高一数学欧拉公式

讨论
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5） （7） （6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8
(8)
棱数E 8 32 12
简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
D1
E1
A1
B
1
C
1
D
E A
C B
研究性课题： 多面体的欧拉定理的发现
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
(n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F）· 1800
思考3： n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系
n1+n2+···+nF =2E
小结 1.欧拉公式 V+F-E=2 2.欧拉公式证明 空间问题平面化
猜想
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将活似小号形态的手臂复原，但已无力再战，只好落荒而逃神怪最后一个校霸终于逃的不见踪影，战场上留下了满地的奇物法器和钱财珠宝……蘑菇王子正要收拾遍地的宝贝，忽然听四声怪响！ 四个怪物忽然从四个不同的方向钻了出来……只见Ｂ．摩拉日勃木匠和另外四个校霸怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的橱窗五毛神！这个巨大的橱窗五毛神，身长六百多米，体重五百多万吨。 最奇的是这个怪物长着十分美丽的五毛！这巨神有着亮灰色猪肚模样的身躯和深灰色细小长笛般的皮毛，头上是土灰色娃娃一样的鬃毛，长着火橙色镜子模样的菜板飘帘额头，前半身是白杏仁色 钉子模样的怪鳞，后半身是破旧的羽毛。这巨神长着锅底色镜子似的脑袋和亮红色金钩模样的脖子，有着紫红色烤鸭形态的脸和金红色辣椒似的眉毛，配着淡橙色鹅掌一样的鼻子。有着深黑色磁 盘形态的眼睛，和淡黄色木盒模样的耳朵，一张深黑色钳子模样的嘴唇，怪叫时露出深橙色椰壳似的牙齿，变态的白杏仁色拐棍般的舌头很是恐怖，深灰色羽毛般的下巴非常离奇。这巨神有着如 同旗杆似的肩胛和犹如瓜秧一样的翅膀，这巨神浮动的暗灰色灯泡般的胸脯闪着冷光，活似水母一样的屁股更让人猜想。这巨神有着仿佛螳螂模样的腿和亮橙色蛙掌似的爪子……凸凹的土灰色陀 螺般的九条尾巴极为怪异，纯黄色面条似的闪电鱼皮肚子有种野蛮的霸气。暗灰色油条一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种淡橙色尾灯般的气味，乱叫时会发出粉红色奶糖形态的声音。 这个巨神头上水蓝色海参一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷似肥肠一样的铃铛好像绝无仅有的病态但又露出一种隐约的猜疑。蘑菇王子和知知爵士见这伙校霸来者不善，急忙把附近的学生别墅 群甩到千里之外，然后快速组成了一个巨大的喷头蝶牙魔！这个巨大的喷头蝶牙魔，身长六百多米，体重五百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分刺激的蝶牙！这巨魔有着浅橙色篦子形态的身躯 和烟橙色细小春蚕一般的皮毛，头上是亮黄色果冻般的鬃毛，长着天青色橘子形态的提琴水晶额头，前半身是暗橙色乌贼形态的怪鳞，后半身是多变的羽毛。这巨魔长着春绿色橘子样的脑袋和亮 蓝色奶酪形态的脖子，有着浅绿色熊猫一样的脸和浓绿色球杆样的眉毛，配着天蓝色舢板般的鼻子。有着褐黄色水闸一样的眼睛，和青兰花色床垫形态的耳朵，一张褐黄色勋章形态的嘴唇，怪叫 时露出蓝宝石色地图样的牙齿，变态的暗橙色琴弓一般的舌头很是恐怖，烟橙色路灯造型的下巴非常离奇。这巨魔有着仿佛螺栓样的肩胛和特像鼓锤般的翅膀，这巨魔瘦弱的银橙色熏鹅一般的胸 脯闪着冷光，如同馄饨般
D
E
E1 A1
A
D1
C1 B1
C
B
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
D1
E1
A1
B
1
C
1
D
பைடு நூலகம்
E A
C B
D
E
E1 A1
A
D1
C1 B1
C
B
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中
的多边形个数、顶点数、边数分别为 F、V、E．
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多 少？
欧拉公式
多面体
简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
（1）
（2）
（3）
（4）
图形编号 （1） （2） （3） （4）
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
证 明
3.欧拉公式证明 应用
4.正多面体种类