数学物理方法期末考试试题-2006
数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试试题一、单项选择题（每小题2分)1．齐次边界条件的本征函数是_______。
A） B）C） D)2．描述无源空间静电势满足的方程是________.A) 波动方程 B）热传导方程C) Poisson方程 D)Laplace方程3．半径为R的圆形膜，边缘固定,其定解问题是其解的形式为，下列哪一个结论是错误的______。
A）B)圆形膜固有振动模式是和C）是零阶Bessel函数的第m个零点。
D)满足方程4．是下列哪一个方程的解_________。
A） B）C） D)5．根据整数阶Bessel函数的递推公式,下列结论哪一个是正确的________。
A) B)C） D）二、填空题（每题3分）1．定解问题用本征函数发展开求解时，关于T（t）满足的方程是：__________ 2．Legendre多项式的x的值域是____________。
Bessel函数的x的值域是______________________.3．一圆柱体内的定解问题为1）则定解问题关于ρ满足的方程是：_____________________________;相应方程的解为___________________________；2）关于z满足的方程是_______________________________________；4．计算积分5．计算积分三、（10分)长为的弦，两端固定，初始位移为，初始速度为4x，写出此物理问题的定解问题。
四、(10分）定解问题,若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题五、（10分）利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题六、（15分)用分离变量法求解定解问题计算积分七、（15分）有一半径为R的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为，试求圆盘上稳定的温度分布.八、（15分）设有一半径为R的球壳，其球壳的电位分布，写出球外的电位满足的定解问题，并求球外的电位分布参考公式（1）柱坐标中Laplace算符的表达式（2)Legendre多项式（3)Legendre多项式的递推公式（4）Legendre多项式的正交关系（5)整数阶Bessel函数（6）Bessel函数的递推关系。
某大学2006期末大学物理试题及答案_secret
一填空题 (共30分>1．(本题3分> 质量为的物体，初速极小，在外力作用下从原点起沿轴正向运动，所受外力方向沿轴正向，大小为。
物体从原点运动到坐标为点的过程中所受外力冲量的大小为 .2．(本题5分> 一维保守力的势能曲线如图所示，则总能量为的粒子的运动范围为；在时，粒子的动能最大；时，粒子的动能最小。
3．(本题3分> 长为、质量为的均质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定轴转动，转动惯量为，开始时杆竖直下垂，如图所示。
现有一质量为的子弹以水平速度射入杆上点，并嵌在杆中.，则子弹qKQ8bVqDLI射入后瞬间杆的角速度 .4．(本题3分><1）在速度情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍。
<1）在速度情况下粒子的动能等于它的静止能量。
5．(本题5分> 若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度为，若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的电场强度分布为 .qKQ8bVqDLI6．(本题5分> 一个绕有500匝导线的平均周长50cm的细螺绕环，铁芯的相对磁导率为600，载有0.3A电流时, 铁芯中的磁感应强度B的大小为；铁芯中的磁场强度H 的大小为。
<）qKQ8bVqDLI 7．(本题3分> 一个半径为、面密度为的均匀带电圆盘，以角速度绕过圆心且垂直盘面的轴线旋转；今将其放入磁感应强度为的均匀外磁场中，的方向垂直于轴线。
在距盘心为处取一宽度为的圆环，则该带电圆环qKQ8bVqDLI相当的电流为，该电流所受磁力矩的大小为，圆qKQ8bVqDLI盘所受合力矩的大小为。
8．(本题3分>一长直导线旁有一长为，宽为的矩形线圈，线圈与导线共面，如图所示. 长直导线通有稳恒电流，则距长直导线为处的点的磁感应强度qKQ8bVqDLI为；线圈与导线的互感系数为 .二选择题 (每题3分，共30分>1．一质点沿轴运动，其速度与时间的关系为：，当时，质点位于处，则质点的运动方程为(A> (B> 。
数学物理方法
《 数学物理方法 》试题（A 卷）说明：本试题共3页四大题，30小题。
1．z 为复数，则（ ）。
A ln z 没有意义；B ln z 为周期函数；C Ln z 为周期函数；D ln()ln z z -=-。
2．下列积分不为零的是（ ）。
A 0.51z dz z π=+⎰； B 20.51z dz z π=-⎰； C10.5z dzz π=+⎰； D211z dz z π=-⎰。
3．下列方程是波动方程的是（ ）。
A 2tt xx u a u f =+； B 2t xx u a u f =+；C 2t xx u a u =； D2tt x u a u =。
4．泛定方程2tt x u a u =要构成定解问题，则应有的初始条件个数为（ ）。
A 1个；B 2个；C 3个；D 4个。
5．二维拉普拉斯方程的定解问题是（ ）。
A 哥西问题； B 狄拉克问题； C 混合问题； D 狄里克雷问题。
6．一函数序列的序参量n趋于某值a时有()(,)()()n ax f n x dx x f x dx ϕϕ→−−−→⎰⎰则我们称（ ）。
A (,)f n x 收敛于()f x ；B (,)f n x 绝对收敛于()f x ；C (,)f n x 弱收敛于()f x ；D (,)f n x 条件收敛于()f x 。
7．傅里叶变换在物理学和信息学中能实现（ ）。
A 脉冲信号的高斯展宽；B 高斯信号压缩成脉冲信号；C 实空间信号的频谱分析；D 复频信号的单频滤波。
8．用分离变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是（ ）。
A 分离变量 解单变量本征值问题 得单变量解得分离变量解； B 分离变量 得单变量解 解单变量本征值问题 得分离变量解； C 解单变量本征值问题 得单变量解 分离变量 得分离变量解； D 解单变量本征值问题 分离变量 得单变量解 得分离变量解。
9．下列表述中不正确的是（ ）。
A 3sin zz 在0z =处是二阶极点；B 某复变函数在开复平面内有有限个奇点，所有这些奇点的残数之和为零；C 残数定理表明，解析函数的围线积分为复数；D 某复变函数在某处为m 阶极点，则其倒函数在该奇点处为m 阶零点。
数学物理方法期末考试模拟题
数学物理方法期末考试复习题1．复数1z =-z =_________________________________ 2．复数1iz e+=的三角表示为z =_________________________________3．由方程10z e +=可解得z =____________________ 4．由方程3z i =可解得z =____________________ 5．计算ln(1)-=____________________ 6．计算3(1)i -=____________________7．解析函数()f z 的实部22(,)u x y x y =-，则其导函数()f z '=____________________ 8．解析函数()f z 的虚部(,)2v x y y xy =-+，则其导函数()f z '=____________________ 9．沿着折线1i +到2i +，再到24i +的曲线积分2421iiI z dz ++=⎰=_______________________10．沿1i +到24i +的直线积分2421iiI z dz ++=⎰=_______________________11．级数01(1)nn z ∞=-∑的收敛区域为____________________ 12．级数(1)nn z ∞=-∑的收敛区域为__________13．级数0!nn z n ∞=∑的收敛区域为____________________14．级数∑∞=-1)1(n nn z 的收敛区域为____________________15．判断奇点的类型：0z =是函数1()f z z z =+的 16．判断奇点的类型：0z =是函数sin ()zf z z =的17．判断奇点的类型：0z =是函数2sin ()zf z z=的18．判断奇点的类型：0z =是函数3cos 1)(z zz f -=的19．函数1()f z z z=+，在0，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =_______；Res[(),]f z ∞=_____20．函数21()(1)f z z z =-，在0，1，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =__________；Res[(),1]f z =__________；Res[(),]f z ∞=__________21．函数241()ze f z z -=，在0，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =________；Res[(),]f z ∞=______22．以0z =为中心展开()21()1f z z =-为泰勒级数：___________________________23．以0z =为中心展开()21()1f z z =+为泰勒级数：___________________________24．以0z =为中心展开()zf z e =为泰勒级数：___________________________ 25．以0z =为中心展开()ln(1)f z z =+为泰勒级数：___________________________ 26．计算积分：=-⎰∞∞-dx x e x )1(2δ27．计算积分：⎰+∞∞-=dk e ikx π2128．已知π=Γ)21(，则=+Γ)21(n 29．已知1)1(=Γ，则=+Γ)1(n 30．11()l P x dx -=⎰31．11()()lk P x P x dx -=⎰32．2)(x x f =以{})(x P l 为基，展开为广义傅里叶级数的形式为 ______________ 33．3()f x x =以{})(x P l 为基，展开为广义傅里叶级数的形式为 ______________34．勒让德多项式的生成函数(,)t x ψ= 35．厄米多项式的生成函数(,)t q ψ= 36．贝塞尔函数的生成函数(,)t z ψ= 37．计算拉普拉斯变换：[]sin t t =____________________ 38．计算拉普拉斯变换：[]cos t t =____________________39．计算拉普拉斯变换：t te α-⎡⎤=⎣⎦____________________40．计算拉普拉斯变换：[]sin ()t ωτ-=____________________41．计算拉普拉斯变换：[]cos ()t ωτ-=____________________42．计算拉普拉斯逆变换：1222(1)(1)1p p ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎡⎤-+⎣⎦⎣⎦－_____________________43．计算拉普拉斯逆变换：121(2)(1)p p ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦－_____________________ 44．计算拉普拉斯卷积：sin t t ⊗=____________________45．计算拉普拉斯卷积：cos t t ⊗=____________________ 46．计算拉普拉斯卷积：sin sin t t ⊗=____________________ 47．计算拉普拉斯卷积：cos cos t t ⊗=____________________48．利用行波法解2(,0)(,0)()(,0)()tt xxt u a u x t u x x u x x ϕψ⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________49．利用行波法解22(,0)(,0)sin (,0)tt xxt u a u x t u x x u x x ⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________ 50．利用行波法解23(,0)(,0)(,0)tt xxt u a u x t u x xu x x⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________二、 解答题1．设(,)4u x y xy y =--。
数学物理方法期末试题(5年试题含答案)
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。
2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。
3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。
4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。
5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。
只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。
7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。
(2)()n H x = 。
8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。
数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试试题# 数学物理方法期末考试试题## 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是数学物理中的常用方法？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 泰勒级数展开D. 牛顿迭代法2. 求解偏微分方程时，分离变量法的基本思想是什么？A. 将偏微分方程转化为常微分方程B. 将偏微分方程分解为几个独立的方程C. 将偏微分方程转化为线性方程D. 将偏微分方程转化为积分方程3. 在数学物理中，格林函数通常用于解决什么问题？A. 线性代数问题B. 非线性偏微分方程C. 边界值问题D. 初始值问题4. 以下哪个是求解波动方程的典型方法？A. 特征线法B. 有限差分法C. 有限元法D. 蒙特卡洛方法5. 拉普拉斯方程在数学物理中通常描述了什么类型的物理现象？A. 波动现象B. 热传导现象C. 流体动力学问题D. 电磁场问题## 第二部分：简答题（每题10分，共30分）6. 简述傅里叶变换在数学物理中的应用。
7. 解释什么是边界层理论，并说明它在流体力学中的重要性。
8. 描述格林函数在求解偏微分方程中的作用。
## 第三部分：计算题（每题25分，共50分）9. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，使用泰勒级数展开在\( x = 1 \) 处展开 \( f(x) \) 并求出展开式。
10. 考虑一个无限长直导体，在 \( x \) 轴上，导体的电势 \( V(x) \) 满足泊松方程 \( \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 \)，其中\( \rho \) 是电荷密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率。
假设\( \rho \) 是常数，求解 \( V(x) \)。
## 第四部分：论述题（共30分）11. 论述数学物理方法在解决实际物理问题中的应用，并给出至少两个具体的例子。
请注意，以上内容仅为示例，实际的数学物理方法期末考试试题可能会包含不同的问题和要求。
数学物理方法期末考试卷与解答
《数学物理方法》试卷（A 卷）参考答案姓名: 学号:题号 一 二 三 四 五 六 七八 总分 得分注：本试卷共一页，共八大题。
答案请做在答题纸上，交卷时，将试题纸与答题纸填好姓名与学号，必须同时交齐，否则考卷作废！可能用到的公式:1). (2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), 2). P 0(x )=1, P 1(x )=x ；3))(~)]([00k k f x f eF xik −=;4))]([1])([x f F ikd f F x=∫∞−ξξ; 5).])1(1[2sin )(I 333n ln l xdx l n x l x −−=−=∫ππ一、 简答下列各题。
（12分，每题6分）1. 试在复平面上画出3)arg(0π<−<i z ，4Re 2<<z 点集的区域。
解：如图阴影部分为所求区域 （6分）2. 填空题：函数3)2)(1()(i z z z f +−=是单值的还是多值的？多值的（1分）；若是多值，是几值？3值（2分）；其支点是什么？1，-2i ，∞（3分）。
二、 (9分) 试指出函数3sin )(zzz z f −=的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点？ 解：22112033)12()1(])12()1([1sin )(−∞=+∞=∑∑+−=+−−=−=n n nn n n n n n z n z z z z z z f （3分） z=0为f (z )的可去奇点；（3分）z=∞为f (z )的本性奇点；（3分）三、 (9分) 已知解析函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )的虚部v (x,y ) = cos x sh y ， 求f (z )= ? 解：由C-R 条件x y x v yy x u y y x v x y x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂),(),(,),(),( （3分）得 u x (x,y ) = v y (x,y ) = cos x ch y u y (x,y ) = −v x (x,y ) = sin x sh y （3分）高数帮帮数帮高数帮高f (z ) = f (x +iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y ) = sin x ch y +i cos x sh y + c上式中令 x=z, y=0， 则 f (z ) = f (z+i0) = sinz + c （3分）四、 (10分) 求积分dz z e I Lz∫−=6)1(其中曲线L 为(a)圆周21=z ；(b)圆周2=z 解：(a) 6)1()(−=z e z f z 在圆周21=z 内解析，I = 0；（5分） (b) 在圆周2=z 内有一奇点，I = 2πiRes f (1)= 2π i !52)1()1()!16(166551lim e i z e z dx d z z π=−−−→（5分） 五、 (10分) 计算拉普拉斯变换?]2sin [=t t L （提示：要求书写计算过程）解：已知 42]2[sin ,][sin 222+=+=p t L p t L 也即ωωω（2分） 由象函数微分定理)3(4)(4p4)(4p ]2sin []2sin )[()2(4)(4p )42(]2sin )[()3(,)()1()]()[(2222222分分分+=+−−=−=−∴+−=+=−−=−p p t t L t t L p p dp d t t L p f dp d t f t L nnnn六、 (15分) 将f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1展开为以{ P l (x ) }基的广义付里叶级数。
2006级大学物理(I)期末试卷A卷
2006级大学物理（I ）期末试卷A 卷学院： 班级:_____________ 姓名:序号:_____________ 日期: 2007 年 6 月 24 日一、选择题（共30分）1．（本题3分）（0686）某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？(A) 北偏东30°． (B) 南偏东30°．(C) 北偏西30°． (D) 西偏南30°． ［ ］2．（本题3分）（0338）质量为m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用，比例系数为k ，k 为正值常量．该下落物体的收尾速度(即最后物体作匀速运动时的速度)将是 (A)kmg . (B) k g 2 . (C) gk . (D) gk . ［ ］3．（本题3分）（0048）水平地面上放一物体A ，它与地面间的滑动摩擦系数为μ．现加一恒力F 如图所示．欲使物体A 有最大加速度，则恒力F与水平方向夹角θ 应满足(A) sin θ ＝μ． (B) cos θ ＝μ．(C) tg θ ＝μ． (D) ctg θ ＝μ． ［ ］4．（本题3分）（0660）物体在恒力F 作用下作直线运动，在时间∆t 1内速度由0增加到v ，在时间∆t 2内速度由v 增加到2 v ，设F 在∆t 1内作的功是W 1，冲量是I 1，在∆t 2内作的功是W 2，冲量是I 2．那么，(A) W 1 = W 2，I 2 > I 1． (B) W 1 = W 2，I 2 < I 1．(C) W 1 < W 2，I 2 = I 1． (D) W 1 > W 2，I 2 = I 1． ［ ］5．（本题3分）（4014）温度、压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均动能ε和平均平动动能w 有如下关系：(A) ε和w 都相等． (B) ε相等，而w 不相等．(C) w 相等，而ε不相等． (D) ε和w 都不相等． ［ ］6．（本题3分）（4586）一定量某理想气体所经历的循环过程是：从初态(V 0,T 0)开始，先经绝热膨胀使其体积增大1倍，再经等体升温回复到初态温度T 0，最后经等温过程使其体积回复为V 0，则气体在此循环过程中．(A) 对外作的净功为正值． (B) 对外作的净功为负值．(C) 内能增加了． (D) 从外界净吸的热量为正值． ［ ］7．（本题3分）（5185）用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v ～t ）关系曲线如图所示,则振动的初相位为(A) π/6. (B) π/3.(C) π/2. (D) 2π/3. (E) 5π/6. ［ ］8．（本题3分）（3087）一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是(A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零．(C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零． ［ ］21--9．（本题3分）（3162）在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的透明介质中从A 沿某路径传播到B ，若A 、B 两点相位差为3π，则此路径AB 的光程为(A) 1.5 λ． (B) 1.5 λ/ n ．(C) 1.5 n λ． (D) 3 λ． ［ ］10．（本题3分）（5325）两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面的平玻璃慢慢地向上平移，则干涉条纹(A) 向棱边方向平移，条纹间隔变小．(B) 向棱边方向平移，条纹间隔变大．(C) 向棱边方向平移，条纹间隔不变．(D) 向远离棱边的方向平移，条纹间隔不变．(E) 向远离棱边的方向平移，条纹间隔变小． ［ ］二、填空题（共30分）11．（本题3分）（0735）二质点的质量各为m 1，m 2．当它们之间的距离由a 缩短到b 时，它们之间万有引力所做的功为____________．12．（本题3分）（0173）湖面上有一小船静止不动，船上有一打渔人质量为60 kg ．如果他在船上向船头走了 4.0米，但相对于湖底只移动了 3.0米，(水对船的阻力略去不计)，则小船的质量为____________________．13．（本题3分）（4666） 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律，v 代表平均速率，v ∆为一固定的速率区间，则速率在 v 到 v ＋v ∆范围内的分子数占分子总数的百分率随气体的温度升高而__________(增加、降低或保持不变)．14．（本题3分）（4563）设容器内盛有质量为M 1和质量为M 2的两种不同单原子分子理想气体，并处于平衡态，其内能均为E ．则此两种气体分子的平均速率之比为 ．15．（本题3分）（3032） 已知两个简谐振动的振动曲线如图所示．两简谐振动的最大速率之比为_________________．16．（本题3分）（3034） 已知两个简谐振动曲线如图所示．x 1的相位比x 2的相位超前_______．17．（本题3分）（3318）f (v )x (cm)一弦上的驻波表达式为 t x y 1500cos 15cos 100.22-⨯= (SI)．形成该驻波的两个反向传播的行波的波速为__________________．18．（本题3分）（3190）一个平凸透镜的顶点和一平板玻璃接触，用单色光垂直照射，观察反射光形成的牛顿环，测得中央暗斑外第k 个暗环半径为r 1．现将透镜和玻璃板之间的空气换成某种液体(其折射率小于玻璃的折射率)，第k 个暗环的半径变为r 2，由此可知该液体的折射率为____________________．19．（本题3分）（3731）波长为λ=550 nm (1nm=10-9m )的单色光垂直入射于光栅常数d =2×10-4 cm 的平面衍射光栅上，可能观察到光谱线的最高级次为第________________级．20．（本题3分）（3640）自然光以布儒斯特角i 0从第一种介质(折射率为n 1)入射到第二种介质(折射率为n 2)内，则tg i 0＝______________．三、计算题（共40分）21．（本题10分）（0780）两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮．小圆盘的半径为r ，质量为m ；大圆盘的半径r '＝2r ，质量 m '＝2m ．组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O 转动，对O 轴的转动惯量J ＝9mr 2 / 2．两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m 的物体A 和B ，如图所示．这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变．已知r = 10 cm ．求：(1) 组合轮的角加速度β；(2) 当物体A 上升h ＝40 cm 时，组合轮的角速度ω．22．（本题10分）（4104） 一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程．已知气体在状态A 的温度为T A ＝300 K ，求 (1) 气体在状态B 、C 的温度；(2) 各过程中气体对外所作的功； (3) 经过整个循环过程，气体从外界吸收的总热量(各过程吸热的代数和)．23．（本题10分）（3158）在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox 轴传播，波动表达式分别为)]/(2cos[1λνx t A y -π= 与 )]/(2cos[22λνx t A y +π= ，试求Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置．24．（本题10分）（3530）一衍射光栅，每厘米200条透光缝，每条透光缝宽为a=2×10-3 cm ，在光栅后放一焦距f=1 m 的凸透镜，现以λ=600 nm(1 nm =10-9 m)的单色平行光垂直照射光栅，求：(1) 透光缝a 的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？(2) 在该宽度内，有几个光栅衍射主极大（亮纹）？p (Pa)V (m 3)100200300。
北京交通大学 数学物理方法II(2005年光科04级)B(答案)
北 京 交 通 大 学2005-2006学年第二学期《数学物理方法II 》期末考试试卷（A ）学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________一、填空题：（以下5小题，每小题4分，共20分）1．长为l 的杆作纵振动，其一端（0=x ）被固定，另一端(l x =)是自由的，则该定解问题的边界条件为： 00,0xx x luu ====。
2．用行波法求解一维波动方程20tt xx u a u -=，得到通解()()12u f x at f x at =++-，其中12,f f 维为任意函数.其物理意义是:x at +表示1f 向x 轴的a 负方向以速度运动,而x at -表示2f 向x 轴的正方向以速度a 运动,.3．求解泊松方程(),,u f x y z ∆=的一般方法是： 找出该泊松方程的特解v ，令u=v+w, 于是将泊松方程的求解问题转化为拉普拉斯方程0w ∇=的求解。
4．我们称Z 0为二阶常微分方程()()220d w dw p z q z w dzdz++=的奇点，其含义是： Z 0为p(z),q(z)的奇点。
5．写出虚宗量贝塞尔函数()m I x 和()m K x 在0x →时的行为：()01,I x →()()()01,0(0),m m I x I x m K x →→≠→+∞。
二、（10分）试导出均匀杆的纵振动方程,02=-xx tt u a u 其中2/a Y ρ=，Y 是杆的杨氏模量，ρ是杆的密度。
解：如图所示，作受力分析，由牛顿定律可得 ()xxtt x dxxYS u YS u Sdx u ρ+-=即：xxx dx xtt u u Yu dxρ+-=于是得,02=-xx tt u a u ，其中2Ya ρ=。
三、（20分）用分离变数法求解定解问题：,02=-xx tt u a u （,0l x <<）0,x x u == 0,xx lu ==(),0x ut ϕ== (),0x u t tψ== （l x ≤≤0）。
试题一-数学物理方法-西北师范大学
西北师范大学物理与电子工程学院2006-2007学年度第一学期《数学物理方法》期末试卷(A 卷)系别:专业：级别：班级：学号：姓名：任课教师：题号一二三四五六七八总分得分一、(10分)在经典数学物理方程中,以二阶线性偏微分方程为主要研究对象.请问二阶线性偏微分方程从数学上分为哪几类?在物理上分别对应于什么过程?并写出各类方程的标准形式.二、(10分)数学物理方程有两大基本任务:导出定解问题和求解相应的定解问题.请问什么是定解问题?定解问题包括哪些要素?我们学习了哪些定解问题?以及求解这些定解问题的主要方法有哪些?三、(10分)定解问题的适定性对于导出定解问题和求解定解问题具有重要的指导意义.请问什么是定解问题的适定性?适定性包括哪些方面?并从物理角度分析如下定解问题是不适定的(提示:可以从温度场或静电场出发,解可能不存在).∆u =f (f =0)(在区域D 内)∂u ∂n S =0(S 为区域D 的边界,n 为边界S 的外法线方向)四、(5分)一根长为l 的均匀细杆,其温度分布满足如下定解问题：u t −a 2u xx =0(0<x <l,t >0)u (0,t )=0,u x (l,t )=0(t ≥0)u (x,0)=200(0≤x ≤l )《数学物理方法》试卷(A 卷)第1页(共3页)不求解定解问题,从物理角度直观分析细杆上温度随时间的变化情况,并考察t →+∞时细杆上的温度.五、(30分)分离变量法是求解定解问题的重要方法之一.请问分离变量法对定解问题有什么要求？分离变量法有哪些基本步骤？关键的步骤是什么？请用分离变量法求解如下弦振动方程的混合问题(要求写出完整的求解过程),并分析解的物理意义.u tt =a 2u xx (0<x <l,t >0)u (0,t )=0,u (l,t )=0(t ≥0)u (x,0)=sin 2πx l ,u t (x,0)=0(0≤x ≥l )六、(15分)一根无限长的均匀细杆,其振动满足如下定解问题:u tt =a 2(u xx +2x u x )(−∞<x <∞,t >0)u (x,0)=ϕ(x )(−∞<x <∞)u t (x,0)=ψ(x )(−∞<x <∞)其中ϕ(x ),ψ(x )为充分光滑的已知函数.请求解该定解问题,并说明解的物理意义(提示:令v (x,t )=xu (x,t )).七、(10分)格林函数又称点源影响函数,请用镜像法求出Laplace 方程上半空间Dirichlet 问题的格林函数,并说明其物理意义.同时请写出Laplace 方程上半空间Dirichlet 问题∆u =0(z >0,−∞<x <∞,−∞<y <∞)u (x,y,0)=f (x,y )(−∞<x <∞,−∞<y <∞)解的积分公式.八、(10分)求解常微分方程的本征值问题时,会得到各种各样的特殊函数,诸如Legendre(勒让德)多项式、Bessel(贝塞耳)函数、Hermite(厄密)多项式《数学物理方法》试卷(A 卷)第2页(共3页)和Laguerre(拉盖尔)多项式等.对连带Legendre多项式,请填空(每空2分)：l阶连带Legendre微分方程的一般形式为,其中有两个本征值l(l+1)和m.l的取值范围为,相应m的取值范围为.l阶连带Legendre微分方程的解为l阶连带Legendre多项式,连带Legendre多项式的性、性和完备性是使它成为一个坐标函数系的三个重要性质.《数学物理方法》试卷(A卷)第3页(共3页)西北师范大学物理与电子工程学院2006-2007学年度第一学期《数学物理方法》期末试卷(A卷)参考答案一、(10分)二阶线性偏微分方程从数学上分为双曲型、抛物型、椭圆型三类,在物理上,双曲型方程对应于波动过程,抛物型方程对应于传输和扩散过程,椭圆型方程对应于稳定场过程.双曲型方程的标准形式为u tt−a2∆u=f,抛物型方程的标准形式为u t−a2∆u=f,椭圆型方程的标准形式为∆u=f.二、(10分)物理问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下,求解数学物理方程.数学物理方程加上相应的定解条件就构成定解问题.定解问题包括泛定方程和定解条件.物理规律用偏微分方程表达出来,叫作数学物理方程.数学物理方程,作为同一类物理现象的共性,反映的是矛盾的普遍性,与具体条件无关,是解决问题的依据,所以又称为泛定方程.定解条件包括边界条件和初始条件,有时还需要衔接条件.边界条件和初始条件反映了具体问题特定的环境和历史,即矛盾的特殊性.泛定方程提供解决问题的依据,定解条件提出具体的物理问题,泛定方程和定解条件作为一个整体,合称为定解问题.学习的定解问题有:对波动过程:针对有界弦,提出了弦振动方程的混合问题;针对无界弦,提出了弦振动方程的初值问题(或Cauchy问题).对传输和扩散过程:针对有界杆,提出了热传导方程的混合问题;针对无界杆,提出了热传导方程的初值问题;针对一端有界的杆,提出了热传导方程的半无限问题.对稳定场过程:提出了Laplace方程圆、球、半空间、半平面的Dirichlet问题.求解这些定解问题的主要方法有:分离变量法(有界空间、无界空间、极坐标系、球坐标系)、Fourier级数法(齐次泛定方程、非齐次泛定方程)、行《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第1页(共4页)波解法(或D’Alembert解法)、冲量定理法、格林函数法(波动、热传导、镜像法)等.三、(10分)定解问题是对真实的物理问题经过一定的近似后得到的,近似就涉及到是否合理的问题,即定解问题是否提的正确,这一问题称为定解问题的适定性.定解问题的适定性包括解的存在性、解的唯一性和解的稳定性三个方面.该定解问题如果从温度场来考虑,反映的是这样一种温度场：区域D内存在热源,而边界上是绝热的.热源不停的放出热量,而热量又不能经由边界散发出去,D内的温度必然要不停的升高,其温度分布不可能是稳定的,故该问题不能由Possion方程来描述,因此该定解问题的解是不存在的.从而该定解问题是不适定的.(注:从静电场分析类似,只不过内部有电荷分布,而电场的法向分量为零.)四、(5分)从该定解问题可以看出：杆的左端温度为0,右端绝热,杆内部没有热源,杆上初始时刻各处温度均为常数200.根据热传导规律,杆上的温度将随时间降低,越靠近左端,温度降得越快,最后当t→+∞时细杆的温度将和左端的温度相等,即杆上各处的温度均为0.五、(30分)分离变量法要求定解问题的泛定方程与边界条件必须是齐次的.分离变量法其基本步骤为：1、变量分离;2、求解本征值问题;3、求解另外的常微分方程;4、特解的叠加;5、利用定解条件确定叠加系数.分离变量法关键的步骤是求解本征值问题.1.变量分离设u(x,t)=X(x)T(t),代入泛定方程得X +λX=0T +λa2T=0,其中λ为分离常数.将u(x,t)=X(x)T(t)代入边界条件得X(0)=0,X(l)=0.《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第2页(共4页)2.求解本征值问题X +λX =0X (0)=0,X (l )=0本征值λn =n 2π2l 2,本征函数X n (x )=sin nπxl ,n =1,2,···.3.求解常微分方程T+n 2π2a 2l 2T =0,n =1,2,···T n (t )=C n cos nπa l t +D n sin nπalt ,n =1,2,···.其中C n ,D n 为任意常数.得一系列特解u n (x,t )=X n (x )T n (t )=C n cos nπa l t +D n sin nπa l t sin nπxl,n =1,2,···.4.特解的叠加u (x,t )=∞ n =1u n (x,t )=∞ n =1C n cos nπal t +D n sin nπa l t sin nπx l.5.利用初始条件确定叠加系数C n ,D nu (x,0)=∞ n =1C n sinnπx l =sin 2πxl =⇒C 2=1C n =0,n =2.u t (x,0)=∞ n =1D n nπa l sin nπxl=0=⇒D n =0,n =1,2,···.所以该定解问题的解为u (x,t )=cos2πa l t sin 2πxl.解的物理意义：该Fourier 级数解在物理上表示驻波.六、(15分)令v (x,t )=xu (x,t ).化原定解问题为：v tt =a 2v xx (−∞<x <∞,t >0)v (x,0)=xϕ(x )(−∞<x <∞)v t (x,0)=xψ(x )(−∞<x <∞)利用D’Alembert 公式,有《数学物理方法》试卷(A 卷)参考答案第3页(共4页)v(x,t)=(x−at)ϕ(x−at)+(x+at)ϕ(x+at)2+12ax+atx−atαψ(α)dα.所以,u(x,t)=1xv(x,t)=12x(x−at)ϕ(x−at)+(x+at)ϕ(x+at)+1ax+atx−atαψ(α)dα.解的物理意义：f(x−at)表示右行波(或右传播波、正行波),f(x+at)表示左行波(或左传播波、逆行波),u(x,t)表示沿x轴正、负方向传播的行波,其中前一项来源于初始位移ϕ(x),后一项来源于初始速度ψ(x).七、(10分)Laplace方程上半空间Dirichlet问题的格林函数为：G(M,M0)=1r MM−g(M,M0)=1r MM−1r MM1=1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2,其中1r MM=1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2在静电学上表示M0(x0,y0,z0)处单位正电荷在M(x,y,z)处产生的电势,−g(M,M0)表示接地导体平面z=0上感应负电荷在M(x,y,z)处产生的电势,其可以用镜像点M1(x0,y0,−z0)处单位负电荷产生的电势−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2来代替.Laplace方程上半空间Dirichlet问题解的积分公式为：u(x0,y0,z0)=−14πf∂G(M,M0)∂ndS=14π∞−∞∞−∞f(x,y)·∂∂z1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2z=0dx dy=z02π∞−∞∞−∞f(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2+z203/2dxdy八、(10分)(1−x2)d2ydx2−2xdydx+l(l+1)−m21−x2y=0.l=0,1,2,3,···,m=0,1,2,···,l.正交、归一.《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第4页(共4页)。
数学物理方程期末考试试题(A)答案
孝感学院解：设)()(t T x X u =代于方程得：0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’)x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得：22)(,0ln C πλ== lx n t a A t a B u n n n πλλcos)1sin 1cos (221+++=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0cos )(2πϕ，⎰+=l n dx lx n x a l A 02cos )(12πψλ(15’)证明：设代入方程：⎪⎩⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：⎪⎩⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t由极值原理得0=v 唯一性得证。
(8’)由≤-21v v ετ≤-21v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性得证。
(15’)解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p格林函数：22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-=y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ])[(22220ηξπη+-=∂∂-=∂∂=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ⎰+∞∞-+-=22)()(),(ηξπηηξ(15’)五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++-),,,(0z y x ut ϕ== ),,,(0z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界.解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得：0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u00==t u00==t t u .0=Γu设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222⎰⎰⎰Ω+++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22⎰⎰⎰Ω+++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[22⎰⎰⎰Ω++-= 0=(10’)0)0()(==E t E ，C u =，由边值条件得：0=u 。
兰州大学 信息院 2009-2010学年2006级 应用数学 (数学物理方法)期末考试试题_A参考答案
兰州大学2009～2010 学年第2学期期末考试试卷（A 卷）答案一. 填空题（共18分，每题空3分）1、xv y u y vx u ,； 2、平行于纵轴的两线段：π)20(ln ,ln 2211 v R u R u ；3、21)1()1(1k kR z k z ；4、1；5、振动型方程、输运方程和稳定型方程；6、0；7、)(53)(5213x P x P 。
二 分析计算题(共50分) 1、解：1)2)(1()1(lim ]1),([Re 21z z zz z f s z ； （5分）1])2)(1()2[(lim]2),([Re 221z z z z dz d z f s z ；（5分） z z z zz d )2)(1(2122 i z f s i 2]2),([Re 2 （5分）2、证明：由22j π1d e e π21)(x F x x ， （6分）得d e π1e i 22xx a （6分）3、解：由达朗贝尔公式d )(21)]()([21),(( atx at x aat x at x t x u （4分） 得)]arctan()[arctan(21d 1121])()[(21),(222222at x at x at a x a at x at x t x u at x at x（6分）4、令)()(),(y Y x X y x u代入到泛定方程和边界条件中，得 )2(0)()()1(0)()(''''y Y t Y x X x X及0)(,0)0( a X X （3分）由（1）、（3）求得本征值、本征函数为2a n 、x a n πsin ,其中n =1,2,3,… 所以， a x n a y n B a y n A y x u n n n πsin πsh πch ),(0（5分） 将上式代入另一边界条件，得))1(0,11 n A A n ； ))3(0,π3sh /3,πsh πch131 n B a b B ab a bB n （5分）a x a y ab a x a y a b a b a y y x u π3sin π3sh π3sh3πsinπsh πsh πch 1πch ),( （2分）三、简述题（共30分）1、答：与洛朗级数展开的唯一性并不矛盾。
数学物理方法期末试卷
2013 —2014 学年度第 一 学期 《数学物理方法》试卷（A ）学院 专业 班 学号 姓名 分数一、（本题10分）写出下列物理问题的定解问题1．一长度为l 的细杆，杆的侧面和两端保持绝热，初始杆上温度分布为x ，写出此定解问题。
并指出+∞→t 时的杆上的温度分布情况。
2．一半带形区域（0,0≥≤≤y a x ），已知边界0=x 和0=y 上的电势都为零，而边界a x =上的电势为 u 0，写出此半带形区域内电势满足的定解问题。
二、（本题10分）计算积分 dx x xJ I ⎰=)(2将计算结果用零阶和一阶贝塞尔函数表示，因为工程上有零阶、一阶贝塞尔函数表可查。
三、（本题15分）定解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=-====0,5,0)0,0(30002t t t x x xx tt u x u u u t x u a u ππ1）若要使边界条件齐次化，求其辅助函数，并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。
2）当方程的非齐次项和边界条件都与自变量t 无关时，可以选择特定的辅助函数w ，使得经变换w v u +=后所得v 的泛定方程和边界条件都是齐次的。
求满足本定解问题的辅助函数)(x w 。
四、（本题15分）有一内、外半径分别为a 和2a 的均匀球壳，其内球壳的电势分布为θ20cos u ，外球壳的电势为零，球壳内、外均无电荷。
求: 1）球壳内)2(a r a <<的电势分布；2）将单位正电荷从球壳的球心移到球壳内表面电场力所做的最大功是多少。
五、（本题20分）分离变量法和本征函数法1）定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<=-====000)0,0(sin sin 0002t t t l x x xx ttu u u u t l x t lx A u a u ωπ用本征函数法展开求解时，关于)(t T 满足的方程和初始条件是什么。
2）利用分离变量法求解下列热传导问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===><<=-===x u u u t x Du u t x x x x xx t 200sin 80)0,0(0ππ六、（本题15分）一维无界波动问题1）写出一维无界波动问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=-==)()()0,(0002x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ的通解。
数学物理方法复习题
数学物理⽅法复习题第⼀部分:填空题1复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点z x iy =+可导的必要条件是____ 2 柯西黎曼⽅程在极坐标系中的表达式为_______ 3 复变函数2()f z z z =在____z =处可导4复变函数()f z xy iy =+在____z =处可导5 ln(1)_____-=6 指数函数()z f z e =的周期为______7 221_____1()z dz z z==-? 8 31_____3z z e dz z -==-? 9 221_____4z dz z -==-? 10 51cos _________(1)z z dz z π>=-? 11 在01z =的邻域上将函数11()z f z e -=展开成洛朗级数为__________12 将1/z e 在00z =的邻域上展开成洛朗级数为_____________13 将1sin1z -在01z =的邻域上展开成洛朗级数为________________ 14 00z =为函数sin 2z z的________________ 15 00z =为函数1sin z 的________________ 16 01z =为函数11z e-的____________________ 17 00z =为函数4cos z z的______阶极点 18 00z =为函数4sin z z的______阶极点19 函数231()ze f z z -=在00z =的留数Re (0)________sf = 20 函数11()z f z e -=在01z =的留数Re (1)________sf =,在⽆限远点的留数Re ()________sf ∞=21 函数21/()z f z e =在00z =的留数Re (0)________sf =22 函数3cos ()z f z z=在00z =的留数Re (0)________sf = 23 函数3sin ()z f z z=在00z =的留数Re (0)________sf = 24 积分0()()______ba f t d τδττ-=? ((,))t ab ∈ 25 两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x t ρρω=Φ的横向⼒作⽤下振动,泛定⽅程为_______________.26 两端固定的弦在点0x 受变⼒0(,)sin f x t f t ρρω=的横向⼒的作⽤,其泛定⽅程为_________________.27 弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻⼒t F Ru =-（R 为阻⼒系数），弦在阻尼介质中的振动⽅程为_______________。
数学物理方法考试试题
数学物理方法考试试题一、选择题1. 在坐标系中，以下哪个曲线表示了函数 y = e^x 的图像？A. y = x^2B. y = eC. y = e^(-x)D. y = ln(x)2. 一个小球从地面上方以速度 v0 抛下，忽略空气阻力。
以下哪个公式正确地描述了小球的下降高度 h(t) 随时间变化的关系？A. h(t) = v0 * t - 0.5 * g * t^2B. h(t) = v0 * t + 0.5 * g * t^2C. h(t) = v0 * t + g * t^2D. h(t) = v0 * t - g * t^23. 空间中有一个电场 E = 2x i + 3y j + 4z k。
一个电子从点 (1, 2, 3) 处开始沿电场方向运动，电子的加速度大小是多少？A. 7B. 5C. 6D. 44. 一个质点在平面上做匀速圆周运动，其角速度大小为 2 rad/s。
质点的速度大小和圆周半径分别是多少？A. v = 2rB. v = 4rC. v = 6rD. v = 8r5. 一辆汽车以匀加速度 a 行驶，在时刻 t1 时起动，时刻 t2 时速度为 v2。
以下哪个公式可以用于计算汽车在时间区间 [t1, t2] 内行驶的距离？A. s = v2 - v1B. s = a * (t2 - t1)C. s = v1 * (t2 - t1) + 0.5 * a * (t2 - t1)^2D. s = v1 * (t2 + t1) + 0.5 * a * (t2 - t1)^2二、计算题1. 计算下列函数的导数：(1) f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4(2) g(x) = e^x * sin(x)2. 一个弹簧的劲度系数为 k，质量为 m 的物体悬挂在弹簧上。
当物体受到外力 F(t) = 2cos(t) 作用时，确定物体的运动方程并解释物体的运动特性。
3. 一个半径为 R 的圆形铁环在匀强磁场 B 的作用下，磁通量在时间区间 [0, t] 内以恒定速率增大。
2006年高二物理第一学期选修3-1期末考试试卷
页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根UU A B C D2006年高二物理第一学期选修3-1期末考试试卷说明：第Ⅰ卷80分，第Ⅱ卷70分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（80分）一、单项选择题：16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，请在题后的答题卡上作答，用铅笔在你认为正确的答案上涂上横线。
1．关于磁感线的说法，下列正确的是：A ．磁感线从磁体的N 极出发，到磁体S 极终止B ．磁感线可表示磁场的强弱和方向C ．电流在磁场中的受力方向，即为该点磁感线方向的切线方向D ．沿磁感线方向，磁感强度渐弱2．关于摩擦起电和感应起电，以下说法正确的是A ．摩擦起电是因为电荷的转移，感应起电是因为产生电荷B ．摩擦起电是因为产生电荷，感应起电是因为电荷的转移C ．不论摩擦起电还是感应起电都是电荷的转移D ．以上说法均不正确3．关于洛伦兹力，以下说法中正确的是A ．电荷在磁场中一定受到洛伦兹力的作用；B ．运动电荷在磁场中一定受到洛伦兹力的作用；C ．洛伦兹力的方向始终与电荷的运动方向垂直；D ．让磁感线垂直穿入左手手心，四指对着电荷运动，则大姆指指向就是洛伦兹力方向。
4．关于磁电式电流表，下列说法中正确的是：A ．电流表的工作原理是安培力对通电导线的加速作用B ．电流表的工作原理是安培力对通电导线的形变作用C ．电流表指针的偏转角与所通电流成反比D ．电流表指针的偏转角与所通电流成正比5．如图是某固定电容器所带的电荷量Q 与电容器两极板间的电势差U 的关系图象，其中正确的6．关于库仑定律，下列说法中正确的是：A ．库仑定律精确地描述了真空中两个点电荷间的相互作用力大小B ．库仑定律中的常数静电力恒量k=9×109C ．库仑定律是描述两个质点之间的作用力D ．在氢原子模型中，库仑力远远小于万有引力7．与门电路的逻辑关系可表示为Z ＝A ×B ，下列结果错误的是：A ．0×0＝0B ．0×1＝0C ．1×0＝1D ．1×1＝18．快速晶体管、激光二极管和集成电路的发明，使现代信息技术有了飞跃的发展，从事这项基础性研究的三位科学家也因此获得了2000年诺贝尔物理学奖。
2006级数学物理方程期末试题
课程编号：北京理工大学2007-2008学年第二学期2006级数学物理方程期末试题（A卷）班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________一、填空（请写在答题纸上，每题4分，共计40分）1.二维波动方程是______________________________。
2.设是区域边界，在上给出边界条件，其中f为已知函数，这种边界条件为第类边界条件。
3.极坐标系下的二维热传导方程为 __________________________。
4.定解问题的解为________________________。
5.三维拉普拉斯方程的解的平均值公式为___________________________。
6.写出n阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。
7.设为阶贝塞尔函数，则=__________________。
8.方程的两族特征线为。
9.傅立叶（Fourier）变换的定义式为。
10.写出三维空间中的格林（Green）公式。
二、（10分）用分离变量法求解如下定解问题：三、（10分）设，求解定解问题：四、（10分）设，用积分变换法求解下面问题：五、（12分）求拉普拉斯方程在半空间内的格林函数；并求解定解问题：六、（12分）求满足下面定解问题的解：七、（6分）证明下式（提示：多项式的Laplace变换为）课程编号： 07000125北京理工大学2007-2008学年第二学期2006级数学物理方程期末试题（B卷）班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________一、填空（请写在答题纸上，每题4分，共计40分）1.三维齐次热传导方程的表达式是________________________________。
2.极坐标系下的二维热传导方程表达式为________________________。
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一、单项选择题（每小题2分）
1． 齐次边界条件0),(),0(==t u t u x x π的本征函数是_______。
A) 3,2,1 sin =n nx B) ,2,1,0 cos =n nx C) 2,1,0 )21sin(=+n x n D) 2,1,0 )2
1cos(=+n x n
2． 描述无源空间静电势满足的方程是________。
A) 波动方程 B)热传导方程
C) Poisson 方程 D)Laplace 方程 3． 半径为R 的圆形膜，边缘固定，其定解问题是⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧====∇-∂∂===)
(| ),(|0|0),(),(0t 02222ρψρϕρρρt t R u u u t u a t t u
其解的形式为∑∞
==100)()(),(m m m k J t T t u ρρ，下列哪一个结论是错误的______。
A) )()()()(20222
t T k a t T dt
d t T m m m m -=满足方程 B ）圆形膜固有振动模式是)sin(0t ak m 和)cos(0t ak m
C ）0m k 是零阶Bessel 函数的第m 个零点。
D ）)()(00ρρm m k J R =满足方程0)(2202=+'+''R k R R m
ρρρ 4． )(5x P 是下列哪一个方程的解_________。
A ）0202)1(2=+'-''-y y x y x
B ）0252)1(2
=+'-''-y y x y x
C ）0302)1(2=+'-''-y y x y x
D ）052)1(2=+'-''-y y x y x
5． 根据整数阶Bessel 函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的________。
A ）)(2)()(1
20x J x J x J '=- B ）)()()(111x J x x J x xJ '=+ C ）)(2)()(210x J x x J x J =- D ）)(2)()(120x J x
x J x J '=+
二、填空题（每题3分）
1． 定解问题⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧====><<=-====0 ,00
,0)0,0( sin cos 0002t t t l x x x x xx tt u u u u t l x t l x A u a u ωπ用本征函数发展开求解时，关于T(t)满足的方程是：
2． Legendre 多项式)(x P l 的x 的值域是______________________。
Bessel 函数)(x J n 的x 的值域是______________________。
3． 一圆柱体内的定解问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===<=∆===)
( ),(0 ,0210ρρρρf u f u u a u h z z a
1）则定解问题关于ρ满足的方程是：_____________________________; 相应方程的解为___________________________;
2）关于z 满足的方程是_______________________________________;
4． 计算积分
⎰-11)(dx x xP l 5． 计算积分⎰a dx x xJ 00)(
三、（10分）长为l 的弦，两端固定，初始位移为21x +，初始速度为4x ，写出此物理问题
的定解问题。
四、（10分）定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<=-===0
0 ,)0 ,0( ,000t l x x xx t u u t u t l x Du u ，若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题
五、（10分）利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题
⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=-==x u x u t x u u t t t xx tt sin ||)0,(040
0 六、（15分）用分离变量法求解定解问题
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧====><<=-====0,4sin 0 ,0)0,0( 00002t t t l x x xx tt u x l u u u t l x u a u π 计算积分⎰-+=1
11)()(dx x P x xP I l l
七、（15分）有一半径为R 的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为
ϕϕρρ2cos 2|),(==R u ，试求圆盘上稳定的温度分布),(ϕρu 。
八、（15分）设有一半径为R 的球壳，其球壳的电位分布θ2cos |==R r u ，写出球外的电位满足的定解问题，并求球外的电位分布
参考公式
（1） 柱坐标中Laplace 算符的表达式
（2） Legendre 多项式
（3） Legendre 多项式的递推公式
（4） Legendre 多项式的正交关系
（5） 整数阶Bessel 函数
（6） Bessel 函数的递推关系。