一元一次不等式(组)专题复习

不等式（组）专题复习
一、知识要点
1．一元一次不等式的概念
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1•的不等式叫做一元一次不等式．
2．不等式的解和解集
不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示． 3．不等式的性质
基本性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变。

用符号语言表达： 如果a ＞b ，那么a+c>b+c ，a-c ＞b-c 。

基本性质2 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变。

符号语言表示： 如果a>b,且c>0,那么ac>bc ，
c b c a >。

基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变。

符号语言表示： 如果a>b,且c<0,那么ac<bc ，
c
b c a <。

不等式的其他性质：①若a>b ，则b<a ；②若a>b ，b>c ，则a>c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a ≤0，则a=0． 4．一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．
5．一元一次不等式组及其解法：
几个含有同一个未知数的—元一次不等式合在—起，构成了一元一次不等式组．这几个不等式的解集的______，叫做由它们所组成的不等式组的解集．一元一次不等式组的求解是先分别求出每一个不等式的______，然后利用数轴找出它们的公共部分，进而求出不等式组的解集．
6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
不等式组 （其中a<b ）
图示
解集
口诀
x a
x b ≥⎧⎨≥⎩
x ≥b
同大取大
x a
x b ≤⎧⎨≤⎩
x ≤a 同小取小
x a
x b ≥⎧⎨
≤⎩ a ≤x ≤b 大小、小大中间找 x a
x b
≤⎧⎨
≥⎩
空集
小小、大大找不到
7．列一元一次不等式组解决实际问题是中考要考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（•或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）•的解集中求出符合题意的答案．
◆典例精析 例1 解不等式
2110136
x x ++-≥5
4x-5，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形． 【解答】去分母，得
4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60． 去括号，得8x-4-20x-2≥15x-60 移项合并同类项，得-27x ≥-54
系数化为1，得x ≤2．在数轴上表示解集如图所示．
2
o
【点评】①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；③在数轴上表示不等式的解集，当解集是x<a 或x>a 时，不包括数轴上a 这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x ≤a 或x ≥a 时，包括数轴上a 这一点，则这一点用黑圆点表示；•④解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握．
例2若实数a<1，则实数M=a，N=
2
3
a+
，P=
21
3
a+
的大小关系为（
）
A．P>N>M B．M>N>P C．N>P>M D．M>P>N
【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们可以用特值法，取a>1内的任意值即可；其二，•用作差法和不等式的传递性可得M，N，P 的关系．
【解答】方法一：取a=2，则M=2，N=
4
3
，P=
5
3
，由此知M>P>N，应选D．方法二：由a>1知a-1>0．
又M-P=a-
21
3
a+
=
1
3
a-
>0，∴M>P；
P-N=
21
3
a+
-
2
3
a+
=
1
3
a-
>0，∴P>N．
∴M>P>N，应选D．
【点评】应用特值法来解题的条件是答案必须确定．如，当a>1时，A与2a-2•的大小关系不确定，当1<a<2时，当a>2a-2；当a=2时，a=2a-2；当a>2时，a<2a-2，因此，•此时a与2a-2的大小关系不能用特征法．
例3如图,若数轴的两点A、B表示的数分别为a、b,则下列结论正确的是( )
A.
1
2
b-a>0 B.a-b>0 C.2a+b>0 D.a+b>0
解:由点A、B在数轴上的位置可知:
a<0,b>0,│a│>│b│.
∴
1
2
b>0,-a>0. ∴
1
2
b-a>0. 故选A.
【点评】先由A、B两点在数轴上的位置分析出a、b的符号和绝对值的大小关系,再根据有理数法则进行选择.
例4 如果关于x的不等式(a-1)x<a+5和2x<4的解集相同,则a 的值为_____________. 解：2x<4的解集是x<2,故不等式(a-1)x<a+5的解集也是x<2,所以a-1>0,且
5
1
a
a
+
-
=2,故解得a=7,因此答案填7.
【点评】考查同解不等式的概念。

例5解不等式组
⎩
⎨
⎧
+
≥
-
+
≥
-
5
1
3
1
1
2
x
x
x
x
并把解集在数轴上表示出来；
1
b
-1
a
例6关于x的不等式组
15
3
2
22
3
x
x
x
x a
+
⎧
>-
⎪⎪
⎨
+
⎪<+
⎪⎩
只有4个整数解，则a的取值范围是：（）
A．-5≤a≤-14
3
B．-5≤a<-≤-
14
3
C．-5<a≤-
14
3
D．-5<a<-
14
3
【分析】本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解问题．其基本思路为先解关于x的一元一次不等式组的解集，•然后确定此解集包含着四个整数解，由这些整数解可推断字母a的取值范围，•解原不等式组，得2-3a<x<21．由题设条件可知2-3a<x<21包含着四个整数解，这四个整数解应为17，18，19，20．这时，
2-3a应满足16≤2-3a<17，解得-5<a≤-14
3
．
【解答】C
【点拨】有的学生尽管能顺利地从已知不等式组中解出2-3a<x<21，•但是不明白它的
解集中的四个整数解究竟为多少，因而导致受阻．还有的学生干脆从22
3
x+
<x+a中提炼出
a>2
3
x
-
，然后由四个选项中索取不等式组有四个整数解的条件．此思路不但行不通，而且
违背了解不等式所运用的基本性质．
例7某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2•分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5•分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案．
【分析】这是一道方案设计题，•是涉及到方程和不等式联合起来解决的综合应用题．题目中包含的相等关系有：①所有硬币的总价值是3．50元；②共有硬币150枚．•不等关系有：①2分的硬币的枚数不少于20枚；②5分的硬币要多于2分的硬币．且硬币的枚数为整数，2分的硬币的数量是4的倍数．
【解答】设兑换成1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，依据题意，得
150,(1)25350,(2),(3)20,
(4)
x y z x y z z y y ++=⎧⎪++=⎪⎨
>⎪⎪≥⎩
由（1），（2）得 将y 代入（3），（4）得2004,
200420,
z z z >-⎧⎨
-≥⎩
解得40<z ≤45，∵z 为正整数，∴z 只能取41，42，43，44，45，由此得出x ，y 的对应值，共有5种兑换方案．
73,76,79,82,85,36,32,28,24,20,41.42.43,44.45.x x x x x y y y y y z z z z z =====⎧⎧⎧⎧⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=====⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪=====⎩⎩⎩⎩⎩
（另解）：设兑换成的1分，2分，5分硬币分别为x 枚，y 枚，z 枚，依据题意可得
150,(1)25350,(2)(3)
x y z x y z z y ++=⎧⎪
++=⎨⎪>⎩
∵y 是4的倍数，可设y=4k （k 为自然数）， ∵y ≥20，∴4k ≥20，即k ≥5． 将y=4k 代入（1），（2）可解得z=50-k ， ∵z>y ，∴50-k>4k ，即k<10．
∴5≤k<10，又k 为自然数，∴k 取5，6，7，8，9．由此得出x ，y 的对应值，共有5种兑换方案：
73,
76,79,82,85,36,
32,28,24,20,41.42.43,44.45.x x x x x y y y y y z z z z z =====⎧⎧⎧⎧⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=====⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪=====⎩⎩⎩⎩⎩
【点评】在关系复杂的实际问题中，要注意审题，要找到题目中的所有的相等关系或不等关系，并且要把握其中有些量的隐含条件． ◆强化训练 一、填空题
1．（2014•江西）直线y =x +1与y=－2x+a 的交点在第一象限，则a 的取值可以是______．
2．（2014•黑龙江哈尔滨）不等式组的解集是______．
3．(20XX 年贵州安顺)求不等式组的整数解是______．
4．长度分别为3cm ，•7cm ，•xcm•的三根木棒围成一个三角形，•则x•的取值范围是_______． 5．如果a<2，那么不等式组2x a x >⎧⎨
>⎩的解集为________；当______时，不等式组2x a
x <⎧⎨>⎩无解．
6．（2006，山西）若不等式组2
20
x a b x ->⎧⎨
->⎩的解集是-1<x<1，则a+b=______．
7．已知关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨->-⎩
的整数解共有5个，则a 的取值范围是______．
8．（2008，苏州）20XX 年6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元，2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3kg ，5kg 和8kg ．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20kg 散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市_______元． 二、选择题
9．已知0<b<a ，那么下列不等式组中无解的是（ ）
A ．x a x b >⎧⎨<⎩
B ．x a x b >-⎧⎨<-⎩
C ．x a x b >⎧⎨<-⎩
D ．x a
x b >-⎧⎨<⎩
10．（2008，义乌）不等式组312,
840
x x ->⎧⎨
-≤⎩的解集在数轴上表示为（ ）
A B C D 11．（2006，山东聊城）已知24221
x y k
x y k +=⎧⎨+=+⎩，且-1<x-y<0，则k 的取值范围是（ ）
A ．-1<k<-
12 B ．0<k<12 C ．0<k<1 D ．1
2
<k<1 12．如果不等式组320
x x m -≥⎧⎨≥⎩
有解，则m 的取值范围是（ ）
A ．m<
32 B ．m ≤32 C ．m>32 D ．m ≥32
13．（2014，潍坊）若不等式组⎩⎨⎧->-≥+2210
x x a x 无解，则实数a 的取值范围是
( )
A ．a≥一1
B ．a<-1
C ．a≤1 D.a≤-1
14.（2014•乐山）若不等式ax ﹣2＞0的解集为x ＜﹣2，则关于y 的方程ay+2=0的解为（ ） A ． y =﹣1 B ． y =1 C ． y =﹣2 D ． y =2 1
15.（2014•湖北荆门）如图，直线y 1=x+b 与y 2=kx ﹣1相交于点P ，点P 的横坐标为﹣1，则关于x 的不等式x+b ＞kx ﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三、解答题
16.（2014•黑龙江绥化）某商场用36万元购进A 、B 两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1380 1200 （1）该商场购进A 、B 两种商品各多少件；
（2）商场第二次以原进价购进A 、B 两种商品．购进B 种商品的件数不变，而购进A 种商品的件数是第一次的2倍，A 种商品按原售价出售，而B 种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B 种商品最低售价为每件多少元？
考点： 一元一次不等式的应用． 专题： 应用题；压轴题． 分析： （1）设购进A 种商品x 件，B 种商品y 件，列出不等式方程组可求解．
（2）由（1）得A 商品购进数量，再求出B 商品的售价． 解答： 解：（1）设购进A 种商品x 件，B 种商品y 件，
根据题意得
化简得，解之得．
答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．
（2）由于A商品购进400件，获利为
（1380﹣1200）×400=72000（元）
从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000=9600（元）
设B商品每件售价为z元，则
120（z﹣1000）≥9600
解之得z≥1080
所以B种商品最低售价为每件1080元．
点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力．
17.（2014•重庆A）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资
金在150元的基础上减少了a%，求a的值．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
分析：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；（2）根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的
资金在150元的基础上减少了a%，且总集资额为20000元”列出方程求解即可．
解答：解：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，根据题意得：30000﹣x≥3x，
解得：x≤7500．
答：最多用7500元购买书桌、书架等设施；
（2）根据题意得：200（1+a%）×150（1﹣a%）=20000
整理得：a2+10a﹣3000=0，
解得：a=50或a=﹣60（舍去），
所以a的值是50．
点评：本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和不等关系，难度不大．
18.（2014•乐山）已知a为大于2的整数，若关于x的不等式无解．
（1）求a的值；
（2）化简并求（﹣1）+的值．
考点：解一元一次不等式组；分式的化简求值．.
分析：（1）首先解第一个不等式，然后根据不等式组无解即可得到关于a的不等式从而求解；
（2）首先对括号内的式子进行通分相减，然后进行同分母的分式的加法计算即可，最后代入a的值计算即可．
解答：解：（1）解不等式2x﹣a≤0得：x≤，
则＜2，
解得：a＜4，
又∵a为大于2的整数，
∴a=3；
（2）原式=+==．
∵原式==．
点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
19.（2014•攀枝花）为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
租金（单位：元/台•时）挖掘土石方量（单位：m3/台•时）
甲型挖掘机100 60
乙型挖掘机120 80
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
分析：（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．等量关系：甲、乙两种型号的挖掘机共8台；每小时挖掘土石方540m3；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解；然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案．
解答：解：（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．
依题意得：，
解得．
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机．
依题意得：60m+80n=540，化简得：3m+4n=27．
∴m=9﹣n，
∴方程的解为，．
当m=5，n=3时，支付租金：100×5+120×3=860元＞850元，超出限额；
当m=1，n=6时，支付租金：100×1+120×6=820元，符合要求．
答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和3辆乙型挖掘机．
点评：本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式（或不等式）进行求解．
20. (2014•黑龙江牡丹江)学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用
分析：（1）总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，根据两种图书数量之间的关系列方程；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题．
解答：解：（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，由题意得﹣=10
解得：x=20
则1.5x=30，
答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据题意得
解得：20≤a≤25，
所以a=20、21、22、23、24、25，则40﹣a=20、19、18、17、16、15共5种方案．
点评：此题考查分式方程的运用，一元一次不等式组的运用，理解题意，抓住题目蕴含的数量关系解决问题．。