一维随机变量函数的分布
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一维随机变量的分布函数
一维随机变量的分布函数
一维随机变量的分布函数是指在实数轴上，对于任意实数x，随机变量X小于等于x的概率，即F(x)=P(X<=x)，其中P为概率。
分布函数具有以下性质：
1. F(x)是一个单调不减的函数，即随着x的增大，F(x)也会增大或不变。
2. F(x)的取值范围是[0,1]，因为概率的取值范围也是[0,1]。
3. F(x)是右连续的，即对于任意x，F(x)的左右极限相等，且F(x)在x处连续。
4. 若X是一个连续型随机变量，则F(x)可以表示为X的概率密度函数f(x)的积分，即F(x)=∫f(t)dt，其中积分下限为负无穷，上限为x。
5. 若X是一个离散型随机变量，则F(x)可以表示为X的概率质量函数p(x)的累加和，即F(x)=∑p(t)，其中t取遍所有小于等于x 的离散值。
分布函数是描述随机变量的一个重要工具，可以用来求解各种概率问题，例如求解随机变量X落在某个区间内的概率，或者求解X的统计特征值等。
- 1 -。
一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B （n,p）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P（）及其应用。
3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a,b）、正态分布N（）、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布E（）的概率密度为会求随机变量函数的分布。
本章导读本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。
介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。
分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。
一、随机变量1概念随机试验的每一个可能的结果（即每一基本事件），对应样本间的集合中每一元素，我们都可以设令一个实数来表示该元素，显然，为实值单值函数，称为随机变量。
对，我们试验前无法确定，也就无法事先确定的值，只有在试验后才会知道的值，但取值一定服从某种确定的分布。
随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。
比如：将一枚硬币抛三次，以表示三次投掷中出现正面的总次数，那么，对于样本空间中的每一个样本点，都有一个值与之对应，即二、随机变量的分布函数2.1 随机变量的分布函数（适合任何类型的随即变量）陈氏第2技随机变量的分布函数的全新揭秘。
● 分布函数定义形式的渊源一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率由于当所以，我们只须定义一个形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。
《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节-精品文档
X
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
2019/3/16
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
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例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
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例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有
§3.5 随机变量函数的分布
( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数
2.1.3 一维随机变量的分布函数
其分布函数为第一节第二章第一节第二章一维随机变量分布函数的性质即处处右连续
第一一节维随机变量的分布函数
市场现状分析
第二章
问题提出：对于连续型随机变量，如{a X b},如何分析其分布？
分析： P{a X b} P{ X b} P{ X a} P{a X b} P{X b} P{X a} P{X b} P{X a}
X 2
1 1
P 0 .1 0 .3 0 .6
市场现状分析
求X的分布函数 .
*
第二章
3
第一一节维随机变量的分布函数 特别地，对于离散型 . .，其分布函数为
市场现状分析
第二章
0
⋯
⋯
⋯
⋯
1
*
4
第一节一维随机变量的分布函数 1
0
⋯
第二章
*
第一节一维随机变量的分布函数
市场现状分析
一维随机变量分布函数的性质
P{a X b} P{X b} P{X a} P{X a} P{a X b} P{X b} P{X a} P{X b} 定义 设X为一维随机变量，x是任意实数， 则函数 F ( x) P{X x}称为一维随机变量 X的分布函数 .
(1) -∞
∞是任意实数，0 F
1;
(2) 当x x 时， x
x，
即 为 的单调非减函数；
(3) ∞ F∞
lim F x 0
⟶
lim F x 1;
⟶
(4) lim F x
⟶
，即处处右连续。*来自第二章6*
1
第一节一维随机变量的分布函数
市场现状分析
第一一节维随机变量的分布函数
市场现状分析
第二章
问题提出：对于连续型随机变量，如{a X b},如何分析其分布？
分析： P{a X b} P{ X b} P{ X a} P{a X b} P{X b} P{X a} P{X b} P{X a}
X 2
1 1
P 0 .1 0 .3 0 .6
市场现状分析
求X的分布函数 .
*
第二章
3
第一一节维随机变量的分布函数 特别地，对于离散型 . .，其分布函数为
市场现状分析
第二章
0
⋯
⋯
⋯
⋯
1
*
4
第一节一维随机变量的分布函数 1
0
⋯
第二章
*
第一节一维随机变量的分布函数
市场现状分析
一维随机变量分布函数的性质
P{a X b} P{X b} P{X a} P{X a} P{a X b} P{X b} P{X a} P{X b} 定义 设X为一维随机变量，x是任意实数， 则函数 F ( x) P{X x}称为一维随机变量 X的分布函数 .
(1) -∞
∞是任意实数，0 F
1;
(2) 当x x 时， x
x，
即 为 的单调非减函数；
(3) ∞ F∞
lim F x 0
⟶
lim F x 1;
⟶
(4) lim F x
⟶
，即处处右连续。*来自第二章6*
1
第一节一维随机变量的分布函数
市场现状分析
一维连续型随机变量函数的分布
解
1 1 fY ( y ) fX ( y 2) 3 3
1 2 y 3 2 y 2 2e 0 3 3 0 其它
2 2( y3 2） e 3 0
y2 其它
x , 0 x4 例： X ~ f ( x) 8 时，定理为真
例1.已知 X 的 d.f.为 f X ( x), Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ) 解 y b
y g ( x) ax b, x h( y ) 1 h( y) . a
a
,
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
一维连续型随机变量 函数的分布
一般地,对 y= g(x)是严格单调函数,有下面的结论.
定理 设X是一个连续型随机变量，其密度函数
为 f(x), 又函数 y= g(x) 严格单调，其反函数 h ( y ) 有连续导数，则 Y = g (X) 也是一个连续型随机 变量，且其密度函数为
f X [ h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
1 3
Y X 3， fY ( y )。 求
y g ( x) x3， x y h ( y ) 解：
g '( x) 3x 0， fY ( y) 1 y f X ( y ) 3
2
2 3 1 3
1 1 y 3 , 0 y 64 fY ( y ) 24 0, 其他
Y ~ N (a b, a )
2 2
一般若X ~ N ( , 2 )， aX b Y ~ N (a b, a 2 2 ) Y
特别地 ，若
一维连续型随机变量函数的分布
函数 x h( y)，则Y g(X )是连续性随机变量．其密度函数
为
fY
(
y)
f
X
[h( y)] 0
|
h(
y)
|
当 y
其他
其中 min{g(), g()}， max{g(), g()}．
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•作业 •第63页 10
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Y X 3的概率密度．
解： X 的密度函数为
ex 当 x 0
f (x) 0
当x0
因为函数 y x3是严格单调
增函数，其反函数为 x 3 y ，由
X 的密度函可数直接求得Y 的 密度函数.
fY ( y)
f (3 0
y )( 3
y ) 当 y 0 ,
当y0
即
fY
(
y)
1 3
e
3
y
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例3.6
定理3.2
例3.7
例3.8
同步练习
小结
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第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
例 3.6 设随机变量 X 有
解：设 Y 的分布函数为 FY ( y)，
概率密度
则
x
f
X
(
x)
8
0
当0 x 4 其他
Y 2X 1的密度函数为
fY
( y)
y1 e 2 (
y 1) 2
,
y
1，
0
, y 1
即
fY
(
第六章 随机变量的函数及其分布
例：设随机变量X服从区间(0，1)上的均匀分布.试求Y=X2 的密度函数. 解 当y<0时,P(X2≤y)=0
FY ( y) 0
y y y 1 dx y , 0 y 1 f X ( x)dx 0 1, 其他
当y≥0时,P(X2≤y)= FY ( y) 于是Y分布函数为
y
-
p ( x)dx p ( x)dx
x - x
பைடு நூலகம் y
再由分布函数求概率密度
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
p
Y
( y ) F 'Y ( y )
p
x
( y )( y )'
p
x
( y )( y )'
ye y 2 1 1 ,y0 ( y ) 3 e ( y ) 0 2 2 y 2 y 0, y 0 y 3 当Y 2 X 3时有y 2 x 3 x , 2 3 2 ) y 3 3 ( y2 y 3 y 3 2 ( ) e ( )', y 3 ( y ) ( y ) ( x ) dx ' pY 2 p x 2 F 'Y 0, y 3
P(Y=-1)= P(X<10)
P(Y=20)= P(10≤X≤12
12 11 10 11 Φ( ) Φ ( ) 1 1 Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为
Y -5 p 0.16
-1 20 0.16 0.68
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
3 2 ) 1 y 3 3 ( y2 ) e ，y 3 ( 2 2 0, y 3
FY ( y) 0
y y y 1 dx y , 0 y 1 f X ( x)dx 0 1, 其他
当y≥0时,P(X2≤y)= FY ( y) 于是Y分布函数为
y
-
p ( x)dx p ( x)dx
x - x
பைடு நூலகம் y
再由分布函数求概率密度
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
p
Y
( y ) F 'Y ( y )
p
x
( y )( y )'
p
x
( y )( y )'
ye y 2 1 1 ,y0 ( y ) 3 e ( y ) 0 2 2 y 2 y 0, y 0 y 3 当Y 2 X 3时有y 2 x 3 x , 2 3 2 ) y 3 3 ( y2 y 3 y 3 2 ( ) e ( )', y 3 ( y ) ( y ) ( x ) dx ' pY 2 p x 2 F 'Y 0, y 3
P(Y=-1)= P(X<10)
P(Y=20)= P(10≤X≤12
12 11 10 11 Φ( ) Φ ( ) 1 1 Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为
Y -5 p 0.16
-1 20 0.16 0.68
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
3 2 ) 1 y 3 3 ( y2 ) e ，y 3 ( 2 2 0, y 3
一维随机变量函数的分布
连续随机变量
如果随机变量的取值范围是某个区间上的所有实 数，则称该随机变量为连续随机变量。
随机变量的分类
离散型随机变量
根据其取值特点，可以分为二项 式、泊松、几何、超几何等类型 。
连续型随机变量
根据其概率密度函数的特点，可 以分为均匀、指数、正态等类型 。
随机变量的分布函数
分布函数
对于任意实数x，分布函数F(x)表示随机变量 X小于或等于x的概率。
性质的应用
这些性质在概率论和统计学中有着广泛的应用，如概率密度函数的计算、随机变量的期望和方差的计 算等。
05
CATALOGUE
随机变量的运算性质
随机变量的和与积
要点一
随机变量的和
若X和Y是两个随机变量，则X+Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
要点二
随机变量的积
若X和Y是两个随机变量，则X×Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
均匀分布
均匀分布是一种特殊的连续随机 变量，其概率密度函数在一定区 间内保持恒定，常用于描述某些 物理量在一定范围内的均匀分布 情况。
04
CATALOGUE
随机变量的函数
随机变量函数的定义
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个或多个随机 变量作为输入，经过某种运算或变换 后得到另一个随机变量。
离散随机变量的所有可能取 值的集合。
离散随机变量的值域
离散随机变量取到的所有可 能值的集合。
离散随机变量的分布律
01
分布律
描述离散随机变量取各个可能值 的概率的表格。
02
分布律的性质
分布律中的概率值总和为1，即 所有概率值的和等于1。
如果随机变量的取值范围是某个区间上的所有实 数，则称该随机变量为连续随机变量。
随机变量的分类
离散型随机变量
根据其取值特点，可以分为二项 式、泊松、几何、超几何等类型 。
连续型随机变量
根据其概率密度函数的特点，可 以分为均匀、指数、正态等类型 。
随机变量的分布函数
分布函数
对于任意实数x，分布函数F(x)表示随机变量 X小于或等于x的概率。
性质的应用
这些性质在概率论和统计学中有着广泛的应用，如概率密度函数的计算、随机变量的期望和方差的计 算等。
05
CATALOGUE
随机变量的运算性质
随机变量的和与积
要点一
随机变量的和
若X和Y是两个随机变量，则X+Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
要点二
随机变量的积
若X和Y是两个随机变量，则X×Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
均匀分布
均匀分布是一种特殊的连续随机 变量，其概率密度函数在一定区 间内保持恒定，常用于描述某些 物理量在一定范围内的均匀分布 情况。
04
CATALOGUE
随机变量的函数
随机变量函数的定义
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个或多个随机 变量作为输入，经过某种运算或变换 后得到另一个随机变量。
离散随机变量的所有可能取 值的集合。
离散随机变量的值域
离散随机变量取到的所有可 能值的集合。
离散随机变量的分布律
01
分布律
描述离散随机变量取各个可能值 的概率的表格。
02
分布律的性质
分布律中的概率值总和为1，即 所有概率值的和等于1。
一维的分布函数
一维的分布函数
一维分布函数是用来描述一个一维随机变量的概率分布的函数。
它可以用于描述连续型和离散型一维随机变量的概率分布情况。
对于连续型随机变量，一维分布函数通常被称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。
CDF表示了随机变量取值小于等于给定值的概率。
对于一个随机变量X，其CDF 函数可以表示为F(x) = P(X <= x)。
对于离散型随机变量，一维分布函数通常被称为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）。
PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。
对于一个离散型随机变量X，其PMF函数可以表示为f(x) = P(X = x)。
例如，考虑一个连续型随机变量X，表示某种产品的寿命。
我们可以用CDF函数描述该产品的寿命小于等于给定值的概率。
如果我们有一个具体的值x，可以通过计算CDF函数F(x)来得到寿命小于等于x的概率。
另一个例子是一个离散型随机变量Y，表示一个骰子的面数。
我们可以用PMF函数来描述抛掷该骰子得到某个特定面数的概率。
如果我们有一个具体的值y，可以通过计算PMF函数f(y)来得到抛掷骰子得到该面数的概率。
一维分布函数在统计学和概率论中是非常常用的工具，它提供了对随机变量的概率分布进行描述、计算和分析的方法。
通过了解一维分布函数，我们可以更好地理解和分析随机变量的概率特征和统计规律。
概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第五节：随机变量的函数的分布
y 8 用 X 代替2 X +8 y 2
概率论
用
y X
y 代替 X y
2
这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.
这是求r.v.的函数的分布的一种常用方法.
概率论 定理: 设 X是一个取值于区间 [a, b], 具有概率密度 f(x)的连续型随机变量, 又设 y=g(x)处处可导, 且对于任意 x, 恒有 g'(x)>0 或恒有 g'(x)<0, 则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为：
y
f X ( x)
1
( x ) 2
2
2
概率论
2
1
e
,
x
yb fY ( y ) fX , a a
y
2
即：fY ( y )
1 a
1 2
yb a 2
2
e
dh( y ) , f X [h( y )] fY ( y ) dy 0,
a x b
y
其它
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b
x=h(y) 是 y=g(x) 的反函数 .
概率论 2x 2 0 x 例4: 设随机变量X的概率密度为: f X ( x ) 求 Y = sinX 的概率密度. 1 Y 1 0 其它 解: 当 0 x 时, 0 y 1 FY y P Y y
当 y 0时，FY ( y ) 0,
当 y 1时，FY ( y ) 1，
概率论
用
y X
y 代替 X y
2
这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.
这是求r.v.的函数的分布的一种常用方法.
概率论 定理: 设 X是一个取值于区间 [a, b], 具有概率密度 f(x)的连续型随机变量, 又设 y=g(x)处处可导, 且对于任意 x, 恒有 g'(x)>0 或恒有 g'(x)<0, 则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为：
y
f X ( x)
1
( x ) 2
2
2
概率论
2
1
e
,
x
yb fY ( y ) fX , a a
y
2
即：fY ( y )
1 a
1 2
yb a 2
2
e
dh( y ) , f X [h( y )] fY ( y ) dy 0,
a x b
y
其它
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b
x=h(y) 是 y=g(x) 的反函数 .
概率论 2x 2 0 x 例4: 设随机变量X的概率密度为: f X ( x ) 求 Y = sinX 的概率密度. 1 Y 1 0 其它 解: 当 0 x 时, 0 y 1 FY y P Y y
当 y 0时，FY ( y ) 0,
当 y 1时，FY ( y ) 1，
第六章随机变量的函数及其分布
定理1 正态分布的线性函数仍服从正态分布
设X ~ N ( , ), Y aX b(a 0), 则
2
Y ~ N (a b, (a ) )
2
推论 正态分布的标准化方法 X 2 若X ~ N ( , ), 则 ~ N (0, 1)
定理2 若随机变量X及其函数Y = g(X)的密度函 数分别为fX (x), fY (y), 且g(x)是严格单调 函数，则： fY ( y) f X [(G( y)] G( y) 其中x = G(y)为y = g(x)的反函数.
例：设(X, Y)的联合分布律为： Y 0 1 2 X 1 1 3 1 12 12 12 1 1 2 0 2 12 12 2 2 3 0 12 12 请求出：(1) X+Y的分布律； (2) X-Y的分布律； (3) X2+Y-2的分布律.
解：由(X, Y)的联合分布律可得如下表格
1 1 ( , 2) ( , 1) (3, 2) ( X , Y ) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1, 0) 2 2
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 X-Y 1 0 -1 5/2 3/2 5 3
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12
X2+Y-2
-3
-2
-1
-15/4 -11/4
5
7
概率
1/12 1/12 3/12 2/12 1/12
2/12 2/12
或
两个独立随机变量的和的分布 如果X与Y相互独立，则： X P (1 ) (1) X Y P (1 2 ) Y P ( 2 )
一维随机变量函数的分布
1 又 X 的概率密度 f X ( x) e 2 ( x )2 2 2
， x ．
由定理 4.1， Y 的概率密度为
y b 1 1 1 fY ( y) f X ( ) e a a a 2
其中 y ．
y b 2 ) a 2 2 (
1 1 4
0 1 6 0
1
1 1 4 1 1
2 1 3 4 2
1 1
②适当合并，得 0 1 4 Y ~ 1 1 1， 6 2 3 1 2 Z ~ 2 1． 3 3
3
1 例 4.2 随机变量 X 的分布律为 P{ X k} k , k 1, 2,3, ． 2
第二步： 对其中 Y 取值相同的项适当进行概率合并， 即得Y 的分布律．
2
1 0 1 2 例 4.1 设随机变量 X ~ 1 1 1 1 ， 分别求出 4 6 4 3
Y X 2 和 Z max{X ,1} 的概率分布．
解 ①作下列列表计算
X
P Y Z
解 由于 Y 的取值为 1, 0 和 1 ， 所以 Y 为离散型随机变量， 求Y 的概率分布就是要求 Y 的分布律．因为
1 P{Y 1} P{ X 0} ， P{Y 0} P{ X 0} 0 ， 3 1 0 1 2 ． P{Y 1} P{ X 0} ，故 Y 的分布律为 Y ~ 1 2 3 0 9 3 3
2
解
X S 的分布函数为 FS (s) P{S s } P{
当 s 4 时， FS (s) 0 ；
2
s } ．
当 s 9 时， FS ( s) 1 ；当 4 s 9 时，
， x ．
由定理 4.1， Y 的概率密度为
y b 1 1 1 fY ( y) f X ( ) e a a a 2
其中 y ．
y b 2 ) a 2 2 (
1 1 4
0 1 6 0
1
1 1 4 1 1
2 1 3 4 2
1 1
②适当合并，得 0 1 4 Y ~ 1 1 1， 6 2 3 1 2 Z ~ 2 1． 3 3
3
1 例 4.2 随机变量 X 的分布律为 P{ X k} k , k 1, 2,3, ． 2
第二步： 对其中 Y 取值相同的项适当进行概率合并， 即得Y 的分布律．
2
1 0 1 2 例 4.1 设随机变量 X ~ 1 1 1 1 ， 分别求出 4 6 4 3
Y X 2 和 Z max{X ,1} 的概率分布．
解 ①作下列列表计算
X
P Y Z
解 由于 Y 的取值为 1, 0 和 1 ， 所以 Y 为离散型随机变量， 求Y 的概率分布就是要求 Y 的分布律．因为
1 P{Y 1} P{ X 0} ， P{Y 0} P{ X 0} 0 ， 3 1 0 1 2 ． P{Y 1} P{ X 0} ，故 Y 的分布律为 Y ~ 1 2 3 0 9 3 3
2
解
X S 的分布函数为 FS (s) P{S s } P{
当 s 4 时， FS (s) 0 ；
2
s } ．
当 s 9 时， FS ( s) 1 ；当 4 s 9 时，
一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量 X 的分布律如下表所示
X -1 0 1 2
pk 0.1 0.4 0.2 0.3
求随机变量 Y ( X 1)2 的分布律。
二、一维连续型随机变量函数的分布
设随机变量 X 的概率密度为 fX (x)，则 X
的函数 Y g(X ) 的分布函数为：
FY y P{Y y} P{g(X ) y} fX (x)dx g(x) y
fY ( y) .
例4 设随机变量 X ~ N (, 2) ，试证明 X
的线性函数 Y aX b(a 0) 也服从正态分布.
例5 设随机变量 X 的分布函数 F(x) 严格单调连续， (1) 求随机变量 Y F X 的概率密度；
(2) 求随机变量 Z 2ln F(X ) 的概率密度.
1 1
x0 x0
概率论与数理统计
例6 若函数 g(x) 在区间 (x0, x1] 内取常量，即
g(x) yi
x (x0, x1]
试用随机变量X的分布函数 FX (x) 和 g(x) 表示事件
{Y yi} 的概率.
例7 若随机变量 X ~ Exp(0.5)，求随机变量
.
Y g(X ) 的分布函数 FY ( y) ，其中
g(x)
h( y) 是函数 g(x) 的反函数.
注1：若 X 的概率密度 fX (x) 在有限区间 a,b
以外等于零，则只需假设在 a,b 上有 g(x) 0（或
g(x) 0）此时 min g(a), g(b), maxg(a), g(b)
注2：如果函数 y g(x) 非单调变化，则先将 y g(x) 的单调区间求出，在每个单调区间上都使用这个公式， 然后再将各单调区间的结果相加可得 fY ( y) 。
第二章 一维随机变量及其分布
注：一般X(ω) 简单记为X，
{ω∣X(ω) ≤ x} 记为{X ≤ x}
一维随机变量的分布函数
分布函数
设X是一个随机变量，x是任意实数，函 数F(x)=P{ω∣X(ω) ≤ x}称为随机变量X的分 布函数，记作FX(x)或F(x)。 X 的分布函数也常简记为FX(x)= P{X≤x}
分布函数的性质
任一随机变量X的分布函数F(x)，x∈(－∞， ＋∞)，具有下列性质：
(1) 0≤ F(x) ≤ 1
(2) 若x1<x2，则 F(x1) ≤ F(x2) 证明： 若x1<x2 ，则有
X x2 X x1
根据概率的性质，得P{X<x2} ≥P{X<x1} 即 F(x2) ≥F(x1)
0.0169
19
若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2) ，
则有
PX 2
k 2 k!
20
k
e
k 2
20 0.2 k
k!
e
0.2
0.0176
（2）设Y表示同一时刻发生故障的设备数，则
Y～B(80,0.01)。 当同一时刻至少有４台设备发生故障时，就不 能及时维修。 用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ，得 80 k 80 0.8 k 0.8
(2) 0≤F(x) ≤1 ，且
x x
lim F x F 0
lim F x F 1
对任意实数 x0 ，有
(3) 右连续性
F x0 0 F x0 其中F x0 0 lim F x
3.4随机变量函数的分布
3.4.1一维随机变量函数的分布
求Y=g(X) 的分布的一般方法的步骤：若X~f(x), -< x<
+(1) 确定Y的取值范围R(Y)；
（2）求Y的分布函数, 任意y ∈R(Y) ，
FY (y) ＝P{Yy}＝P {g(X) y}＝
f ( x)dx
g ( x) y
（3）对分布函数求导，
fY (
(4)
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y b), a
y R(Y );
例3.4.4.(1)设X ~ N (, 2 )，Y aX b(a 0)
求Y的密度函数 fY ( y)；若Y
解：(1).由X的密度f X (x)
X .求Y的分布。
1
e
(
x) 2 2
2
,易知
2
1 yb fY ( y) a fX ( a )
2
0, y 0.
2 分布, 记作Y～ 2 (1).
即为Γ （1/2，1/2）
二维连续型随机变量的函数的分布（不要求）
设二维随机变量(X,Y)~f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数， 则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为
FZ (z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z) f (x, y)dxdy g ( x, y ) z
1
[ y (a b)]2
exp{
2 . a
2(a )2
},( y )
即：Y ~ N (a b, a2 2 ).
重要结果
~X N (, 2 )
• a bX (b 0) ~ N (a b, | b |2 2 )
•
特别：
X
求Y=g(X) 的分布的一般方法的步骤：若X~f(x), -< x<
+(1) 确定Y的取值范围R(Y)；
（2）求Y的分布函数, 任意y ∈R(Y) ，
FY (y) ＝P{Yy}＝P {g(X) y}＝
f ( x)dx
g ( x) y
（3）对分布函数求导，
fY (
(4)
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y b), a
y R(Y );
例3.4.4.(1)设X ~ N (, 2 )，Y aX b(a 0)
求Y的密度函数 fY ( y)；若Y
解：(1).由X的密度f X (x)
X .求Y的分布。
1
e
(
x) 2 2
2
,易知
2
1 yb fY ( y) a fX ( a )
2
0, y 0.
2 分布, 记作Y～ 2 (1).
即为Γ （1/2，1/2）
二维连续型随机变量的函数的分布（不要求）
设二维随机变量(X,Y)~f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数， 则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为
FZ (z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z) f (x, y)dxdy g ( x, y ) z
1
[ y (a b)]2
exp{
2 . a
2(a )2
},( y )
即：Y ~ N (a b, a2 2 ).
重要结果
~X N (, 2 )
• a bX (b 0) ~ N (a b, | b |2 2 )
•
特别：
X
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fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的 另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)
FY
(
y
)
y
FX
y FX
y
y
.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)
2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y
1 4
e
(
y3 4
)
,
0
y3 y3
(2) Y ln X x e y
2.当y≥0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y}
P{ y X y}
FX ( y ) FX ( y )
2.当y≥0时，
1 f ( x) 2
2 x4
0, 其它
FY ( y) P{Y y} FX ( y) FX ( y)
若X取值x 时，Y 取值为y=g(x)，
则称Y为随机变量X的函数。
记为：Y=g(X)
例1 设随机变量X的分布律为
X －1 0
1
2
pk 0.2 0.3 0.4 0.1
求Y=2X 2 +1的分布律．
Y的可能取值为： 1,3,9
P{Y=1}= P{ X 0)
0.3
P{Y=3}= P{X 1} P{X 1} 0.2 0.4
Y ~ N a b,a 2
例：
已知X ~ N (0,1), 则Y 2X 1的概率密度函数为：
Y ( y)
1
y12
e 24
2 2
y
设试求随：机变(1量)YX的2密X度函3数的为密f度( x函) 数012 e
x
2,
已知
求Y=g(X)
密度函数 f X(x) 分布函数 FX(x)
f Y(y)=?
FY(y)=?
基本方法：分布函数法
第一步：求Y的分布函数 FY (y)
第二步： 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
例题讲解
例1：已知随机变量X的分布函数FX(x),
则随机变量Y=aX+b (a>0)的分布函数
FY(y)= P{Y y}
问题的提出
例1： 测量圆轴截面的直径d,而关心的却是
截面积： S 1 d 2
4
d 为随机变量, S 就是随机变量d 的函数。
例2：在无线电接受中， 某时刻收到的信号是一个已知分布的随机变量X, 若把这个信号通过平方检波器， 则输出的信号为Y=X2,需要求Y的概率分布
随机变量的函数
定义：
设X是一个随机变量 g(x)是连续函数
P{Y=1
3
9
pk 0.3 0.6 0.1
设随机变量X的分布律为
X -2 -1 0
1
3
P1
1
1
1
1
5 2 5 15 30
求Y=X2 的分布律．
Y0
1
4
9
1
11
1
1
pk 5
2 15
5
30
若X为连续型随机变量， y=g(x)为连续函数, 则Y=g(X)为连续型随机变量.
fY ( y) FY ( y) FX ( y ) FX ( y )
f X ( y )( y )y f X ( y )( y )y
fX(
y) 1 0 ( 2y
y )y
1 =01
2 2y
2 y 4
设随机变量X的密度函数为
f ( x) 2xe x 2 , 0
则
fY ( y) f X [h( y)] h( y)
其中x=h(y)为Y=g(x)的反函数
例题讲解
例1 设随机变量X服从[90，110]上的均匀分布,
求 Y=0.1X+10的密度函数。
1
f ( x) 20 0
90 x 110 其他
y=0.1x+10─严格单调可微
y 10 x h( y) 0.1
e 2σ2
2 πσ
h( y) y b a
fY ( y) f X [h( y)] h( y)
( yb μ)2
1
e
a 2σ2
1
2 πσ
|a|
[ y(baμ)]2
1
e
2(aσ )2
2π |a|σ
Y ~ N a b,a 2
重要结论
设X ~ N (, 2 ),Y aX b, （a 0),则
1 2
ln
y
1 2
ln
y
1 4
y
3 4
0
0 y1 其它
f (x)
1
e
2
x
2,
0
x0 x0
fY y
fX ey
ey
y
1 e
ey
2 ey
y
2
(3)Y e 2 X
x 1 ln y 2
f (x)
1
e
2
x
2,
x0
0
x0
fY y
f
X
fY ( y)
f X [h( y)] h( y)
f
X
y 0.110
1 0.1
1
20
1 0.1
90 y 10 110; 0.1
0
其他
设X ~ N (, 2 ),Y aX b, （a 0),则
f (x)
1
( x μ)2