黄克智版张量分析 习题解析
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02张量分析
1.矢量场的旋度 令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数，于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地，二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi
ai i ai xi
18
显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下， divT divT ，现证明如下：
divT
diva d iva
因此，今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别，统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义：
dTij dT dT 的分量 给出。 由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上，因为 Tij e i T e j ，又因 i 0 ，故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成
f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i
张量分析第三章
s′ r′
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
黄克智版张量分析 习题解析
因为 detU≠0，所以 vx=vy=vz=0 是唯一零解，即：v=0。
1.4 已知：矢量 u，v，求证： u v u v
证明： u v u v sinu,v u v
1.5 求证： a b 0 a，b 线性相关。
证明： 即
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 0
wy uyvz uzvy wx uzvx uxvz k
uv w uv w
1.2 求证： (A×B) ×(C×D)=B(A·C×D) －A(B·C×D) =C(A·B×D) －D(A·B×C)
证明：
i jk
A B Ax Ay Az Bx By Bz
Ay Bz Az By i Az Bx AxBz j AxBy Ay Bx k
2
ui u j gij , vi v j gij
uu12 u3
g11 g21 g31
g12 g22 g32
g13 g23 g33
u1 u 2 u 3
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1 1
1 2 1
1 2 6
1231
7 3
v1 g11
v2 v3
g21 g31
g12 g22 g32
g13 g23 g33
i jk B D Bx By Bz
Dx Dy Dz
By Dz Bz Dy i Bz Dx BxDz j BxDy By Dx k
i
A B C D Ay Bz Az By
Cy Dz Cz Dy
j Az Bx Ax Bz Cz Dx Cx Dz
k Ax By Ay Bx Cx Dy Cy Dx
弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用
ei ej＝ ij
34
符号ij 与erst
当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时，有
ei e j eijk ek
而对于左手系，有：
ei e j eijk ek
e3
e1 e1
e3 e2
e2
35
符号ij 与erst
2. 矢量的点积：
a b (a j e j ) (bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
1
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；
低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法：
实体记法：
分解式记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
31
符号ij 与erst
erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
定义(笛卡尔坐标系)
1 erst 1 0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析
| x x0 |
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
张量分析第三章
A B ( Ai i Bi i )ii ii
1 m 1 m 1 m
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积：设张量 A P ; B P ；则 A和 B的张量积按：
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
（3.1-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则：
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1： 如图3－1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB Aij ii i j （Bmn imin） Aij Bmn）i j imin Φ （ ) （ ii ; Φ P 4
1 m 1 m 1 m
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积：设张量 A P ; B P ；则 A和 B的张量积按：
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
（3.1-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则：
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1： 如图3－1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB Aij ii i j （Bmn imin） Aij Bmn）i j imin Φ （ ) （ ii ; Φ P 4
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
张量分析作业11
张量分析作业11张量分析1张量代数1.1坐标系在三维空间中，⼀个笛卡尔坐标系⽤图表⽰为三个相互垂直的轴，分别记为x轴、y轴、z轴。
为以后⽅便起见，坐标轴可更⽅便地表⽰成轴、轴、轴，⽽不是更熟悉的记法x轴、y轴、z轴。
图1.1所⽰的坐标系假定采⽤右⼿记法，轴、轴位于图纸平⾯内，轴垂直指向读者。
在这种记法中，坐标轴分别平⾏于（右⼿）指向观察者的中指、指向右边的⼤拇指和垂直向上的⾷指。
坐标的正向为⼿指的指向，如果我们想像⼀个右⼿⽅向旋转的螺杆，由轴向轴旋转会导致螺杆沿着轴的正向前进。
同样可以轮流采⽤标记1、2和3来检验螺杆沿正⽅向前进的情况。
正因为如此，图1.1所⽰的坐标系为右⼿坐标系。
不是右⼿坐标系的叫左⼿坐标系。
如⽤左⼿，则图1.1中轴正向朝下。
注意任何两个具有相同原点的右⼿坐标系，都可以将⼀个坐标系转到另⼀个坐标系上，使之重合。
这也适⽤于左⼿坐标系，图1.1右⼿螺旋定则但不适⽤⼀左⼀右的情况。
1.2⽮量代数⽮量既有⼤⼩⼜有⽅向，这与标量不同，标量只有⼤⼩。
例如，速度是⽮量，温度是标量。
在坐标系中⽮量通常⽤箭头表⽰，箭头的⽅向为⽮量的⽅向，箭头的长度与⽮量的⼤⼩成⽐例。
图1.2中表⽰沿三个相互垂直轴⽅向的单位⽮量、和。
例如，单位⽮量为单位长度（从原点量起）并沿轴，因⽽必须垂直另外两个坐标轴和。
对空间中任意⼀点P，坐标是、和，可以表⽰为⽮量OP或V。
这个⽮量V可以想像为⽮量、和的组合，故有=++(1.1)或根据单位⽮量得V=++（1.2）其中，、和为标量值。
进⼀步简化，上式课简写为=（）（1.3）显然这个形式中3个标量的排序时⾄关重要的。
可以看出⽮量的标记形式上采⽤了P点的笛卡尔坐标表⽰。
图1.2右⼿笛卡尔坐标系中的位置与单位⽮量通常认为，、和作为的分量，或反过来，将⽮量分解成分量。
⽮量作⽤的特定点常常可以从上下⽂中得知，不需要特别指明，图1.2中⽮量恰好作⽤在坐标原点。
若两个⽮量和U的分量相等，则定义他们相等，相等的条件为=，=，=（1.4）或紧凑地表⽰为=，i=1,2,3 （1.5）通常，跟简洁地将相等表⽰为=（1.6）由于下标i没有特别指明，可以认为它代表了三种可能下标中任⼀个。
张量分析作业答案
张量分析作业1.2题 证明：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()C B AD D B A C D C B A U B A D C B A D C A B U B A U A B B A U A B U BA U AB U B A U B A DC wv u v w u w v u U D C B A D C D C B A ⨯∙-⨯∙=⨯⨯⨯=⨯⨯∙-⨯∙=∙-∙=∙+∙-∙+∙-=⨯⨯-=⨯⨯⨯-∙-∙=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯令同理可证得：利用点积交换律得：得：，利用公式设1.5 求证：0a b ⨯=⇔,a b 线性相关。
证明： a b ⨯=xy z xy zij ka a ab b b =()()()0y z z y z x x z x y y x a b a b i a b a b j a b a b k -+-+-= ∴i j j i a b a b =即i ji ja a kb b == i i a kb = i j k i j k k k k a i a j a k b i b j b k ∴++=++即k =a b ,a b ∴线性相关 同理可证 当,a b 线性相关时，0a b ⨯= ∴0a b ⨯=⇔,a b 线性相关。
1-7解：c mb a =+ ()1,2,3c =()2,,2mb m m m =- (),,a x y z =22021223x y z m x m y z m +-=+=+=-=解得1320234,,,9999x y z m ====-132023999a i j k =++1.8 试求线元d kx 的长度d k s 。
解：d d d d =d d d k ki k k ki i i x g x x x g r g r r δ=⇒==⇒1.10、解：（1）由公式g 1=g1(g 2×g 3)g 2=g 1(g 3×g 1)g 3=g1(g 1×g 2)又g =[g 1 g 2 g 3]=k ×i ·j ，得g 1=j i k jk i k j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 2=j i k kj k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 3=ji k jk k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯（2）g rs =323121g g g g g g g g s r ∙+∙+∙=⨯=()()()()()()j i k i j i k j k i k j +∙+++∙+++∙+ =222j k i ++1-10、解：（1）由公式g 1=g1(g 2×g 3)g 2=g 1(g 3×g 1)g 3=g1(g 1×g 2)又g =[g 1 g 2 g 3]=k ×i ·j ，得g 1=j i k jk i k j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 2=j i k kj k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 3=ji k jk k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯（2）g rs =323121g g g g g g g g s r ∙+∙+∙=⨯=()()()()()()j i k i j i k j k i k j +∙+++∙+++∙+ =222j k i ++1.17求：题1.13所示圆柱坐标和球坐标i x ,与笛卡尔坐标j x '的转换系数'i j β与'j i β。
张量分析答案完整版.
1.1 求证： u × (v × w ) = ( u • w) v − ( u • v) w
黄克智版张量分析课后习题答案完整版
并问： u × ( v × w ) 与 （u × v） × w 是否相等？ u 、v、w 为矢量 证明：因为 u= (u x , u y , u z ) ; v= ( vx , vy , vz ) ; w= ( wx , wy , wz ) ;
左边= u × (v × w ) = (u x , u y , u z ) × [ ( vx , vy , vz ) × ( wx , wy , wz ) ]
g11g1 + g 12g 2 + g 13g 3 = 2g1 + g 2 + g 3
= j + k = g1
1.11 根据上题结果验算公式： g j = g jig i 1 1 1 由上题结果： g = 2 , g1 = ( −i + j + k ) , g 2 = (i − j + k ) , g3 = ( i + j − k ) 2 2 2
=[
⎧2 g rs = ⎨ ⎩1
及： g1 = g11g1 + g12g 2 + g13g3
所以 u × (v × w) ≠（u × v） ×w
第一章
同理; g 21g1 + g 22g 2 + g 23g3 = g1 + 2g 2 + g 3 当r=s 当r ≠ s
=
=
, u y ( vx wy − wx v y ) − u z ( wxv z − v x wz ) u x ( wx vz − vx wz ) − u y ( v y wz − w yv z ) ] 所以： u × (v × w ) = (u • w)v − ( u • v) w 同理可证： ( u × v ) × w = ( u • w) v − ( v • w) u
张量分析第一章 习题答案
j
一阶张量 一阶张量 根据张量识别定理: δ ij 是1+1阶即二阶张量. (2) 对于任意二阶张量 b jk 缩并:
∑ε
j ,k
ijk
b jk
一阶张量
∑ε
j ,k
1 jk b jk = b23 − b32
∑ε
j ,k
2 jk
b jk = b31 − b13
∑ε
j ,k
3 jk
b jk = b12 − b21
∑
i1i2 ⋅⋅⋅iµ j1 j2 ⋅⋅⋅ jµ
得 Ai1′i 1 Ai2′i2 ⋅⋅⋅ Aiµ′iµ Aj1′ j1 Aj2′ j2 ⋅⋅⋅ Ajν ′ jν ai1i2 ⋅⋅⋅iµ j1 j2 ⋅⋅⋅ jν 命题得证！ 命题得证！
ci1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ =
∑ ∑
i1i2 ⋅⋅⋅iν j1 j2 ⋅⋅⋅ jν
得
i1i2 ⋅⋅⋅iµ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ j1 j2 ⋅⋅⋅ jν
在新坐标系中: ci1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ = ∑ ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ b j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′
j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′
比较
ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ =
ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ =
∑
i1i2 ⋅⋅⋅iµ
得 Ai1′i 1 Ai2′i2 ⋅⋅⋅ Aiµ′iµ ai1i2 ⋅⋅⋅iµ
命题得证！ 命题得证！
6. 根据张量识别定理证明:δ ij是二阶张量, ε ijk 为三阶张量. 证: (1) 对于任意一阶张量 对于任意 阶张量 a j ∑ δij a j = ai
一阶张量 一阶张量 根据张量识别定理: δ ij 是1+1阶即二阶张量. (2) 对于任意二阶张量 b jk 缩并:
∑ε
j ,k
ijk
b jk
一阶张量
∑ε
j ,k
1 jk b jk = b23 − b32
∑ε
j ,k
2 jk
b jk = b31 − b13
∑ε
j ,k
3 jk
b jk = b12 − b21
∑
i1i2 ⋅⋅⋅iµ j1 j2 ⋅⋅⋅ jµ
得 Ai1′i 1 Ai2′i2 ⋅⋅⋅ Aiµ′iµ Aj1′ j1 Aj2′ j2 ⋅⋅⋅ Ajν ′ jν ai1i2 ⋅⋅⋅iµ j1 j2 ⋅⋅⋅ jν 命题得证！ 命题得证！
ci1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ =
∑ ∑
i1i2 ⋅⋅⋅iν j1 j2 ⋅⋅⋅ jν
得
i1i2 ⋅⋅⋅iµ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ j1 j2 ⋅⋅⋅ jν
在新坐标系中: ci1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ = ∑ ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ b j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′
j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′
比较
ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ =
ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ =
∑
i1i2 ⋅⋅⋅iµ
得 Ai1′i 1 Ai2′i2 ⋅⋅⋅ Aiµ′iµ ai1i2 ⋅⋅⋅iµ
命题得证！ 命题得证！
6. 根据张量识别定理证明:δ ij是二阶张量, ε ijk 为三阶张量. 证: (1) 对于任意一阶张量 对于任意 阶张量 a j ∑ δij a j = ai
张量分析-第1讲LJ
a2 F3 a3 F2 a c b1 a b c1 a3 F1 a1 F3 a c b2 a b c2 a1 F2 a2 F1 a c b3 a b c3
所以有： a b c a c b a b c
g1和g 2
g1和g 2 不是单位矢量，即它们有量纲的， 一般地说，
其长度也不为单位长度。此外它们也并不正交。 矢量F可以在 g1和g 2 上分解:
F F g1 F g 2
1 2
(平行四边形法则)
则有: F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
e2 b2 c2
e3
e3 b3 b2 c3 b3 c2 e 1 b3 c1 b1c3 e 2 b1c2 b2 c1 e 3 c3
b3 a 2 F3 a3 F2 e 1 a3 F1 a1 F3 e 2 a1 F2 a 2 F1 e 3 F3
j 1
F2 ' e 2 ' e1 F1 e 2 ' e 2 F2 e 2 ' e 3 F3 2 ' j F j
j 1 3
3
F3' e 3' e1 F1 e 3' e 2 F2 e 3' e 3 F3 3' j F j
j 1
矢量场函数的散度: 矢量场函数的旋度:
i F x Fx j y Fy
Fx Fy Fz F z y x
k Fz Fy Fx Fz Fy Fx i k j y z y z z x x Fz
张量分析3
2.9克里斯托弗尔符号 ij i g j gkk ig j gkrgr gkr ig j g r gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk g kr ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把 i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk 0 ， ij 0k(2.9.10)k ij ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故 ijk 0 和 (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。
事实上，由于g ij , k gk 0。
ig j 这里分解系数 ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。
在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p 和 表示。
ij gigj kgi gj g i k gj kij kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i ijk ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j jki jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk 1 2 g k ijp kp k ijk i g j g kk ij ig j ggkrjk , i g ki , j gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。
张量分析-第2讲
张量分析第2讲张量分析张量分析及其应用张量分析pdf张量分析黄克智pdf张量分析视频物理学中的张量分析张量分析简明教程张量分析及其应用pdf弹性力学与张量分析
张量分析 ( Tensor analysis)
华中科技大学力学系 罗俊
版权所有 2011 华中科技大学力学系
1
1.5 坐标变换
已知某物理量或数学物理方程在一个坐标系的表达式, 求它在其它坐标系的相应形式。 旧坐标系 新坐标系
10
3. n阶张量 设物理量T共有3 个分量，且满足坐标变换关系:
n
T
' ' i1 i n
T
' ' i1 in
' i1 j1
' i2 j2
' in j2
j1 j n
则称T为n阶张量。 T
称为n阶张量T的逆变分量。
总共多少种分量? 每种多少个分量? 坐标变换关系如何写? 指标升降关系如何写?
T ab 是二阶张量，将a, b在基矢上分解 :
T ab a i g i b j g j ai g i b j g j a i b j g i g j ai b j g i g j
相应地:
T T g i g Ti g g j T g i g j Tij g g
5
坐标变换系数求法
协变变换 旧---新
j x i 'j i ' x
j' x i j ' i x
逆变变换
i' x ij ' j x
i x ij ' j ' x
互逆
新---旧
4. 矢量分量的坐标变换关系 根据基矢的坐标变换关系可以得到矢量分量的坐标变 换关系:
张量分析 ( Tensor analysis)
华中科技大学力学系 罗俊
版权所有 2011 华中科技大学力学系
1
1.5 坐标变换
已知某物理量或数学物理方程在一个坐标系的表达式, 求它在其它坐标系的相应形式。 旧坐标系 新坐标系
10
3. n阶张量 设物理量T共有3 个分量，且满足坐标变换关系:
n
T
' ' i1 i n
T
' ' i1 in
' i1 j1
' i2 j2
' in j2
j1 j n
则称T为n阶张量。 T
称为n阶张量T的逆变分量。
总共多少种分量? 每种多少个分量? 坐标变换关系如何写? 指标升降关系如何写?
T ab 是二阶张量，将a, b在基矢上分解 :
T ab a i g i b j g j ai g i b j g j a i b j g i g j ai b j g i g j
相应地:
T T g i g Ti g g j T g i g j Tij g g
5
坐标变换系数求法
协变变换 旧---新
j x i 'j i ' x
j' x i j ' i x
逆变变换
i' x ij ' j x
i x ij ' j ' x
互逆
新---旧
4. 矢量分量的坐标变换关系 根据基矢的坐标变换关系可以得到矢量分量的坐标变 换关系:
第二章张量分析
rT
ij
k
r i
g
j
g
k
rT rj k g j k
若 T a ai )
gr [(rai )gi ai pri g p ]
r
ai
r i
ai
p r ri p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
每项偏导只对其后带点的符号求导
2.10.1协变导数
i p
gr[(rT ij k )gi
gj
gk
T ij k
(
g p ri p
gj
gk
g p rj i
gp
gk
g k rp i
gj
g p )]
j p
k p
g r [(rT ij k ) gi
gj
gk
T ijk (
g i
rp i
gj
gk
g j
rp i
iak
ak ;i
iak
ap
k ip
2.10.2 逆变导数
协变导数的指标是张量指标，故可通过逆 变度量张量升高协变导数的指标来定义逆变 导数如下：
sT ij k g srrT ij k
2.10 不变性微分算子
––– 梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子
以三阶混合张量
T T ij k gi g j gk T ij k gij k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
gr r ai gi gr gir ai srir ai gs
2.10.4拉普拉斯算子 设 T T ij k gi g j gk 2T T rrT ij k gij k
第二章 张量分析
P也可用另外三个变量 x，1' x，2' 来x 表3' 示，即
P P x1' , x 2' , x 3' P x i'
这种坐标系记为 xi。' 这两组变量
x1 , 和x 2 , x 3 表示x同1' 一, x空2' , x 3'
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi'
aigi a jg j aia j gi g j
aiaj 0
令
gij gi g j
g ij g i g j
gi j gi g j g j gi
它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量
考虑到矢量a的任意性 g ji gi g j i j
可知：基矢量 g与i 是g i 正交的，它们称为互逆基矢量 互逆基矢量间具有下列关系：
gig j g k gi g j g k gig j g k eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk
由此定义可知
123 g1g 2g3
123 g1g 2g3
对于矢量 a 0 ，则有
a 2 a a a i g i a j g j a i a j g i g j ai gi a j g j ai a j gi g j
(ii) x 2' (常 数 C)为2 通过z轴的平面； (iii) x3' (常z 数 C)3为垂直于z轴的平面；
和坐标曲线：
(i) x1' 和r C1 x的2' 交线 (zC线2 )是直线； (ii) x 2' 和 C2 的x3'交线z (r线C3)是直线；
P P x1' , x 2' , x 3' P x i'
这种坐标系记为 xi。' 这两组变量
x1 , 和x 2 , x 3 表示x同1' 一, x空2' , x 3'
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi'
aigi a jg j aia j gi g j
aiaj 0
令
gij gi g j
g ij g i g j
gi j gi g j g j gi
它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量
考虑到矢量a的任意性 g ji gi g j i j
可知：基矢量 g与i 是g i 正交的，它们称为互逆基矢量 互逆基矢量间具有下列关系：
gig j g k gi g j g k gig j g k eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk
由此定义可知
123 g1g 2g3
123 g1g 2g3
对于矢量 a 0 ，则有
a 2 a a a i g i a j g j a i a j g i g j ai gi a j g j ai a j gi g j
(ii) x 2' (常 数 C)为2 通过z轴的平面； (iii) x3' (常z 数 C)3为垂直于z轴的平面；
和坐标曲线：
(i) x1' 和r C1 x的2' 交线 (zC线2 )是直线； (ii) x 2' 和 C2 的x3'交线z (r线C3)是直线；
张量分析部分习题答案
2 6 0 1 3
1 6 1 2 1 3
1 6 1 2 1 3
(d) 略 2. (a) 1
1, 2 2, 3 5
A1 i 2 i3 , A2 i1 , A3 i 2 i3
1 0 0 * ( I ij ) 0 2 0 0 0 5
t jibj
则： (e1
e2 e3 ) (b1 b2 b3 )(tij ) 5 1 0
(c)
b1 tij ai b j ai tij b j (a1 a 2 a3 )(tij ) b2 3 b 3 2 2 1 0 2 3 ( sij ) 2 3 2 , (tij ) 2 0 0 1 2 1 3 0 0
(b) 对 i ，散度分量为
aj
tij xi
，
a1 1, a2 0, a3 x2 ；
7
对
j ，散度分量为 bi x j
tij
，
b1 1, b2 0, b3 1
5.证明：
* aij * aij a pq xr a pq ip jq kr * * xk a pq xr xk xr
* 3 0 反向 4 1 * 1 1 * 2 e i1 , e i 1 i ,2, 2 2
18.
1 * 1
1 2 1 , 2
X * * X 1 2 *1 1 x x x 2 1 x*2 x1 x 2 2
a2 3b 2 3 a 3b 1 3 1a b 3 2
3 2
a b
3 3
3 3
6.(a)
张量分析答案完整版
证明： ∂ν m ∂ν n − ∂x n ∂x m ∂x m 则由 vm ' = β m = ' ' v m vm ∂x m m ∂v ' ∂x m ∂v m ∂x n ∂x m 可知: m ' = + ' ' ' ' vm n ∂x m ∂x ∂x n ∂x m ∂x n ∂x n ∂v ' ∂x n ∂v n ∂x m ∂x n 同理可得： n ' = + ' ' ' ' vn m ∂x m ∂x n ∂x ∂x m ∂x m ∂x n ∂v ' ∂v ' ∂x m ∂v m ∂x n ∂x m 则 T( m ' . n ' ) = m ' − n ' = + ' ' ' ' n ∂x n ∂x m ∂x m ∂x ∂x n ∂x m ∂x n 令 T ( m .n ) = 由于： ∂x m
T i j k = βri βs j βt k T rst T
' ' i 'j k ' ' '
' ' '
'
'
'
= β ir β js β kt Trst
' ' ' ' ' ' '
T..ik j = βri βs j β kt T..trs T. ij k = βri β s βt T r j k .st
∴T 与S具有相同的主不变量。
2.4 求证： （1） [T ⋅ u v w ] + [u v T ⋅ w ] + [u v T ⋅ w ] = φ1T [u v w ]
T i j k = βri βs j βt k T rst T
' ' i 'j k ' ' '
' ' '
'
'
'
= β ir β js β kt Trst
' ' ' ' ' ' '
T..ik j = βri βs j β kt T..trs T. ij k = βri β s βt T r j k .st
∴T 与S具有相同的主不变量。
2.4 求证： （1） [T ⋅ u v w ] + [u v T ⋅ w ] + [u v T ⋅ w ] = φ1T [u v w ]
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u wv uxwx uywy uzwz vxi vy j vzk
u vw uxvx uyvy uzvz wxi wy j wzk
u wv u vw
uxwx uywy uzwz vxi vy j vzk uxvx uyvy uzvz wxi wy j wzk
因为 detU≠0，所以 vx=vy=vz=0 是唯一零解，即：v=0。
1.4 已知：矢量 u，v，求证： u v u v
证明： u v u v sinu,v u v
1.5 求证： a b 0 a，b 线性相关。
证明： 即
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 0
Cxi Cy j Czk
Ax ByCz BzCy Ay BzCx BxCz Az BxCy ByCx
Dxi Dy j Dzk
Cx Ax By Dz Bz Dy Bx Az Dy Ay Dz Dx Ax ByCz BzCy Bx AzCy AyCz i Cy Ay Bz Dx BxDz By AxDz Az Dx Dy Ay BzCx BxCz By AxCz AzCx j Cz Az BxDy By Dx Bz Ay Dx AxDy Dz Az BxCy ByCx Bz AyCx AxCy k
1.7 已知：矢量 b=2i +j -2k，c=i +2j +3k，i，j，k 为笛卡儿基； 若将 c 分解为与 b 平行的矢量及垂直于 b 的矢量 a 之和，即c=a +mb。 求 a；m(其中 b·a =0)
解： a c mb i 2 j 3k m2i j 2k 1 2mi 2 m j 3 2mk
uy
uz
vy wz vz wy vz wx vxwz vxwy vy wx
uy vxwy vywx uz vzwx vxwz i uz vywz vzwy ux vxwy vywx j ux vzwx vxwz uy vywz vzwy k
v1 v2 v3
2 1 1
1 2 1
1 1 2
1211
0 2
1
uivi 6 7 31 2
u
v
1
2
u
i
vi
2
3
10 2
2
1.13 已知:（1）圆柱坐标系如图（a），r =x1， =x2，z =x3。 （2）球坐标系如图（b）， r =x1， =x2， =x3。
x3'
O
x2‘
1.1 求证：u×(v×w)=(u·w)v－(u·v) w 并问： u×(v×w) 与 (u×v)×w 是否相等？u，v，w 为矢量。
证明：
i jk
v w vx vy vz wx wy wz
vywz vzwy i vzwx vxwz j vxwy vywx k
i
j
k
u v w ux
A B D Ax By Dz Bz Dy Ay Bz Dx BxDz Az BxDy Cy Dx A BCACBAxDByCDz ABzCBy CAy BzCx BxCz Az BxCy ByCx
Ax By Dz Bz Dy Ay Bz Dx Bx Dz Az BxDy By Dx
（1）按公式（1.2.17），求 g1，g2，g3 以 i，j，k 表示的式子； （2）求grs 。
011
解：
g1 g2 g3 1 0 1 2
110
i jk g2 g3 1 0 1 i j k
11 0
i jk g3 g1 1 1 0 i j k
011
i jk g1 g2 0 1 1 i j k
i jk B D Bx By Bz
Dx Dy Dz
By Dz Bz Dy i Bz Dx BxDz j BxDy By Dx k
i
A B C D Ay Bz Az By
Cy Dz Cz Dy
j Az Bx Ax Bz Cz Dx Cx Dz
k Ax By Ay Bx Cx Dy Cy Dx
Bxi By j Bzk
Bx Cy Dz Cz Dy By Cz Dx Cx Dz Bz Cx Dy Cy Dx
Axi Ay j Azk
Bx Ay Cz Dx CxDz Az CxDy Cy Dx Ax By Cz Dx CxDz Bz CxDy Cy Dx i By Ax Cy Dz Cz Dy Az CxDy Cy Dx Ay Bx Cy Dz Cz Dy Bz CxDy Cy Dx j Bz Ax Cy Dz Cz Dy Ay Cz Dx CxDz Az Bx Cy Dz Cz Dy By Cz Dx CxDz k
即 gij 是对称正定的。
1.9 求证：对于一组非共面的gi，存在唯一的 gj，gj 也是非 共面的。
证明： 参见：1.2.2.4 由协变基矢量求逆变基矢量 式（1.2.17）及式（1.2.25 ）。
1.10 已知：以i，j，k 表示三维空间中笛卡坐标基矢量，
g1 j k, g2 i k, g3 i j
1.3 求证矢量的非退化性。即：若矢量 v 与它所属的矢量空间 中的任意矢量 u 都正交，即：u·v=0，则矢量 v=0。
证明：因为 u 为任意，所以可取 u1，u2，u3，使得
由 u·v=0 得
u1x u1y u1z det U u2x u2 y u2z 0
u3x u3y u3z
vxu1x vyu1y vzu1z 0 vxu2x vyu2 y vzu2z 0 vxu3x vyu3y vzu3z 0
i
x 2 x 2
j
x3 x 2
k
x1 x2 x3 g3 x3 i x3 j x3 k
x1 r cos x1 cos x2 x2 r sin x1 sin x2
x3 z x3
g1 cos x2i sin x2 j g2 x1 sin x2i x1 cos x2 j g3 k
球坐标系：
x1 r sin cos x1 sin x2 cos x3 x2 r sin sin x1 sin x2 sin x3 x3 r cos x1 cos x2
g1 sin x2 cos x3i sin x2 sin x3 j cos x2k g2 x1 cos x2 cos x3i x1 cos x2 sin x3 j x1 sin x2k g3 x1 sin x2 sin x3i x1 sin x2 cos x3 j
1.11 根据上题结果验算公式：gj=gjigi
解：
g1 g11g1 g12g 2 g13g3
2 1 i j k 1 i j k 1 i j k
2
2
2
jk
g2 g21g1 g22g2 g23g3
1 i j k 2 1 i j k 1 i j k
2
2
2
ik
aybz azby 0 azbx axbz 0 axby aybx 0
或
ax ay az c
bx by bz
故
a cb
即，a，b 线性相关。
1.6 求证： a b c 0 a，b，c 线性相关。
证明： a b c a bc 0
即
a bc
或 a，b，c 共面。三维空间中共面的三矢量线性相关。
i jk
C D Cx Cy Cz Dx Dy Dz
Cy Dz Cz Dy i Cz Dx CxDz j CxDy Cy Dx k
i jk B C Bx By Bz
Cx Cy Cz
ByCz BzCy i BzCx BxCz j BxCy ByCx k
b a 2i j 2k1 2mi 2 m j 3 2mk
21 2m 2 m 23 2m
2 9m 0
m2 9
a 13 i 20 j 23 k 99 9
1.8 利用 dr gidxi，证明gij 是对称正定的。 证明： dr 2 gidxi g jdx j gijdxidx j g jidx jdxi >0
uyvz uzvy i uzvx uxvz j uxvy uyvx k
i
j
k
u v w uyvz uzvy uzvx uxvz uxvy uyvx
wx
wy
wz
wz uzvx uxvz wy uxvy uyvx i wx uxvy uyvx wz uyvz uzvy j
g3 g31g1 g32g2 g33g3
1 i j k 1 i j k 2 1 i j k
2
2
2
i j
1.12 已知：u=2g1+3g2-g3，v=g1-g2+g3，基矢量同上题。运用 1.11 题求得的 grs 计算： （1）u·v ；（2）u，v 的协变分量。
解：
u v 2g1 3g2 g3 g1 g2 g3 2 g11 g12 g13 3 g21 g22 g23 g31 g32 g33 22 11 31 2 111 2
101
g1 1 i j k
2
g2 1 i j k
2
g3 1 i j k
2
g11 j k j k 2 g12 g21 j k i k 1 g13 g31 j k i j 1 g22 i k i k 2 g23 g32 i k i j 1 g33 i j i j 2
wy uyvz uzvy wx uzvx uxvz k
uv w uv w
1.2 求证： (A×B) ×(C×D)=B(A·C×D) －A(B·C×D) =C(A·B×k
A B Ax Ay Az Bx By Bz
Ay Bz Az By i Az Bx AxBz j AxBy Ay Bx k