超级名圆—阿波罗尼斯圆及应用

超级名圆——阿波罗尼斯圆一、问题背景1.（苏教版选修2-1，P63例2）求平面内到两个定点A,B 的距离之比等于2的动点M 的轨迹. 【解】以B A ,所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 令a AB 2=,则B A ,两点的坐标分别为()()0,,0,a a -. 设M 点坐标为()y x ,，依题意，点M 满足2=MBMA, 由2222)(,)(y a x MB y a x MA +-=++=得2)()(2222=+-++ya x y a x ，化简整理，得031033222=+-+a ax y x ，所以动点M 的轨迹方程为031033222=+-+a ax y x .2.(苏教版必修2，P112第12题)已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为1:2，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线.【解】由两点间距离公式得22y x MO +=，22)3(y x MA +-=，则2:1)3(:2222=+-+y x y x ，化简得4)1(22=++y x ，即点M 是以（-1，0）为圆心,2=r 的圆.（图略）二、阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯（Apollonius of Perga Back ）,古希腊人（262BC~190BC ），与阿基米德、欧几里德一起被誉为古希腊三大数学家，他写了八册《圆锥曲线论》（Conics ），其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切线、共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，圆锥曲线的性质几乎囊括殆尽，阿波罗尼斯曾研究了众多的平面轨迹问题，阿氏圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两定点A 、B ，则所有满足()1≠=λλPBPA的点P 的轨迹是一个以定比n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.这是著名的阿波罗尼斯轨迹定理，以内外分点为直径的圆被后人称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.三、证明方法1、解析方法证：设()02>=m m AB ，λ=PBPA， 以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,m A -,()0,m B ． 又设()y x P ,，则由λ=PBPA得()()2222y m x y m x +-=++λ，化简整理得()()()()222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ． 当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1≠λ时，()222222221411-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,1122m λλ为圆心，122-λλm 为半径的圆． 2、几何方法证：（以1>λ为例）设λ===NB AN MB AM m AB ,2,则12,12,12,12-=-=+=+=λλλλλλmBN m AN m MB m AM ， 由相交弦定理及勾股定理知14222-=⋅=λm BN MB BP ，14222222-=+=λλm BP AB AP ，于是λλλλ=-=-=BP APmAP mBP ,12,1222,而P N M ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点距离之比恒为λ.四、阿波罗尼斯圆的性质1．点N M ,是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点，线段MN 是阿氏圆的直径，设m AB 2=,则1412122-=-++=+=λλλλm m m BN MB MN ．2．P 为圆上任一点，则PM 平分APB ∠，PN 平分APB ∠的外角． 3.λ===BNANBM AM PB PA ()1,0≠>λλ. 4．PN PM ⊥.5．当1>λ时，点B 在圆内,A 在圆外；当10<<λ时，点A 在圆内，B 在圆外． 6．若过点B 作圆O 的不与AB 垂直的弦EF ，则AB 平分EAF ∠.五、例题欣赏【例1】. (合肥市十一中高二期中)阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点M 到点()1,0A -与点()2,0B 的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()5,4P -作曲线C 的切线，求切线方程.【解】：（1）设动点M 的坐标为(),x y ，则()221MA x y =++，()222MB x y =-+，所以()()2222122x y x y ++=-+，化简得()2234x y -+=，因此，动点M 的轨迹方程为()2234x y -+=； （2）当过点P 的直线无斜率时，直线方程为50x -=，圆心()3,0C 到直线50x -=的距离等于2，此时直线50x -=与曲线C 相切； 当切线有斜率时，不妨设斜率为k ，则切线方程为()45y k x +=-，即540kx y k ---=， 由圆心到直线的距离等于半径可知，235421k k k --=+，解得34k =-.所以，切线方程为3410x y ++=.综上所述，切线方程为50x -=或3410x y ++=.【例2】．(2020·江淮十校第二次联考)阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得齐名，以他的名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点的距离的比值为定值()1,0≠>λλλ的动点的轨迹．已知在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且B A sin 2sin =，2cos cos =+A b B a ，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．2 B ．3 C ．43 D ．53B A sin 2sin =b a 2=因为2cos cos =+A b B a ，所以由余弦定理得222222222=-+⋅+-+⋅bca cb b ac b c a a ，解得2=c . 由题意得，点C 的轨迹为一阿波罗尼斯圆，如图，由题意得，阿波罗尼斯圆的直径是PQ ，O 为圆心，且2=PAPB，2=QA QB . 因为2=c ，即2=AB ，所以2=AQ ，3231==AB PA ， 所以38=PQ ，3421==PQ PO ， 故阿波罗尼斯圆的半径为34，即边AB 上的高的最大值为34. 因此△ABC 面积的最大值()3434221max =⨯⨯=∆ABC S . 故选C ．【例3】. 已知圆122=+y x 和点⎪⎭⎫⎝⎛-0,21A ,点()1,1B ,M 为圆O 上的动点，则||||2MB MA +的最小值为（ ）.6.A7.B 10.C 11.D【解】：设||||2MC MA =,点C 的坐标为()n m ,，点M 的坐标为()y x ,，则2||=MC , 即()()21212222=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n y m x yx ，整理得31323422222-+=++++n m y n x m y x ， 由题意得该圆的方程为122=+y x ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==+1310204222n m n m ，解得⎩⎨⎧=-=02n m ， 所以点C 的坐标为()0,2-，故10||||||||||2=≥+=+BC MB MC MB MA . 故选C .【例4】.已知→→OB OA ,是非零且不共线的向量，设→→→+++=OB r r OA r OC 111.如果定义点集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=→→→→→→|||||KB KC KB KA KC KA K M ,当M K K ∈21,时，若对于任意的2≥r ，不等式→→≤AB c K K 21恒成立，则实数c 的最小值为_______.【解】：因为+++=OB r OA r OC 11，且111=+++r r ，所以C B A ,,三点共线，且=CB r CA ,由题意易知CK 是AKB ∠的内角平分线，所以r CB CA KB KA ==||||||||，从而||||KB r KA =. 所以点K 在一个阿波罗尼斯圆上，以AB 所在直线为x 轴，C 为原点建立平面直角坐标系，设()0,r A -，()0,1B ，()y x K ,，得阿波罗尼斯圆方程22211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--r r y r r x ，从而12max21-=→r r K K ，1+=→r AB ，所以()234212212122≥=-≥-=-≥r r r r r c ， 故34≥c . 【例5】.如图，已知平面⊥α平面β，B A ,是平面α与平面β的交线上的两个定点，β⊂DA ,β⊂CB ,且α⊥DA ,α⊥CB ,4=AD ,8=BC ,6=AB ,在平面α上有一个动点P ,使得BPC APD ∠=∠,求PAB ∆的面积的最大值.【解】：因为α⊥DA ，所以PA DA ⊥. 在PAD Rt ∆中，AP AP AD APD 4tan ==∠；同理BPBP BC BPC 8tan ==∠. 因为BPC APD ∠=∠,所以AP BP 2=,在平面α内，以线段AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则()()0,3,0,3B A -, 设()y x P ,，则有()()()03232222≠++=+-y y x y x化简得()16522=++y x .从而()1651622≤+-=x y ，即4≤y 且0≠y .此时12321≤=⋅=∆y AB y S PAB .当且仅当4,5±=-=y x 时取得等号.因此BCE BCE S S AD V ∆∆=⋅=231, 又因为2==CDACBD AB ，所以点C B ,在阿波罗尼斯圆上，所以CE BE =, 得=max BE 圆的半径4r =，从而152max =V . 故选C .五、跟踪演练1. 已知点M(x,y)到椭圆114416922=+y x 的左焦点和右焦点的距离之比为2：3，求M 的坐标满足的方程.2. （2008江苏13）若2=AB ,BC AC 2=,则ABC S ∆最大值是________.3. 在x 轴正半轴上是否存在两个定点B A ,，使得圆422=+y x 上任意一点到B A ,两点的距离之比为常数21？如果存在，求出点B A ,坐标；如果不存在，请说明理由．4. 在平面直角坐标系xOy 中，设点()0,1A ，()0,3B ，()a C ,0，()2,0+a D ，若存在点P ，使得PB PA 2=,PD PC =，则实数a 的取值范围是________．5. 已知,6=BC AB AC 2=,点D 满足→→→+++=AC y x yAB y x x AD )(22,设→=AD y x f ),(,若()()00,,y x f y x f ≥恒成立，则()00,y x f 的最大值为________.6. 已知圆()()111:22=-+-y x C ，定点()()0,2,0,0B O ,其中P 为圆C 上的动点，则PB PO +2的最小值为_______.六、答案1、【解】：可求得左右焦点分别为)0,5(),0,5(21F F -，因为3:2:21=MF MF ,所以2123MF MF =,即2222)5(2)5(3y x y x +-=++，化简得144)13(22=++y x ，即点M 轨迹是以)0,13(-为圆心，12为半径的圆.2、【解】：以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 则)0,1(),0,1(B A -,设),(y x C ，由BC AC 2=可得2222)1(2)1(y x y x +-=++，化简得8)3(22=+-y x ，即C 在以()0,3为圆心，22为半径的圆上运动， 又22||||21≤=⋅⋅=∆c c ABC y y AB S ， 故答案为22.3、【解】：假设在x 轴正半轴上存在两个定点B A ,，使得圆422=+y x 上任意一点到B A ,两点的距离之比为常数21，设()y x P ,，()0,1x A ，()0,2x B ，其中012>>x x . 即()()21222221=+-+-y x x y x x 对满足422=+y x 的任何实数对()y x ,恒成立， 整理得，()()222122213442yx x x x x x +=-+-，将422=+y x代入得，()12442212221=-+-x x x x x ，这个式子对任意]2,2[-∈x 恒成立，所以一定有⎩⎨⎧=-=-12404212221x x x x ，因为012>>x x ，所以解得11=x ，42=x . 所以在x 轴正半轴上存在两个定点()0,1A ，()0,4B ，使得圆422=+y x 上任意一点到B A ,两点的距离之比为常数21. 4、【解】：设()y x P ,，则()()2222321y x y x +-⋅=+-，整理得()8522=+-y x ，即动点P 在以()0,5为圆心，22为半径的圆上运动．另一方面，由PD PC =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1+=a y 上运动，因而问题就转化为直线1+=a y 与圆()8522=+-y x 有交点．所以221≤+a ，故实数a 的取值范围是]122,122[---．5、【解】：,6=BC AB AC 2=，点D 满足)21()2()(22→→→→→+++=+++=AC y x y AB y x x AC y x y AB y x x AD ,设→→→→==AC AE AB AF 21,2,则F E D ,,三点共线，由题意可得6==BC EF ,且AE AF 2=,||AD 的最小值为A 到直线EF 的距离， 可设()()()0,3,0,3,,F E n m A -，可得()()2222323n m n m ++=+-，化简可得091022=+++m n m ，即有A 在以()0,5-为圆心，4为半径的圆上运动，则||AD 的最小值为4，()()00,,y x f y x f ≥恒成立，可得()4,00≤y x f ，即()00,y x f 的最大值为4，故答案为：4.6、【解】：看能否找到一定点A ,使PO PA 2=,设()n m A ,，则()()222222n y x y m x +=-+-，所以()()222222n m n y m x +=+++，若1,1-=-=n m ，则()()41122=-+-y x 与题意不符；则寻找PB PA 22=,设()n m A ,，则()()()2222222n y m x y x -+-=+-， 所以()04224442222=-++-+-+n m ny y x m x ，则21,23==n m ， 所以()54149222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==+=+=+AO PA PO PA PO PB PO .七、知识储备1、到两定点的距离之和为定值（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆；2、到两定点的距离之差的绝对值为定值（大于0且小于两定点的距离）的点的轨迹是双曲线；3、到两定点的距离之商为定值（不等于1）的点的轨迹是阿波罗尼斯圆；4、到两定点的距离之积为定值（大于0）的点的轨迹是卡西尼卵形线.。