水动力弥散方程

ux
x x , y , z 2
x
uy
x, y y , z 2
uy
x, y y , z
2
y
uz
x, y , z z 2
uz
x, y , z z 2
z
t
再对方程两端取极限，即令 x 0, y 0, z 0, t 0
即有：
ux uy uz
div J I
u是α组分的质量通量 u的 对流分量。
J
是α组分的质量通量 u的扩散分量。
对于上有溶质、溶剂两种组分构成的二元体系，α组分在等温
条件（忽略热扩散）相对于质量平均速度 u Fick定律得出：
的扩散通量 J可 依
Dm
J Dm
表示溶质的分子扩散系数：
grad
C t
divC
一是受流体的流动的控制，即该组分按平均流速随这个流体体系
的运移， 即对流； 二是该组分的自身分子扩散，即由浓度梯度引起的相对于平均流速
运移的分子扩散。
下面在α组分质量守恒方程基础上建立α组分的对流—扩散方程：
I
t
div
u
t
div
u
u
t
div
u
引入α组分的质量扩散通量
t
divu
Jd则iv上 式可 u写成 ：
ux
x x , y,z 2
yzt
uy
x, y y ,z 2
uy
x, y y , z 2
xzt
uz
x, y,z z 2
uz
x, y, z z 2
xyt
xyz
其中： ——经过△t时间后，质量均衡体中 的变化量。
将上式左右两端同除以xyzt 得：
ux
x x , y , z 2
应用条件： 1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；
2-4 多孔介质中水动力弥散方程
上述对流—扩散方程是对流体连续介质建立的，若从这种微 观水平上来研究多孔介质中的溶质输运，则需把多孔介质的骨架 作为问题的边界。
u 方程中微观变量C、 ，都是相对于流体的质点而言的，而实际
工作中都是取它们在典型单元体上的平均值。
x
y
z
t
即
tБайду номын сангаас
divu
0
若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可改写为：
t
div
u
I
——多组分流体体系中α组分 的质量守恒方程
I
—多组分组成的流体中，单位体积流体在单位时间内，由于化 学反应或其它原因所产生（或消失）的α组分的质量。
上述质量守恒方程中，至少包括 , ux , uy , uz 4个未知变
2-1 水动力弥散方程的有关参数
2-1-1 流体的密度（ρ）
所谓的流体密度指的是单位流体体积的 质量，常用ρ 表示，量纲[ML-3]。 多组分流体的密度
实际上对于非均质的多组分流体而言， 其密度是随着组成它的各种组分的浓度 不同而变化的。
假设某多组份流体共有N种组分其某一组分称为α ，取该液体中一
第二章 水动力弥散方程
用来描述地下水系统当中溶质运移规律的数学方程 （微分方程）。本章主要内容有： 2-1. 水动力弥散方程的有关参数
1、流体的密度、浓度； 2、多组分流体的流速； 3、流体的通量。
2-2. 溶液中α组分的质量守恒方程 2-3. α组分的的对流—扩散（Fick方程） 2-4. 多孔介质中水动力弥散方程 2-5. 源汇项 2-6. 初始条件与边界条件
u
div
Dm
grad
C
I
——二元体系中α组分的对流—扩散方程
对于低浓度溶液，浓度C的改变并不明显地影响 ，于是
可视为常量，Dm 也可视为常数。则：
J Dm grad C
C t
divC
u
divDm
grad C
I
——稀释的二元体系中α组分的对流—扩散方程
将上述对流—扩散方程加上适当的边界条件和初始条件。即可 用来解决流动的地表水中α组分的分布及变化规律（例如地表水体 中污染物质的迁移）。
u u u或 u u u
u 称为α组分质点相对于质量平均速度 u 的扩散速度。
2-1-3 流体的v通量
v J
流体的质量通量 J ：v流J体在单位时u间内通过单位面积的流体的质量
α组分的质量通量 J
J
——单位时间内通过与流体方向垂直的单位
面积 u上的α组分的质量。
ur α组分相对与溶体质量平均流速
因此，必须对上述方程的各变量在典型单元体上取平均值，也就 是从微观水平上的研究过渡到比较粗的宏观水平上来研究多孔介 质中所发生的现象。
体积为dv的微元，其质量为dm，该液体中在dv微元中α组分的质量
为dmα则 α组分的质量密度： dm dv
若将所有N种组分的质量密度进行求和：
N
1 2
N
N dm 1 dv
dm
1
dv
dm dv
就等于该溶体的体系密度。
某一组分的质量的密度：实际上就是水化学中学过的某一组分的浓 度。
的质量扩散通量
v J
：
v J
uv
(uv
uv)
对流体体系来说，显然有：
N v
J
0
1
这是因为
N
v J
N
uv uv
N
uv
N
uv
uv uv N
0
1
1
1
1
1
2-2 溶液中α组分的质量守恒方程
（连续介质）
在多组分组成的流体体系中任取一点P(x,y,z),以P为中心取 一微小的质量平衡体（如图2-1），其侧面分别平行与3个坐标面， 边长分别为△ x、△y、 △z，
浓度定义为单位体积流体某种溶质的质量。
2-1-2 多组分流体的流速 u
对α组每分种的多质组点分流流速体来u看溶—平液—均中是速各指度种在，组也d分v就内的是α速各组度个分是分的不子各相的个等速分的度子。之的和统除计
以分子的个数。
流体体系的质点流速: 流体体系中各组分的质量平均速度 u
一速般u情况是下不，相等α的组，分两的者质存点在流一速个偏u差：与流体体系的质量平均流
质量守恒原理:
在时间△t内，组分α 在这个单元体中的净流 出（或流出）量（暂不 考虑起内部有质量产生 和消失），应等于这个 单元中α组分的质量变 化用方程的形式可表示 为：
质量守恒方程（连续介质）
设 , ux , uy , uz 分别表示
α组分密度、x,y,z方向的速度
分量。
ux
x x , y, z 2
量 与
I有有时关可，以如独吸立附给作出用（、如溶抽解、作注用、，示不踪能剂简的单速的率给）定，，但因有此时上也述
方程不能单独求解，还必须引入通量与驱动力之间的关系式，即质
量通量与α组分密度间的关系。
2-3 α组分的对流—扩散方程（连续介质）
在多组分组成的溶体体系中，一种组分的运移受两个因素的驱动：