湖南师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高二第二次月考数学试题

∴由余弦定理可得： a2 = b2 + c2 − 2bc cos π 4
∴ b2 − a=2 2bc − c2
又 b2 − a2 = 1 c2 2
∴ 2bc − c2 =1 c2 ，∴ 2b = 3 c .可得 b = 3 2c
2
2
4
∴ a2 =b2 − 1 c2 =5 c2 ，即 a = 10 c
A. − 3 2
B. − 3 2
C. − 3 3 2
D. − 9 2
7.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点 F 在 x 轴正半轴上，点 M 为圆 O : x2 + y2 = 12 与 C 的一个交点，
且 MF = 3 ，则 C 的标准方程是( )
A. y2 = 2x
B. y2 = 3x
C. y2 = 4x
∴ tan C = 2
1
1 10 3 2 2 5
(2)∵ S△ABC
=absin C 2
=× 2
4
c×
4
c×
5
= 3
解得 c = 2 2
= ∴ b 3= 2c 3 4
18.【解析】(1)证明：由已知得，= bn 2an > 0
当 n ≥ 1 时， bn+=1 bn
2an+1 =
2an
2an + 1 − an=
8
∴ Tn
− 4Tn
=
4 + 42
+ + 4n
− n ⋅ 4n+1
=
4n+1 − 4 3
− n ⋅ 4n+1
=
(1 − 3n) 4n+1
3
−4
(3n −1) 4n+1 + 4
∴ Tn =
9
19.【解析】(1)散点图如图所示
6
∑ xi yi − 6x ⋅ y
(2) r =
i =1
∑ ∑
6
xi2
−
6x
45° ？
21.(本小题满分 12 分) 新冠肺炎疫情的发生促进了医药科研的发展.某医药研究所研发了一种治疗新冠肺炎的新药，经临床试验，
该药物在病人血液中的含量不低于 2 克时，它才能起到有效的治疗作用，且每服用 m (1 ≤ m ≤ 4 且 m ∈ R )
个单位的药剂，药剂在血液中的含量 y (克)随着时间 x (小时)变化的函数关系式近似为 y = mf ( x) ，其中
B.不及格( 60 分以下)的考生人数约为1000 人 C.考生竞赛成绩平均分的估计值为 70.5 分
1
D.考生竞赛成绩中位数的估计值为 75 分
6.已知 △ABC 是边长为 3 的正三角形，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 AC 边上，且 AN = 2NC ，则 BN ⋅ CM = ( )
全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.对于两条不同直线 m ， n 和两个不同平面α ， β ，则下列说法中正确的是( )
A.若 m ⊥ α ， n ⊥ α ，则 m//n
B.若 m ⊂ α ， n ⊂ α ， m// β ， n// β ，则α // β
C.若α ⊥ β ， m ⊂ α ，则 m ⊥ β
D. y2 = 6x
8.已知四棱锥 S − ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面 ABCD 是经过球心 O 的正方形，当该四棱锥
的体积取最大值时，其表面积为 4 + 4 3 ，则球 O 的体积等于( )
4
A.
2π
3
8
B.
2π
3
16
C.
2π
3
32
D.
2π
3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
2d ，
∴数列{bn} 为首项是 2a1，公比为 2d 的等比数列；
(2) an = n ， bn = 2n ， anbn2 = n4n
∴ Tn =1⋅ 4 + 2 ⋅ 42 + 3 ⋅ 43 + + (n −1) ⋅ 4n−1 + n ⋅ 4n
4Tn =1⋅ 42 + 2 ⋅ 43 + + (n −1) ⋅ 4n + n ⋅ 4n+1
28
4
= ∴ cosC a= 2 + b2 − c2
5 c2 + 9 c2 − c2 8 = 8
5
2ab
2 × 10 c × 3 2 c 5
4
4
∵ C ∈ (0,π )
7
∴ sin C =1 − cos2 C = 2 5 5
∴ t= an C s= in C 2 cos C
或由 A = π ， b2 − a2 = 1 c2
2
6
yi2
−
6y2
D.直线 l 的方程是 y = 2x
2
12.已知函数
f
(x)
=
−x2 − 3x, x < 0
f
(
x
− 3),
x
≥
0
，则下列结论正确的是(
)
A. f ( x) 在区间[4,6]上是增函数
B. f (−2) + f (2020) =4
6
C.若函= 数 y f ( x) − m 在 (−∞,6) 上有 6 个零点 xi (i = 1, 2,,6) ，则 ∑ xi = 9 i =1
(2)若点 M 的轨迹是焦距为 4 的双曲线(除去点 A 、 B )，则 m = ________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
设函数 f (= x)
sin
ω x
−
π 6
+
sin
ω
x
−
π 2
，其中
0
<
ω
<
3
尺寸 x(mm)
38
48
58
68
78
88
质量 y ( g )
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
y
质量与尺寸的比值
x
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
(1)检测标准指出，当产品质量与尺寸的比值在区间 (0.302,0.388) 内时为优等品.现从所抽取的 6 件合
格产品中再任选 2 件，求选出的 2 件产品均为优等品的概率；
D.若α ⊥ β ， m ⊥ β ， m ⊂/ α ，则 m//α
10.对于函数 = f ( x)
cos
x
+
π 3
，下列结论正确的是(
)
A. f ( x) 的一个周期为 −2π
B.
f
(x)
在
π 2
,π
上单调递减
C. f ( x) 的图象关于直线 x = 8π 对称
3
D. x = π 为 f ( x + π ) 的一个零点
A. 5 + 7
B. 5 + 10
C. 5 + 19
D.12
5.在某次高中学科竞赛中，4000 名考生的参赛成绩按[40,50) ，[50,60) ，[60,70) ，[70,80) ，[80,90) ，
[90,100] 分成六组，其频率分布直方图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A.成绩在[70,80) 内的考生人数最多
，已知
f
π 6
=
0
.
(1)求 f ( x) 的最小正周期；
(2)将函数 y = f ( x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将整个图象向左平移
π 4
个单位，得到函数
y
=
g
(
x)
的图象，求
g
(
x)
在区间
−
π 4
，3π 4
上的最小值.
3
18.(本小题满分 12 分)
已知数列{an} 满足 a1 = 4 ，当 n ≥ 2 时， an − 2an−1 = 2n . (1)求数列{an} 的通项公式；
15.已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a + b =6 ，则 a + 1 + b + 3 的最大值为________.
16.已知点 A(1,0) ， B (−1,0) ，动点 M 满足：直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为定值 m(m ≠ 0) .
(1)若点 M 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆(除去点 A 、 B )，则 m 的取值范围是________；
6
11.双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
=
1( a
>
0, b
>
0) 的右焦点为 F
，直线 l 为 C 的一条斜率为正数的渐近线，O 为坐标
原点.若在 C 的左支上存在点 P ，使点 P 与点 F 关于直线 l 对称，则下列结论正确的是( )
A. PF = 2b
B.△POF 的面积为 ab
C.双曲线 C 的离心率为 3
4
2
可得： sin2 B − sin2 A = 1 sin2 C 2
∴ sin2 B − 1 =1 sin2 C 22
∴ − 1 cos 2B = 1 sin2 C
2
2
∴
−
sin
2
B
+
π 2
= sin 2
C
∴
−
sin
2
3π 4
−
C
+
π
2
= sin2 C
∴ sin 2C = sin2 C ， sin C ≠ 0 ， cosC ≠ 0
54
B.双曲线 y2 − x2 = 1 的顶点坐标是 (±2,0)
43
C.抛物线 y2 = −12x 的准线方程是 x = 3
D.直线 3x − 4 y + 1 =0 与圆 ( x + 1)2 + ( y − 2)2 = 4 相交
4.已知△ABC 的面积为 3 3 ， A= 60° ，且 2sin B = 3sin C ，则△ABC 的周长为( ) 2
A.
B.
C.
D.
2.设 m 为给定的实常数，命题 p : ∀x ∈ R ， x2 − 4x + 2m ≥ 0 ，则“ m ≥ 1”是“ p 为真命题”的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件 3.下列结论中正确的是( )
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.椭圆 x2 + y2 = 1的焦点坐标是 (±3,0)
求 DE 的最小值.
6
湖南师大附中 2021-2021 学年高二第一学期第一次大练习
数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
Βιβλιοθήκη Baidu
9
10 11 12
D C B A B C A B AC A
B
C
二、填空题 π
13.
6
14. − 4 5
15. (−1, 2)
25
16.
2
三、解答题
17.【解析】(1)∵ A = π 4
湖南师大附中 2020—2021 学年度高二第二次月考
时量：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1.已知对数函数=y loga x (a > 0, a ≠ 1) 的图象经过点 P (3, −1) ，则幂函数 y = xa 的图象是( )
如图，设椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， A ， B 为椭圆长轴的两个端点， F 为椭圆的右焦点.
已知椭圆的离心率为
3
，且
AF
⋅
BF
= 4 .
2
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设 M 是椭圆 C 上不同于 A ，B 的一个动点，直线 AM ，BM 分别与直线 x = 6 相交于点 D ，E ，
D.当 −1 < k < − 1 时，关于 x 的方程 f ( x=) kx + 1恰有 3 个实根
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.使{1, 2} M = {1, 2,3} 成立的集合 M 共有________个.
14.已知 a ， b 为单位向量，且 a ⊥ (a + 2b) ，则向量 a 与 b 的夹角为________.
6
6
6
6
∑ ∑ ∑ ∑ (2)经计算， lnxi = 24.6 ， lnyi = 18.3 ， (ln xi )2 = 101.4 ， (ln xi ⋅ ln yi ) = 75.3 ，求 y 关
i =1
i =1
i =1
i =1
于 x 的回归方程.
附：对于样本数据 (ui ,vi )(i = 1, 2,, n) ，其回归直线=vˆ bˆu + aˆ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式
分别为：
n
n
∑(ui − u )(vi − v ) ∑uivi − nu v
= = bˆ i= 1= n i
1 n
， aˆ=
∑(ui − u )2
∑ ui2 − nu 2
=i 1=i 1
v − bˆu .
4
20.(本小题满分 12 分)
如图所示，在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中， A=D A= A1 1， AB = 2 ，点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明： D1E ⊥ A1D ； (2)求当 AE 为何值时，二面角 D1 − EC − D 的大小为
( ) (2)设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，证明： Sn ≤ 2an − 4 n ∈ N* .
19.(本小题满分 12 分)
某工厂生产不同规格的一种产品，根据统计分析，其合格产品的质量 y ( g ) 与尺寸 x (mm) 之间的相关关
系可用回归模型 y = cxb ( b ， c 都为正常数)进行拟合，现随机抽取 6 件合格产品，其检测数据如下表：
f
(
x)
=
10
4
4
+ −
x x 2
,0 ,6
≤ ≤
x x
< ≤
6 8
.
(1)若病人一次服用 3 个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？ (2)若病人第一次服用 2 个单位的药剂，在有效治疗时间末端再服用 m 个单位的药剂，要使接下来的 2
小时中能够持续有效治疗，求 m 的最小值.
5
22.(本小题满分 12 分)