函数周期性对称性专题

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函数的周期性与对称性

◆函数的轴对称

定理1：函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2

b

a x +=

对称. 推论1：函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.

◆函数的周期性

定理2：函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()T x f x f +=，则()x f 是以T 为周期的周期函数； 推论1：函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()b x f a x f +=+，则()x f 是以（a －b ）为周期的周期函数；

推论2：下列条件都是以2T 为周期的周期函数： ① ()()x f T x f -=+； ②()()

x f T x f 1

=+ ； ③()()f x T f x T +=-；

④)(1)(x f T x f -

=+； ⑤1)(1)()(-+=+x f x f T x f ； ⑥)

(1)(1)(x f x f T x f +-=+．

◆函数的点对称

定理3：函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称. 推论1：函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.

推论2：函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.

◆函数轴对称、点对称与周期性

定理4：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数

()x f y =以()b a -2为周期.（若函数f(x)的图象关于直线x=a 和x=b （b>a ）都轴对称，则函数f(x)有无数

条对称轴，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期）

定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（若函数f(x)的图象关于点（a,0）和(b,0)（b>a ）都成中心对称，则函数f(x)有无数个对称中心，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期）

◆函数的奇偶性、对称性与周期性综合

定理6：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.（若函数f(x)的图象既关于直线x= a 成轴对称，又关于点（b,c ）（a ≠b ）成中心对称，则f(x)为周期函数，并且4(b-a)是它的一个周期）

推论1：若奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a ≠0)轴对称，则f(x)为周期函数，4a 是它的一个周期； 推论2：若奇函数f(x)的图象关于点(a,0) (a ≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，2a 是它的一个周期； 推论3：若偶函数f(x)的图象关于直线x=a(a ≠0)轴对称，则f(x)为周期函数，2a 是它的一个周期； 推论4：若偶函数f(x)的图象关于点(a,0) (a ≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，4a 是它的一个周期。 定理7：函数)(a x f y +=为偶函数⇔+=+-⇔)()(a x f a x f 函数)(x f y =关于直线x=a 对称；函数)(a x f y +=为奇函数⇔-=-⇔+-=+-⇔)()2()()(x f x a f a x f a x f 函数)(x f y =关于点)0,(a 对称。

练习1：对称性

1、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于________对称。

2、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =图象关于________对称。

3、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 图象关于______对称,)(x f y =图象关于__________对称。

4、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)(x f y =图象关于__________对称，)2(x f y =关于__________对称。

5、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为________ ___ 。

6、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中:

① 若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ② )2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③ )2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④ )2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称. 其中正确命题序号为___ ____。

练习2：周期性

1、已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，x x f =)(，则(2008)(2009)f f -+的值为（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

2、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ) A.(25)(11)(80)f f f -<< B.(80)(11)(25)f f f <<- C.(11)(80)(25)f f f <<- D.(25)(80)(11)f f f -<<

3、设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 （ ）

A.(1.5)(3.5)(6.5)f f f <<

B.(3.5)(1.5)(6.5)f f f <<