内外接球的知识点专题 学案

正四面体的高： h 6 a 3
球心 O 为正四面体高的四等分点，内心、外心两心合一。
2
题型一、公式法
1．已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，记该圆锥的表面积为 S1 ，外接球的
表面积为 S2 ，则
S1 S2
（
）
A． 3: 8 B． 9 :16 C． 1: 4 D． 1: 8
2．在三棱锥 P ABC 中， AB 3BC 3 ， ABC BCP PAB 90 ，
4．在四面体 ABCD 中， AB AC 2 3 ， BC 6 ， AD 底面 ABC ， DBC 的
面积是 6，若该四面体的顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
5 ． 已 知 A, B,C, D 是 球 O 表 面 上 四 点 ， 点 E 为 BC 的 中 点 ， 若
内、外接球专题
一、几类常用的结论 设 R 为外接球的半径： 类型一：正棱椎、圆锥 公式： R= l2 （ l 是侧棱或母线长， h 是正棱椎或圆锥的高）
2h 类型二：长方体、正方体或者能够快速补成长方体或正方体的几何体
公式： R a2 b2 c2 （ a、b、c 分别是长方体的长、宽、高） 2
A． 5 3 52
B． 7 3 52
C． 5 2 D． 7 2
26
26
5．在三棱锥 A BCD 中， ABC 与 BCD 都是正三角形，平面 ABC 平面 BCD ，
若该三棱锥的外接球的体积为 20 15 ，则 ABC 边长为（ ）
A． 33 2 B． 63 4 C． 6 3 3 D． 6
6．已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 2 的正
cosCPA 2 ，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为（ ） 4
A． 5 B． 13 C． 6 D． 14 3．已知边长为 2 的等边三角形 ABC ， D 为 BC 的中点，以 AD 为折痕进行折叠， 使折后的 BDC ，则过 A、B、C、D 四点的球的表面积为（ ）
2 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
类型三：有侧棱垂直底面的椎体或柱体（棱柱、圆柱、棱锥、圆锥）
公式： R （ h )2 r 2 （ h 是侧棱长， r 是底面外接圆的半径） 2
备注：三角形外接圆半径 （1）直角三角形：斜边的一半。 （2）一般三角形：正弦定理求解。（ a b c 2R ）
sin A sin B sin C （3）球心 O 与截面圆圆心 O1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线. （3） 二、几类常见几何体球心的位置 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理 计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的 球心. 三、几类常见长方体、正方体补形法 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
A． 4
B．
C．
D．
3
7
7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形 ABCDEF 是边长为 1 的正 六边形，点 G 为 AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A． 31 6
B． 31 8
C． 481 64
D． 31 31 48
8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
BAD CBD ，且二面角 A BD C 的大小为 5 ，若四面体 ABCD 的顶点
2
6
都在球 O 上，则球 O 的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11
6．已知 P, A, B,C 是球 O 球面上的四点， ABC 是正三角形，三棱锥 P ABC 的
体积为 9 3 ，且 APO BPO CPO 30 ，则球 O 的表面积为（ ） 4
BC CD, AC 平面 BCD ，且 AC 2 2, BC CD 2 ，则球 O 的表面积为 （ ）
A． 4 B． 8 C． 16 D． 2 2 11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P ABC 为鳖臑， PA 平面 ABC ， PA AB 2, AC 4 ，三棱锥 P ABC 的 四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A． 8 B． 12 C． 20 D． 24
题型二、补形法
1．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，三棱锥 A1-BC1D 内切球的表面积为 4 ，则正方体 外接球的体积为( )
A．
B．
C．
D．
2．图是棱长为 2 的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球 O 是该正八
面体的内切球，则球 O 的表面积为（ ）
A． 8 3
B． 4 3
C． 8 6 27
D． 4 6 27
4
3．已知在三棱锥 P ABC 中，BAC ，AB AC 4 ，PA 10 ，PC 2 ， 2
侧面 PAC 底面 ABC ，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知三棱柱 ABC A1B1C1 的六个顶点都在球 的球面上，球 O 的表面积为 194 ，AA1 平面 ABC, AB 5，BC 12，AC 13 ,则直线 BC1 与平面 AB1C1 所成 角的正弦值为（ ）
AE BC, DE BC, AED 120 , AE DE 3, BC 2 ，则球 O 的表面积为
（） A． 7
3
B． 28 3
C． 4
D． 16
6．三棱锥 P ABC 中，PA 平面 ABC , PA 2 且 ABC 是边长为 3 的等边三角
形，则该三棱锥外接球的表面积为( )
1
四：常见几何体的外接球小结
1、设正方体的棱长为 a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相 切的球半径。 （1）截面图为正方形 EFGH 的内切圆，得 R a ；
2 （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如
图 2。作截面图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R 2 a 。 2
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 3，以对角面 AA1 作
截面图得，圆 O 为矩形 AA1C1C 的外接圆，易得 R A1O
3 a。 2
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图1
图2
图3
2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为 a ， O 也是球心）
内切球半径为： r 6 a 12
外接球半径为： R 6 a 4
D． 4 3
6
4．某几何体的正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，三视图如图所示，该
几何体外接球的表面积是(
)．
A． 4
B． 11 2
C． 3
D． 13 3
5．某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其 三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）
若三棱锥 S ABC 的体积为1，则球 O 的表面积为（ ） A． 4 B． 13 C． 16 D． 52 9．已知三棱锥 S ABC ， ABC 是直角三角形，其斜边 AB 8 ， SC 平面 ABC , SC 6 ,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A．
B．
C．
D．
10 ． 已 知 三 棱 锥 A BCD 的 四 个 顶 点 A, B,C, D 都 在 球 O 的 表 面 上 ，
A． 4
B．
C．
D．
3
7．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， BAC 2 ， AP 3 ， AB 2 3 ， 3
Q 是边 BC 上的一动点，且直线 PQ 与平面 ABC 所成角的最大值为 ，则三棱锥 3
P ABC 的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
8．已知 SC 是球 O 的直径， A, B 是球 O 球面上的两点，且 CA CB 1, AB 3 ，
A． 81 5
B． 81 20
C． 101 5
D． 101 20
14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、
汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之
为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1），
则该“阳马”外接球的体积为
A．
B．
C．
D．
8．已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上，且侧棱 AA1⊥平面 ABC，
若
AB=AC=3，
BAC
2 3
，AA1
8
，则球的表面积为（
）
A． 36π B． 64π C． 100π D． 104π
5
题型三、三视图有关问题 1．已知四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 P ABCD 外接球的表面 积是（ ）
2．四面体 ABCD 中， AB AC BC 2 ， BD CD 2 ，点 E 是 BC 的中点，
点 A 在平面 BCD 的射影恰好为 DE 的中点，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． 60 11
B． 44 9
C． 36 11
D． 20 11
3．在四面体 ABCD 中，若 AB CD 3 ， AC BD 2 ， AD BC 5 ，则
A． 4
B． 12
C． 16
D． 32 3
7．已知三棱锥 D ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，AB BC 2 ，AC 2 2 ，
若三棱锥 D ABC 体积的最大值为 2，则球 O 的表面积为( )
A． 8 B． 9
C． 25 3
A．
B．
C．
D．
9．多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积为（ ）
A． 34 16
B． 17 34 32
C． 17 8
8
D． 289 4
10．一个直三棱柱的三视图如图 1 所示，其俯视图是一个顶角为 2 的等腰三角 3
形，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为 2，1， 1 ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） 2
A． 125 2
B．
3
C． 25 2
D．
3
10
题型四、确定球心位置法 1 ． 如 图 ， 在 三 棱 锥 B ACD 中 ，
ABC ABD DBC ， 3
AB 3, BC BD 2 ，则三棱锥 B ACD 的外接球的表面积为（ ）
A． 19 B． 19 C． 7 5 D． 7
2
6
A．
B． 101
C．
D．
5
2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ )
A．
B．
C．
D．
3．如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三
角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的
体积的比为（ ）
A． 7 3
B． 28 9
C． 14 7 9
三角形， PA, PB, PC 两两垂直，则球 O 的体积为（ ）
A． 3
B．
2
C．
D．
7．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为棱 AB 上一点，且 AE 1，BE 3 ，以 E 为
球心，线段 EC 的长为半径的球与棱 A1D1，DD1 分别交于 F ,G 两点，则 AFG 的
面积为（ ）
A． 17
B． 21
C．
D．
4
4
12．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方
形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近 （ ）
A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm
9
13．四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
四面体 ABCD 的外接球的表面积为（ ） A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 4．在三棱锥 A BCD 中，BCD 是边长为 2 的等边三角形，ABC ABD ，
3 AB 3 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为（ ）
A． 19 2
B． 19
C． 7 5 6
D． 7
5．如图，四面体 ABCD 中，面 ABD 和面 BCD 都是等腰直角三角形， AB 2 ，