≥1【解析】解：设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1，反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1，反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？【答案】a≥3【解析】解：(1)当x≤-2时，｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)当-2＜x＜1时，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)当x≥1时，｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．所以，只有当a≥3时，原方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是【答案】0【解析】解：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，可得出：a＞0，由|4x﹣3|+b=0有两个解，可得出：b＜0，由|3x﹣2|+c=0只有一个解，可得出：c=0，故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】(北京市“迎春杯”竞赛题)【题目】│x+3│-│x-1│=x+1;【答案】为x=-5,-1,3【解析】解：当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】(第15届江苏省竞赛题)【题目】已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.【答案】-3，6【解析】解：|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|，∴|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9，（1）当x≥1，y≥5时，x+2+x-1+y-5+y+1=9，2x+2y=12，x+y=6，（2）当-2≤x＜1，-1≤y＜5时，x+2+1-x+5-y+y+1=9，但-3≤x+y＜6，（3）当x＜-2，y＜-1时，-x-2+1-x+5-y-1-y=9，-2x-2y=6，x+y=-3，故x+y最小值为-3，最大值为6．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况【答案】如下解析【解析】解：（1）当k<0时,原方程无解（2）当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;（3）当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k此时原方程有四解:x=-3±(2±k);（4）当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;（5）当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】(“华杯赛”邀请赛试题)【题目】设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.【答案】b=±3【解析】解：由题意得|x-a|=b±3，x-a=±(b±3)x-a=b+3,b-3,-b+3,-b-3有三个则其中两个相等，b+3和b-3,-b+3和-b-3不会相等所以b+3=-b+3，即b=0此时只有两个3和-3所以b+3=-b-3，即b=-3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b+3，即b=3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b-3，即b=0此时只有两个3和-3所以b=±3【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若关于的方程|1﹣x|=mx有解，则实数m的取值范围【答案】m≥0或m＜﹣1【解析】解： |1﹣x|=mx，①当x≥1时，x﹣1=mx，（1﹣m）x=1，m≠1时，x=，∴≥1，解得：0＜m＜1；②当x＜1时，1﹣x=mx，（1+m）x=1，m≠﹣1时，x=，＜1，∴1+m＜0或1+m≥1，∴m＜﹣1或m≥0；综上所述：解集是：m≥0或m＜﹣1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x+3|+|x﹣6|=a有解，那么a的取值范围是【答案】a≥9【解析】解：（1）当x≥6时，原方程化为x+3+x﹣6=a，∴x=≥6∴a≥9（2）当﹣3≤x＜6时，原方程化为﹣x﹣3﹣x+6=a，∴x=＜﹣3，∴a＞9（3）当x＜﹣3时，原方程化为﹣x﹣3+6﹣x=a∴x=＜﹣3∴a＞9综上，a≥9方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是【答案】a＞1或a≤﹣1【解析】解：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）＞0，解得：x≥1且a≥0或x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，x=ax﹣a，即x=＞0，解得：a＞1 或a＜0，由①，即得正根条件：a＞1且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x=ax﹣a，解得：x=＜0，即﹣1＜a＜0，由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）综合可得，a＞1或a≤﹣1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有【答案】﹣3，﹣2，﹣1，0【解析】解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7+2a﹣1=8解得a=0.5解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣3.5，a≥0.5，所以a≥0.5，而a又是整式，故a=0.5不是方程的一个解；（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7﹣2a+1=8解得a=﹣3.5解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣3.5，a≤0.5，所以a≤﹣3.5，而a又是整数，故a=﹣3.5不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7﹣2a+1=8解得a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣3.5，a≤0.5，所以﹣3.5≤a≤0.5，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7+2a﹣1=8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】5习题演练【试题来源】【题目】方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是【答案】2【解析】解：①当x≥2时，由原方程，得3x+x﹣2=4，即4x﹣2=4，解得x=3/2（舍去）；②当0＜x＜2时，由原方程，得3x﹣x+2=4，解得x=1；③当x＜0时，由原方程，得﹣3x﹣x+2=4，解得x=﹣．综上所述，原方程有2个解【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个【答案】0,1【解析】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥4/3时，原方程就可化简为：3x﹣4+3x+2=6，解得：x=4/3；第二种：当﹣2/3＜x＜4/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；第三种：当x≤﹣2/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x﹣2=6，解得：x=﹣2/3；所以x的取值范围是：﹣2/3≤x≤4/3，故符合条件的整数位：0，1【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个【答案】2【解析】解：根据题意，知（1）|x﹣2|﹣|x﹣6|=1，①当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；②当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；③当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=1，解得x=4.5；（2）|x﹣2|﹣|x﹣6|=﹣1，④当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去；⑤当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显不成立；⑥当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=﹣1，解得x=3.5；综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则A．0，2，4全是根 B.0，2，4全不是根 C.0，2，4不全是根 D.0，2，4之外没有根【答案】A【解析】解：①当x≥4时，原方程化为x﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x≥4之内，x=4是原方程的解；②当3≤x＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x＜4之内，x=4不是原方程的解；③当2≤x＜3时，原方程化为x﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x＜3之内，x=2是原方程的解；④当1≤x＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x＜2之内，x=2不是原方程的解；⑤当0≤x＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x＜1之内，x=0是原方程的解；⑥当﹣1≤x＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x＜0之内，x=0不是原方程的解；⑦当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的解；⑧当x＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解．综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．故选A．【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c的取值范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c ≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，．故答案为：c＞3或1＜c＜3【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。
绝对值方程详解及答案
第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号. 将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解•前者是通法，后者是技巧.解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题【例1】方程5x+6=6x—5的解是___________ •（重庆市竞赛题）思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解.【例2】适合2a + 7 +|2a—1 =8的整数a的值的个数有（）•A• 5 B• 4 C• 3 D. 2（“希望杯；邀请赛试题）思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径.注：形如ax+b =cx + d的绝对值方程可变形为ax + b = ±（cx + d）且cx + d^O,才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验.【例3】解方程：x— 3x十1| =4 ;思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程.（天津市竞赛题）【例4】解下列方程：（1）x +3 - x -1| = x +1 （北京市“迎春杯”竞赛题）（2）X —1 +|x — 5 = 4 •（“祖冲之杯”邀请赛试题）思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.【例5】已知关于x的方程X-2十x-3=a ,研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况，a与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键. 运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解.注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究.学力训练1方程3（x -1^—+1的解是___________ ；方程3x—1 =52•已知3990x 1995 =1995，那么x= ___________ .3. __________________________________________ 已知，X =X 2，那么19x"+3x+27的值为__________________________________________________ .4.关于x的方程ax =|a +1 —x的解是x=0 ,则a的值_的解是x=1，则有理数a的取值范围是_____________ .5•使方程3x+2+2 = 0成立的未知数x的值是（）.2 —A . —一2B . 0C .D .不存在36.方程x-5+x-5 = 0的解的个数为（）.A .不确定B .无数个C . 2个D . 3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）17.已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足X —，一12 2 2A. 10 或— B . 10 或 C . -10 或— D .5 5 5（山东省竞赛题）& 若2000x+2000 =20^2000，则x 等于（）.A . 20 或一21B . 一20 或21 C. —19 或21（重庆市竞赛题）9.解下列方程：（1）|3x -5 +4 =8 ；（2）4x -3 - 2 =3x +4 ；（3）x - 2x+1| =3;（4）2x T + x -2 + x +1 .10.讨论方程|x +3 — 2 = k的解的情况.11 .方程x -2 一1 =2的解是 ___________12•若有理数x 满足方程1 -X =1 +卜，则化简X-1的结果是______________________________________________________________________ .13.若a >0,b cO ，则使x —a +|x —b = a —b 成立的x 取值范围是 __________ • 14•若0vxv10，则满足条件 x_3=a 的整数a 的值共有 _____________ 个，它们的和是 ____ . 15•若m 是方程2000 —x =2000+x 的解，则m —2001等于（）.A . m 一 2001B .一 m 一 2001C . m+2001D .一 m+200116 .若关于x 的方程2x —3+m=0无解，3x —4+ n=0只有一个解，4x —5=k = 0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是（）.m>n>k B . n> k>m C . k>m>n D . m>k>n17 .适合关系式3x-4+3x+2=6的整数x 的值有（）个.2x 1的解是 _______ ._；关于x 的方程ax=|a + 1—x=0，则m 的值是（）2—10或5A . 0B . 1C . 2 D.大于2的自然数18.方程x +5 — 3x —7 =1 的解有（）.A . 1个B. 2个C . 3个D.无数个19.设a、b为有理数，且a >0，方程||x-a-b =3有三个不相等的解，求b的值.（“华杯赛”邀请赛试题）20.当a满足什么条件时，关于x的方程x-2-x-5=a有一解？有无数多个解？无解？21.已知x+2+1—x=9—y—5 — 1+y，求x+y的最大值与最小值.（江苏省竞赛题）22. （1）数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离；⑵是否存在有理数x，使x+1 +|x—3=x?（3）是否存在整数x,使x-4 + x-3 + x+3+|x+4 =14?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由.参考答案回鉅对值与一元一次方程【例題求解】ft I jr=^ll提示】原方程5jrH-6=-±(6jr-5)或械5斗斗点玉Q忑丁+亦弋。
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初中数学：解含绝对值的方程
一、运用基本公式：若，则解方程例1、解方程
解：去掉第一重绝对值符号，得
移项，得或
所以
所以原方程的解为：
例2、解方程
解：因为
所以
即
或
解方程（1），得
解方程（2），得
又因为，所以
所以原方程的解为
二、运用绝对值的代数意义解方程例3、方程的解的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4或4以上
解：方程可化为
所以
所以方程的解有无数个，故选（D）。
三、运用绝对值的非负性解方程
例4、方程的图像是（）
A.三条直线：
B.两条直线：
C.一点和一条直线：（0，0），
D.两个点：（0，1），（-1，0）
解：因为
而
所以
所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）
故选（D）。
四、运用绝对值的几何意义解方程
例5、解方程
解：设，由绝对值的几何意义知
所以
又因为
所以
从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。
五、运用方程的图象研究方程的解
例6、若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。
故选（B）。
图1 同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；
（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4个解。