海南省海南中学高一上学期期末考试(数学)重点班

合集下载

2020-2021学年海南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2020-2021学年海南省高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2,3,5,7A =，{}1,3,5,7,9B =，则A B =（）A ．{}1,2B ．{}3,5,7C ．{}1,3,5,7,9D ．{}1,2,3,5,7,9【答案】B【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为{}2,3,5,7A =，{}1,3,5,7,9B =，所以{}3,5,7A B =故选：B 2．若sin 0tan θθ<，则θ是（） A ．第一或第二象限角 B ．第一或第三象限角 C ．第二或第三象限角 D ．第三或第四象限角【答案】C【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行判断即可得到答案．【详解】解：由sin 0tan θθ<，得sin θ与tan θ异号，则角θ是第二或第三象限角，故选：C ．3．已知函数2,0(),0x x f x x x ⎧<=⎨-⎩，则((1))=f f （）A ．1-B ．12- C ．12D ．1【答案】C【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；【详解】解：函数2,0(),0x x f x x x ⎧<=⎨-⎩，()11f ∴=-，()()()111122f f f -∴=-==．故选：C ．4．设221log ,3,tan 34a b c π-===，则（） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D【分析】根据对数函数以及指数函数的性质，三角函数值判断数的大小即可．【详解】20221log log 10,0331,tan 1,34a b c π-=<=<=<=== 则c b a >>. 故选：D. 5．已知0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 6α5π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．45-B ．35 C ．35D ．45【答案】B【分析】由已知结合同角平方关系可求cos()6πα+，然后结合诱导公式进行化简可求．【详解】解：因为(0,)3πα∈，所以(,)662πππα+∈，因为)in(4s 65πα+=，所以3cos 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，则53cos()cos()cos()6665πππαπαα-=--=-+=-．故选：B ．6．已知函数2()f x x ax b =++的图象经过点()1,3，则ab （） A ．有最大值1 B ．有最小值1 C ．有最大值4 D ．有最小值4【答案】A【分析】由题意可得2a b +=，再利用基本不等式即可求出ab 的取值范围．【详解】解：函数2()f x x ax b =++的图象经过点(1,3)，13a b ∴++=，2a b ∴+=，∴2()12a b ab +=，当且仅当a b =时等号成立，故选：A ．7．已知函数()sin (0)4f x x πϕϕπ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭是奇函数，则ϕ=（） A ．34π B ．2π C ．4π D ．6π 【答案】A【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解即可．【详解】解：()sin()(0)4f x x πϕϕπ=++<<是奇函数，4k πϕπ∴+=，k Z ∈，得4k πϕπ=-，k Z ∈，0ϕπ<<，∴当1k =时，344ππϕπ=-=，故选：A ．8．向如图所示的瓶子中匀速注水，从空瓶到注满的过程中，水面高度h 随时间t 变化的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据容器的形状可得出注水时水面高度h 随时间t 变化的快慢，由此可得出合适的选项. 【详解】匀速地向容器内注水，可知容器的底面积越大，水面高度上升越慢，该容器下部分为圆台，在注水的过程中，水面面积越来越小，可知水面高度h 随时间t 变化增长得越快，该容器的上部分为圆柱，在注水的过程中，水面面积不变，可知水面高度h 随时间t 变化匀速增长. 故符合条件的图象为选项D. 故选：D. 二、多选题9．下列函数中，在区间()0,1上单调递减的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．21y x =+C ．1y x x=+D ．ln ||y x =【答案】AC【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，1()2xy =，是指数函数，在区间(0,1)上单调递减，符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，在区间(0,1)上单调递增，不符合题意，对于C ，1y x x=+，为对勾函数，在区间(0,1)上单调递减，符合题意，对于D ，||y ln x =，在区间(0,1)上，y lnx =，为增函数，不符合题意，故选：AC ．10．下列叙述正确的是（）A ．命题“2,10x x x ∃∈++R ”的否定是“2,10x x x ∀∈++R ”B ．命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是假命题C ．“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件D ．“关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=有实根”的充要条件是“19m ≤≤” 【答案】BC【分析】利用含有量词的命题的否定方法判断选项A ，通过判断原命题的真假判断选项B ，通过充分条件与必要条件的定义结合不等式的性质判断选项C ，利用二次方程根的个数的判断方法结合充分条件与必要条件的定义判断选项D ．【详解】解：根据存在量词命题的否定可得，命题“x R ∃∈，210x x ++”的否定是“x R ∀∈，210x x ++<”，故选项A 错误；原命题“所有的矩形都是平行四边形”是真命题，故其否定为假命题，故选项B 正确；当2x 且2y 时，则有228x y +，所以224x y +，故充分性成立，当0x =，2y =时满足224x y +，不满足2x 且2y ，故必要性不成立，所以“2x 且2y ”是“224x y +”的充分不必要条件，故选项C 正确；因为关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=有实根，所以2(3)40m m ∆=--，解得1m 或9m ，故选项D 错误．故选：BC ．11．函数cos()([,2])2y x x πππ=-+∈-的图象与直线y t =(t 为常数且0t >)的交点个数可能为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】ACD【分析】利用诱导公式化简，作出化简后的函数在指定区间上的图象，观察动直线y =t (t>0)与图象关系得解.【详解】原函数化为：cos ([,2])2y x x ππ=∈-，其图象如图：观察图象得：0<t<1时，有3个交点；t =1时，有2个交点；t>1时，没有交点，选项ACD 满足. 故选：ACD12．下列选项中，能推出b aa b>的为（） A ．0a b >> B ．0b a << C ．10,1a b -<<> D ．1,01a b <-<<【答案】BD 【分析】由b aa b>得出()()0ab a b a b -+<，然后逐项验证可得出合适的选项.【详解】b a a b >，则()()220a b a b a b a b b a ab ab-+--==<，等价于()()0ab a b a b -+<. 对于A 选项，0a b >>，则0ab >，0a b ->，0a b +>，则()()0ab a b a b -+>，A 选项不满足条件；对于B 选项，0b a <<，则0ab >，0a b ->，0a b +<，则()()0ab a b a b -+<，B 选项满足条件；对于C 选项，10a -<<，1b >，则0ab <，0a b -<，0a b +>，则()()0ab a b a b -+>，C 选项不满足条件；对于D 选项，1a <-，01b <<，则0ab <，0a b -<，0a b +<，则()()0ab a b a b -+<，D 选项满足条件. 故选：BD. 三、填空题 13．函数()f x =的定义域为__________. 【答案】(),2-∞【分析】解不等式20x ->即可得出函数()f x 的定义域. 【详解】对于函数()f x =，有20x ->，解得2x <. 因此，函数()f x =的定义域为(),2-∞. 故答案为：(),2-∞.14．已知函数()f x 的周期为4，且当[2,2]x ∈-时，2()2f x x =-，则()9f =_______. 【答案】1【分析】利用函数的周期为4，从而将()9f 转化为求解()1f ，再利用已知的函数解析式，即可得到答案．【详解】解：因为函数()f x 的周期为4，所以()()()94211f f f =⨯+=，又因为当[2x ∈-，2]时，2()2f x x =-，所以()()291211f f ==-=．故答案为：1．15．已知346xy==，则21x y+=_________．【答案】2【分析】由346x y ==可得3466log x log y ==，代入目标，利用换底公式即可得到结果. 【详解】∵346x y == ∴3466log x log y ==，， ∴66634212123436266log log log x y log log +=+=+== 故答案为2【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题. 四、双空题 16．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足1sin cos 2αα=-，则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________，sin 2α=_________.【答案】 34【分析】第一个空利用辅助角公式直接求解即可，第二个空对等式1sin cos 2αα-=-两边平方，利用同角三角函数关系及二倍角公式求解即可；【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足1sin cos 2αα=-，利用辅助角公式得到：1sin cos )42πααα-=-=-，所以sin()4πα-= 对1sin cos 2αα-=-两边平方得到：221sin 2sin cos cos 4αααα-+=，又因为22sin cos 1αα+=，所以112sin c 4os αα-=即3sin 22sin cos 4ααα==，故答案为：，34. 【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．五、解答题17．已知非空集合{}2{|123},|280A x a x a B x x x =-<<+=--.（1）当2a =时，求A B ；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[)2,7-；（2）[)54,5,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）可求出集合{|24}B x x =-，2a =时求出集合A ，然后进行并集的运算即可；（2）根据题意得到不等式组，然后解出a 的范围即可．【详解】解：（1）因为{}2{|123},|280A x a x a B x x x =-<<+=--所以{|24}B x x =-，当2a =时，{|17}A x x =<<，[)2,7A B ∴=-；（2）A B =∅，A ≠∅，∴12314a a a -<+⎧⎨-⎩或123232a a a -<+⎧⎨+-⎩，解得542a -<-或5a ，所以[)54,5,2a ⎛⎤∈--+∞ ⎥⎝⎦a ∴的取值范围为：[)54,5,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦．18．化简或求值：（1）202012020322733⎛⎛⎫---⨯⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若1tan 2α=，求sin()sin 23cos(4)cos 2παπαππαα⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）1；（2）13. 【分析】（1）直接利用指数幂的运算律求解；（2）直接利用诱导公式和同角三角函数基本关系式求解.【详解】（1）20201202032273⎛⎫---⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭，1010101013313⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⨯，1=；（2）因为1tan 2α=，所以sin()sin 23cos(4)cos 2παπαππαα⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，sin cos cos sin αααα-+=+，tan 11tan αα-+=+， 112112-+=+，13= 19．已知函数)22()sin 2cos sin f x x x x =--.（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求()f x 的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）0；（2）最小正周期T π=，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【分析】（1）先结合二倍角公式，辅助角公式先进行化简，然后把6x π=代入即可求解，（2）结合正弦函数的周期公式可求T ，然后利用整体思想222232k x k πππππ-+-+，k Z ∈，解不等式可求x 的范围，即可求解．【详解】解：（1）22()sin 2sin )f x x x x =-，sin 2x x =，2sin(2)3x π=-，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭所以2sin 006f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，（2）函数的最小正周期T π=，令222232k x k πππππ-+-+，k Z ∈，解得51212k xk ππππ-++，k Z ∈ 故()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．20．已知二次函数2()(31)31f x x t x t =+++-. （1）若()f x 是偶函数求t 的值；（2）若函数()f x 在区间(2,1)--和()0,1上各有一个零点，求t 的取值范围. 【答案】（1）13t =-；（2）11,63⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求出t 的值；（2）根据函数的零点存在定理可得关于t 的不等式组，解方程组即可得到t 的取值范围．【详解】解：（1）()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，22(31)31(31)31x t x t x t x t ∴-++-=+++-，即2(31)0t x +=，所以310t +=解得13t =-；（2）函数()f x 在区间(2,1)--和(0,1)上各有一个零点，所以(2)0(1)0(0)0(1)0f f f f ->⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪>⎩，即42(31)3101(31)310310131310t t t t t t t -++->⎧⎪-++-<⎪⎨-<⎪⎪+++->⎩，解得1163t -<<，故t 的范围为11,63⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．21．为了强化体育教育，促进学生身心健康全面发展，某学校计划修建一个面积为2600m 的矩形运动场，要求东西方向比南北方向宽.如图所示矩形ABCD ，满足AD AB >，运动场分为乒乓球场(ABEF )和排球场(CDFE )两部分，现要在运动场四周以及乒乓球场与排球场之间修建围墙，已知修建围墙的价格为500元/m ，设AD 的长为m x ，围墙的总造价为y 元.（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）当x 为何值时，y 最小？最小值为多少？【答案】（1）9001000()(106)y x x x=+>（2）当30x =时， y 的最小值为60000元．【分析】（1）直接利用矩形的面积公式，边长与造价的关系式求出结果；（2）利用基本不等式求出结果．【详解】解：（1）设AD x =米，AB t =，由题意知600xt =，且x t >，即600t x x=<，解得106x > 则600900500(23)500(23)1000()y x t x x x x=+=+⨯=+，所以函数的解析式为9001000()(106)y x x x =+>．（2）由于9009001000()1000260000y x x x x=+⨯⋅=，当且仅当30x =时，y 值最小，y 的最小值为60000元．22．已知函数21()log 1x f x x -=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）证明：()f x 在区间(1,)+∞上单调递增；（3）若当[3,1)x ∈--时，2()2f x x x m ++恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）](,2-∞-【分析】（1）求出函数的定义域，再求出()f x -与()f x 的关系即可判断奇偶性；（2）利用函数单调性的定义，直接证明即可；（3）根据条件可得2()(2)m f x x x -+在[3∈-，1)-上恒成立，令2()()(2)g x f x x x =-+，求出()g x 的最小值，即可得到m 的取值范围．【详解】解：（1）函数21()log 1x f x x -=+，则101x x ->+，解得1x <-或1x >，即函数()f x 的定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，又222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+，所以()f x 为奇函数．（2）证明：任取1x ，2(1,)x ∈+∞，且12x x <，则120x x -<．因为12121212112()011(1)(1)x x x x x x x x ----=<++++，所以12121111x x x x --<++，所以12221211log log 11x x x x --<++，故12()()f x f x <，所以函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增．（3）当[3x ∈-，1)-时，2()2f x x x m ++恒成立，即2()(2)m f x x x -+在[3∈-，1)-上恒成立，令2()()(2)g x f x x x =-+，由()f x 为奇函数，且在(1,)+∞上单调递增，可得()f x 在[3-，1)-上单调递增，因为函数22y x x =+在[3-，1)-上单调递减，所以2()()(2)g x f x x x =-+在[3-，1)-上单调递增，所以()(3)2min g x g =-=-，所以2m -，即m 的取值范围为(-∞，2]-．。

学年秋学期(上学期)海南省海南中学高一期末考试试卷数学 Word版含答案

2016-2017学年上学期海南省海南中学高一期末考试试卷数学第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．）1．如果角α的终边经过点122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，那么tan α的值是（） A．B．CD2．cos555︒的值为（） A．4B．4C．4-D．43．化简AB CD BD AC -+-的结果是（）A ．0B ．ACC ．BD D ．DA4．sin 20cos110cos160sin 70︒︒+︒︒的值是（）A ．0B ．12-C ．1D ．1-5．已知三点()()()1,1,1,,2,5A B x C --共线，则x 的值是（） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知一扇形的圆心角是60︒，弧长是π，则这个扇形的面积是（） A ．3πB ．32πC ．6πD ．34π7．已知向量,a b满足()2,3,1a b a b a ==∙-= ，则a b -= （）AB．CD．8．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111cos ,cos 714ααβ=+=-，则角β=（） A ．3π B ．6π C ．512πD ．4π 9．已知sin 11cos 2x x +=，则sin 1cos x x -的值是（）A ．12B ．2C ．12-D ．2-10．两个粒子A ，B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为()()2,10,4,3A B s s ==,粒子B 相对粒子A 的位移是s ，则s 在B s的投影是（）A ．135B ．135-C．53D．53-11．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0t =时，点A的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A ．[]0,1B ．[]1,7C ．[]7,12D ．[]0,1和[]7,1212．若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++= ，则OC AB ⋅的值为（）A ．15-B ．15C ．65-D ．65第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________．14．在ABC ∆中，5,8,60BC CA C ==∠=︒,则BC CA =____________． 15．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为____________．16．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin(2)12πα+的值为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）已知()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=，求tan tan αβ的值．18．（本题满分12分）已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+ ，1232b e e =-+．（1）求a b ⋅ ；（2）求a 与b的夹角θ．19．（本题满分12分）在平面直角坐标系x O y 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)．（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足(OC t AB -)·=0，求t 的值．20．（本题满分12分）（1）请默写两角和与差的余弦公式（()(),C C αβαβ+-)，并用公式()C αβ-证明公式()C αβ+()():cos C αβαβ++=； ()():cos C αβαβ--=．（2）在平面直角坐标系中，两点()()1122,,,A x y B x y 间的距离公式是：AB =()()11,0,cos ,sin A P αα，()()()()()()2cos ,sin ,cos ,sin P P ββαβαβ--++，请从这个图出发，推导出两角和的余弦公式（()C αβ+）（注：不能用向量方法）．21．（本题满分12分）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈．（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．22．已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=- ，)b x ω= ，设函数()(R)f x a b x =⋅∈ 的图象关于直线2x π=对称，其中ω为常数，且(0,1)ω∈．（1）求函数()f x 的表达式；（2）若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3π个单位，纵坐标不变，得到()y h x =的图象，若关于x 的方程()0h x k +=在区间[0,]2π上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．2016-2017学年上学期海南省海南中学高一期末考试试卷数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．20-15．16三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）已知()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=，求tan tan αβ的值．解：()1sin sin cos cos sin ,5αβαβαβ+=+=()3sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）两式相除，得tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分） 18．（本题满分12分）已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+ ，1232b e e =-+．（1）求a b ⋅ ；（2）求a 与b的夹角θ．解：（1）012121||||cos 602e e e e ⋅== ，a b ∴⋅ ＝12(2)e e +⋅ 12(32)e e -+＝－612e ＋12e e ⋅＋222e ＝176222-++=-；．．．．．．．．．．．．．．．（5分）（2）||a ==== ||b ====．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）所以71cos 2||||a b a b θ-⋅===- ，又θ[0,180]∈︒，所以θ＝120°．．．．．．．（12分）19．（本题满分12分）解：（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-= 所以|||AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为、．．．．．．．．．．．．．（6分）（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:E （0，1）为B 、C 的中点，又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=AD=；（2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++．由(t -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，从而511,t =-所以115t =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）或者：2· AB OC tOC = ，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==- ．20．解：（本题满分12分）（1）()():cos C αβαβ++=cos cos sin sin αβαβ-；．．（1分）()():cos C αβαβ--=cos cos sin sin αβαβ+．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）()()()()():cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin C αβαβαβαβαβαβαβ++=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）（2）连接12,PA PP ,易知12OPA OPP ∆≅∆,故12PA PP =,．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）。

2019-2020学年海南省海口市海南中学高一(上)期末数学试卷及答案

2019-2020学年海南省海口市海南中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题1．（3分）已知命题p：对任意的x∈R，有sin x≤1，则￢p是（）A．存在x∈R，有sin x＞1B．对任意的x∈R，有sin x≥1C．存在x∈R，有sin x≥1D．对任意的x∈R，有sin x＞12．（3分）集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}，N＝{x|1＜x＜5}，则集合∁R M∩N＝（）A．（1，4）B．（1，4]C．（﹣1，5]D．[﹣1，5]3．（3分）已知扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积为（）A．πB．C．2πD．4．（3分）若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（3分）若P＝log23•log34，Q＝lg2+lg5，M＝e0，N＝ln1，则正确的是（）A．P＝Q B．Q＝M C．M＝N D．N＝P6．（3分）已知lga+lgb＝0，函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．7．（3分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．48．（3分）若函数f（x）＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．[4，8）D．（4，8）二、多项选择题9．（3分）下列化简正确的是（）A．cos82°sin52°﹣sin82°cos52°＝B．C．D．10．（3分）已知0＜a＜b，a+b＝1，则下列不等式中，正确的是（）A．log2a＜0B．C．D．log2a+log2b＜﹣211．（3分）已知函数，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是（）A．（﹣3，﹣2）B．C．（2，3）D．12．（3分）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中正确的是（）A．tanαtanβ＜1B．C．cosα+cosβ＞1D．三、填空题13．（3分）cos＝．14．（3分）已知α为锐角，且，则sinα＝．15．（3分）如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额＝车票收入﹣支出费用）．由于目前本线路亏损，公司有关人员分别将图①移动为图②和图③，从而提出了两种扭亏为盈的建议．（图①中点A的意义：当乘客量为0时，亏损1个单位；点B的意义：当乘客量为1.5时，收支平衡）请根据图象用简练语言叙述出：建议（1）．建议（2）．16．（3分）若A+B＝45°，则（1+tan A）（1+tan B）＝，应用此结论求（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）的值为．四.解答题17．已知，求的值．18．已知α是第三象限角，f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣π）＝，求f（α）的值；（3）若α＝﹣1860°，求f（α）的值．19．已知函数y＝a x（a＞1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值．（2）证明：f（x）+f（1﹣x）＝1．（3）求的值．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？21．已知设函数．（1）求函数f（x）周期和值域．（2）求函数f（x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．22．已知函数f（x）＝（log a x）2﹣log a x﹣2（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（2）；（Ⅱ）求解关于x的不等式f（x）＞0；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年海南省海口市海南中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题1．（3分）已知命题p：对任意的x∈R，有sin x≤1，则￢p是（）A．存在x∈R，有sin x＞1B．对任意的x∈R，有sin x≥1C．存在x∈R，有sin x≥1D．对任意的x∈R，有sin x＞1【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得命题的否定．【解答】解：∵命题P为全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，得￢P：存在x∈R，有sin x＞1．故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（3分）集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}，N＝{x|1＜x＜5}，则集合∁R M∩N＝（）A．（1，4）B．（1，4]C．（﹣1，5]D．[﹣1，5]【分析】解二次不等式可以求出集合M，进而根据集合补集的定义，求出∁R M，结合已知中的集合N及集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵M＝{x|x2﹣3x﹣4≥0}＝（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞），N＝{x|1＜x＜5}＝（1，5），∴∁R M＝（﹣1，4）∴∁R M∩N＝（﹣1，4）∩（1，5）＝（1，4）故选：A．【点评】本题考查的知识点是集合的交，并，补集运算，其中解不等式求出集合A是解答的关键．3．（3分）已知扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积为（）A．πB．C．2πD．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【解答】解：S扇形＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．4．（3分）若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接由α的正弦和正切异号且余弦和正切异号得答案．【解答】解：∵sinαtanα＜0，可知α是第二或第三象限角，又＜0，可知α是第三或第四象限角．∴角α是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的象限符号，是基础题．5．（3分）若P＝log23•log34，Q＝lg2+lg5，M＝e0，N＝ln1，则正确的是（）A．P＝Q B．Q＝M C．M＝N D．N＝P【分析】根据对数的运算性质求出P、Q、N，再根据非零的零次幂为1可求出M，从而得到结论．【解答】解：P＝log23•log34＝log24＝2Q＝lg2+lg5＝lg10＝1M＝e0＝1，N＝ln1＝0∴Q＝M故选：B．【点评】本题主要考查了对数的运算，指数的运算，以及比较大小关系，属于基础题．6．（3分）已知lga+lgb＝0，函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb＝0，∴ab＝1则b＝，从而g（x）＝﹣log b x＝log a x，f（x）＝a x与，∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，结合选项可知选B，故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题．7．（3分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用“1”的代换的思想，将转化为（）（x+y），展开，利用基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：∵x+y＝1，∴＝（）（x+y）＝+2＝4，当且仅当，即x＝y＝时取“＝”，∴的最小值为4．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．8．（3分）若函数f（x）＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．[4，8）D．（4，8）【分析】让两段都单调递增，且让x＝1时a x≥（4﹣）x+2，解关于a的不等式组可得．【解答】解：∵函数f（x）＝是R上的增函数，∴，解得4≤a＜8故选：C．【点评】本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数和一次函数的单调性，属中档题．二、多项选择题9．（3分）下列化简正确的是（）A．cos82°sin52°﹣sin82°cos52°＝B．C．D．【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式，求出结果．【解答】解：∵cos82°sin52°﹣sin82°cos52°＝sin8°sin52°﹣cos8°cos52°＝﹣cos （8°+52°）＝﹣，故A不对；∵sin15°sin30°sin75°＝sin15°cos15°＝sin30°＝，故B不对；∵＝tan（48°+72°）＝tan120°＝﹣tan60°＝﹣，故C正确；∵cos215°﹣sin215°＝cos30°＝，故D正确，故选：CD．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10．（3分）已知0＜a＜b，a+b＝1，则下列不等式中，正确的是（）A．log2a＜0B．C．D．log2a+log2b＜﹣2【分析】利用不等式的基本性质可判断AB的真假，利用基本不等式可判断CD的真假．【解答】解：A．∵0＜a＜b，a+b＝1，∴，∴log2a＜log2＝﹣1，故A正确；B．∵0＜a＜b，∴a﹣b＜0，∴2a﹣b＜20＝1，故B不正确；C．∵0＜a＜b，∴，故C不正确；D．∵0＜a＜b，a+b＝1，∴1＝a+b＞，∴ab＜，∴log2a+log2b＜log2＝﹣2，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查了不等式的基本性质和基本不等式，考查了转化思想，属基础题．11．（3分）已知函数，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是（）A．（﹣3，﹣2）B．C．（2，3）D．【分析】此类选择题可用代入法计算出函数值，利用函数零点判定定理即可求解【解答】解：经计算f（﹣3）＝﹣+﹣2＝＞0，f（﹣2）＝﹣+2﹣2＝﹣＜0，f（）＝2+﹣2＝＞0，f（1）＝1+﹣2＝﹣＜0，f（﹣1）＝﹣1+﹣2＝﹣＜0，根据零点判定定理可得区间（﹣3，﹣2），（，1），（﹣1，）上存在零点，故选：ABD．【点评】本题考查函数零点判定定理，属于基础题．12．（3分）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中正确的是（）A．tanαtanβ＜1B．C．cosα+cosβ＞1D．【分析】根据题意，依次分析选项中不等式是否成立，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，α，β是一个钝角三角形的两个锐角，则α+β＜90°，依次分析选项：对于α，tαnαtαnβ＜tαnαtαn（90°﹣α）＝tαnαcotα＝1，A正确；对于B，sinα+sinβ＜sinα+sin（90°﹣α）＝sinα+cosα＝sin（α+45°）≤，故有sinα+sinβ＜，B正确；对于C，cosα+cosβ＞cosα+cos（90°﹣α）＝cosα+sinα＝sin（α+45°）≥×＝1，故有cosα+cosβ＞1，C正确；对于D，当α＝β＝30°时，则tαn（α+β）＝tαn，故D错误；故选：ABC．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，注意三角函数恒等变形的公式，属于基础题．三、填空题13．（3分）cos＝﹣．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：cos＝cos（7π﹣）＝﹣cos＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（3分）已知α为锐角，且，则sinα＝．【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）＝，∴sin（α+）＝＝，则sinα＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝×﹣×＝．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（3分）如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额＝车票收入﹣支出费用）．由于目前本线路亏损，公司有关人员分别将图①移动为图②和图③，从而提出了两种扭亏为盈的建议．（图①中点A的意义：当乘客量为0时，亏损1个单位；点B的意义：当乘客量为1.5时，收支平衡）请根据图象用简练语言叙述出：建议（1）降低成本而保持票价不变．建议（2）提高票价而保持成本不变．【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x＝0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．【解答】解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故答案为：降低成本而保持票价不变；提高票价而保持成本不变．【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．16．（3分）若A+B＝45°，则（1+tan A）（1+tan B）＝2，应用此结论求（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）的值为222．【分析】由题意利用两角和的正切公式的变形公式，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：A+B＝45°，则（1+tan A）（1+tan B）＝1+tan A+tan B+tan A•tan B＝tan（A+B）（1﹣tan A•tan B）+1+tan A•tan B＝tan45°（1﹣tan A•tan B）+1+tan A•tan B＝2．（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）＝[（1+tan1°）（1+tan44°）]•[（1+tan2°）（1+tan43°）]…[（1+tan22°）（1+tan23°）]＝222，故答案为：2；222．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的变形应用，属于中档题．四.解答题17．已知，求的值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知，∴cos x＝＝，∴cos（x+）＝cos x cos﹣sin x sin＝+＝，tan（x﹣）＝＝＝﹣7．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．18．已知α是第三象限角，f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣π）＝，求f（α）的值；（3）若α＝﹣1860°，求f（α）的值．【分析】（1）f（α）利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果；（2）由已知等式求出sinα的值，代入计算即可求出f（α）的值；（3）把α度数代入计算即可求出f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）＝＝cosα；（2）∵cos（α﹣π）＝﹣sinα＝，即sinα＝﹣，且α为第三象限角，∴cosα＝﹣＝﹣，则f（α）＝cosα＝﹣；（3）把α＝﹣1860°代入得：f（﹣1860°）＝cos（﹣1860°）＝cosα1860°＝cos（5×360°+60°）＝cos60°＝．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．19．已知函数y＝a x（a＞1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值．（2）证明：f（x）+f（1﹣x）＝1．（3）求的值．【分析】（1）由函数的单调性可知a+a2＝20，进而求得a的值；（2）由（1）得到函数f（x）的解析式，化简即可得证；（3）利用倒序相加思想即可求解．【解答】解：（1）易知函数y＝a x（a＞1）在[1，2]上为增函数，于是a+a2＝20，解得a＝4；（2）证明：由（1）可知，，∴＝，得证；（3）设S＝，则由（2）可知，2S＝2020，故S＝1010．【点评】本题考查函数性质的运用，考查运算求解能力，属于基础题．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？【分析】（1）利用待定系数法确定出f（x）与g（x）解析式即可；（2）设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20﹣x）万元，根据y＝f（x）+g（x）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质判断即可得到结果．【解答】解：（1）设f（x）＝k1x，g（x）＝k2，由题意，可得f（1）＝0.125＝k1，g（1）＝k2＝0.5，则f（x）＝0.125x（x≥0），g（x）＝0.5（x≥0）；（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20﹣x）万元，由题意，得y＝f（x）+g（20﹣x）＝0.125x+0.5（0≤x≤20），令t＝，则有x＝20﹣t2，∴y＝0.125（20﹣t2）+0.5t＝﹣0.125（t﹣2）2+3，当t＝2，即x＝16万元时，收益最大，此时y max＝3万元，则投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元获得收益最大，最大收益为3万元．【点评】此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．21．已知设函数．（1）求函数f（x）周期和值域．（2）求函数f（x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和值域，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（1）∵函数＝2sin x+2cos x＝4（sin x+cos x）＝4sin（x+），∴函数f（x）的周期为2π，它的值域为[﹣4，4]．（2）对于f（x），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，故函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．再根据x∈[﹣2π，2π]，可得函数的增区间为[﹣2π，﹣]、[﹣，]、[，2π]．【点评】本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．22．已知函数f（x）＝（log a x）2﹣log a x﹣2（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（2）；（Ⅱ）求解关于x的不等式f（x）＞0；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时，代入可求f（2）；（Ⅱ）由f（x）＞0得log a x＞2或log a x＜﹣1，分0＜a＜1与a＞1讨论即可求得不等式f（x）＞0的解集；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立⇔（log a x）2﹣log a x﹣2≥4（2≤x≤4）恒成立，解得log a x≥3或log a x≤﹣2，分0＜a＜1与a＞1讨论即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，求f（2）＝（log22）2﹣log22﹣2＝﹣2；（Ⅱ）由（log a x）2﹣log a x﹣2＞0得：log a x＞2或log a x＜﹣1．当0＜a＜1时，解得0＜x＜a2，或x＞．当a＞1时，解得x＞a2或0＜x＜；即当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜a2，或x＞}．当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞a2或0＜x＜}；（Ⅲ）若∀x∈[2，4]，f（x）≥4恒成立，即∀x∈[2，4]，（log a x）2﹣log a x﹣2≥4恒成立，即（log a x）2﹣log a x﹣6≥0，解得log a x≥3或log a x≤﹣2，当0＜a＜1时，a3≥x max＝4（舍去）或≤x min＝2，解得≤a＜1；当a＞1时，同理解得1＜a≤综上所述，实数a的取值范围为[，1）∪（1，]．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查指数、对数不等式的解法，突出考查分类讨论思想与分析解决问题的能力，属于难题．。

海南省海南中学高一上学期期末考试(数学).doc

海南省海南中学高一上学期期末考试（数学）（2—）班级：姓名：座号：分数：一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、120sin 的值是（）A.21-B. 21C.23-D. 23 2、函数x x y cos sin =的周期是（）A ． 12π B ． π C ． 2π D. 4π3、如图1，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA BC AB ++等于( ) A ．−→−CD B ．−→−OC C ．−→−DA D ．−→−CO4、如果点)cos ,(tan θθP 位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、已知平面向量)1,1(=→a ，)1,1(-=→b ，则向量→→-ba 2321的坐标是（）Ａ．(21)--， B ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 6、将函数sin()3y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移3π个单位，最后所得到的图象对应的解析式是（）Ａ1sin 2y x = B 1sin()22y x π=-CC1sin()26y x π=- D sin(2)6y x π=- 7、化简)10tan 31(50sin+的值为 ( ) A . 1 B . 1- C .21-D . 218、已知图2是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，9. 已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ10. 已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）（0,a ,),0(a 其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且AP =t AB (10≤≤t )，则·的最大值为（）A .a B. 2a C. 3a D. 2a11、定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡156543021. 已知πβα=+，2πβα=-，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （） A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11 B . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-10 C . 10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D . 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象。

【KS5U解析】海南省海南中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

8.若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）
A. B.（1,8）C.（4,8）D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据分段函数单调性列不等式，解得结果.
【详解】因为函数是R上的单调递增函数，
所以
故选：D
【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.
二、多项选择题
10.已知 ,则下列不等式中,正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据不等式性质可求得，，利用基本不等式可求得，，结合对数函数和指数函数的单调性可依次判断出各个选项.
【详解】且，
，正确；，错误；
（当且仅当，即时取等号），又
，错误；
（当且仅当时取等号），又
2.集合 ,则集合 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法求得集合，根据补集和交集的定义即可求得结果.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式的解法，属于基础题.
3.已知扇形圆心角为弧度，半径为，则扇形的面积是（）
【详解】设且
，正确；
且
，正确；
，正确；
，则
，即，错误.
故选：
【点睛】本题考查与三角函数有关的不等关系的辨析问题，涉及到诱导公式、二倍角公式和辅助角公式的应用、正弦函数值域和正切函数值域的求解等知识；关键是能够根据已知得到两个角所处的范围，进而将所验证不等式化为同角问题进行求解.
第Ⅱ卷
三、填空题
A. B. C. D.

海南高一上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，且，则（）4cos 5=-αsin 0α<tan α=A ．B ．C ．D ．3434-4343-【答案】A【分析】由已知可求出，进而即可得出的值.3sin 5α=-tan α【详解】因为，且，4cos 5=-αsin 0α<所以，.3sin 5α===-所以，. sin 3tan cos 4ααα==故选：A.2．已知，则“”是“”的（） a ∈R 2340a a --<4a <A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式，根据解的范围与的范围的大小关系，即可得出答案. 4a <【详解】解可得，，显然该范围小于的范围. 2340a a --<14a -<<4a <所以“”是“”的充分不必要条件. 2340a a --<4a <故选：A.3．已知集合，则（） {}{}2Z1,,A x x B x y x y A =∈≤=-∈∣∣A B = A ． B ． {}0,1,2{}1,0,1,2-C ． D ．{}2,1,0,1,2--{}1,0,1-【答案】D【分析】求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.{}1,0,1A =-【详解】由题意，集合，所以集合，{}{}2Z |1=1,0,1A x x =∈≤-{}{|,}2,1,0,1,2B x y x y A =-∈=--所以. A B = {1,0,1}-故选：D4．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（） ()f x [0,)+∞(3)0f =()0f x >A ．B ．或{|33}-<<x x {|3x x <-3}x >C ．D ．{|3}x x >{3}x x |<-【答案】B【分析】由及函数单调性即可得到答案.()()f x f x =【详解】偶函数在上单调递增，且，所以，()f x [0,)+∞(3)0f =()()()03f x f x f =>=，解得或3x >3x >3x <-故的解集是或. ()0f x >{|3x x <-3}x >故选：B5．已知函数的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+序为（） A ． B ．C ．D ．a b c >>b c a >>c a b >>b a c >>【答案】B【解析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、0c =()0f x =2x x =-()0g x =2log x x =-2x y =与的交点，数形结合即可判断. 2log y x =y x =-【详解】解：由得，， 3()0h x x x =+=0x =0c ∴=由得，由得.()0f x =2x x =-()0g x =2log x x =-在同一平面直角坐标系中画出、、的图象， 2x y =2log y x =y x =-由图象知，，. a<00b >a c b ∴<<故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.6．若，且满足，则（） π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1tan 6tan θθ+=sin cos θθ+=A B ．C D ．23±23【答案】A【分析】由已知可推出，进而可得出.然后根据的范围，开方即可1sin cos 6θθ=()24sin cos 3θθ+=θ求出.【详解】因为，， sin cos 1tan t c n n os si a θθθθθθ++=22sin cos 1sin c 6os sin cos θθθθθθ+===所以，.1sin cos 6θθ=所以，. ()22214sin cos sin cos 2sin cos 1263θθθθθθ+=++=+⨯=又，所以，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0θθ+>所以sin cos θθ+==故选：A.7．王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句.我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径，如图，设为地球6371km R =O 球心，人的初始位置为点，点是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高计M N 3m 算，“欲穷千里目”即弧的长度为，则需要登上楼的层数约为（） AM 500km （参考数据：，，） 5000.07856371≈cos0.07850.9969≈63716390.80.9969≈A ．5800B ．6000C ．6600D ．70000【答案】C【分析】设.由已知可推得，，进而在中，得出，则有=AOM θ∠0.0785θ≈Rt OAN A 6390.8ON ≈，即可得出答案.19.8MN ON OM =-≈【详解】设，弧的长为. AOM AON θ∠=∠=AM l 由题意可得，. 5000.07856371l R θ==≈显然，，则在中，有， AN OA ⊥Rt OAN A cos OAONθ=所以. 63716390.8cos 0.9969OA ON θ==≈所以，.6390.8637119.8MN ON OM =-≈-=所以，需要登上楼的层数约为.319.81066003⨯=故选：C.8．定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程R ()f x (2)(2)f x f x +=-[0,2]x ∈1π()sin 24f x x =在上所有根的和为（） 1()8f x x =-[4,20]-A ．32 B ．48C ．64D ．80【答案】C【分析】根据奇函数的性质判断出函数的周期，利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可. 【详解】因为是奇函数，所以由()f x ，(2)(2)(4)()()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +=-⇒+=-=-⇒+=-+=因此函数的周期为，8当时，，[0,2]x ∈1π()sin 24f x x =所以当时，，[2,0)x ∈-()()1π1πsin sin 2424f x f x x x ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭当时，由，(2,4]x ∈(2)(2)(4)()f x f x f x f x +=-⇒-=所以，()()1π1π()4sin 4sin 2424f x f x x x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦所以当时，，[4,2)x ∈--()()1π1πsin sin 2424f x f x x x ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭于是当时，，该函数关于点对称，而函数也关于该点对称，在x ∈R 1π()sin 24f x x =(8,0)18y x =-同一直角坐标系内图象如下图所示：由数形结合思想可知：这两个函数图象有8个交点，即共有四对关于对称的点，(8,0)所以方程在上所有根的和为， 1()8f x x =-[4,20]-42864⨯⨯=故选：C【点睛】关键点睛：方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.二、多选题9．下列命题中错误的是（）A ．命题“”的否定是“”,sin 1x x ∀∈≤R ,sin 1x x ∃∉>R B ．若幂函数的图象经过点，则解析式为1,28⎛⎫⎪⎝⎭13y x -=C ．若两个角的终边相同，则这两个角相等D ．满足的取值集合为 sin x ≥x ()π2π2π,2π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】AC【分析】写出命题的否定，即可判断A 项；待定系数法设出幂函数的解析式，代入坐标，求解，即可判断B 项；取特殊值，即可说明C 项；根据的图象，即可得出不等式在[]sin ,0,2πy x x =∈上的解集，然后根据周期性，即可得出结果.[]0,2π【详解】对于A 项，根据全称量词命题的否定可知，命题“”的否定是“,sin 1x x ∀∈≤R ”，故A 项错误；,sin 1x x ∃∈>R 对于B 项，设幂函数解析式为.y x α=由已知可得，，所以，所以，故B 项正确；31228αα-⎛⎫== ⎪⎝⎭31α-=13α=-对于C 项，因为，所以和终边相同，显然，故C 项错误； 420603601=+⨯o o o 420o 60 42060≠o o 对于D 项，作出的图象.[]sin ,0,2πy x x =∈由图可知，在上，满足的取值集合为，根据正弦函数的周期性[]0,2πsin x ≥xπ2π|33x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭可知，满足的取值集合为，故D 项正确. sin x ≥x π2π|2π2π,33x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 故选：AC.10．下列不等式中成立的是（） A ． B ． ππtan tan 43>sin150sin160< C ． D ． 3π4πcoscos 55⎛⎫>- ⎪⎝⎭ππsincos 1010<【答案】CD【分析】根据函数的单调性，即可判断A 、B 项；根据诱导公式将角化到同一单调区间，进而根据函数的单调性，即可判断C 项；根据诱导公式化为同一三角函数，进而根据函数的单调性，即可判断D 项.【详解】对于A 项，因为在上单调递增，所以，故A 项错误； tan y x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ππtantan 43<对于B 项，因为在上单调递减，所以，故B 项错误；sin y x =π,π2⎛⎫⎪⎝⎭sin150sin160> 对于C 项，因为在上单调递减，所以. cos y x =π,π2⎛⎫⎪⎝⎭3π4πcos cos 55>又，所以，故C 项正确； 4π4πcos cos 55⎛⎫-= ⎪⎝⎭3π4πcos cos 55⎛⎫>- ⎪⎝⎭对于D 项，因为在上单调递增，所以. sin y x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π2πsin sin105<又，所以，故D 项正确. ππ2π2πcoscos sin 10255⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ππsin cos 1010<故选：CD. 11．已知直线是函数图象的一条对称轴，则（） π8x =()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<A ．是偶函数B ．是图象的一条对称轴 π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3π8x =()f x C ．在上单调递减D ．当时，函数取得最小值()f x ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2x =()f x 【答案】AC 【分析】根据为图象的对称轴，求出，从而得到，得到A 正确；整体π8x =π4ϕ=πcos 28f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭法求解函数的对称轴方程，判断B 选项；代入检验函数是否在上单调递减；代入求出ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2x =，D 错误.ππsin 224⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭【详解】因为直线是函数图象的一条对称轴， π8x =()sin(2)(0f x x ϕϕ=+<π)<所以，， ππ2π82k ϕ⨯+=+k ∈Z又，所以，所以．0πϕ<<π4ϕ=()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是偶函数，故A 正确；ππsin 2cos 282f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，解得:， ππ2π()42x k k +=+∈Z ππ()28k x k =+∈Z 所以图象的对称轴方程为，而不能满足上式，故B 错误； ()f x ππ()28k x k =+∈Z 3π8x =当时，，此时函数单调递减，故C 正确；ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ5π2,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()f x显然函数的最小值为，当时，，故D 错误．()f x 1-π2x =π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππsin 224⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭故选：AC ．12．已知，.则下列选项中正确的有（） 102a =105b =A ．B ． 11a b>14ab <C ．D ．2212+<a b 1133b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】由已知可得，.根据不等式的性质，即可判断A 项；根据基本不等式lg 20a =>lg 50b =>及其等号成立的条件即可判断B 、C 项；作差后，令，根据二次函数的性质，得()21291f b b b =-+出函数的单调性.易知，，即可得出D 项. 23b >21033f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭【详解】由已知可得，，，所以.lg 20a =>lg 50b =>lg 2lg 5lg101a b +=+==对于A 项，因为，所以， lg 5lg 20b a =>=>110b aa b ab --=>所以，故A 正确； 11a b>对于B ，当且仅当时，等号成立. 122a b +=a b =因为，所以，故B 项正确；a b ¹12<14ab <对于C 项，因为，当且仅当时，等号成立.()()2222222a b a b ab a b +=++≤+a b =因为，所以，所以，，故C 项错误； a b ¹()2221a b +>2212a b +>对于D 项，因为，1a b +=所以.()223193191b ab b b b +-=+--21291b b =-+令，根据二次函数的性质可知，在上单调递增.()21291f b b b =-+()f b 38⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,又，所以有，则，所以.lg 5lg 42lg 22b a =>==2b a <312a b b =+<23b >又，所以.22221129103333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()203f b f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭所以，，所以.23190b ab +->2319b ab +>因为，所以有，整理可得，，故D 项正确. 0ab >231933b abab ab +>1133b a b ⎛⎫+> ⎪⎝⎭故选：ABD.三、填空题13．已知角的终边过点，则__________.θ()4,3-()sin πθ+=【答案】##0.635【分析】由已知可推得，然后根据诱导公式化简，即可得出答案.3sin 5θ=-【详解】由三角函数的定义可得，.3sin 5θ==-所以，. ()3sin πsin 5θθ+=-=故答案为：.3514．已知函数，则__________.()()55,0log 7,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩()()0f f =【答案】7【分析】根据分段函数求出，代入根据对数的运算性质即可得出答案.()50log 70f =>【详解】由已知可得，，所以.()50log 70f =>()()()5log 750log 757f f f ===故答案为：7.15．已知过定点P ，且P 点在直线上，则()22(0,1)x f x a a a -=+>≠1(0,0)mx ny m n +=>>12m n+的最小值=______________．【答案】8+8【分析】先求出定点，代入直线方程，最后利用基本不等式求解.【详解】经过定点，代入直线得，()22(0,1)x f x a a a -=+>≠()2,3231m n +=， ()12123423888n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当时等号成立 34n mm n=故答案为：8+16．已知函数在上单调递增，则的最大值是____.()π3sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π012⎛⎫⎪⎝⎭，ω【答案】4【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.【详解】由函数在区间上单调递增，()π3sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π012⎛⎫⎪⎝⎭，可得，求得，故的最大值为，πππ+1262ω⋅≤4ω≤ω4故答案为：4四、解答题17．已知集合，，全集 {}321A xa x a =-≤≤+∣12832x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭∣U =R (1)当时，求； 1a =()U A B ⋂ð(2)若，求实数的取值范围.A B ⊆a 【答案】(1)； (){52}U A B xx ⋂=-≤<-∣ð(2). ()[],42,1∞--⋃-【分析】（1）代入得到，根据补集的运算求出.然后解可求出，进而根据交1a =A U A ð12832x ≤≤B 集的运算，即可得出结果；（2）显然成立.时，解即可得出实数的取值范围.A =∅A ≠∅32135213a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩a 【详解】（1）当时，，所以或. 1a ={}23A x x =-≤≤∣{2U A x x =<-∣ð3}x >由以及指数函数的单调性，可解得，所以. 12832x ≤≤53x -≤≤{}53B xx =-≤≤∣所以. (){52}U A B xx ⋂=-≤<-∣ð（2）当时，有时，即，此时满足；A =∅321a a ->+4a <-AB ⊆当时，由得，，解得，A ≠∅AB ⊆32135213a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩21a -≤≤综上，实数的取值范围为. a ()[],42,1∞--⋃-18．已知函数.()πsin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求的对称中心和单调增区间；()f x (2)当时，求函数的最小值和最大值.π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)对称中心为，单调增区间为；ππ,1,122k k ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z πππ,π,63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2)最小值为，最大值0. 1【分析】（1）结合正弦函数的性质，整体代入即可求出函数的对称中心以及单调递增区间；（2）令，由已知可得，. 根据的单调性，即可得出函数的最π26X x =-π2π,33X ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin 1y X =-值.【详解】（1）令，则， π2π,6x k k -=∈Z ππ,122k x k =+∈Z 所以的对称中心为.()f x ππ,1,122k k ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z 由，解得，πππ2π22π,262k x k k -≤-≤+∈Z ππππ,63k x k k -≤≤+∈Z 所以函数的单调增区间为.πππ,π,63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z （2）令.π26X x =-因为，所以，π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π,33X ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则在上单调递增，在上单调递减.sin 1y X =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦当，即时，函数有最大值为；ππ262X x =-=π3x =()f x ππsin 1032f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭又， πsin 3⎛⎫-=⎪⎝⎭2ππsinsin 33⎛⎫=>- ⎪⎝⎭所以，当，即时，函数有最小值为.ππ263X x =-=-π12x =-()f x ππsin 11123f ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，函数的最大值为0，函数的最小值为.()f x ()f x 119．已知函数，且为奇函数. ()141x f x a =++()f x (1)求的值； a (2)判断函数的单调性并证明；()f x (3)解不等式：.()()2120f x f x -+->【答案】(1) 12a =-(2)减函数，证明见解析(3)(),1-∞【分析】（1）由若在区间D 上为奇函数，则可得a 的值，再由奇函数的定义检()f x (0)D ∈(0)0f =验即可.（2）由函数单调性的性质判断其单调性，再由单调性的定义法证明（任取、作差、变形、断号、写结论）即可.（3）由函数为奇函数处理原不等式得，再由函数在R 上单调递减，()f x ()()212f x f x ->-+()f x 比较两个括号中式子的大小，解不等式即可.【详解】（1）∵函数的定义域为R ，函数为奇函数，()f x ∴，()00f =则，得 01041a +=+12a =-检验，当时，，定义域为R ， 12a =-()11412x f x =-+对于任意实数， x ()1141412412x x x f x --=-=-++所以 ()()41110412412x x x f x f x -+--+=+=+所以当时，为奇函数. 12a =-()f x （2）由（1）知，在R 上为单调递减函数. ()11412xf x =-+()f x 证明：设， ()()()()21121212121144,41414141x x x x x x x x f x f x -<-=-=++++∵， ∴，12x x <12044x x <<即，， 21440x x ->1410x +>2410x +>∴，()()12f x f x >即函数在定义域R 上单调递减.()f x （3）∵在R 上为奇函数，，()f x ()()2120f x f x -+->∴，()()212f x f x ->-+又∵函数在R 上单调递减，()f x ∴，解得：，212x x -<-+1x <∴不等式的解集为(),1-∞20．已知， π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x =(1)若的值； ()f θ=θ(2)令，求此函数的最大值．()()2y f x f x =-⎡⎤⎣⎦【答案】(1) 5π6θ=(2)14【分析】（1）应用同角三角函数关系及定义域化简，结合函数值及正切函数值确定()2tan f x x =-角的大小即可；（2）令，结合二次函数性质求函数的最大值. tan (,0)t x =∈-∞【详解】（1），， 1sin 1sin ()2tan cos cos x x f x x x x+-==-+=-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由，即，又，故. ()2ta n f θθ=-=tan θ=π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5π6θ=（2）由（1）知：，令，24tan 2tan x y x -=-tan (,0)t x =∈-∞所以， 2211424()44t t t y --=-+=+故，当时. 1tan 4t x ==-max 14y =21．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系.要y x 求及图示如下：（i ）函数是区间上的增函数；[]0,60（ii ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（iiii ）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①，②，③. (0)y kx b k =+> 1.2(0)=⋅+>x y k b k 2log 2(0)10x y k n k ⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭(1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于分，至少需要锻炼多少分钟.，结果保留整数）.4.5 1.414≈【答案】(1)模型③， 23log 2310x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(2)至少需要锻炼37分钟.【分析】（1）根据已知图象的增长特征，结合模型中函数所过的点，以及函数的增长速度，即可确定模型，将对应的点代入，求得参数，可得解析式，并验证，即可求解；（2）由（1）得，令，求出的范围，即可得出答案． 23log 2310x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭23log 23 4.510x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭x 【详解】（1）解：对于模型①，，当满足同时过点时，，(0)y kx b k =+>()()0,0,20,330,20b k ==即，当时，，不合题意； 320y x =60x =96y =>由图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型②，是指数型的函数，其增长是1.2(0)=⋅+>x y k b k 爆炸型增长，故②不合适；对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型2log 2(0)10x y k n k ⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭③，此时，所求函数过点，()()0,0,20,3则，解得， 22log 2020log 2310k n k n +=⎧⎪⎨⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎩3,3==-k n 故所求函数为， 23log 2310x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭经检验，当时，，符合题意 60x =2603log 23610y ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭综上所述，函数的解析式为. 23log 2310x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2）解：由（1）得， 23log 2310x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为每天得分不少于分，4.5所以，即， 23log 23 4.510x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭25log 2102x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭所以， 522210x +≥=2040 1.4142036.56x ≥≈⨯-=所以每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼37分钟.22．已知函数在区间上有最大值2和最小值1.()221g x ax ax b =-++(0,0)a b ≠>[]1,2(1)求的值；,a b (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；()0g x kx -≥[]1,2x ∈k (3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. ()()1g x f x x -=()2213021x x f t ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭t 【答案】(1)； 11a b =⎧⎨=⎩(2)；(,2⎤-∞⎦(3). ()0,∞+【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出；（2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取2222x k x x x++≤=+[]1,2x ∈k 值范围；（3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出()()2212321120x x t t --+-++=21x m =-的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于21x m =-()()223120m t m t -+++=1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不()()()22312h m m t m t =-+++等关系，进而求出实数的取值范围.t 【详解】（1）由已知可得.()2(1)1g x a x b a =-++-当时，在上为增函数，所以，解得； 0a >()g x []1,2()()111212g b a g a b a ⎧=+-=⎪⎨=++-=⎪⎩11a b =⎧⎨=⎩当时，在上为减函数，所以，解得. a<0()g x []1,2()()112211g b a g a b a ⎧=+-=⎪⎨=++-=⎪⎩10a b =-⎧⎨=⎩由于，所以. 0b >11a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）知， ()222g x x x =-+所以在上恒成立，即，2220x x kx -+-≥[]1,2x ∈()222k x x +≤+因为，所以在上恒成立， []1,2x ∈222x k x++≤[]1,2x ∈即在上恒成立， 2222x k x x x++≤=+[]1,2x ∈又时取等号. 2x x+≥x =所以.2k +≤2k ≤所以求实数的范围为. k (,2⎤-∞-⎦（3）方程化为， ()2213021x x f t ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭()122123021x x t t +-+-+=-化为，且. ()()2212321120x x t t --+-++=210x -≠令，则方程化为.21x m =-()()223120m t m t -+++=作出的函数图象21x m =-因为方程有三个不同的实数解， ()2213021x x f t ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭所以有两个根， ()()223120m t m t -+++=12,m m 且一个根大于0小于1，一个根大于等于1. 设，1201m m <<≤记，()()()22312h m m t m t =-+++根据二次函数的图象与性质可得，或， ()()()01201123120h t h t t t ⎧=+>⎪⎨=-+++=-<⎪⎩()()01201023012h t h t t ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩解得.0t >所以实数的取值范围为.t ()0,∞+【点睛】关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况.。

海南高一高中数学期末考试带答案解析

海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.过点(－1, 3)且垂直于直线的直线方程为A．2x + y1= 0B．2x + y5= 0C．x + 2y5= 0D．x2y + 7= 02.等差数列的前n项和为，且 =6，=4，则公差d等于A．1B．C．2D．33.已知圆，圆，则其公共弦所在直线方程的斜率为A．B．C．D．24.与直线平行的抛物线的切线方程是A．2x y+3=0B．2x y3=0C．2x y+1=0D．2x y1=05.已知两点，点P满足=12，则点P的轨迹方程为A．B．C．D．6.在二项式的展开式中，含的项的系数是A．－5B．5C．－10D．107.已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是A．B．C．D．8.若方程表示双曲线，则实数k适合的条件是A．或B．或C．或D．9.设．若的最小值为A．8B．4C．1D．10.在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数取得最大值的最优解有无数个，则为A．－2B．2C．－6D．611.我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a>b>0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于A．60°B．75°C．90°D．120°12.若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有______▲______种（用数字作答）．2.已知x, y满足，则的取值范围是▲．3.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则______▲______．4.已知圆C的方程为，定点，直线有如下两组论断：由第Ⅰ组论断作为条件，第Ⅱ组论断作为结论，写出所有可能成立的命题（将命题用序号写成形如p q的形式）▲．三、解答题1.（本题满分10分）设函数，其中．(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若不等式的解集为，求a的值．2.（本题满分10分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．(Ⅰ)建立如图所示的平面直角坐标系xOy，试求拱桥所在抛物线的方程；(Ⅱ)若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？3.（本题满分12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点．(Ⅰ)求实数m的取值范围；(Ⅱ)求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程．4.（本题满分12分）设为非零实数，(Ⅰ)写出并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(Ⅱ)设，求数列的前n项和．5.（本题满分12分）阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C ． (Ⅰ)求曲线C 的离心率及焦点坐标；(Ⅱ)如图（2），从曲线C 的焦点F 处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．（1）（2）6.（本题满分14分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：的左、右焦点分别为F 1、F 2．F 2也是抛物线C 2：的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且．(Ⅰ)求C 1的方程； (Ⅱ)平面上的点N 满足，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若·=0，求直线l 的方程．海南高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.过点(－1, 3)且垂直于直线的直线方程为A ．2x + y 1= 0B ．2x + y 5= 0C ．x + 2y 5= 0D ．x 2y + 7= 0【答案】A【解析】根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．解：根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，又知其过点（-1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y-1=0．2.等差数列的前n 项和为，且 =6，=4，则公差d 等于A ．1B ．C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意可得 S 3=6=（a 1+a 3），且 a 3=a 1+2d ，a 1=4，解方程求得公差d 的值．解：∵S 3=6=（a 1+a 3），且 a 3=a 1+2d ，a 1=4，∴d=-2，故选C ．3.已知圆，圆，则其公共弦所在直线方程的斜率为A ．B ．C ．D ．2【解析】圆与圆公共弦所在直线方程为:故选B.4.与直线平行的抛物线的切线方程是A．2x y+3=0B．2x y3=0C．2x y+1=0D．2x y1=0【答案】D【解析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x处的导数等于切线的斜率，建立等式，求出x的值，从而求出切点坐标，最后将切线方程写出一般式即可．解：y’=2x2x=2即x=1∴切点坐标为（1，1）∴与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是 2x-y-1=0故答案为D5.已知两点，点P满足=12，则点P的轨迹方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】设P点坐标为（x，y），由=12进而可得到x和y的关系式．解：设P（x，y），则=（-2-x，-y），=（2-x，-y）∴=（2-x）（-2-x）+y2=12整理可得x2+y2=16．故选B6.在二项式的展开式中，含的项的系数是A．－5B．5C．－10D．10【答案】D【解析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．= (x2)5-r(-)r=(-1)r x10-3r，解：对于Tr+1对于10-3r=4，∴r=2，2（-1）2=10则x4的项的系数是C5故选项为D7.已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是A．B．C．D．【解析】先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c2=a2-b2求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范围．解：根据题意，易得准线方程是x=±=±1所以c2=a2-b2=4-b2=1即b2=3所以方程是联立y=kx+2可得3x2+（4k2+16k）x+4=0由△≤0解得K∈[-]故选A8.若方程表示双曲线，则实数k适合的条件是A．或B．或C．或D．【答案】B【解析】要使方程是双曲线方程需要两个分母一个大于零，一个小于0，进而联立不等式组求得k的范围．解：要使方程表示双曲线，需或；解得k＞5或-2＜k＜2故选B9.设．若的最小值为A．8B．4C．1D．【答案】C【解析】答案应选B由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，=(a+b)()=2+≥2+2=4，当且仅当=即a=b=时“=”成立，故选择B．10.在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数取得最大值的最优解有无数个，则为A．－2B．2C．－6D．6【解析】11.我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a>b>0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于A．60°B．75°C．90°D．120°【答案】C【解析】由可得2c2=(3-)a2验证|FA|2=|FB|2+|AB|2成立所以所以∠FBA等于 90°．解：∵，∴2c2=(3-)a2在三角形FAB中有b2+c2=a2，|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=，∴|FA|2=（a+c）2=a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2=2a2+b2=3a2-c2，∴|FA|2=|FB|2+|AB|2=a2，所以∠FBA等于 90°．故选C．12.若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况．解：将方程-kx-3+2k=0转化为：半圆y=，与直线y=kx+3-2k有两个不同交点．当直线与半圆相切时，有=2k=∴半圆y=与直线y=kx+3-2k有两个不同交点时．直线y=kx+3-2k=k（x-2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（-2，0）时直线的斜率k取最大值为k∈(，]故选D二、填空题1.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有______▲______种（用数字作答）．【答案】140【解析】略2.已知x, y满足，则的取值范围是▲．【答案】z≤－2或z≥1【解析】略3.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则______▲______．【答案】2【解析】略4.已知圆C的方程为，定点，直线有如下两组论断：由第Ⅰ组论断作为条件，第Ⅱ组论断作为结论，写出所有可能成立的命题（将命题用序号写成形如p q的形式）▲．【答案】【解析】略三、解答题1.（本题满分10分）设函数，其中．(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若不等式的解集为，求a的值．【答案】解：(Ⅰ)当时，可化为，由此可得或；故不等式的解集为或；（4分）(Ⅱ)由得，此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为，由题设可得= ，故．（10分）【解析】略2.（本题满分10分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．(Ⅰ)建立如图所示的平面直角坐标系xOy，试求拱桥所在抛物线的方程；(Ⅱ)若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？【答案】解：(Ⅰ)设抛物线方程. ……（1分）由题意可知，抛物线过点，代入抛物线方程，得，解得， ……（4分）所以抛物线方程为. ……（5分） (Ⅱ)把代入，求得. ……（8分）而，所以木排能安全通过此桥. ……（10分）【解析】略3.（本题满分12分）已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点． (Ⅰ)求实数m 的取值范围；(Ⅱ)求以PQ 为直径且过坐标原点的圆的方程．【答案】解：(Ⅰ) （法一）圆C ：，圆心，半径圆心到直线的距离，得；（4分）（法二）由，有，得m<8；（或者联立得）（4分）(Ⅱ)设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2)，由∴由于以PQ 为直径的圆过原点，∴OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，而x 1x 2=9－6(y 1+y 2)+4y 1y 2=，∴解得m =3．（8分）故P(1,1), Q(－3,3)，圆的方程为，即．（12分）（法二）设过PQ 的圆的方程为∴，即∵圆过原点，∴，又以PQ 为直径，则取最小值，此时，故m=3，圆的方程为，即．（12分）【解析】略4.（本题满分12分）设为非零实数，(Ⅰ)写出并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (Ⅱ)设，求数列的前n 项和．【答案】解(Ⅰ)∴从而因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列；（6分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴⑵⑴得：∴（12分）【解析】略5.（本题满分12分）阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C ．(Ⅰ)求曲线C 的离心率及焦点坐标；(Ⅱ)如图（2），从曲线C 的焦点F 处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．（1）（2）【答案】略【解析】略6.（本题满分14分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：的左、右焦点分别为F 1、F 2．F 2也是抛物线C 2：的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且．(Ⅰ)求C 1的方程；(Ⅱ)平面上的点N 满足，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若·=0，求直线l 的方程．【答案】解：(Ⅰ)由:知．设，在上，因为，所以，得,．M 在上，且椭圆的半焦距，于是，消去并整理得，解得（不合题意，舍去）．故椭圆的方程为．（6分） (Ⅱ)由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率．设的方程为．由消去并化简得．设，，，．因为，所以．．所以．此时，故所求直线的方程为，或．（14分）【解析】略。

海南省海南中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学(精编含解析)

解：∵角 θ 的终边经过点故选：A．
，则 x=2，y=
，tanθ=
=
，
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 tanθ 的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 2.【答案】C
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：对于 A，y=tanx，为奇函数且其周期为 π，不符合题意；对于 B，y=sin2x，为奇函数且其周期为 π，不符合题意；对于 C，y=cos2x，为偶函数且其周期为 π，符合题意；对于 D，y=cos 故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与周期性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的判断，涉及常见三角函数的周期与奇偶性，属于基础题． 3.【答案】B
A. C.
9. 若
|⃗ + ⃗| = |⃗ ‒ ⃗|
��
B. D.
sinαcosα=（） ‒4
3
(⃗ + ⃗) = (⃗ ‒ ⃗)
��
( ⃗ + ⃗)//( ⃗ ‒ ⃗)
��
0
B. 60
2�� 3
��
C. 120
��
��
D. 150
��
��
已知△ABC，tanA，tanB 是方程 x2+3x-2=0 的两个根，则∠C 等于（）
A.
8.
B.
C. 3
D. 4
⃗ ⃗ |⃗| = |⃗| �� ，下列结论中正确的是（）若��与��是非零向量，且 ��

2021-2022学年海南省海口中学高一(上)期末数学试卷(附详解)

2021-2022学年海南省海口中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合M={x|x2≤4}，N={x|2x<4}，则M∩N=()A. {x|x≤−2}B. {x|−2≤x<2}C. {x|−2≤x≤2}D. {x|0<x<2}2.“α=2kπ+π6，k∈Z”是“sinα=12”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是()A. y=x3B. y=|x|+1C. y=−x2+1D. y=√x4.已知a=log23，b=2−0.4，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. c<b<aD. c<a<b5.已知α为第三象限角，且sinα+cosα=−75，则sinα−cosα=()A. ±35B. 35C. −15D. ±156.已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于()A. 2B. 3C. 1D. 47.已知直线x=2π3是函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω∈N∗)图象的一条对称轴，|f(x)|的最小正周期不小于π3，则f(x)的一个单调递增区间为()A. [−π2,π6] B. [−π3,π6] C. [−π3,π3] D. [π6,π3]8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，当x∈[0,1]时f(x)=x2，则函数g(x)=|sin(2πx)|−f(x)在区间[−12,52]上的所有零点的和为()A. 10B. 9C. 8D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列结论正确的是()A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a>b，则a2>abC. 若a>b>0，则ab>b2D. 若|a|>|b|，则a2>b210. 下列关于函数f(x)=2sin(12x +π3)的表述正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期T =4πB. x =π12是函数f(x)的一条对称轴 C. (π12,0)是函数f(x)的一个对称中心 D. 函数f(x)在区间[−5π3,π3]上是增函数 11. 设函数f(x)={3x ,x ≤0|log 3x|,x >0，若f(x)−a =0有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是( )A. 12B. 1C. −1D. 212. 已知函数f(x)的定义域为[0,+∞)，当x ∈[0,2]时，f(x)={4x −2x 2,x ∈[0,1]4−2x.x ∈(1,2]，当x >2，f(x)=mf(x −2)(m 为非零常数).则下列说法正确的是( )A. 当m =2时，f(5.5)=2B. 当m >1时，函数f(x)的值域为[0,+∞)C. 当m =12时，y =f(x)的图象与曲线y =log 4x 的图象有3个交点D. 当0<m <1，n ∈N +时，y =f(x)的图象与直线y =2m n−1在[0,2n]内的交点个数是2n −1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 化简2lg5+lg4−5log 52的结果为______．14. 已知角α终边上一点P 与点A(−1,2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点O 中心对称，则sinα+sinβ=______．15. 当x +y >0，z >−1，满足1x+y +2z+1=1时，有x +y +2z ≥t 2−2t −1恒成立，则实数t 的取值范围为______．16. 已知函数f(x)=2sin(ωx +π4)，ω>0的图像在区间[−1,1]上恰有三个最低点，则ω的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=√3sin(2x −π4).(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出函数f(x)在区间[π8,9π8]上的图像．2x −π4x f(x)(2)解不等式f(x)≥32．18. 已知3sinα−2cosα=0，求下列各式的值：(1)sin(π2+α)−sinαcosα+sinα+cosα+sin(π−α)cosα−cos(3π2+α)；(2)sin 2α−2sinαcosα+4cos 2α.19.已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)−1(ω>0)，且f(x−π)=f(x)．(1)求f(x)的单调增区间；(2)若关于x的方程f(x)=a在[0,π2]上有且只有一个解，求实数a的取值范围．20.2009年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩120万元，现给出两种地价增长方式，其中P1：f(t)=at+b(a,b∈R)是按直线上升的地价，P2：g(t)=clog2(d+t)(c,d∈R)是按对数增长的地价，t是2009年以来经过的年数．2009年对应的t值为0．(1)求f(t)，g(t)的解析式；(2)2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型．(参考数据：lg2≈0.3)21.已知函数f(x)=a x−1a x+1(a>0且a≠1)．(1)若f(2)=12，求f(−2)的值；(2)若f(x)在[−1,1]上的最大值为1，求a的值．222.已知二次函数y=f(x)满足对任意x∈R，都有f(−1−x)=f(−1+x)，f(0)=−3，y=f(x)的图象与x轴的两个交点之间的距离为4．(1)求y=f(x)的解析式；(2)记g(x)=f(x)+kx+5，x∈[−1,2]．(ⅰ)若g(x)为单调函数，求k的取值范围；(ⅱ)记g(x)的最小值为ℎ(k)，若方程ℎ(t2−4)=λ有两个不等的根，求λ的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M={x|−2≤x≤2}，N={x|x<2}，∴M∩N={x|−2≤x<2}．故选：B．2.【答案】A【解析】解：sinα=12等价于α=π6=2kπ或α=5π6+2kπ,k∈Z，所以“α=2kπ+π6，k∈Z”是“sinα=12”的充分不必要条件．故选：A．先利用特殊角的三角函数值，求出sinα=12，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了三角方程的求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：函数y=x3是奇函数，不满足条件；函数y=|x|+1是偶函数又在(0,+∞)单调递增，满足条件；函数y=−x2+1是偶函数，但在(0,+∞)单调递减，不满足条件；函数y=√x是非奇非偶函数，不满足条件；故选：B．分析给定四个函数的奇偶性和单调性，可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．4.【答案】C【解析】解：a=log23>log22=1，∵b=2−0.4=0.50.4，y=0.5x在R上单调递减，∴b=0.50.4>0.52.1=c，∵0<b<1，0<c<1，∴a>b>c．故选：C．根据已知条件，结合对数函数的公式，以及指数函数的单调性，即可求解．本题主要考查对数函数的公式，以及指数函数的单调性，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：因为α为第三象限角，且sinα+cosα=−75，两边同时平方得，1+2sinαcosα=4925，所以sinαcosα=1225，则(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1−2×1225=125，所以sinα−cosα=±15，故选：D．由已知结合同角平方关系即可求解．本题主要考查了同角平方关系的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查了基本不等式的应用以及学生的计算能力，属于基础题．由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得2r+l=40，扇形的面积S=12lr=14⋅l⋅2r，由基本不等式即可得解．【解答】解：设扇形的半径和弧长分别为r和l，由题意可得2r+l=40，∴扇形的面积S=12lr=14⋅l⋅2r≤14(l+2r2)2=100．当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，此时圆心角为α=lr=2，∴当半径为10，圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．故选：A．7.【答案】B【解析】解：由题意得，πω≥π3，所以0<ω≤3，因为ω∈N∗，所以ω=1或2或3，当ω=1时，f(x)=sin(x+π6)，此时x=2π3不是函数f(x)的对称轴，当ω=2时，f(x)=sin(2x+π6)，此时x=2π3是函数f(x)的对称轴，ω=3时，f(x)=sin(3x+π6)，此时x=2π3不是函数f(x)的对称轴，故ω=2，f(x)=sin(2x+π6)，令−π2≤2x+π6≤π2，得−π3≤x≤π6．故选：B．先由正弦函数的周期性及函数图象的变换求出ω的范围，结合已知对称轴进而确定ω的值，再由正弦函数的单调性可求．本题主要考查了正弦函数的周期性及单调性，对称性的应用，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=x2，可以得出函数f(x)在[−12,1]上的图象，进而得出函数f(x)在(1,52]的图象．令ℎ(x)=sin(2πx)，可得周期T=2π2π=1，画出其图象，进而得出函数y=|sin(2πx)|的图象．由图象可得：函数g(x)=|sin(2πx)|−f(x)在区间[−12,52]上共有10个零点，所有零点的和=5×2×1=10．故选：A．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=x2，可以得出函数f(x)在[−12,1]上的图象，进而得出函数f(x)在(1,52]的图象．令ℎ(x)=sin(2πx)，可得周期T=1，画出其图象，进而得出函数y=|sin(2πx)|的图象．利用函数图象及其对称性、中点坐标公式即可得出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、函数的零点、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】CD【解析】解：对于A：当c=0时，不等式的不成立，故A错误；对于B：当a>b>0时，a2>ab成立，故B错误；对于C：由于a>b>0，则ab>b2，故C正确；对于D：由于若|a|>|b|，则a2>b2，故D正确．故选：CD．直接利用不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：对于函数f(x)=2sin(12x +π3)，对于A ：由于函数的周期T =2π12=4π，故A 正确；对于B ：当x =π12时，f(π12)=2sin3π8，故B 错误；对于C ：根据选项B 的结论，故C 错误；对于D ：由于x ∈[−5π3,π3]，所以12x +π3∈[−π2,π2]，故D 正确．故选：AD ．直接利用正弦型函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：作出函数f(x)={3x ,x ≤0|log 3x|,x >0，图象如下：又f(x)−a =0有三个不同的实数根，所以函数f(x)={3x ,x ≤0|log 3x|,x >0，与直线y =a 有三个交点，由图象可得：0<a ≤1．故选：AB ．先作出函数的图象，f(x)−a =0有三个不同的实数根，化为函数f(x)={3x ,x ≤0|log 3x|,x >0，与直线y =a 有三个交点，结合图象，即可得出结果．本题主要考查根据函数零点的个数求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的性质，利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：已知f(x)=mf(x −2)(m 为非零常数)可转化f(x +2)=2f(x)，则f(5.5)=f(3.5+2)=2f(3.5)=2f(1.5+2)=4f(1.5)=4×1=4．故A项错误；当m>1时，f(x+2)=mf(x)，由已知当x∈[0,2]时，f(x)的值域为[0,2]，当x∈(2,4]时，f(x)的值域为[0,2m]，当x∈(4,6]时，f(x)的值域为[0,2m2]，随着x的依次取值，值域将变为[0,+∞)，故B项正确；当m=1时，y=f(x)的图象与曲线y=log4x的图象如图所示，2故C项正确；，则y=f(x)的图象与曲线y=2m n−1在[0,2n]内的交点由于0<m<1，不妨取m=12)n−1的图像为孤立个数问题可以由图像交点个数来判断，由于n∈N+，则曲线y=2(12的点，画出图像判断，故D项错误．故选：BC．对于选项A，对条件进行转化f(x+2)=2f(x)更方便求解，直接代入递推就可以求解，选项BCD需要画出图像，借助于数形结合判断即可．此题为函数的综合题，考察了数形结合的数学思想，难度系数比较高，需要数形结合，平时学习过程中需要多画图，有图有真相．13.【答案】0【解析】解：原式=2lg5+2lg2−2=2(lg5+lg2)−2=2−2=0，故答案为：0．利用对数的运算性质求解．本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．14.【答案】0【解析】解：角α终边上一点P与点A(−1,2)关于y轴对称，P(1,2)；角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称，Q(1,−2)；由三角函数的定义可知sinα=√5sinβ=√5，所以sinα+sinβ=√5√5=0．故答案为0．求出P的坐标，Q的坐标，然后利用三角函数的定义，求出sinα，sinβ，即可求出sinα+ sinβ的值．本题是基础题，考查三角函数的定义，点的对称性的应用，考查计算能力．15.【答案】[−2,4]【解析】解：∵x+y>0，z>−1，1x+y +2z+1=1，∴x+y+2z=x+y+2(z+1)−2=[(x+y)+2(z+1)]⋅(1x+y +2z+1)−2=5+2(z+1)x+y +2(x+y)z+1−2≥5+2√2(z+1)x+y⋅2(x+y)z+1−2=7，当且仅当x+y=z+1=3时取等号，∴t2−2t−1≤7，解得−2≤t≤4，∴实数t的取值范围为[−2,4]，故答案为：[−2,4]．由x+y>0，z>−1，1x+y+2z+1=1，利用基本不等式求解x+y+2z的最小值，然后解关于t的一元二次不等式即可求得实数t的取值范围．本题考查函数恒成立问题，考查基本不等式及一元二次不等式的应用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．16.【答案】[11π4,13π4]，k∈Z【解析】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+π4)，ω>0的图像在区间[−1,1]上恰有三个最低点，ωx+π4∈[π4−ω,π4+ω]，∴−9π2<π4−ω≤−5π2，且3π2≤π4+ω<7π2，求得11π4≤ω<13π4，则ω的取值范围为[11π4,13π4]，k∈Z，故答案为：[11π4,13π4]，k∈Z．由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．17.【答案】解：(1)对于函数f(x)=√3sin(2x−π4)在区间[π8,9π8]上的图像，先列表：2x−π40π2π3π22πxπ83π85π87π89π8f(x)0√30−√30作图：(2)不等式f(x)≥32，即sin(2x−π4)≥√32，∴2kπ+π3≤2x−π4≤2kπ+2π3，k∈Z，求得kπ+7π24≤x≤kπ+11π24，k∈Z，故原不等式的解集为{x|kπ+7π24≤x ≤kπ+11π24,k ∈Z}．【解析】(1)由题意，利用五点法作图的方法，作出函数f(x)在区间[π8,9π8]上的图像．(2)由题意，利用正弦函数的图像和性质，求得不等式f(x)≥32的解集．本题主要考查五点法作图，正弦函数的图像和性质，属于中档题．18.【答案】解：因为3sinα−2cosα=0，所以tanα=sinαcosα=23， (1)sin(π2+α)−sinαcosα+sinα+cosα+sin(π−α)cosα−cos(3π2+α)=cosα−sinαcosα+sinα+cosα+sinαcosα−sinα=1−tanα1+tanα+1+tanα1−tanα=1−231+23+1+231−23=265；(2)sin 2α−2sinαcosα+4cos 2α=sin 2α−2sinαcosα+4cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α−2tanα+4tan 2α+1=49−43+449+1=2813．【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值， (1)利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解； (2)利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)由f(x −π)=f(x)，∴函数f(x)=2sin(ωx −π6)−1的周期为π，∴2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x −π6)−1，由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ， ∴f(x)的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k ∈Z)；(2)作出函数f(x)=2sin(2x −π6)−1，x ∈[0,π2]的图象如图所示，直线y =a 与f(x)只有一个交点时关于x 的方程f(x)=a 在[0,π2]上有且只有一个解，由图象可知实数a 的取值范围为[−2,0)．【解析】(1)由f(x −π)=f(x)，可得2πω=π，从而f(x)=2sin(2x −π6)−1，可求f(x)的单调增区间；(2)作出函数f(x)=2sin(2x −π6)−1，x ∈[0,π2]的图象，利用数形结合求实数a 的取值范围．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意知，f(0)=60，f(12)=120，所以{b =6012a +b =120，解得{a =5b =60，所以f(t)=5t +60，t ≥0，又g(0)=60，g(12)=120，所以{clog 2(d +0)=60clog 2(d +12)=120，解得{c =30d =4，故g(t)=30log 2(4+t)，t ≥0．(2)若按照模型P 1：f(t)=5t +60，到2025年时，t =16，f(16)=140，直线上升的增长率为140−120120≈16.7%>10%，不符合要求，若按照模型P 2：g(t)=30log 2(t +4)，到2025年时，t =16， g(16)=30log 220=30(log 210+1)≈30×(3.32+1)=129.6，对数增长的增长率为129.6−120120=8%<10%，符合要求，综上所述，应选择模型P 2．【解析】(1)由f(0)=60，f(12)=120，求得f(t)，由g(0)=60，g(12)=120，求得g(t)．(2)由t=16，分别算出f(16)，g(16)，分别算出两个模型的增长率，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．21.【答案】解：(1)易知函数定义域为R，因为f(−x)=a−x−1a−x+1=1−a xa x+1=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故f(−2)=−f(2)=−12；(2)f(x)=1−2a x+1，若0<a<1，则y=a x+1单调递减，y=2a x+1单调递增，可得f(x)=1−2a x+1为减函数，当x∈[−1,1]时，f(x)max=f(−1)=1−2a−1+1=12，解得a=13，符合题意；若a>1，则y=a x+1单调递增，y=2a x+1单调递减，可得f(x)=1−2a x+1，为增函数，当x∈[−1,1]时，f(x)max=f(1)=1−2a+1=12，解得a=3，符合题意，综上所述：a的值为13或3．【解析】本题考查了函数的奇偶性、单调性，对指数函数的单调性的讨论要分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，属于中档题．(1)根据函数奇偶性的定义判断f(x)是奇函数，再由f(−2)=−f(2)即可求解；(2)讨论0<a<1和a>1时，函数f(x)在[−1,1]上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得a的值．22.【答案】解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意知对称轴x=−b2a=−1，∴b=2a，∵f(0)=−3，∴c=−3，∴f(x)=ax2+2ax−3，设f(x)=0的两根为x1，x2，则x1+x2=−2，x1x2=−3a，由已知：|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√4−4×(−3a)=4，解得a=1，∴f(x)=x2+2x−3．(2)(i)g(x)=f(x)+kx +5=x 2+(k +2)x +2，其对称轴为x =−k+22，∵g(x)为单调函数， ∴−k+22≤−1或−k+22≥2，解得k ≥0或k ≤−6，∴k 的取值范围是(−∞,−6]∪[0,+∞)．(ii)g(x)=x 2+(k +2)x +2，x ∈[−1,2]，对称轴x =−k+22，①当−k+22≤−1，即k ≥0时，g(x)在区间[−1,2]单调递增，∴ℎ(k)=g(x)min =g(−1)=1−k ， ②当−k+22≥2，即k ≤−6时，g(x)在区间[−1,2]单调递减，∴ℎ(k)=g(x)min =g(2)=2k +10， ③当−1<−k+22<2，即−6<k <0时，ℎ(k)=g(x)min =g(−k+22)=−k 2−4k+44，∴ℎ(k)={2k +10,k ≤−6−k 2−4k+44,−6<k <01−k,k ≥0，函数φ(t)=ℎ(t 2−4)−λ零点即为方程ℎ(t 2−4)=λ的根，令t 2−4=m ≥−4，即ℎ(m)=λ，作出ℎ(m)的简图，如图，①当λ=1时，ℎ(m)=1，m =−4或m =0，解得t =0或t =±2，有3个零点； ②当λ<1时，ℎ(m)=λ有唯一解m 1>0，解得t =±√4+m 1，有2个零点； ③当1<λ<2时，ℎ(m)=λ有两个不同解m 2，m 3∈(−4,−2)∪(−2,0)，解得t =±√4+m 2或t =±√4+m 3，有4个零点；④当λ=2时，ℎ(m)=2，m =−2，解得t =±√2，有2个零点； ⑤当λ>2时，ℎ(m)=λ无解，无零点．综上，当λ=2或λ<1时，有2个零点．=−1，f(0)=−3，列方程组，求出a，b，【解析】(1)根据二次函数的对称轴方程−b2ac，由此能求出y=f(x)；(2)(i)利用二次函数的性质，结合g(x)的区间单调性求出k的取值范围；(ii)讨论k≥0，k≤−6，−6<k<0，结合二次函数的性质求出最小值ℎ(k)的表达式，再令t2−4=m≥−4，并应用数形结合的方法研究ℎ(m)=λ的零点情况求出λ的取值范围；本题考查函数解析式、实数取值范围的求法，考查函数对称轴、函数值、零点等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

海南高一高中数学期末考试带答案解析

海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的斜率为，则的倾斜角的大小是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2.下列说法正确的是（）A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线3.直线的斜率为，，直线过点且与轴交于点，则点坐标为（）A．B．C．D．4.如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为（）A．B．C．D．5.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则6.长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．都不对7.已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，则（）①②③④A．以下四个图形都是正确的B．只有②④是正确的C．只有④是正确的D．只有①②是正确的8.如图长方体中，，，则二面角的大小为（）A．B．C．D．9.四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°10.．如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为( )A．2B．C．2D．411.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A．B．C．D．12.设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A．或B．C．D．或二、填空题1.如图，中，平面，此图形中有个直角三角形．2.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是直径为1的圆，这个几何体的体积为。

2023-2024学年海南省海口市高一上册期末考试数学试题(含解析)

2023-2024学年海南省海口市高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已知集合512A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2,1,0,1,2,4B =--，则A B = （）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,0,4-C ．{}0,1,2D ．{}0,1【正确答案】C【分析】根据集合交集的定义求解判断.【详解】因为512A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2,1,0,1,2,4B =--，根据交集的定义，可得{}0,1,2A B = .故选：C.2．()55πsin 6-=（）A ．12-B ．12C．D．2【正确答案】B【分析】根据诱导公式一可求出结果.【详解】()55πsin 6-=5πsin 10π6⎛⎫-+ ⎪⎝⎭5πsin 6=12=.故选：B3．已知函数331 ,0()log (1),0x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩，若()2f a =，则(1)f a +=（）A ．3log 2B ．3log 10C ．3log 5D ．1【正确答案】B【分析】由()2f a =即可求出8a =，则可求出(1)f a +的值.【详解】当a<0时，()312a f a =-=，无解，当0a ≥时，3()log (1)28f a a a =+=⇒=，所以3(1)(9)log 10f a f +==，故选：B.4．函数()()212log 23f x x x =--的单调递增区间为（）A ．(),1-∞-B ．(),1∞-C ．()1,+∞D ．()3,+∞【正确答案】A首先求出函数的定义域，再根据对数型复合函数的单调性即可求解.【详解】令223t x x =--，由2230t x x =-->，解得3x >，或1x <-，当1x <-时，函数223t x x =--单调递减，则()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-.故选：A.5．函数21()cos log 1xf x x x-=⋅+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A由条件判断函数为奇函数，且在()0,1为负数，从而得出结论.【详解】()12211()cos log cos log 11x x f x x x x x -+-⎛⎫-=-⋅=⋅ ⎪-+⎝⎭21cos log ()1x x f x x -=-⋅=-+,因此函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称排除,C D ；当()0,1x ∈时，cos 0x >，12loglog 1011x x x -⎛⎫=-< ⎪++⎝⎭，因此()0f x <.故选.A本题主要考查的是函数图像的应用，奇偶性的应用，根据奇偶函数的对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题.6．李明开发的经过t 天后，用户人数()500e ktA t =，其中k 为常数.已知发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（取lg 20.30=）A ．31B ．32C ．33D ．34【正确答案】D【分析】依题意知()102000A =，从而求得104e k =，再令()50000A t >，结合对数运算可求得结果.【详解】∵经过t 天后，用户人数()500e ktA t =，又∵发布经过10天后有2000名用户，∴102000500e k =，即104e k =，可得10lg 4lg e k =，∴lg 410lg e k =⋅①当用户超过50000名时有50000500e kt <，即100e kt <，可得lg100lg e kt <，∴2lg e kt <⋅②联立①和②可得lg 4102t >，即2lg 2102t>，故101033.3lg 20.3t >=≈，∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.故选：D.7．若()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[],t t -上单调递增，则实数t 的取值范围为（）A ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果.【详解】令πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ，所以ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z所以函数()f x 的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z又因为()f x 在[],t t -上单调递增，则[],t t -是πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 的一个子区间，当0k =时，即ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，若[],t t -是ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的子集，则π0,6t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选:D ．8．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若对任意[]0,1x t ∈-，均有()()2f x t f x -≥，则实数t 的最大值是（）A ．54B ．32C ．52D ．3【正确答案】B【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得2x t x -≥，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.【详解】因为[]0,1x t ∈-，所以10t ->，则1t >，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =，则由()()2f x t f x -≥得()()2f x t fx -≥，又因为()f x 在[0,)+∞上是增函数，所以2x t x -≥，两边平方化简得22320x tx t +-≤在[]0,1x t ∈-恒成立，令22()32g x x tx t =+-，则()max 0g x ≤，又因为()g x 开口向上，对称轴为03tx =-<，所以22()32g x x tx t =+-在[]0,1x t ∈-单调递增，则2max ()(1)4830g x g t t t =-=-+≤，解得1322≤≤t ，又因为1t >，所以312t <≤，所以t 的最大值为32.故选：B.二、多选题9．设,0a b c ><则下列不等式恒成立的是（）A ．22a b >B ．33a b >C ．ac bc <D ．22ac bc >【正确答案】BCD【分析】利用不等式的性质即可求解.【详解】对于A ，当0a b >>时，则22a b <，故A 不正确；对于B ，由a b >，则33a b >，故B 正确；对于C ，当,0a b c ><时，则ac bc <，故C 正确；对于D ，因为0c <，所以20c >，由a b >可得22ac bc >，故D 正确；故选：BCD10．下列不等式中成立的是（）A ．πsin1sin 3<B ．15π4πsinsin 75>C ．2πcoscos 23>D ．()cos 70sin18->︒︒【正确答案】AD【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.【详解】对A ，因为ππ0132<<<，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以πsin1sin 3<，故A 正确；对于B ，15ππsinsin 77=，4πππsin sin sin 557=>，故B 错误；对C ，因为π2π2π23<<<，cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以2πcos cos 23<，故C 错误；对于D ，()cos 70cos 70sin 20sin18-︒=︒=︒>︒，故D 正确.故选：AD.11．已知函数sin ()|tan |xf x x =，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图像关于(π,0)中心对称B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 的值域为(1,1)-【正确答案】AC【分析】根据函数解析式，结合三角函数的性质，分别判断各选项.【详解】sin ()|tan |x f x x =，函数定义域为π,Z 2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，sin(2π)sin (2π)()|tan(2π)||tan |x xf x f x x x ---===--，所以函数图像上的点(),()x f x 关于(π,0)的对称点()2π,()x f x --也在函数图像上，即()f x 的图像关于(π,0)中心对称，A 选项正确；()()sin πsin (π)()|tan π||tan |x xf x f x x x +-+==≠+，π不是()f x 的周期，B 选项错误；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin sin ()cos |tan |tan x x f x x x x ===--，所以()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 选项正确；当ππ2π,2π+2π+,2π+π22x k k k k ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 时，sin 0x >，sin sin ()cos |tan |tan x x f x x x x ===，有0()1<<f x ，当3π3π2π+π,2π+2π+,2π+2π22x k k k k ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，sin 0x <，sin sin ()cos |tan |tan x x f x x x x ==-=-，有1()0f x -<<，所以()f x 的值域为()()1,00,1-U ，D 选项错误.故选：AC12．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（）A ．若4log 7a =，0.51log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则b a c>>B ．函数2()ln(1)f x x x=+-在()0,∞+上只有一个零点，且该零点在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上C ．实数()1,0a ∈-是命题“x ∃∈R ，2210ax ax +-≥”为假命题的充分不必要条件D ．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()2112120x f x x f x x x -<-，且()39f =，则不等式()3f x x>的解集为()0,3【正确答案】ACD【分析】利用对数函数和指数函数的单调性判断A ，根据零点存在性定理及函数单调性判断B ，根据二次不等式的求解及充分必要条件判断C ，构造函数()()f xg x x=，根据函数单调性解不等式判断D.【详解】对于A ：若4log 7a =，0.51log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则44log 7log 41a =>=，0.52441log log 3log 9log 713b a ===>=>，又0.3110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以c<a<b ，故A 正确；对于B ，函数2()ln(1)f x x x=+-在()0,∞+上单调递增，且13ln 4022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)ln 220f =-<，故该零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上错误，故B 错误；对于C ，命题“x ∃∈R ，2210ax ax +-≥”为假命题，则“x ∀∈R ，2210ax ax +-<”为真命题，当0a =时，x ∀∈R ，10-<为真命题，当0a >时，x ∀∈R ，2210ax ax +-<为假命题，当a<0时，若10a -<<时，2(2)40a a ∆=+<，此时“x ∀∈R ，2210ax ax +-<”为真命题，当1a ≤-时，2(2)40a a ∆=+≥，此时“x ∀∈R ，2210ax ax +-<”为假命题，综上实数()1,0a ∈-是命题“x ∃∈R ，2210ax ax +-≥”为假命题的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()2112120x f x x f x x x -<-，不妨设120x x >>，则()()21120x f x x f x -<，即()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x=，()0,x ∈+∞，则()()12g x g x <，故()()f x g x x =单调递减，因为()39f =，所以(3)(3)33f g ==，由()()30f x x x >>变形为()3(3)(0)f x g x x>=>，即()()3g x g >，根据()()f x g x x=单调递减，所以03x <<，故D 选项正确.故选：ACD.三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()1,2P 是角α终边上一点，则2sin cos sin cos αααα-=+______.【正确答案】1【分析】根据三角函数的定义得到tan 2α=，再利用弦切互化将2sin cos sin cos αααα-+的分子和分母同时除以cos α得到2tan 1tan 1αα-+，即可求解.【详解】因为点()1,2P 是角α终边上一点，所以tan 2α=，所以2sin cos 2tan 11sin cos tan 1αααααα--==++，故1.14．某城市一圆形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该空地建设运动公园（图中阴影部分）.若ABC 是以B 为直角的等腰直角三角形，10AB =，则该公园的面积为________.【正确答案】25252π+【分析】利用扇形面积公式即可得到结果.【详解】由题可知圆心O 为AC 的中点，102AC =，连接OB ，该公园的面积()()2211255252252222OAB OBC S S S ππ=+=⨯+⨯⨯=+扇形故25252π+15．若函数()()cos 0f x x ωω=>相邻两条对称轴之间的距离为2，则()2f =______.【正确答案】1-【分析】根据相邻两条对称轴之间的距离为2计算得函数周期，从而可计算出ω值，即可得函数()πcos2f x x =，代值计算即可.【详解】由题意知，函数()cos (0)f x x ωω=>的周期为4，所以2π4ω=，则π2ω=，得()πcos 2f x x =，所以()2cos π1f ==-，故答案为.1-16．设a ∈R ，对于任意实数x ，记(){}2max 2,35f x x x ax a =--+-+，若方程()0f x =至少有3个根，则实数a 的最小值为______.【正确答案】10【分析】设2()35g x x ax a =-+-+，()2||h x x =-，分析可知函数()g x 至少有一个零点，可得出0∆≥，求出a 的取值范围，然后对实数a 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a 的不等式，综合可求得实数a 的取值范围.【详解】设2()35g x x ax a =-+-+，()2h x x =-，由20x -=可得2x =±.要使得函数()f x 至少有3个零点，则函数()g x 至少有一个零点，则24(35)0a a ∆=--≥，解得2a ≤或10a ≥.①当2a =时，()221g x x x =-+-，作出函数()g x 、()h x 的图象如图所示：()()h x g x >，()()2f x h x x ==-，此时函数()f x 只有两个零点，不满足题意；②当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1x 、2x （12x x <），要使得函数()f x 至少有3个零点，则22x ≤-，所以22(2)150ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=-≤⎩，解得a ∈∅；③当10a =时，()21025g x x x =-+-，作出函数()g x 、()h x的图象如图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，满足题意；④当10a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3x 、4x （34x x <），要使得函数()f x 至少有3个零点，则32x ≥，可得22(2)10ag a ⎧>⎪⎨⎪=-≤⎩，解得4a >，此时10a >.综上所述，实数a 的取值范围是10a ≥.故10.方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出()0f x =的解；(2)图象法：作出函数()f x 的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.四、解答题17．已知()()()()()πsin 2πcos πcos 2cos 2π3πcos πcos 2f ααααααα⎛⎫+⋅-⋅- ⎪⎝⎭=+-⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若()5f α=，求11sin cos αα+的值.【正确答案】(1)()sin cos f ααα=+(2)【分析】（1）利用诱导公式可化简()f α的表达式；（2）由已知可得出sin cos αα+=等式两边平方可得sin cos αα的值，进而可计算得出11sin cos αα+的值.【详解】（1）解.()()sin cos sin cos sin cos cos sin f ααααααααα⋅-⋅=+=+-⋅（2）解：因为()5f α=，所以sin cos 5αα+=，两边平方得()22sin cos 5αα+=，所以222sin cos 2sin cos 5αααα++⋅⋅=，所以212sin cos 5αα+⋅⋅=，所以3sin cos 10αα⋅=-，所以11cos sin 253sin cos sin cos 310αααααα++===-⋅-.18．已知函数2()(12)2f x x a x a =+--.(1)若()16f =，求函数()f x y x=在()1,x ∈+∞上的最小值；(2)求关于x 的不等式()0f x >的解集.【正确答案】(1)3(2)答案见解析【分析】(1)根据已知条件及基本不等式即可求解；(2)利用一元二次不等式的解法及对参数a 分类讨论即可求解.【详解】（1）由()16f =，得2(1)1(12)126f a a =+-⨯-=，解得1a =-，因为()1,x ∈+∞，所以2()32233f x x x y x x x x++===++≥，当且仅当2x x=，即x .所以当x ()f x y x=在()1,+∞上的最小值为3.（2）由()0f x >，得2(12)20x a x a +-->，即(2)(1)0x a x -+>，当12a =-时，不等式()210x +>，解得1x ≠-，不等式的解集为{}1x x ≠-；当12a -<即12a >-时，不等式的解集为{1x x <-或}2x a >；当12a ->即12a <-时，不等式的解集为{1x x >-或}2x a <；综上所述：12a =-时，不等式的解集为{}1x x ≠-；当12a >-时，不等式的解集为{1x x <-或}2x a >；当12a <-时，不等式的解集为{1x x >-或}2x a <.19．已知θ为锐角，且22cos cos 10θθ+-=.(1)求θ的值；(2)求函数()tan 2y x θ=+的定义域和单调区间.【正确答案】(1)π3(2)定义域为ππ|,212k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ；单调递增区间为ππ5ππ,212212k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无单调递减区间【分析】（1）根据条件解关于cos θ的一元二次方程，从而得到cos θ的值，结合θ为锐角，即可求解；（2）由（1）得到πtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正切函数的定义域和单调性，即可求解.【详解】（1）由22cos cos 10θθ+-=，得(2cos 1)(cos 1)0θθ-+=，得1cos 2θ=或cos 1θ=-，∵θ为锐角，∴1cos 2θ=，∴π3θ=.（2）由（1）得π3θ=，则tan(2)t πan 23y x x θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π32x k +≠+，得ππ212k x ≠+，k ∈Z .即函数的定义域为ππ|,212k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .再令ππππ2π232k x k -<+<+，k ∈Z ，解得π5211ππ2π22k k x -<<+，即函数的单调递增区间为ππ5ππ,212212k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无单调递减区间.20．函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值及对应x 的值．【正确答案】(1)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌(2)()f x 的最大值为2，π6x =，()f x 的最小值为－1，π6x =-【分析】（1）根据函数()f x 的最小正周期π可求得ω的值，从而可得到()f x 的解析式，再利用整体代入法求函数()f x 的单调递增区间，进而可求得函数()f x 在[]0,π上的单调增区间；（2）根据x 的取值范围可得到π26x +的取值范围，从而可求出()f x 的最大值和最小值及对应x 的值．【详解】（1）因为()f x 的最小正周期πT =，所以2π2T ω==，故π ()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π()262k x k k -+≤+≤+∈Z ，则ππππ()36k x k k -+≤≤+∈Z ，即()f x 的单调递增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，又[]0,πx ∈，所以函数()f x 在[]0,π上的单调增区间是π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌．（2）当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,663t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，所以当π2t =，即π6x =时，函数()f x 有最大值2，当π6t =-，即π6x =-时，函数()f x 有最小值－1，所以()f x 的最大值为2，这时π6x =，()f x 的最小值为－1，这时π6x =-．21．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y （单位：百万个）与培养时间x （单位：小时）的关系为：x234568y3.5 3.844.164.3 4.5根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：①2log y a x b =+，②2y x ax b =++，③2x a y b -=+.(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；(2)利用()4,4和()8,4.5这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.【正确答案】(1)2log y a x b =+;(2)62.【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由6y ≥即可求解.【详解】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，而2y x ax b =++在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，2x a y b -=+随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故选择函数2log y a x b =+.（2）由题意可得22log 424,log 83 4.5a b a b a b a b +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1,23a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以21log 32y x =+.令21log 362y x =+≥，解得64x ≥.故至少再经过62小时，细菌数列达到6百万个.22．已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2,026,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩.(1)①作出函数()f x 在[]10,10-上的图象；②若方程()f x a =恰有6个不相等的实根，求实数a 的取值范围；(2)设()()221log 12xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若1x ∀∈R ，[)21,x ∃∈+∞，使得()()123f x a g x +≥成立，求实数a 的最小值.【正确答案】(1)①图象见解析；②(1,4)；(2)16.【分析】（1）①先作出[0,10]上的图象，再利用偶函数的性质作出[10,0)-上的图象即可，②()f x a =恰有6个不相等的实根，等价于()y f x =与y a =有6个交点，然后结合图象可求得答案；（2）由题意可得()()min min 3f x a g x +≥，利用函数的单调性结合换元法求出()min g x ，再由（1）求出()min f x ，代入上式可求出实数a 的范围，从而可求出其最小值.【详解】（1）①当0x ≥时，()2,026,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨->⎪⎩.列表：x012345678910()f x 1243211234描点连线，图象如图，因为()f x 为偶函数，所以()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 在[]10,10-上的图象如图所示；②()f x a =恰有6个不相等的实根，等价于()y f x =与y a =有6个交点，由图象可知当14a <<时，有6个交点，所以实数a 的取值范围为(1,4)；（2）因为21t x =+在[1,)+∞上为增函数，2log y t =在(0,)+∞上为增函数，所以22log (1)y x =+在[1,)+∞上为增函数，因为12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1,)+∞上为增函数，所以()()221log 12xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[1,)+∞上为增函数，所以()()122min11(1)log 1122g x g ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭，由（1）可知()f x 在R 上的最小值为0，因为1x ∀∈R ，[)21,x ∃∈+∞，使得()()123f x a g x +≥成立，所以()()min min 3f x a g x +≥，所以1032a+≥，解得16a≥，所以实数a的最小值为1 6 .。

海南省海南中学高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年海南省海南中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．）1．如果角α的终边经过点，那么tanα的值是（）A．B．C．D．2．cos555°的值为（）A．B．C．D．3．化简的结果是（）A．B．C．D．4．sin20°cos110°+cos160°sin70°=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．以上均不正确5．已知三点A（﹣1，﹣1），B（1，x），C（2，5）共线，则x的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知一扇形的圆心角是60°，弧长是π，则这个扇形的面积是（）A．3πB． C．6πD．7．已知向量满足，则=（）A．B． C．D．8．已知α，β∈（0，），cosα=，cos（α+β）=﹣，则角β=（）A．B．C． D．9．已知，则的值是（）A．B．2 C．D．﹣210．两个粒子A，B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，粒子B相对粒子A的位移是，则在的投影是（）A．B．C．D．11．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A 的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]12．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．14．在△ABC中，BC=5，CA=8，∠C=60°，则=．15．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为．16．设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知，求的值．18．已知，是夹角为60°的单位向量，且，．（1）求；（2）求与的夹角．19．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．20．（Ⅰ）请默写两角和与差的余弦公式（C（α+β），C（α﹣β）），并用公式C（α﹣β）证明公式C（α+β）C（α+β）：cos（α+β）=；C（α﹣β）：cos（α﹣β）=．（Ⅱ）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式是：，如图，点A（1，0），P1（cosα，sinα），P2（cos （﹣β），sin（﹣β）），P（cos（α+β），sin（α+β）），请从这个图出发，推导出两））（注：不能用向量方法）．角和的余弦公式（C（α+β21．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．22．已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．2016-2017学年海南省海南中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．）1．如果角α的终边经过点，那么tanα的值是（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：角α的终边经过点，那么tanα===﹣，故选：B．2．cos555°的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式、和差公式、化简即可．【解答】解：cos555°=cos=cos195°=cos=cos150°cos45°﹣sin150°sin45°=．故选C3．化简的结果是（）A．B．C．D．【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】利用向量三角形法则、相反向量的定义即可得出．【解答】解：原式=++=，故选：A．4．sin20°cos110°+cos160°sin70°=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．以上均不正确【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式化简，然后利用两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：sin20°cos110°+cos160°sin70°=﹣sin20°sin20°﹣cos20°cos20°=﹣cos0°=﹣1．故选：A．5．已知三点A（﹣1，﹣1），B（1，x），C（2，5）共线，则x的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三点共线．【分析】三点A（﹣1，﹣1），B（1，x），C（2，5）共线，可得k AB=k AC，解出即可得出．【解答】解：∵三点A（﹣1，﹣1），B（1，x），C（2，5）共线，∴k AB=k AC，∴=，解得x=3．故选：C．6．已知一扇形的圆心角是60°，弧长是π，则这个扇形的面积是（）A．3πB． C．6πD．【考点】扇形面积公式．【分析】根据弧长公式l=变形，求出半径R，即可求出扇形的面积．【解答】解：∵l=，∴R==3，∴S==，故选B．7．已知向量满足，则=（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知的等式求出向量的数量积，然后通过求2再求模．【解答】解：因为向量满足，所以，则==；故选B8．已知α，β∈（0，），cosα=，cos（α+β）=﹣，则角β=（）A．B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由题意求出α+β的范围，由条件和平方关系分别求出sinα、sin（α+β），由角之间的关系和两角差的余弦函数求出cosβ，由β的范围和特殊角的三角函数值求出β．【解答】解：∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∵cosα=，∴sinα==，∵cos（α+β）=﹣，∴sin（α+β）==，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==∴β=，9．已知，则的值是（）A．B．2 C．D．﹣2【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据同角三角函数关系式即可求解．【解答】解：由，可得：sinx=﹣1，（cosx≠0）sin2x+cos2x=1，∴（﹣1）2+cos2x=1，得：cos2x﹣cosx=0，解得：cosx=．那么：=﹣2．故选D10．两个粒子A，B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，粒子B相对粒子A的位移是，则在的投影是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，结合向量的物理意义，计算可得粒子B相对粒子A的位移是=﹣，进而结合数量积的运算计算在的投影，即可得答案．【解答】解：根据题意，两个粒子A，B的位移分别为，则粒子B相对粒子A的位移是=﹣=（2，﹣7），在的投影为==﹣；11．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A 的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0，12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间．【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时，每秒钟旋转，在t∈[0，1]上，在[7，12]上，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．12．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将已知等式中的移到等式的一边，将等式平方求出；将利用向量的运算法则用，利用运算法则展开，求出值．【解答】解：∵∴∴=∵A，B，C在圆上∴OA=OB=OC=1∴∴==故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：14．在△ABC中，BC=5，CA=8，∠C=60°，则=﹣20．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，直接代入数量积公式求解．【解答】解：如图，∵BC=5，CA=8，∠C=60°，∴=．故答案为：﹣20．15．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为2．【考点】解三角形的实际应用．【分析】依题意可画出图象，可知AB=2，BC=4，∠ABC=120°，根据余弦定理求得AC．【解答】解：如图，根据题意可知AB=2，BC=4，∠ABC=120°由余弦定理可知AC2=22+42﹣2×2×4×cos120°=28∴AC=2故答案为216．设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．【解答】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知，求的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角和与差的正弦函数公式化简已知，两式相加减化简，进而利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵，∴sinαcosβ+cosαsinβ=，sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴两式相加，可得：sinαcosβ=，①两式相减，可得：cosαsinβ=﹣，②∴①÷②可得：=﹣1．18．已知，是夹角为60°的单位向量，且，．（1）求；（2）求与的夹角．【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由题意可得=（）•（）=﹣6++2，代入数据计算可得；（2）由模长公式可得||和||，由夹角公式可得．【解答】解：（1）∵，是夹角为θ=60°的单位向量，又∵，，∴=（）•（）=﹣6++2==；（2）由模长公式可得||====同理可得||===，设与的夹角为α，则cosα===﹣∴与的夹角为120019．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．【分析】（1）（方法一）由题设知，则．从而得：．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：由E是AC，BD的中点，易得D（1，4）从而得：BC=、AD=；（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，从而得：．或者由，，得：【解答】解：（1）（方法一）由题设知，则．所以．故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，从而5t=﹣11，所以．或者：，，20．（Ⅰ）请默写两角和与差的余弦公式（C（α+β），C（α﹣β）），并用公式C（α﹣β）证明公式C（α+β）C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；C（α﹣β）：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ．（Ⅱ）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式是：，如图，点A（1，0），P1（cosα，sinα），P2（cos （﹣β），sin（﹣β）），P（cos（α+β），sin（α+β）），请从这个图出发，推导出两角和的余弦公式（C（α+β））（注：不能用向量方法）．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）由α+β=α﹣（﹣β），利用诱导公式即可证明；（Ⅱ）由AP=P1P2及两点间的距离公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）两角和的余弦公式Cα为：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ．两角差的+β为：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ．余弦公式Cα﹣β证明：∵cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ，∴cos（α+β）=cos[α﹣（﹣β）]=cosαcos（﹣β）+sinαsin（﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，得证．故答案为：cosαcosβ﹣sinαsinβ，cosαcosβ+sinαsinβ．…（Ⅱ）由AP=P1P2及两点间的距离公式，得：[cos（α+β）﹣1]2+sin2（α+β）=[cos （﹣β）﹣cosα]2+[sin（﹣β）﹣sinα]2…展开并整理得：2﹣2cos（α+β）=2﹣2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ．…21．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0=cos（2x0+）可得答案．【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）=﹣=﹣．所以cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．22．已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式化简函数，结合函数的图象关于直线对称，且ω∈（0，1），即可求得函数f（x）的表达式；（Ⅱ）确定h（x）=2sin（2x﹣），关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，等价于2sint+k=0在t∈[﹣，]上有且只有一个实数解，由此可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵向量，，∴=（cos2ωx﹣sin2ωx，sinωx）•=cos2ωx+sin2ωx=2sin （2ωx+）∵函数图象关于直线对称，∴2sin（πω+）=±2∴πω+=kπ+（k∈Z），即ω=k+（k∈Z）∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=∴f（x）=2sin（x+）；（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin（2x﹣）的图象，令2x﹣=t，∵x∈，∴t∈[﹣，]∴关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，即2sint+k=0在上有且只有一个实数解，即y=2sint，t∈[﹣，]的图象与y=﹣k有且只有一个交点，∴﹣＜k≤或k=﹣2．2017年3月11日。

海南省2023-2024学年高一上学期期末考试数学含解析

2023-2024学年度第一学期期末考试高一数学试题（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}*{13},04A x xB x N x =-<<=∈<<∣∣，则A B = （）A.{03}xx <<∣ B.{14}x x -<<∣C.{}1,2 D.{}0,1,22.函数()x f x x =+的大致图象是（）A. B.C. D.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，则“角α与角β的终边关于x 轴对称”是“cos cos αβ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若25x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（）A.2.301B.2.322C.2.507D.2.6995.函数()1312⎛⎫=- ⎪⎝⎭xf x x 的零点一定位于下列的哪个区间（）A.()2,3 B.()1,2 C.()0,1 D.()1,0-6.设0.3log 2a =，3log 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b<< D.b a c<<7.函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为（）A.π3B.π6C.π12D.7π248.已知函数()222,2366,2x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()2f ，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,5 B.[)2,+∞ C.[)2,5 D.(],5-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列三角式中，值为1的是（）A .4sin15cos15︒︒B.222cossin 66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22tan 22.51tan 22.5-︒︒D.10.已知()0,πα∈，且1sin cos 5αα+=，则（）A.2απ<<π B.12sin cos 25αα=-C.7cos sin 5αα-=D.7cos sin 5αα-=-11.已知,A B 是函数()tan 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象与直线3y =的两个交点，则下列结论正确的是（）A.min ||3AB π=B.()f x 的定义域为33,2x x k k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z C.()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.()f x 的图象的对称中心为点,0,618k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z 12.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]2=．令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有（）A.(1.7)0.3f -=-B.(1)()f x f x +=C.()f x 的最大值为1，最小值为0D.()y f x =与1y x =-的图象有无数个交点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()2mf x m x =-是幂函数，则()2f =_________.14.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数()0αα>是___________.15.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，()01f =，请写出满足条件的一个()f x =______（答案不唯一）．16.已知2sin cos 20ββ-+=，()sin 2sin ααβ=+，则()tan αβ+=______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知(4,3)M 为角α终边上一点.（1）求sin α和tan α的值；（2）求πcos 2cos(π)2πsin(π)sin 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值.18.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22f x x x =+．（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并解不等式()()222320f x x f x -+-<．19.已知函数())2cos cos f x xx x m =++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数m 的值唯一确定，并求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的一条对称轴为π6x =．20.深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t 分钟后距离地面的高度为()H t米．（1）经过t 分钟后游客距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()()sin t H t A B ωϕ=++（其中0A >，0ω>，π2ϕ≤），求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？21.已知函数()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）请用五点作图法画出函数()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象；（先列表，后画图）（2）设()()23,0,3mF x f x x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当0m >时，试讨论函数()F x 零点情况.22.已知函数()()ln e exxf x -=+.（1）判断()f x 的奇偶性并求()f x 的单调区间；（2）设函数()()()1g x f ax f x =--（R a ∈），若()g x 有唯一零点，求a 的取值集合；（3）若对x ∀∈R ，不等式()()()22ee 21e120f x xx m m m -+-+⋅+++≥恒成立，求实数m 的取值范围.2023-2024学年度第一学期期末考试高一数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}*{13},04A x xB x N x =-<<=∈<<∣∣，则A B = （）A.{03}xx <<∣ B.{14}x x -<<∣C.{}1,2 D.{}0,1,2【答案】C 【解析】【分析】化简集合B ，结合交集运算可求.【详解】{}{}*041,2,3B x N x =∈<<=∣，{}13A x x =-<<∣，所以{}1,2A B = .故选：C2.函数()x f x x x=+的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】将函数()x f x x x=+转化为分段函数，再选择图象即可.【详解】()xf x x x =+1,01,0x x x x +>⎧=⎨-<⎩，结合图形可知C 适合题意.故选：C.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，则“角α与角β的终边关于x 轴对称”是“cos cos αβ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的性质，即可几何和充分必要条件的定义求解.【详解】由角α与角β的终边关于x 轴对称可得2π,Z k k αβ=-+∈,故cos cos αβ=，充分性成立，当cos cos αβ=时，2π,Z k k αβ=-+∈或2π,Z k k αβ=+∈，故不必要不成立，故选：A4.1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若25x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（）A.2.301B.2.322C.2.507D.2.699【答案】B 【解析】【分析】根据指对数互化公式得2log 5x =，再结合换底公式计算即可得答案.【详解】解：由指对数互化公式得2lg 51lg 210.3010log 5 2.322lg 2lg 20.3010x --===≈≈故选：B5.函数()1312⎛⎫=- ⎪⎝⎭xf x x 的零点一定位于下列的哪个区间（）A.()2,3 B.()1,2 C.()0,1 D.()1,0-【答案】C【解析】【分析】由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．【详解】因为函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,是连续单调函数，且()01310010,2f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭()113111110,22f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，∴函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点一定位于区间()0,1.故选:C ．6.设0.3log 2a =，3log 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得,,a b c 的取值范围，即可求解.【详解】由对数函数的性质，可得0.30.3log 2log 10a =<=，3330log 1log 2log 31=<<=，即3log 2(0,1)b =∈，又由指数函数的性质，可得0.30221c =>=，所以a b c <<.故选：A.7.函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为（）A.π3B.π6C.π12D.7π24【答案】C 【解析】【分析】根据函数的图象确定,ωϕ的值，可得函数解析式，根据图象的伸缩平移变换可得变换后的函数表达式，结合其性质即可求得答案.【详解】由图象可知函数()f x 的最小正周期为5ππ2π()π,266πT ω=--=∴==，又π112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于π02ϕ<<，故π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，得到πsin 443y x θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象，因为该图像图象关于原点对称，即πsin 443y x θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭为奇函数，故π4π,Z 3k k θ-+=∈，则π,Z 12π4k k θ=-∈，而0θ>，则θ的最小值为π12，故选：C8.已知函数()222,2366,2x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()2f ，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,5 B.[)2,+∞ C.[)2,5 D.(],5-∞【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式及对勾函数性质确定()f x 在(2,)+∞上的单调性和最值，结合二次函数性质及()f x 最小值列不等式组求参数范围.【详解】由2x >，则36()66126f x x a a a x =+-≥-=-，当且仅当6x =时等号成立，结合对勾函数性质，()f x 在(2,6)上递减，在(6,)+∞上递增，且(6)126f a =-，由222y x ax =--在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增，又()f x 的最小值为()2f ，故2a ≥且()2(6)241265f f a a a ≤⇒-≤-⇒≤，综上，25a ≤≤.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列三角式中，值为1的是（）A.4sin15cos15︒︒B.222cossin 66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22tan 22.51tan 22.5-︒︒D.【答案】ABC 【解析】【分析】对A 、B 、C 三个选项都套用2倍角公式计算即可，D 选项直接计算就可选出答案.【详解】A 选项,1=2sin 30=2=124sin15cos15︒︒︒⨯，故正确.B 选项，2212cos sin 2cos 216632=πππ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，故正确.C 选项，22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒=︒=-︒，故正确.D 1==≠，故错误故选：ABC10.已知()0,πα∈，且1sin cos 5αα+=，则（）A.2απ<<π B.12sin cos 25αα=-C.7cos sin 5αα-= D.7cos sin 5αα-=-【答案】ABD 【解析】【分析】AB 选项，1sin cos 5αα+=两边平方得到12sin cos 25αα=-，再结合()0,πα∈得到sin 0α>，cos 0α<，得到AB 正确；先求出cos sin αα-的平方，结合角的范围求出cos sin αα-的值.【详解】AB 选项，1sin cos 5αα+=两边平方得，221sin cos 2sin cos 25αααα++=，即112sin cos 25αα+=，所以12sin cos 25αα=-，B 正确，因为()0,πα∈，所以sin 0α>，故cos 0α<，所以2απ<<π，A 正确；CD 选项，()2222449cos sin sin cos 2sin cos 12525αααααα-=+-=+=，因为sin 0α>，cos 0α<，所以cos sin 0αα-<，故7cos sin 5αα-=-，C 错误，D 正确.故选：ABD11.已知,A B 是函数()tan 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象与直线3y =的两个交点，则下列结论正确的是（）A.min ||3AB π=B.()f x 的定义域为33,2x x k k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z C.()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.()f x 的图象的对称中心为点,0,618k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，根据()πtan 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期性判断即可；BD 选项利用整体代入的方法求定义域和对称中心即可；C 选项，利用代入检验法判断单调性.【详解】因为,A B 是函数()πtan 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与直线3y =的交点，所以AB 的最小值为函数()f x 的最小正周期，π3T =，所以min 3AB =π，故A 正确；令3,62x k k +≠+∈πππZ ，解得,93k x k ≠+∈ππZ ，所以()f x 的定义域为ππR ,Z 93k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，故B 错；因为π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πππ，因为函数tan y x =在π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以函数()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 错；令3,62k x k +=∈ππZ ，解得,186k x k =-+∈ππZ ，所以()f x 的对称中心为点,0186k ⎛⎫-+⎪⎝⎭ππ，Z k ∈，故D 正确.故选：AD.12.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]2=．令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有（）A.(1.7)0.3f -=-B.(1)()f x f x +=C.()f x 的最大值为1，最小值为0D.()y f x =与1y x =-的图象有无数个交点【答案】BD 【解析】【分析】对于A 选项，代入计算出( 1.7) 1.7[ 1.7]0.3f -=---=；B 选项，根据定义得到(1)[]()f x x x f x +=-=，B 正确；C 选项，由B 选项得到()f x 的周期为1，并得到当0x =时，(0)0f =，当01x <<时，()(0,1)f x x =∈，当1x =时，(1)0f =，得到最值；D 选项，画出()y f x =的图象，数形结合得到交点个数.【详解】对于A ，由题意得( 1.7) 1.7[ 1.7] 1.7(2)0.3f -=---=---=，故A 错误；对于B ，(1)(1)[1]1([]1)[]()f x x x x x x x f x +=+-+=+-+=-=，故B 正确；对于C ，由选项B 可知，()f x 是周期为1的周期函数，则当0x =时，(0)0[0]0f =-=，当01x <<时，()[]0(0,1)f x x x x x =-=-=∈，当1x =时，(1)1[1]110f =-=-=，综上，()f x 的值域为[0,1)，即()f x 的最小值为0，无最大值，故C 错误；对于D ，由选项C ，可知()0,0,010,1x f x x x x =⎧⎪=<<⎨⎪=⎩，且()f x 的周期为1，作出()y f x =与1y x =-的图象，如图所示，由图象可知()y f x =与1y x =-的图象有无数个交点，故D正确，故选：BD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()2mf x m x =-是幂函数，则()2f =_________.【答案】8【解析】【分析】根据幂函数的定义求出参数m ，得到函数解析式再求值即得.【详解】函数()(2)m f x m x =-是幂函数，∴3213()m m f x x -===，，，所以(2)8f =.故答案为：8.14.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数()0αα>是___________.【答案】1或4##4或1【解析】【分析】设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，根据扇形的周长、面积公式得到226122r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解即可.【详解】设扇形半径为r ，圆心角弧度数为()0αα>，由题意得226122r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得14r α=⎧⎨=⎩或21r α=⎧⎨=⎩，所以扇形的圆心角的弧度数()0αα>是1或4.故答案为：1或415.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，()01f =，请写出满足条件的一个()f x =______（答案不唯一）．【答案】1,cos x （答案不唯一）【解析】【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案.【详解】令0x =，则()()()()20f y f y f f y +-=，又(0)1f =，所以()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y -=，所以函数为偶函数，不妨取偶函数()1f x =，则()()()()112112f x y f x y f x f y ++-=+=⨯⨯=，也可取()cos f x x =，则cos()cos()2cos cos x y x y x y ++-=，满足题意.故答案为：1,cos x （答案不唯一）16.已知2sin cos 20ββ-+=，()sin 2sin ααβ=+，则()tan αβ+=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可【详解】由题意可知()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+-+⎣⎦()2sin αβ=+，即()()()sin cos 2cos sin αββαββ+-=+，由题意可知()cos 0,cos 20αββ+≠-≠，则()()sin sin sin 1cos cos 22sin 2αβββαβββ+===+-.故答案为：12【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理的配凑即可处理.本题已知β及α与αβ+的关系，所以构造()()sin sin ααββ=+-，利用整体思想凑出未知式计算即可.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知(4,3)M 为角α终边上一点.（1）求sin α和tan α的值；（2）求πcos 2cos(π)2πsin(π)sin 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）3sin 5α=，3tan 4α=（2）5【解析】【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得结果；（2）利用诱导公式化简为齐次式，结合3tan 4α=即可得结果.【小问1详解】由三角函数的定义可得3sin 5α==，3tan 4α=；【小问2详解】利用诱导公式化简πcos 2cos(π)sin 2cos 2πsin cos sin(π)sin 2αααααααα⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭32tan 2453tan 114αα--===--.18.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22f x x x =+．（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并解不等式()()222320f x x f x-+-<．【答案】18.()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩19.{|3x x <-或}1x >【解析】【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当0x >时，()22f x x x =+，可以求出当0x <时()f x 的表达式，从而即可进一步求解.（2）首先根据0x ≥时，()f x 单调递增，从而得到()f x 在R 上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解.【小问1详解】设0x <，则0x ->，当0x >时，()22f x x x =+，因为()()f x f x -=-，所以()22f x x x -=-，即()22f x x x =-+，又()()00f f -=-，所以()00f =，所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩；【小问2详解】0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-单调递增，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上是单调增函数，不等式()()222320f x x f x-+-<可化为()()()22223223f xx f x f x -<--=-，所以22223x x x -<-，即2230x x +->，解得3x <-或1x >.所以不等式的解集为{|3x x <-或}1x >.19.已知函数())2cos cos f x xx x m =++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数m 的值唯一确定，并求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的一条对称轴为π6x =．【答案】（1）π（2）条件选择见解析，答案见解析【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；（2）选①，利用函数()f x 的最大值求出m 的值，由π02x ≤≤求出π26x +的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；选②，根据函数()f x 的一个对称中心坐标求出m 的值，由π02x ≤≤求出π26x +的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；选③，根据函数()f x 的一条对称轴方程可知，m 不确定.【小问1详解】解：因为()2cos 2cos 2cos 21f x x x x m x x m =++=+++π2sin 216x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】解：选①，()max 2131f x m m =++=+=，解得2m =-，则()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π02x ≤≤时，ππ7π2666x +≤≤，故当π7π266x +=时，函数()f x 取得最小值，即()min 72sin 126πf x =-=-；选②，因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，则52sin 11012ππf m m ⎛⎫=++=+=⎪⎝⎭，解得1m =-，所以，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π02x ≤≤时，ππ7π2666x +≤≤，故当π7π266x +=时，函数()f x 取得最小值，即()min 7π2sin 16f x ==-；选③，因为函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的一条对称轴为直线π6x =，m 的值无法确定.综上所述，选①，函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-；选②，函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-；选③，m 的值不确定.20.深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t 分钟后距离地面的高度为()H t 米．（1）经过t 分钟后游客距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()()sin t H t A B ωϕ=++（其中0A >，0ω>，π2ϕ≤），求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？【答案】（1）()[]ππ55sin 65,0,30152H t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭（2）10分钟【解析】【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出,A B ，根据转一周的时间计算出ω，再结合初始位置计算出ϕ，由此可求()H t ；（2）化简()H t ，根据()92.5H t ≥，求解出t 的范围，由此可知结果.【小问1详解】由题意可知：摩天轮最高点距离地面120m ，最低点距离地面12011010m -=，所以12010B A B A +=⎧⎨-=⎩，所以5565A B =⎧⎨=⎩，又因为转一周大约需要30min ，所以2π2ππ3015T ω===，所以()π55sin 6515H t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又因为()55sin 65100H ϕ=+=，所以sin 1ϕ=-且π2ϕ≤，所以π2ϕ=-，所以()[]ππ55sin 65,0,30152H t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭；【小问2详解】因为()πππ55sin 6555cos 6515215t H t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，令π55cos6592.515t -+≥，则π1cos 152t ≤-，又因为[]π0,2π15t ∈，所以2ππ4π3153t ≤≤，所以1020t ≤≤，且201010-=分钟，故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有10分钟最佳视觉效果.21.已知函数()2sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）请用五点作图法画出函数()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象；（先列表，后画图）（2）设()()23,0,3mF x f x x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当0m >时，试讨论函数()F x 零点情况.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据五点作图法列表画图；（2）将()()3mF x f x =-的零点个数转化为()y f x =与3m y =交点个数，然后结合图象分析即可.【小问1详解】列表如下：33x π-3π-2ππ32π53πx9π518π49π1118π23π()f x 3-02-23-【小问2详解】令()0F x =，则()3mf x =，由0m >，则31m >，结合()f x 的图象研究()y f x =与3m y =公共点个数.（i ）13m <<，即102m <<，有4个公共点；（ii ）3m =，即12m =，有5个公共点；（iii 32m <<，即31log 22m <<，有4个公共点；（iv ）3log 2m =，有2个公共点；（v ）3log 2m >，无公共点.综上，①102m <<或31log 22m <<，有4个零点；②12m =，有5个零点；③3log 2m =，有2个零点；④3log 2m >，无零点.22.已知函数()()ln e e x x f x -=+.（1）判断()f x 的奇偶性并求()f x 的单调区间；（2）设函数()()()1g x f ax f x =--（R a ∈），若()g x 有唯一零点，求a 的取值集合；（3）若对x ∀∈R ，不等式()()()22e e 21e 120f x x x m m m -+-+⋅+++≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为偶函数，增区间为(0,)+∞，减区间为(],0-∞（2）{}1,1,0-（3）1m £【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性，利用单调性定义结合偶函数性质求解单调区间；（2）()g x 有唯一零点，即()()10f ax f x --=有唯一的解，可化为(||)(|1|)f ax f x =-，由偶函数可知|||1|ax x =-，化简计算可得结果；（3）设1e ex x t =+，不等式等价为2(21)(1)0t m t m m -+++≥恒成立，构造函数()2()(21)(1)()(1)h t t m t m m t m t m =-+++=--+，只需()min 0≥h t ，求解即可得出结果.【小问1详解】由题意可知()()ln e e x x f x -=+的定义域为R ，x ∀∈R ，则R x -∈，()()ln e e x x f x --=+，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数；任取210x x >>，则()()()()2222111121e e ln e e ln e e ln e e x x x x x x x x f x f x ----⎛⎫+-=+-+= ⎪+⎝⎭，因为()()2211212111e e e e e e e e x x x x x x x x --⎛⎫+-+=-+- ⎪⎝⎭()21211e e 1e x x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()212121e 1e e e x x x x x x ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当210x x >>时，21e e 0x x ->，2121e 10e x x x x ++->，2211e e e e 0x x x x --+>+>，所以2211e e 1e e x x x x --+>+，所以()()221121e e ln 0e e x x x xf x f x --⎛⎫+-=> ⎪+⎝⎭，所以()()ln e e x x f x -=+在(0,)+∞上单调递增，根据偶函数的性质知，()()ln e e x x f x -=+在(],0-∞上单调递减，所以()()ln e e x x f x -=+在(],0-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；【小问2详解】函数()()()1g x f ax f x =--的零点就是方程()()10f ax f x --=的解，因为()g x 有唯一零点，所以方程()()10f ax f x --=有唯一的解，因为函数()f x 为偶函数，所以方程变形为(||)(|1|)f ax f x =-，因为函数()f x 在(0,)+∞上的单调递增，所以|||1|ax x =-，平方化简得()221210a x x --+=，当210a -=时，1a =±，经检验方程有唯一解，当210a -≠时，()24410a ∆=--=，解得0a =，综上可知，a 的取值集合为{}1,1,0-.【小问3详解】设1e e x xt =+，则2t ≥，所以原命题等价于2t ≥时，不等式2(21)(1)0t m t m m -+++≥恒成立，令()2()(21)(1)()(1)h t t m t m m t m t m =-+++=--+，函数()h t 有两个零点m 和1m +，且开口向上，要使2t ≥时，不等式2(21)(1)0t m t m m -+++≥恒成立，则min h()0t ≥，所以12m +≤，即1m £.。

海南高一高中数学期末考试带答案解析

海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知向量，，若，则实数等于（）A．1B．－1C．－4D．42.下列函数中是奇函数,且最小正周期是的函数是（）A．B．C．D．3.在中，，设，则向量（）A．B．C．D．4.已知，，则＝（）A．－B．C．D．5.阅读下面的程序框图，输出结果s的值为（）A．B．C．D．6.已知，，的夹角为，如图，若，，为的中点，则为（）A．B．C．7D．187.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a,b∈{1,2,3,4,5,6}，若a=b或a=b-1，就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．8.若函数的最小正周期为，则它的图像的一个对称中心为（）A．B．C．D．9.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[-3，-2]上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则（）A．B．C．D．10.由函数的图像得到的图像，可将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位11.函数的图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与轴的交点，则的值为（）A．10B．8C．D．二、填空题1.如图为的图象的一段，其解析式．2.已知，，且，则点的坐标为．3.欧阳修《卖油翁）中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌漓沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为4 cm的圆，中间有边长为l cm的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油（设油滴整体落在铜钱上）．则油滴（设油滴是直径为0．2 cm的球）正好落入孔中（油滴整体落入孔中）的概率是．4.给出下列说法，其中说法正确的序号是．①小于的角是第Ⅰ象限角；②若是第Ⅰ象限角，则；③若，，则；④若，，、是方程的两个根，则的最小值是．三、解答题1.（本小题满分10分）已知、、是同一平面内的三个向量，其中,,（1）若，求；（2）若与共线，求的值．2.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）令g（x）="f" （x+）—1，当x∈[—，] 时，若存在g（x）＜a—2成立，求实数a的取值范围．3.（本小题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对［25,55］岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（2）从年龄段在［40,50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在［40,45）岁的概率．4.（本小题满分12分）已知函数＝2－－sin2+1（Ⅰ）求的单调递增区间；恒成立，求的取值范围．（Ⅱ）当时，若≥log25.（本小题满分12分）已知为的三个内角，向量与共线，且·．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求函数的值域．6.（本小题满分12分）已知向量（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．海南高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知向量，，若，则实数等于（）A．1B．－1C．－4D．4【答案】A【解析】因为，，所以,解得，【考点】向量垂直的充要条件。

2022-2023学年海南省重点名校数学高一上期末复习检测模拟试题含解析

【解析】原问题等价于函数 y f (x) 与 y a(x 3) 2 的图象至少有两个交点
【详解】解：关于 x 的方程 f (x) a(x 3) 2 在 (0, 5) 上至少有两个实数解，等价于函数 y f (x) 与 y a(x 3) 2
的图象至少有两个交点，
因为函数
f
x
满足
f
（1）求函数 f (x) 的表达式；（2）求函数 f (x) 的单调减区间；
（3）若 f ( ) 3 ，求 cos(2 ) 的值.
4
6
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解析】先求解析式，再判断即可
【详解】解：∵ f (x 2) f (x) ，所以 f (x) 周期为 2 的函数，
又∵ f (1) 3 ，∴ f (5) f (3 2 1) f (1) 3
故答案为：3 12、5
【解析】利用平移变换和反函数的定义得到 g(x) 的解析式，进而得解.
【详解】函数 f (x) 2x 的图象先向下平移 1 个单位长度得到 y 2x 1
作关于直线 y x 对称的图象，即 y 2x 1的反函数，则 x 2y 1
x 1 2y ， y log2 x 1 ，即 g(x) log2 x 1 ，
g(31) log2 32 log2 25 5
故答案为：5
【点睛】关键点点睛：本题考查图像的平移变换和反函数的应用，利用反函数的性质求出 g(x) 的解析式是解题的关键，
所以要使两个函数图象至少有两个交点，由图可知只需 0 a 4 2 ，即 0 a 2 ，
43 故选：C 5、B 【解析】根据直线平行，即可求解.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

海南中学2009—2010学年第一学期期末考试
高一数学试题
（1班用）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。

）
1、已知平面向量)1,1(=→
a ，)1,1(-=→
b ，则向量→
→-b a 2
321的坐标是（）
Ａ．(21)--， B ．(21)-，Ｃ．(10)-，
Ｄ．(1
2)-， 2、如果点)cos ,(tan θθP 位于第二象限，那么角θ所在象限是（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、函数x x y cos sin =的周期是（） A ．
1
2
π B ．π C ．2π D. 4π 4、如图0，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则O A B C A B ++
等于( )
A ．−→
−CD B ．−→
−OC C ．−→
−DA D ．−→
−CO
5、图1是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛
⎫
=+<
⎪⎝
⎭
的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116
ωϕ==-，Ｃ．π26ω
ϕ==
，Ｄ．π
26
ωϕ==-， 6、定义运算⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢
⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡156543021.已知πβα=+，2π
βα=
-，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （） A . ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-11 B . ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-10 C . 10⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D . 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
7、已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.[0,
6
π] B.[,]3ππ C.2[,
]33ππ D.[,]6π
π
C
图0
8、已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）（0,a ,),0(a 其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且=t (10≤≤t )，则·的最大值为（） A 、a B 、2a C 、3a D 、2
a
9、函数x x y cos sin -=的图象可以看成是由函数x x y cos sin +=的图象向右平移得
到的，则平移的最小长度为（） A 、
4
π
B 、
2
π C 、π
D 、
34
π 10、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2
110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =（）
（A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9
11、设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：
经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象。

下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（） A 、]24,0[,12
sin
312∈+=t t y π
B 、]24,0[,6
sin
312∈+=t t y π
C 、123sin(
),[0,24]122y t t ππ=++∈ D 、]24,0[),6
sin(312∈++=t t y ππ
12、定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0
()(1)(2),0
x x f x f x f x x -≤⎧=⎨
--->⎩，则(2
009)f 的值为
（）
（A ）1- (B) 0 (C) 1 (D) 2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13、已知0,2πθ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，则
212tan tan
θθ+的最小值等于________
14、
若实数,x y 满足20,4,5,x y x x +-≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
则s x y =+的最大值为 .
15、已知数列{}n a 的通项公式为()213n
n a n =-⋅，则其前n 项和n S =___________
16、
数列{}(0)n n b b >的首项为1，且前n 项和n s 满足)12n n s s n --=≥，
则数列{}n b 的通项公式为n b =_______________
三、解答题（本大题共有6道小题，共52分）
17、
（本小题满分8分）设→1e ,→
2e 是两个不共线的非零向量，
（1）如果12AB e e →
→
=+，1228BC e e →
→
=+，123()CD e e →
→
=-，证明：,,A B D 三点共线；（2）试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量→
→
+21e e k 与向量→
→
+21e k e 共线． 18、
（本小题满分8分）在ABC ∆
中，3,sin 2sin BC AC C A ===，
（1）求AB 的值；（2）求sin 24A π⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
的值。

19、
（本小题满分8分）已知数列{}n a 是一个等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且
7157,75S S ==。

（1）求{}n a 的通项n a ；（2）若n T 是数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和，求n T 的最小值。

20、（本小题满分8分）已知函数)12(cos )(2
π
+
=x x f ，x x g 2sin 2
1
1)(+=. （1）设0x x =是函数)(x f y =图像的一条对称轴，求)(0x g 的值；（2）求函数)()()(x g x f x h +=的单调递增区间.
21、
（本小题满分8分）已知⎪⎭⎫ ⎝⎛
=→
23sin ,23c o s θθa ，⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=→2sin ,2cos θθb ，且
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈3,0πθ
的最小值和最大值。

22、
（本小题满分12分）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>，数
列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. （1）若11
,23
p q =
=-，求3b ；（2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；
（3）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.。

海南省海南中学高一上学期期末考试(数学)重点班

2020-2021学年海南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

学年秋学期(上学期)海南省海南中学高一期末考试试卷 数学 Word版 含答案

2019-2020学年海南省海口市海南中学高一(上)期末数学试卷及答案

海南省海南中学高一上学期期末考试(数学).doc

【KS5U解析】海南省海南中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

海南高一上学期期末考试数学试题(解析版)

海南高一高中数学期末考试带答案解析

海南省海南中学2017-2018学年高一上学期期末考试 数学(精编含解析)

最新版高一数学上学期期末考试试题及答案(新人教A版 第86套)

2021-2022学年海南省海口中学高一(上)期末数学试卷(附详解)

海南高一高中数学期末考试带答案解析

2023-2024学年海南省海口市高一上册期末考试数学试题(含解析)

海南省海南中学高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

海南省2023-2024学年高一上学期期末考试 数学含解析

海南高一高中数学期末考试带答案解析

2022-2023学年海南省重点名校数学高一上期末复习检测模拟试题含解析

学年秋学期(上学期)海南省海南中学高一期末考试试卷数学 Word版含答案

海南省海南中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学(精编含解析)

最新版高一数学上学期期末考试试题及答案(新人教A版第86套)

海南省2023-2024学年高一上学期期末考试数学含解析