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2020年中考数学解三角形专题测试卷

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2020年中考数学三角形专题练习(含答案)

2020年中考数学三角形专题练习(含答案)

2020年中考数学三角形专题练习【名师精选全国真题，值得下载练习】一．选择题（每题3分，共30分）1．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边高的交点D．三边垂直平分线的交点2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．43．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°4．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°5．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）（1）a＝b，∠A＝45°（2）∠A＝32°，∠B＝58°，（3）a＝5，b＝12，c＝13，（4）a＝52，b＝122，c＝132，A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠P＝38°，则∠C的度数为（）A．36°B．39°C．38°D．40°7．如图是由11个等边三角形拼成的六边形，若最小等边三角形的边长为a，最大等边三角形的边长为b，则a与b的关系为（）A．b＝3a B．b＝5a C．b＝a D．b＝a8．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点E，BC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点F，连接BM，BN，若AC＝24，则△BMN的周长是（）A．36 B．24 C．18 D．169．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于G点，交AC于F点，且EG＝AE．分别延长CE，BG交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG则下列说法：①∠GDH ＝45°；②GD＝ED；③EF＝2DM；④CG＝2DE+AE，正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P 作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝P A；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二．填空题（每题3分，共30分）11．如图，△ABC为等边三角形，D、E分別是AC、BC上的点，且AD＝CE，AE与BD 相交于点P，BF⊥AE于点F．若PF＝4，PD＝1，则AE的长为．12．已知等腰△ABC中，顶角∠A为36°，BD平分∠ABC交AC于D，那么AD：AC ＝．13．如图，等边△ABC外一点P，连接AP、BP、CP，AH垂直平分PC于点H，∠BAP 的平分线交PC于点D，连接BD，有以下结论：①DP＝DB；②DA+DB＝DC；③DA ⊥BP；④若连接BH，当△BDH为等边三角形时，则CP＝3DP，其中正确的有．（只需要填写序号）14．已知点O是三角形ABC的重心，DE经过点O且平行于BC，则△ADE与四边形DBCE的面积比为．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB ＝5cm，AC＝3cm，BC＝4cm，则△DEB的周长为．16．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝2，△ABC平移的距离为．17．在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD＝6，那么AG＝．18．如图，在△ABC中，中线BD，CE相交于点O，若S△ABC＝4，则S△DOE＝．19．在△ABC中，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC＝，AB＝．20．如图，∠MAN是一个钢架结构，已知∠MAN＝15°，在角内部构造钢条BC，CD，DE，……且满足AB＝BC＝CD＝DE＝……则这样的钢条最多可以构造根．三．解答题（每题8分，共40分）21．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在边AC上，AE⊥BD于E．（1）如图1，作CF⊥BD于F，求证：CF﹣AE＝EF；（2）如图2，若BC＝CD，求证：BD＝2AE；（3）如图3，作BM⊥BE，且BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接CM交BE于N，请直接写出△BCM的面积为．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE．（2）若∠CDE＝25°，求∠A的度数．23．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC 于E，点F是AE的中点．（1）线段FD与线段FC的数量关系，位置关系；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转a（0°＜a＜90°），其它条件不变，线段FD 与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．24．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．求证：E是CD的中点．25．△ABC是等边三角形，BD是角平分线，过点D作DE⊥AB于E，交BC边的延长线于点F，AE＝2．（1）求证：△DCF是等腰三角形；（2）求BF的长．参考答案一．选择题1．解：∵支撑点应是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，故选：A．2．解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC＝＝8，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，S△ABD＝DE•AB＝AC•BD，即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，即点D到AB边的距离为3．故选：C．3．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°．∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝40°∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．故选：B．4．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．5．解：（1）∵a＝b，∠A＝45°，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）∵∠A＝32°，∠B＝58°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）a＝5，b＝12，c＝13，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形；（4）a＝52，b＝122，c＝132，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形．∴是直角三角形的有（1）（2）（3）．故选：C．6．解：∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠PDF，∠CBP＝∠PBA，∵∠A+∠ADP＝∠P+∠ABP，∠C+∠CBP＝∠P+∠PDF，∴∠A+∠C＝2∠P，∵∠A＝40°，∠P＝38°，∴∠C＝2×38°﹣40°＝36°，故选：A．7．解：设第二个小的等边三角形的边长为x，则第三个小的等边三角形的边长为：x+a，第四个小的等边三角形的边长为：x+2a，最大的个小的等边三角形的边长b＝x+3a，又∵b＝3x，∴3x＝x+3a，∴x＝a，∴b＝3x＝a，故选：D．8．解：∵直线ME为线段AB的垂直平分线，∴MA＝MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），又直线NF为线段BC的垂直平分线，∴NB＝NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴△BMN的周长＝BM+MN+BN＝AM+MN+NC＝AC＝24（等量代换），故选：B．9．解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∠A＝∠CBD＝45°，∵EH平分∠AEG，∴∠AEH＝∠GEH∵∠AEH+∠AEC＝180°，∠GEH+∠CEG＝180°，∴∠AEC＝∠CEG，∵AE＝GE，EC＝EC，∴△AEC≌△GEC（SAS），∴CA＝CG，∠A＝∠CGE＝45°，∵∠EDG＝90°，∴∠DEG＝∠DGE＝45°，∴DE＝DG，∠AEF＝∠DEG＝∠A＝45°，故②正确，∴∠AFE＝∠CFG＝90°，∴∠FCG＝∠FGC＝45°，∴CF＝FG，∵∠ADC＝∠GFC＝90°，∠ACD＝∠GCF，AC＝GC，∴△ADC≌△GFC（AAS），∴AD＝CF＝FG，∵AE＝EG，∴EF＝DE，∵DE＝DG，∠CDE＝∠BDG＝90°，DC＝DB，∴△EDC≌△GDB（SAS），∴∠ECD＝∠DBG，EC＝GB，∵∠DHC＝∠DHB，∠HCD＝∠HBD，HD＝HD，∴△HDC≌△HDB（AAS），∴HC＝HB，∴HE＝EG，∵∠DHE＝∠DHG，DH＝DH，∴△HDE≌△HDG（SAS），∴∠HDG＝∠HDE＝45°，故①正确，∴DE＝DM，EF＝DE≠2DM，故③错误，作ET∥AC交CD于T．∵∠DET＝∠A＝45°，∠DTE＝∠ACD＝45°，∴DE＝DT＝DG，∵DA＝DC，∴AE＝CT，∴CG＝CT+TG＝AE+2DG，故④正确，故选：B．10．解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，在△ABP和△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，P A＝PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH＝PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC．∴∠BAC＝∠C．在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）．∴∠ABD＝∠CAE，BD＝AE，∴∠APD＝∠ABP+∠P AB＝∠BAC＝60°．∴∠BPF＝∠APD＝60°．∵∠BFP＝90°，∠BPF＝60°，∴∠PBF＝30°．∴BP＝2PF＝8，∵PD＝1，∴BD＝BP+PD＝9，∴AE＝BD＝9．故答案为9．12．解：假设AB＝AC＝1，那么在△ACB和△BCD中，∠C＝∠C，∠A＝∠CBD＝36°，∴△ACB∽△BCD，∴AC：BC＝BC：DC，∴AC：BC＝BC：DC，而BC＝BD＝DA（等腰的性质）所以设AD＝x，那么CD＝1﹣x，1：x＝x：（1﹣x），所以舍负根，得到：x＝，∴AD：AC＝．13．解：①∵AH是PC的垂直平分线，∴P A＝AC＝AB，∵AD平分∠P AB，∴∠P AD＝∠BAD，在△P AD和△BAD中，，∴△P AD≌△BAD（SAS），∴DP＝DB；故①符合题意；②在CP上截取CQ＝PD，连接AQ，如图所示：∵AP＝AC，∴∠APD＝∠ACQ，在△APD和△ACQ中，，∴△APD≌△ACQ（SAS），∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠P AD，∴∠BAC＝∠CAQ+∠BAQ＝∠P AD+∠BAQ＝∠BAD+∠BAQ＝∠DAQ＝60°，∴△ADQ为等边三角形，∴DA＝DQ，∴DC＝DQ+CQ＝DA+DB，即DA+DB＝DC．故②符合题意；③∵AB＝AP，AD平分∠P AB，∴AD⊥PB，故③符合题意；④∵AH垂直平分PC，∴PH＝CH，∵△BDH为等边三角形，∴DB＝DH，∵PD＝DB，∴PD＝DH，∴PH＝2PD，∴CP＝4PD，故④不合题意，故答案为：①②③．14．解：连接AO并延长交BC于F，如图，∵点O是三角形ABC的重心，∴OA＝2OF，∴AO：AF＝2：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△ADE与四边形DBCE的面积比为4：5．故答案为4：5．15．解：∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE，在Rt△ADC和△ADE中，∴Rt△ADC≌△ADE（HL），∴AE＝AC＝3，∴BE＝AB＝5﹣3＝2，∴△DEB的周长＝BE+BD+DE＝BE+BD+CD＝BE+BC＝2+4＝6（cm）．故答案为6cm．16．解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥EG，∴△ABC∽△GEC，∴＝（）2＝，∴BC：EC＝：1，∵BC＝2，∴EC＝，∴△ABC平移的距离为：BE＝2﹣，故答案为2﹣．17．解：∵AD、BE为△ABC的中线，且AD与BE相交于点G，∴G点是三角形ABC的重心，∴AG＝＝＝4，故答案为4．18．解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝，∴△DOE∽△BOC，，∴S△DOE＝S△BDE＝S△ABD＝S△ABC＝＝，故答案为．19．解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，则4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28；②AC+CD＝40，AB+BD＝60，则4x+x＝40，x+y＝60，解得：x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC＝48，AB＝28．故答案为：48；28．20．解：∵BC＝AB，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠DBC＝∠BCA+∠A＝30°．同理，∠CDB＝∠DBC＝30°，∴∠DCE＝∠CDB+∠A＝45°，∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠FDE＝∠DEC+∠A＝60°，∠DFE＝∠FDE＝60°，∴∠FEM＝∠DFE+∠A＝90°．再作与AB相等的线段时，90°的角不能是底角，则最多能作出的线段是：BC、CD、DE、EF共有5条．故答案是：5．三．解答题（共5小题）21．（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∴CF﹣AE＝BE﹣BF＝EF；（2）证明：如图1，过点C作CF⊥BD于点F，∵BC＝CD，∴BF＝DF，由（1）得AE＝BF，∴AE＝DF，∴BD＝2AE；（3）解：如图2，过点C作CG⊥MB，交MB的延长线于点G，过点C作CH⊥BE，交BE于点H，∵BM⊥BE，CH⊥BE，CG⊥MB，∴∠NBG＝∠CHB＝∠CGB＝90°，∴四边形BGCH为矩形，∴BG＝HC，BH＝GC，由（1）得△AEB≌△BHC，∴AE＝BH，BE＝CH，∵BM＝BE，∴BM＝CH，∵∠MBN＝∠CHN＝90°，∠MNB＝∠CNH，∴△BMN≌△HCN（AAS），∴BM＝CH，BN＝HN，∵AE＝BH＝2，∴BN＝1，∴BE＝BM＝BN+EN＝1+4＝5，∴＝．故答案为：5．22．（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ECD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝CE．（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝25°，∴∠ACB＝2∠ECD＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°．23．解：（1）如图1中，∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，∴DF＝AF＝EF＝CF，∴∠F AD＝∠FDA，∠F AC＝∠FCA，∴∠DFE＝∠FDA+∠F AD＝2∠F AD，∠EFC＝∠F AC+∠FCA＝2∠F AC，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠F AD+∠F AC）＝90°，∴DF＝FC，DF⊥FC，故答案为：DF＝FC，DF⊥FC．（2）结论不变．理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．∵BC⊥AM，AC＝CM，∴BA＝BM，同法BE＝BN，∵∠ABM＝∠EBN＝90°，∴∠NBA＝∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，∵AF＝FE，AC＝CM，∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，∴FD＝FC，∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，∴∠BAN+∠AOH＝90°，∴∠AHO＝90°，∴AN⊥MH，FD⊥FC．（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．综上所述，≤BF≤3．24．证明：作EF⊥AB于点F，∵∠C＝∠D＝90°，E是CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC，∴EF＝ED，EF＝EC，∴ED＝EC，∴点E为CD的中点．25．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝AC，∵DE⊥AB于E，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，∴CD＝AD＝2AE＝4，∴∠CDF＝∠ADE＝30°，∴∠F＝∠ACB﹣∠CDF＝30°，∴∠CDF＝∠F，∴DC＝CF，∴△DCF是等腰三角形，（2）∵DC＝CF，∴BF＝BC+CF＝2AD+AD＝12。

2020年中考数学复习专题练：《三角形综合 》(含答案)

2020年中考数学复习专题练：《三角形综合 》(含答案)

2020年中考数学复习专题练：《三角形综合》1．如图：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝2，DC＝BC＝4．（1）求sin∠ADC的值．（2）E是四边形内一点，F是四边形外一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF 的形状．（等腰直角三角形）（3）在（2）的条件下，当BE：CE＝1：2，∠BEC＝135°时，求sin∠BFE的值．2．如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．（1）当∠BAM＝°时，AB＝2BM；（2）请添加一个条件：，使得△ABC为等边三角形；①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．3．综合与实践：操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．5．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x 轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB射线AC于点Q．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CQ的长为（用含t的代数式表示）（2）当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，求t的值．（3）设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．7．如图，在平面内给定△ABC，AB＝AC，点O到△ABC的三个顶点的距离均等于c（c为常数），到点O的距离等于c的所有点组成图形G，过点A作AB的垂线交BC于点E，交图形G于点D，延长DA，在DA的延长线上存在一点F，使得∠ABF＝∠ABC．（1）依题意补全图形；（2）判断直线BF与图形G交点的个数并证明；（3）若AD＝4，cos∠ABF＝，求DE的长．8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝8，AH⊥BC，垂足为H点，点D是射线AH上的动点，连接CD，以CD为边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）当点D在线段AH上时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（2）当△CDE的面积等于△ABC的面积的时，判断线段CE与△ABC的边是否存在特殊的位置关系？若存在，说出是什么关系并证明；若不存在，请说明理由．9．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为圆心以AM为半径作圆弧，以B为圆心以BN为半径作圆弧，两圆弧相交于点C构成△ABC，设AB＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）当∠CAB是锐角时，求△ABC的最大面积？10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，D是边AC上一点，且CD＝1cm．动点P从点D出发，以1cm/s的速度沿D→A向终点A匀速运动；同时动点Q从点B出发，以1m/s的速度沿B→C向终点C匀速运动，连结PQ，设点P的运动时间为ts，△CPQ的面积为Scm2（1）当PQ＝3时，求t的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）连结DQ，当直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分时，直接写出t的值，并写出此时S的值．11．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE 表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．12．如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）（1）当a＝2时，则C点的坐标为（，）；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）当a＝2时，在第一象限内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由13．平面直角坐标系中，若点A（a，b），且+＝0，点B（m，m），其中m＞1，R点在x轴正半轴上，RA⊥RB（1）求a、b的值；（2）连接AB交y轴于E，连接ER，若∠ARO＝15°，求的值；（3）点D（﹣1，0）、C（0，1），射线DC分别交线段AR、AB于点S、T，若SC＝n，CT ＝k，试用含n的式子表示k．14．在平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2），B（2，4）．（1）如图1，求△AOB的面积；（2）如图2，求AB与两坐标轴的交点C，D坐标；（3）在坐标轴上求作点P，使△ABP的面积为6，求P点坐标，利用图3解答．15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B在x的负半轴上，△AOB的面积为8，作△AOB关于y轴的对称图形，点B的对应点为C．（1）求线段OC的长；（2）点D从A点出发，沿线段AO向终点O运动，同时点E从点C出发，沿x轴的正方向运动，且CE＝AD，连接DE交AC于点G，判断DG和EG的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠CEG＝∠ABD时，求点G点坐标．16．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是BC上一点．（1）如图1，AD平分∠BAC，求证：AB＝AC+CD；（2）如图2，点E在线段AD上，且∠CED＝45°，∠BED＝30°，求证：BE＝2AE；（3）如图3，CD＝BD，过B点作BM⊥AD交AD的延长线于点M，连接CM，过C点作CN⊥CM交AD于N，求证：DN＝3DM．17．如图，在Rt△ABC中，＝nM为BC上的一点，连接BM．（1）如图1，若n＝1，①当M为AC的中点，当BM⊥CD于H，连接AH，求∠AHD的度数；②如图2，当H为CD的中点，∠AHD＝45°，求的值和∠CAH的度数；（2）如图3，CH⊥AM于H，连接CH并延长交AC于Q，M为AC中点，直接写出tan∠BHQ 的值（用含n的式子表示）．18．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE＝CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD＝CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC＝30°，且CF＝CP，求的值．（提示：可以过点A作∠KAF＝60°，AK交PC于点K，连接KB）19．在等边△ABC中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）如图1，若AE＝BF，以AC为边作等边△ACD，AF交CE于点O，连接OD．求证：①AF＝CE；②OD平分∠AOC；（2）如图2，若AE＝2CF，作∠BCP＝∠AEC，CP交AF的延长线于点P，求证：CE＝CP．20．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．参考答案1．解：（1）如图1，过点A作AM⊥DC于M，∵∠BCD＝90°，AM⊥CD，∴AM∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCM是平行四边形，且∠BCD＝90°，∴四边形ABCM是矩形，∴AM＝CB＝4，AB＝CM＝2，∴DM＝2，∴AD＝＝＝2，∴sin∠ADC＝＝＝；（2）△DEF是等腰直角三角形，理由如下：∵∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，BC＝CD，∴△CDE≌△CBF（SAS）∴∠DCE＝∠BCF，CE＝CF，∴∠DCE+∠ECB＝∠BCF+∠BCE，∴∠DCB＝∠ECF＝90°，且CE＝CF，∴△DEF是等腰直角三角形；（3）设BE＝k，则CE＝CF＝2k，∴EF＝2k，∵∠BEC＝135°，又∠CEF＝45°，∴∠BEF＝90°，∴BF＝＝＝3k，∴sin∠BFE＝．2．解：（1）当∠BAM＝30°时，∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB＝2BM；故答案为：30；（2）添加一个条件AB＝AC，可得△ABC为等边三角形；故答案为：AB＝AC；①如图1中，∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN；②成立，理由：如图2中，∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN．3．（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同法可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝EC＝2．4．解：（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH＝＝＝4，＝•BC•AH＝•AC•BM，∵S△ABC∴BM＝＝，∴AM＝＝＝，∴cos A＝＝．（2）设AH交CD于K．∵∠BAC＝2∠ACD，∠BAH＝∠CAH，∴∠CAK＝∠ACK，∴CK＝AK，设CK＝AK＝x，在Rt△CKH中，则有x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，∴AK＝CK＝，∵∠ADK＝∠ADC，∠DAK＝∠ACD，∴△ADK∽△CDA，∴＝＝＝＝，设AD＝m，DK＝n，则有，解得m＝，n＝．∴AD＝．（3）结论：AD：BE＝5：6值不变．理由：∵∠GBE＝∠ABC，∠BAC+2∠ABC＝180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠EBC＝∠BAC，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EBC＝∠EDC，∴D，B，E，C四点共圆，∴∠EDB＝∠ECB，∵∠EDB+∠EDC＝∠ACD+∠DAC，∠EDC＝∠DAC，∴∠EDB＝∠ACD，∴∠ECB＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝．5．解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），故答案为（﹣6，﹣2）；（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝4，∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，∴﹣4﹣m＝n+4，∴m+n＝﹣8．6．解：（1）在Rt△ABC中，tan A＝＝＝，由题意得，AP＝3t，在Rt△APQ中，tan A＝＝，∴PQ＝AP＝4t，根据勾股定理得，AQ＝＝＝5t．当0＜t≤时，如图1所示：CQ＝AC﹣AQ＝6﹣5t；当＜t≤时，如图2所示：CQ＝AQ﹣AC＝5t﹣6；故答案为：6﹣5t或5t﹣6；（2）∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ACB，∴＝＝，即＝，解得：t＝，即当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，t为秒．（3）分两种情况：①当0＜t≤时，如图1所示：△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积＝×3t×4t＝6t2；即S＝6t2（0＜t≤）；②当＜t≤时，如图2所示：由（1）得：PQ＝3t，PQ＝4t，AQ＝5t，同（2）得：△CDQ∽△PAQ，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝（5t﹣6），∴△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积﹣△CDQ的面积＝×3t×4t ﹣×（5t﹣6）×（5t﹣6）＝﹣t2+t﹣；即S＝﹣t2+t﹣（＜t≤）；（4）由（1）知，AQ＝5t，PQ＝4t，CQ＝6﹣5t或CQ＝5t﹣6，当CQ＝PQ时，四边形BCQP是轴对称图形，则4t＝6﹣5t，∴t＝；当＜t≤时，设PQ和BC相交于D，当AC＝AP时，四边形ACDP是轴对称图形，则6＝3t，∴t＝2．综上所述，当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，t的值为秒或2秒．7．解：（1）如图，作AB，AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O 为图形G；（2）直线BF与图形G交点只有一个，理由如下：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴BD是直径，∠ADB+∠ABD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∠ABF＝∠ABC，∴∠ABF＝∠ADB，∴∠ABF+∠ABD＝90°，∴∠DBF＝90°，∴BD⊥BF，且OB是半径，∴BF是圆O的切线，∴直线BF与图形G交点的只有一个；（3）∵cos∠ABF＝cos∠ADB＝＝，∴BD＝5，∴AB＝＝＝3，∵∠ABE＝∠ADB，∠BAE＝∠BAD＝90°，∴△ABE∽△ADB，∴，∴∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝．8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB＝8，AH⊥BC，∴BC＝AC＝AB＝8，BH＝HC＝4，∠HAC＝30°，∴AH＝HC＝4，∴DH＝4﹣x，∴DC2＝DH2+CH2＝（4﹣x）2+16∵△CDE是等边三角形，＝CD2＝[（4﹣x）2+16]＝x2﹣6x+16（0≤x≤4）∴y＝S△CDE（2）∵当△CDE的面积等于△ABC的面积的，∴x2﹣6x+16＝××64，∴x＝或，当x＝时，即AD＝，如图1，∴DH＝AH﹣AD＝，∵tan∠DCH＝＝＝，∴∠DCH＝30°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCH＝30°，∴∠ACE＝∠DCE+∠ACD＝90°，∴CE⊥AC；当x＝时，即AD＝，如图2，∴DH＝AD﹣AH＝，∵tan∠DCH＝＝＝，∴∠DCH＝30°，∴∠BCE＝∠DCH+∠DCE＝90°，∴CE⊥BC．9．解：（1）∵在△ABC中，AC＝1，AB＝x，BC＝3﹣x．，解得1＜x＜2；（2）①若AC为斜边，则1＝x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4＝0，无解，②若AB为斜边，则x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3﹣x）2＝1+x2，解得x＝，满足1＜x＜2，综上，x＝或；（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD＝h，△ABC的面积为S，则S＝xh，①若点D在线段AB上，则+＝x，∴（3﹣x）2﹣h2＝x2﹣2x+1﹣h2，即x＝3x﹣4，∴x2（1﹣h2）＝9x2﹣24x+16，即x2h2＝﹣8x2+24x﹣16．∴S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4＝﹣2（x﹣）2+（≤x＜2），当x＝时（满足≤x＜2），S2取最大值，从而S取最大值；②若点D在线段MA上，则﹣＝x，同理可，得S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4＝﹣2（x﹣）2+（1＜x≤），易知此时S＜，综合①②得，△ABC的最大面积为．10．解：（1）由题意PC＝1+t，CQ＝3﹣t，在Rt△PQC中，∵∠C＝90°，PQ＝3，PC＝1+t，CQ＝3﹣t，∴32＝（1+t）2+（3﹣t）2，解得t＝．∴PQ＝3时，t的值为．（2）S＝•PC•CQ＝•（1+t）（3﹣t）＝﹣t2+t+（0≤t≤3）．（3）∵直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分，∴CD＝2PD或PD＝2CD，∴1＝2t或t＝2，解得t＝或2，当t＝时，S＝﹣×++＝，当t＝2时，S＝﹣×4+2+＝，∴t＝s或2s时，直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分．11．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．12．解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：﹣2，3；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变；（3）存在，使△PAB与△ABC全等，如图2中，过C作CM⊥x轴于M，过P作PE⊥x轴于E则∠CMB＝∠PEB＝90°，∵△CAB≌△PAB，∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP，∴∠CBP＝90°，∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°，∴∠MCB＝∠PBE，在△CMB和△BEP中，，∴△CMB≌△BEP（AAS），∴PE＝BM，CM＝BE，∵C（﹣2，3），B（﹣1，0），∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2，即P的坐标是（2，1）．13．解：（1）∵+＝0，又∵≥0，≥0，∴a＝﹣1，b＝1．（2）如图1中，作AM⊥x轴于M，AH⊥y轴于H，在RM上取一点K，使得AK＝KR，连接AK，AO．∵A（﹣1，1），∴AM＝AH＝1，∵AK＝KR，∴∠KRA＝∠KAR＝15°，∴∠AKM＝∠KAR+∠KRA＝30°，∴AK＝KR＝2AM＝2，MK＝，∴MR＝2+，∴AR＝＝＝+，∵B（m，m），∴OB平分∠EOB，∵OA平分∠EOM，∴OA⊥OB，∴∠AOB＝∠ARB＝90°，∴A，O，R，B四点共圆，∴∠BAR＝∠BOR＝45°，∴△ABR是等腰直角三角形，∴AB＝AR＝2+2，∵AH∥MR，∴∠HAR＝∠ARM＝15°，∴∠EA＝30°，∴AE＝＝，∴＝＝．（3）如图，作SH⊥AD于H．由题意四边形ADOC是正方形，∴∠ACD＝45°＝∠CAT+∠ATC，∵∠CAT+∠SAC＝45°，∴∠SAC＝∠ATC，∵∠ASC＝∠TSA，∴△SAC∽△STA，∴＝，∴SA2＝SC•ST，∵CS＝n，CT＝k，CD＝，∴SH＝DH＝（﹣n），AH＝n，∴AS2＝AH2+HS2＝n2+（﹣n）2＝n（n+k），∴k＝（0＜n＜）．14．解：（1）如图1，过A作AC∥x轴，过B作BC⊥AC于C，BC交x轴于E，AC交y轴于D，∵A （﹣3，﹣2），B （2，4），∴△AOB 的面积＝S △ACB ﹣S △AOD ﹣S △BOE ﹣S 长方形ODCE ，＝﹣﹣﹣2×2，＝15﹣3﹣4﹣4，＝4；（2）设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），则，解得：，∴直线AB 的解析式为：y ＝x +，当x ＝0时，y ＝，∴C （0，），当y ＝0时，x +＝0，解得：x ＝﹣，∴D （，0）；（3）①当点P 在x 轴上时，∵△ABP 的面积为6，∴＝6，∴PD ＝2，如图3，点P 在x 轴的正半轴上，P （，0）；同理得当点P在x轴的负半轴上，P（﹣，0）；②当点P在y轴上时，＝6，∴CP＝，∴P（0，4）或（0，﹣）；综上，点P的坐标是（，0）或（，0）或（0，4）或（0，）．15．解：（1）如图1中，∵A（0，4），∴OA＝4，＝×OB×OA＝8，∵S△AOB∴OB＝4，∵△AOB与△AOC关于y轴对称，∴OC＝OB＝4．（2）如图2中，结论：DG＝GE．理由：作DH∥EC交AC于H．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠DAH＝∠ACO＝45°，∵DH∥OC，∴∠AHD＝∠ACO＝45°，∴∠DAH＝∠AHD，∴AD＝DH，∵AD＝EC，∴DH＝EC，∵∠DHG＝∠GCE，∠DGH＝∠CGE，∴△DGH≌△EGC（AAS），∴DG＝EG．（3）如图3中，连接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．设AD＝DH＝x，则AH＝x，HC＝4﹣x，∵HG＝CG，∴HG＝HC＝2﹣x，∵OA⊥BC，OB＝OC，∴AB＝AC，DB＝DC，∴∠ABC＝∠ACB，∠DBO＝∠DCO，∴∠ABD＝∠ACD，∵∠CEG＝∠ABD，∴∠ACD＝∠CEG，∵DH∥CE，∴∠HDG＝∠CEG＝∠DCH，∵∠DHG＝∠DHC，∴△DHG∽△CHD，∴＝，∴＝，解得x＝2，∴AH＝CH＝2，∴H（2，2），∵GH＝GC，∴G（3，1）．16．证明：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，∴△ADC≌△ADH（ASA），∴AC＝AH，DC＝DH，∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠HDB＝∠B＝45°，∴HD＝HB，∴BH＝CD，（2）如图2中，作BM⊥AD交AD的延长线于M，连接CM．∵∠ACB＝∠AMB＝90°，∴C，A，B，M四点共圆，∴∠AMC＝∠ABC＝45°，∵∠CEM＝45°，∴∠CEM＝∠CME，∴CE＝CM，∴∠ECM＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCM，∵CA＝CB，CE＝CM，∴△ACE≌△BCM（SAS），∴AE＝BM，∵在Rt∠EMB中，∠MEB＝30°，∵BE＝2BM＝2AE．（3）如图3中，作CH⊥MN于H．∵∠ACB＝∠AMB＝90°，∴C，A，B，M四点共圆，∵CN⊥CM，∴∠NCM＝90°∴∠CNM＝∠CMN，∴CN＝CM，∵CH⊥MN，∴HN＝HM．∵CD＝DB，∠CHD＝∠BMD＝90°，∠ADH＝∠BDM，∴△CHD≌△BMD（AAS），∴DH＝DM，∵HN＝HM，∴DN＝3DM．17．解：（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB＝90°，∴∠CHB＝∠K＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠ACK＝90°，∴∠CBH＝∠ACK，∵CB＝CA，∴△CHB≌△AKC（AAS），∴AK＝CH，∵∠CHM＝∠K＝90°，∴MH∥AK，∵AM＝BM，∴CH＝KH，∴AK＝KH，∵∠K＝90°，∴∠AHD＝45°．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AHD＝45°，∠AHD＝∠ACH+∠CAH，∴∠ACH+∠CAH＝∠CAH+∠DAH，∴∠DAH＝∠ACD，∵∠ADH＝∠CAD，∴△ADH∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝a，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴AM＝BM，∴CM＝AM＝BM，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，∵CM2＝DM2+CD2，∴x2+（x﹣a）2＝4a2，解得x＝a（负根已经舍弃）．∴BD＝AB﹣AD＝（+）a﹣a＝a，∴＝＝．∵△ADH∽△CDA，∴＝＝，设AH＝m，则AC＝m，AK＝KH＝m，∴tan∠ACK＝＝，∴∠ACH＝30°，∴∠CAH＝∠AHD﹣∠ACH＝45°﹣30°＝15°．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．∵CH⊥BM，BM＝＝＝•y，∴CH＝＝＝•y，∴HM＝＝•y，∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ，∴∠J＝∠CHM＝90°，∵∠AMJ＝∠CMH，AM＝CM，∴△AMJ≌△CMH（AAS），∴AJ＝CH＝•y，HM＝JM＝•y，∵∠BHQ＝∠AHJ，∴tan∠BHQ＝tan∠AHJ＝＝＝n．18．（1）解：如图1中．∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△EBC和△DCA中，，∴△EBC≌△DCA（SAS），∴∠BCE＝∠DAC，∵∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠DAC+∠ACE＝60°，∴∠AFE＝60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF＝90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH＝60°，∴∠FAH＝30°，∴AF＝2FH，∵△EBC≌△DCA，∴EC＝AD，∵AD＝AF+DF＝2FH+DF，∴2FH+DF＝EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF＝AF，连接AK、BK，∵∠AFK＝60°，AF＝KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF＝60°，∴∠KAB＝∠FAC，在△ABK和△AFC中，，∴△ABK≌△AFC（SAS），∴∠AKB＝∠AFC＝120°，∴∠BKE＝120°﹣60°＝60°，∵∠BPC＝30°，∴∠PBK＝30°，∴FP＝CK，∴PK＝CK，∵FP＝FK+PK∴FP＝AF+CF，∵CF＝CP，设CP＝9a，∵CF＝2a，∴FP＝7a，∴AF＝5a，∴＝＝．19．（1）证明：①如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝60°，∵AE＝BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝EC．②如图1中，∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝∠OCA+∠BAF＝∠BAC＝60°，又∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠AOE＝∠ADC，∵∠AOE+∠AOC＝180°，∴∠ADC+∠AOC＝180°，∴A，D，C，O四点共圆，∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°，∴∠AOD＝∠COD，∴OD平分∠AOC．（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．∵AE＝2CF，AM＝ME，∴AM＝CF，∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA，∴△ACM≌△CAF（SAS），∴∠ACM＝∠CAF，∵∠CME＝∠CAM+∠ACM＝60°+∠ACM，∠CFP＝∠ACF+∠CAF＝60°+∠CAF，∴∠CME＝∠CFP，∵EM＝CF，∠PCF＝∠CEM，∴△CME≌△PFC（ASA），∴CE＝PC．20．解：（1）结论：AD＝2PD．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠EDC＝120°，∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°，∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BP＝PE，∴DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∵DE＝DC，DE＝DB，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．。

2020年中考数学三轮复习专项练习：《三角形》(含答案)

2020年中考数学三轮复习专项练习：《三角形》(含答案)

备战2020中考数学三轮复习专项练习：《三角形》1．如图，▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，F 是AE 上一点，∠FBE ＝45°，FC ⊥CD 于点C ． （1）若AB ＝2，BF ＝2，求△ABF 的面积；（2）如图2，连接AC ，求证：AF +BC ＝AC ．2．如图，点A 的坐标为（﹣6，6），AB ⊥x 轴，垂足为B ，AC ⊥y 轴，垂足为C ，点D ，E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，∠DAE ＝45°．（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求△DOE 的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设△ADE 的面积为S 1，△DOE 的面积为S 2，请猜想S 1与S 2之间的等量关系，并证明你的猜想．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是．4．点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在Rt△ABD外侧，以BD 为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．6．已知△ABC是等边三角形，点D为平面内一点，连接DB、DC，∠BDC＝120°．（1）如图①，当点D在BC下方时，连接AD，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．①求证：△ABD≌△ACE；②如图②，过点A作AF⊥DE于点F，直接写出线段AF、BD、DC间的数量关系；（2）若AB＝2，DC＝6，直接写出点A到直线BD的距离．7．如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为°．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O，M分别是Rt△ABC的内心和外心，连接OA，OB，OM．（1）求∠AOB的度数；（2）延长AC至点D，使AD＝AB，连接BD，求证：AO⊥BD；（3）在（2）中，延长BC至点E，使BE＝AB，连接DE，找出DE与OM之间的等量关系，并证明这个结论．9．若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做好玩三角形．（1）在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝3，求证：△ABC是好玩三角形．（2）一个等腰三角形的腰长为m，底边长为n，当这个等腰三角形为好玩三角形时，求的值．（3）如图1，△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形，点A，B都在直线DE上，连结AC，BC．若∠A+∠B＝45°，求证：线段AD，DE，BE三条线段组成的三角形是好玩三角形．（4）如图2，在Rt△ABC中，点D，E，F，G都在线段AB上，以DE，EF，FG为边分别向上作正方形，H，K，M，N分别落在Rt△ABC的边上．以DE，EF，FG为三边长恰好能组成好玩三角形，直接写出的值．10．如图，△ABC是等边三角形，过AB边上点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使ED＝CG，连接AE，CD．（1）求证：AE＝DC；（2）过E作EF∥DC，交BC于点F，求证：∠AEF＝∠ACB．11．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE＝x．（1）当x＝1时，求△DEF的面积；（2）如果点D关于EF的对称点为D′，点D′恰好落在边AC上时，求x的值；（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．12．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D．（1）点E、F分别在DA、DC的延长线上，且AE＝CF，连接BE、AF，猜想线段BE和AF 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，连接EF，将△DEF绕点D顺时针旋转角α（0°＜α＜90°），连接AE、CE，若四边形ABCE恰为平行四边形，求DA与DE的数量关系；（3）如图3，连接EF，将△DEF绕点D逆时针旋转，当点A落在线段EF上时，设DE与AB交于点G，若AE：AF＝3：4，求的值．13．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF＝AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．15．已知△ABC，AB＝AC，BD是∠ABC的角平分线，EF是BD的中垂线，且分别交BC于点E，交AB于点F，交BD于点K，连接DE，DF．（1）证明：DE∥AB．（2）若CD＝3，求四边形BEDF的周长．16．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．17．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，D为BC边的中点，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D顺时针旋转，它的两边分别交AB、AC于点E、F．（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）求四边形AEDF的面积；（3）如图2，连接EF，设BE＝x，求△DEF的面积S与x之间的函数关系式．18．如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3，BC＝2，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB＝EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．参考答案1．解：（1）∵AE⊥BC，∠FBE＝45°，∴∠FEB＝∠BFE＝45°，∴BE＝EF，∵BE2+EF2＝BF2＝4，∴BE＝EF＝，∴AE＝＝＝3，∴AF＝AE﹣EF＝2，∴△ABF的面积＝×AF×BE＝2；（2）∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵FC⊥CD，∴∠FCD＝90°，∴∠ABC+∠FCE＝90°，∵AE⊥BC，∴∠ABC+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ECF，又∵BE＝EF，∠AEB＝∠CEF＝90°，∴△ABE≌△CFE（AAS），∴AE＝CE，∴AC＝AE，∵AF+BC＝AF+BE+EC＝AF+EF+AE＝2AE，∴AF+BC＝AC．2．解：（1）∵点A的坐标为（﹣6，6），AB⊥x轴，AC⊥y轴，∴AB＝AC＝OC＝OB＝6，如图1，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴BF＝CE，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠CAE＝45°，∴∠BAD+∠BAF＝45°＝∠DAF＝∠DAE，又∵AF＝AE，AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（SAS），∴DE＝DF，∴△DOE的周长＝DE+OD+OE＝BD+CE+OD+OE＝OB+OC＝12；＝18+，（2）猜想：S1理由如下：如图2，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴BF＝CE，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠CAD+∠CAE＝45°，∴∠CAD+∠BAF＝45°＝∠DAF＝∠DAE，又∵AF＝AE，AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（SAS），∴DE＝DF，设BF＝CE＝x，OD＝y，则OE＝6+x，DF＝6﹣x+y＝DE，∵DE2＝OE2+OD2，∴（6﹣x+y）2＝（6+x）2+y2，∴xy＝6y﹣12x，＝×OD×OE＝×（6+x）y＝6y﹣6x，∴S2＝DF×AB＝×（6﹣x+y）×6＝18+，∵S1＝18+．∴S13．（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）解：∵：△BCE≌△CAD，BE＝5，DE＝7，∴BE＝DC＝5，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC＝13，∴△ACD的周长为：5+12+13＝30，故答案为：30．4．解：（1）①如图1，过点D作DF⊥AC于F，则∠DFC＝90°，∵△ADC是AC为斜边作等腰Rt△ADC，∴AC＝2DF，在Rt△DFB中，∠DBA＝30°，∴BD＝2DF，∴AC＝BD；②∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵∠DBA＝30°，∴∠CDB＝∠ACD﹣∠DBA＝15°，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝45°，∴∠CDE＝∠CDB+∠BDE＝60°，在Rt△ADC中，AC＝DC，在Rt△BDE中，BD＝BE＝DE，由①知，AC＝BD，∴BE＝CD＝ED，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE，∴EC＝EB；（2）如图2，过点D作DG⊥BD交BE的延长线于G，连接CG，∴∠BDG＝90°＝∠ADC，∴∠ADB＝∠CDG，∵△BED是以BD为斜边作等腰Rt△BED，∴∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴∠DGE＝90°﹣∠DBE＝45°＝∠DBE，∴BD＝GD，∵AD＝CD，∴△ADB≌△CDG（ASA），∴∠DCG＝∠DAB，∵∠ACD＝45°，∴∠BCG＝∠ACG＝90°，在Rt△BDG中，DB＝DG，∠BED＝90°，∴EG＝EB，∴BE＝BE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）．5．解：（1）AD2+BD2＝CD2，理由：如图1，过AD为边在AD上侧作等边三角形ADE，连接BE，则AD＝DE＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠BDE＝∠DBA+∠ADE＝90°，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD2+DE2＝BE2，∴BD2+AD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴AD2+BD2＝CD2；（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE，DE，∴∠ADE＝45°，∵∠BDA＝45°，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵DE2＝2AD2，∴2AD2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴2AD2+BD2＝CD2；（3）如图3，将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE，BE，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝90°﹣α，∵∠ADB＝α，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴DE2+BD2＝CD2，过点A作AF⊥DE于F，则DE＝2DF，∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝α，在Rt△ADF中，sin∠DAF＝，∴DF＝AD•sin∠DAF＝AD•sin，∴DE＝2DF＝2AD•sin，即：（2AD•sin）2+BD2＝CD2．6．证明：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵∠ABD+∠BDC+∠ACD+∠BAC＝360°，∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ACE＝∠ABD，又∵AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；②∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝ED，∵AF⊥DE，AD＝AE，∴DF＝DE＝AD，∠DAF＝30°，∴AF＝DF＝AD，∵DE＝CD+CE＝CD+BD，∴AF＝AD＝（CD+BD）；（2）如图②，若点D在BC下方时，∵△ABD≌△ACE，∴点A到直线BD的距离＝点A到直线CE的距离，设DF＝x，则AF＝x，∵AC2＝AF2+CF2，∴52＝3x2+（6﹣x）2，∴x1＝4，x2＝﹣1（舍去），∴AF＝4，如图3，若点D在BC上方时，过点C作CH⊥BD交BD延长线于H，过点D作DF⊥BC于F，过点A作AN⊥BD，交BD的延长线于N，∵∠BDC＝120°，∴∠CDH＝60°，∵CH⊥BD，∴∠DCH＝30°，CD＝6，∴DH＝3，CH＝DH＝3，∵BH＝＝＝5，∴BD＝BH﹣DH＝2，∵S△BDC＝BD×CH＝×BC×DF，∴2×3＝2×DF，∴DF＝，∵∠BDC＝120°，∴∠DBC+∠DCB＝60°，又∵∠ABD+∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠DCB，∴sin∠ABD＝sin∠DCB＝，∴，∴AN＝，综上所述：点A到直线BD的距离为4或．7．解：（1）补全图形如图1所示；（2）由旋转知，∠DAE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵BE是△ABC的外角的平分线，∴∠ABM＝（180°﹣60°）＝60°＝∠C，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE；（3）①如图2，连接AF，∵点F是点B关于AD的对称点，∴∠BAD＝∠FAD，AF＝AB，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，则∠FAD＝α，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠FAD＝60°﹣2α，∴∠ACF＝（180°﹣∠CAF）＝60°+α，由（2）知，∠BAE＝∠CAD＝60°﹣α，∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝60°﹣α+60°＝120°﹣α，∴∠ACF+∠CAE＝60°+α+120°﹣α＝180°，∴AE∥CF；②如图2，连接BF，设∠BAD＝α，∵点F是点B关于AD的对称点，∴AD⊥BF，垂足记作点G，则∠AGB＝90°，∴∠ABG＝90°﹣α，∵∠ABC＝60°，∴∠CBG＝30°﹣α，连接DF，则BD＝DF，∴∠CDF＝2∠CBG＝60°﹣2α，由（2）知，△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BE+CF＝AB，∴CD+CF＝BC＝BD+CD，∴BD＝CF，∴DF＝CF，∴∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，由①知，∠ACF＝60°+α，∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝α，∴60°﹣2α＝α，∴α＝20°，即∠BAD＝20°，故答案为：20．8．（1）解：∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OAB+∠OBA＝∠CAB+∠CBA＝45°，∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝135°．（2）证明：如图1中，∵点O是△ABC的内心，∴OA平分∠BAD，∵AD＝AB，∴AO⊥BD（等腰三角形三线合一）．（3）解：结论：DE＝2OM．理由：如图2中，连接OE，OD，延长OM到K，使得MK＝OM，连接AK，BK．∵BE＝BA，∠OBE＝∠OBA，BO＝BO，∴△OBE≌△OBA（SAS），∴OA＝OE，∠BOE＝∠BOA＝135°，∴∠AOE＝90°，同法可证∠DOB＝90°，OD＝OB，∵AM＝MB，OM＝MK，∴四边形AOBK是平行四边形，∴AK＝OB＝OD，AK∥OB，∴∠KAO+∠AOB＝180°，∵∠AOB+∠EOD＝180°，∴∠KAO＝∠EOD，∵OA＝OE，AK＝OD，∴△OAK≌△EOD（SAS），∴OK＝ED，∴OK＝2OM，∴DE＝2OM．9．（1）证明：∵AB＝1，BC＝，AC＝3，∴BC2＝（）2＝6，AB•AC＝1×3＝3，∴BC2＝2AB•AC，∴△ABC是好玩三角形；（2）解：∵等腰三角形为好玩三角形，∴m2＝2mn或n2＝2m•n＝2m2，∴＝2或＝；（3）证明：∵△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠A+∠ACD＝45°，∵∠A+∠B＝45°，∴∠ACD＝∠B，∵∠CDE＝∠DEC＝45°，∴CD＝CE，∠ADC＝∠CEB＝135°，∴△ADC∽△CEB，∴，在Rt△CDE中，CD＝CE，∴DE2＝2CD2，∴CD•CE＝AD•BE，∴CD2＝AD•BE，∴DE2＝2AD•BE，∴线段AD，DE，BE三条线段组成的三角形是好玩三角形；（4）设DE＝a，EF＝b，FG＝c，∵四边形DEPH是正方形，∴∠ADH＝∠AEK＝90°，DH＝DE＝a，在Rt△ADH中，AD＝＝①，同理：AE＝②，BG＝c•tan A③，BF＝b•tan A④，②﹣①得，AE﹣AD＝＝a⑤，④﹣③得，BF﹣BG＝（b﹣c）tan A＝c⑥，⑤×⑥得，（b﹣a）（b﹣c）＝ac，∴b2﹣bc﹣ab+ac＝ac⑦，∵以DE，EF，FG为三边长恰好能组成好玩三角形，∴（b）2＝2ac，∴b2＝8ac⑧，将⑧代入⑦得，8ac﹣bc﹣ab+ac＝ac，∴8ac＝b（a+c）⑨，由⑧得，b＝2，将b＝2代入⑨中，得8ac＝2（a+c），∴a2﹣6ac+c2＝0，∴a＝＝（3±2）c，∴＝3±2，即＝3±2．10．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠AGD＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝DG，∠ADE＝∠DGC＝120°，在△ADE和△DGC中，∴△ADE≌△DGC（SAS），∴AE＝CD；（2）∵△ADE≌△DGC，∵∠AED＝∠DCG，∵EF∥CD，∴∠FEG＝∠CDG，∵DG∥BC，∴∠CDG＝∠DCB，∴∠FEG＝∠DCB，∴∠AEF＝∠ACB．11．解：（1）如图1，过E作EM⊥AB于M，当x＝1时，CE＝1，AE＝4﹣1＝3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，sin∠A＝＝，∴，∴EM＝，∵EF∥AB，∴，即，∴EF＝x＝，∴△DEF的面积＝•EM＝＝；（2）如图2，过E作EN⊥AB于N，连接DD'，交EF于Q，∵点D关于EF的对称点为D′，∴DD'⊥EF，QD＝DD'，∴∠EQD'＝90°，∵EF∥AB，∴∠ADQ＝∠EQD'＝90°，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝，tan∠A＝，∴DD'＝＝，∴QD＝，∵EF∥AB，EN⊥AB，QD⊥AB，∴∠END＝∠NDQ＝∠EQD＝90°，∴四边形ENDQ是矩形，∴EN＝QD＝，Rt△AEN中，sin∠A＝，∴，AE＝4﹣x，∴x＝；（3）如图3，连接AF，交ED于G，Rt△CEF中，∠ECF＝90°，tan∠CEF＝tan∠CAB＝，∴，CF＝x，∴EF＝x，∴AF＝＝＝，∵EF∥AB，∴，即＝，∴，∴AG＝，∵⊙A与⊙F相交于点E、H，且H在ED上，∴AF⊥DE，∴∠AGE＝90°，∴∠AGE＝∠ACF＝90°，∵∠EAG＝∠FAC，∴△AEG∽△AFC，∴，即AG•AF＝AC•AE，∴＝4（4﹣x），解得：x1＝0（舍），x2＝．12．解：（1）BE＝AF，BE⊥AF，理由如下：延长FA交BE于H，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ACD＝45°，AB＝AC，∴∠BAE＝∠ACF＝135°，又∵AB＝AC，AE＝CF，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠EBA＝∠FAC，∵∠BAF＝∠ABE+∠BHA＝∠BAC+∠CAF，∴∠BAC＝∠BHA＝90°，∴BE⊥AF；（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BC，∵四边形ABCE恰为平行四边形，∴AE＝BC＝2AD，AE∥BC，∴∠EAD＝∠ADB＝90°，∴DE＝＝＝AD；（3）如图3，连接BE，过点E作EH⊥AB于H，DN⊥AB于N，由图1可得：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，AD⊥CD，又∵AE＝CF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DFE＝∠DEF＝45°由图3可得：∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠ADF＝∠BDE，又∵AD＝BD，DE＝DF，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴BE＝AF，∠DFE＝∠BED＝45°，∴∠AEB＝90°，∵AE：AF＝3：4，∴设AE＝3a，AF＝BE＝4a，∴AB＝＝＝5a，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，DN⊥AB，∴DN＝BN＝AN＝a，＝AE×BE＝AB×EH，∵S△ABE∴EH＝＝a，∴AH＝＝a，∵∠BED＝∠AED＝45°，∴，∴BG＝，AG＝，∴GH＝a，GN＝a，∴EG＝＝a，DG＝＝a，∴＝＝．13．解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，∵∠ABC＝60°，OB＝4∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝2，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴OE＝OF＝2，∵S△ABC ＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝×2×AB+×2×AC+×2×BC＝AB+BC+AC，又∵△ABC的周长为16，∴S△ABC＝16．14．解：（1）AE+AF＝AG，理由如下：如图，过点G作HG⊥AG交AB延长线于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC，∴∠DAB＝∠DAC＝45°，∴∠AHG＝∠BAD＝45°，∴AG＝HG，∴AH＝AG，∵∠EGF＝∠AGH＝90°，∴∠AGF＝∠EGH，又∵∠AHG＝∠FAG＝45°，∴△AGF≌△HGE（ASA），∴AF＝BH，∴AH＝AE+BH＝AE+AF＝AG；（2）如图，将△ABG绕点A顺时针旋转60°得到△AB'G'，连接GG'，B'C，过点B'作B'N ⊥AC，交CA的延长线于点N，∴AB＝AB'＝6，AG＝A'G，∠BAB'＝60°，∠GAG'＝60°，BG＝B'G，∴△AGG'是等边三角形，∴AG＝GG'，∴AG+BG+CG＝GG'+B'G+CG，∴当点B'，点G'，点G，点C共线时，AG+BG+CG的值最小，最小值为B'C的长，∵∠B'AC＝∠B'AB+∠BAC＝60°+90°＝150°，∴∠B'AN＝30°，∴B'N＝3，AN＝B'N＝3，∴CN＝6+3，∴B'C＝＝＝3+3，∴AG+BG+CG的最小值为3+3．15．解：（1）∵∠ABD＝∠BDE，∴DE∥AB，∴∠EBD＝∠BDE，∵∠BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE∥AB．（2）∵∠ABD＝∠BDE，∴BF∥FD，∴∠ABD＝∠FDB，∵∠BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FDB＝∠CBD，∴DF∥BC，∵DE∥AB，∴四边形BEDF是菱形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC＝∠DEC，∴CD＝DE＝3，∴四边形BEDF的周长为4×3＝12．16．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．17．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC＝BD，∵∠ADE+∠ADF＝90°，∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵△ADE≌△CDF，∴四边形AEDF的面积＝S△ADC ＝S△ABC，∵S△ABC＝AB•AC＝，∴四边形AEDF的面积＝；（3）解：∵BE＝x，∴AE＝AB﹣BE＝3﹣x，∵△ADE≌△CDF，∴FC＝AE＝3﹣x，∴AF＝AC﹣FC＝x，∴△DEF的面积S＝四边形AEDF的面积﹣△AEF的面积＝﹣×x×（3﹣x）＝x2﹣x+（0＜x≤3）．18．解：（1）过点E作EH⊥BD于H，∵点E在BD的中垂线上，∴EB＝ED＝3，∵EH⊥BD，∴BH＝HD，∵等边△ABC中，BC＝2，∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝2，∴∠AEH＝30°，∴EH＝AH＝（2+BH）＝6+BH，AE＝2AH＝2（2+BH），∵BE2＝EH2+BH2，∴90＝36+3BH2+12BH+BH2，∴BH＝（负值舍去），∴CE＝AE﹣AC＝2+2BH＝9﹣；（2）延长CA到H，使∠AHD＝∠DEF，∴DH＝DE＝BE，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠DFE＝∠DCH，∴△DFE≌△DCH（AAS），∴EF＝CH，∵∠CAB＝∠ABC＝60°＝∠ACB，∴∠CBD＝∠AED+∠ADE＝120°＝∠EBD+∠CBE，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠CBE＝∠AED＝∠AHD，又∵∠BCE＝∠HAD＝120°，DH＝BE，∴△HAD≌△BCE（AAS），∴BC＝AH，∵EF＝CH＝AH+AC，∴AB＝EF；（3）如图3，过点D作DP⊥AE于P，∵CD＝DF，DP⊥AE，∴CP＝PF，∵∠A＝60°，DP⊥AE，∴∠ADP＝30°，∴AD＝2AP，DP＝AP，∵∠AED＝45°，DP⊥AE，∴∠AED＝∠EDP＝45°，∴DE＝DP，∵AD＝2AP，DP＝PE＝AP，∴AP＝（AB+BD）＝EF+BD，DP＝AP＝EF+BD，∴DE＝DP＝EF+BD．。

2020年中考数学一轮复习三角形有关概念及全等三角形测试题含答案

2020年中考数学一轮复习三角形有关概念及全等三角形测试题含答案

2020年中考数学一轮复习三角形有关概念及全等三角形测试题一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、下列命题中，假命题．．．是( ) A ．对顶角相等 B ．三角形两边和小于第三边 C ．菱形的四条边都相等 D ．多边形的内角和等于360° 2、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cm D ．13cm ，12cm ，20cm3、如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A 等于( ) A.30° B．35° C.40° D．50°4、如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△CDB 的是（ ） A ．∠A＝∠C B ．AB ＝DC C ．∠A DB ＝∠DBC D．AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ） A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°6～A 、如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点， 且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ D ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5°6～B 、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对mn第3题图21CBAD第4题第5题二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= . 8、如图，在ΔABC 中，∠B=67°，∠C ＝33°，AD 是ΔABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为9、如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE∥DF， 请从图中找出一对全等三角形： ．10、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的 直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上， 则∠1的度数为11、如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= ．12～A 、已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的 一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为12～B 、如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=___ __° 三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C 的度数.14、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，求∠EBC 的度数.CABDBFDE AC15、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．16、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．17、如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．19、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．五、本大题2小题，第小题9分，共18分 21、问题引入：(1)如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ ___ _(用α表示)；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__ ____(用α表示)．如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)．类比研究：(2)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．22、如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互OCBA② ABCO①O C B AED③不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DE F 的形状.六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A 、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE⊥AC 于点E ，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：ABCE D m（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFC m根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． （2）特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD ． （3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）23～B 、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状． 答： ．测试题答案一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、下列命题中，假命题．．．是( D ) A ．对顶角相等 B ．三角形两边和小于第三边 C ．菱形的四条边都相等 D ．多边形的内角和等于360° 2、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ D ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cm D ．13cm ，12cm ，20cm3、如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A 等于( C ) A.30° B．35° C.40° D．50°4、如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△CDB 的是（ D ） A ．∠A＝∠C B ．AB ＝DC C ．∠A DB ＝∠DBC D．AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ A ） A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°mn第3题图21CBAD第4题第5题6～A 、如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点， 且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ D ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5°6～B 、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ C ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= 3cm . 8、如图，在ΔABC 中，∠B=67°，∠C ＝33°，AD 是ΔABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为 40°9、如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE∥DF， 请从图中找出一对全等三角形： △ADF≌△BEC ． 10、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的 直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上， 则∠1的度数为 75°11、如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= 2 ．12～A 、已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的 一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为 10或1112～B 、如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=___66.5___° 三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C 的度数.解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°， ∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CABDBFDE AC∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°14、如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，求∠EBC 的度数.解：在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°得：∠ABC=∠C=72°.由AB的垂直平分线交AC得AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=72°-36°=36°.15、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．16、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．证明：由BE＝CF可得BC＝EF，又AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE．17、如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中，，∴△EFD≌△BCA（SAS）．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE，∵∠DCE=90°，∴∠1=45°，∵∠3=45°，∴∠1=∠3，∴AB∥CF；（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．19、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．五、本大题2小题，第小题9分，共18分21、问题引入：(1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝___ _(用α表示)；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__ ____(用α表示)．如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)．类比研究：(2)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．解：(1)第一个空填：90°＋2α；第二个空填：90°＋3α．第三个空填：120°－3α．(2) 答案：120°－3α．过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－ 1n (∠DBC＋∠ECB)＝180°－1n (180°＋∠A)＝n−1n·180°－αn ．22、如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DE F 的形状. OCBA② ABCO①O C B AED③ABCE Dm（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFC m证明：(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m ∴∠B DA ＝∠CEA=90° ∵∠BAC＝90°∴∠BA D+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠AB D=90°∴∠CAE=∠AB D又AB=AC ∴△A DB ≌△CEA ∴AE =BD ，AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE (2)∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°— ∴∠DBA=∠CAE∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC ∴△A DB ≌△CEA ∴AE=BD，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE （3）由（2）知，△A DB ≌△CEA ， BD=AE ，∠DBA =∠CAE∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ∴∠DBF=∠FAE ∵B F=AF ∴△DBF ≌△EAF ∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF 为等边三角形.六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A 、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE⊥AC 于点E ，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：ααα根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． （2）特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD ． （3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程） （1）证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°， 在△BPO 和△PDE 中∴△BPO≌△PDE（AAS ）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP 平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4， 在△ABP 和△CPD 中∴△ABP≌△CPD（AAS ），∴AP=CD．（3）CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．23～B 、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答： ．解：●操作发现：①②③④●数学思考：答：MD=ME ，MD ⊥ME ， １、MD=ME ；如图2，分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，MF ，MG ，EG ， ∵M 是BC 的中点， ∴MF ∥AC ，MF=21AC ． 又∵EG 是等腰Rt △AEC 斜边上的中线， ∴EG ⊥AC 且EG=21AC ，∴MF=EG ． 同理可证DF=MG ． ∵MF ∥AC ，∴∠MFA ＋∠BAC=180°．同理可得∠MGA+∠BAC=180°， ∴∠MFA=∠MGA ．又∵EG ⊥AC ，∴∠EGA=90°． 同理可得∠DFA=90°，∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA ，即∠DFM=∠MEG ，又MF=EG ，DF=MG ， ∴△DFM ≌△MGE （SAS ）， ∴MD=ME ． 2、MD ⊥ME ；∵MG ∥AB ，∴∠MFA+∠FMG=180°，又∵△DFM ≌△MGE ，∴∠MEG=∠MDF.∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°， 其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，∴∠DME=90°.即MD ⊥ME ； ●类比探究答：等腰直角三解形。

全国2020年中考数学试题精选50题图形的初步认识与三角形含解析

全国2020年中考数学试题精选50题图形的初步认识与三角形含解析

2020年全国中考数学试题精选50题：图形的初步认识与三角形一、单选题1.（2020·玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（）A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形2.（2020·玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A. 一种B. 两种 C. 三种 D. 四种3.（2020·玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示.求证：DE∥BC，且DE＝BC.证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD.即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC.则正确的证明顺序应是（）A. ②→③→①→④B. ②→①→③→④C . ①→③→④→② D. ①→③→②→④4.（2020·河池）如图，在中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则CE的长是（）A. 5B. 6C. 4D. 55.（2020·河池）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（）A. B. C.D.6.（2020·河池）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（）A. B.C.D.7.（2020·河池）如图，AB是O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=FE=2，DC=1，则AC的长是（）A. B.C.D.8.（2020·铁岭）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°9.（2020·铁岭）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接轴，则的值为（）A. B.3 C. 4D.10.（2020·盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺.根据题意，可列方程为（）A. B. C.D.11.（2020·盘锦）如图，在中，，，以为直径的⊙O交于点，点为线段上的一点，，连接并延长交的延长线于点，连接交⊙O于点，若，则的长是（）A. B.C.D.12.（2020·锦州）如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E.于点F.若菱形的周长为20，面积为24，则的值为（）A. 4B.C.6 D.13.（2020·锦州）如图，在中，，，平分，则的度数是（）A. B.C.D.14.（2020·丹东）如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（）A. 4B.C. 2D.15.（2020·丹东）如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为（）C. 125°D. 135°16.（2020·朝阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（）A. -12B. -42 C. 42D. -2117.（2020·朝阳）如图，四边形是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（）A. 1B.C. 2D. 无法确定18.（2020·雅安）如图，内接于圆，，过点C的切线交的延长线于点．则（）A. B.C.D.19.（2020·雅安）如图，在中，，若，则的长为（）C.D.20.（2020·绵阳）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（）A. B. C.D.21.（2020·绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（）A. 16°B. 28°C. 44°D. 45°22.（2020·绵阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（）A. 1B. 2C. 3D. 423.（2020·眉山）如图，四边形的外接圆为⊙O，，，，则的度数为（）A. B.C.D.24.（2020·眉山）一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（）A. B. C.D.25.（2020·凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（）A. B.C.D.26.（2020·凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（）A. 10cmB. 8cmC. 8cm或10cm D. 2cm或4cm27.（2020·淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A. AC＝DEB. ∠BAD＝∠CAE C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED28.（2020·淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A. 12B.24 C. 36 D. 48 29.（2020·淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A. 36B.48 C.49 D. 64 30.（2020·淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A. 30°B.35° C. 40°D. 45°二、填空题31.（2020·徐州）在中，若，，则的面积的最大值为________.32.（2020·徐州）如图，在中，，，.若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于________.33.（2020·徐州）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则________.34.（2020·徐州）如图，，在上截取.过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于________.35.（2020·河池）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是________.36.（2020·铁岭）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是________.37.（2020·铁岭）如图，在中，，以为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为________.38.（2020·铁岭）一张菱形纸片的边长为，高等于边长的一半，将菱形纸片沿直线折叠，使点与点重合，直线交直线于点，则的长为________ .39.（2020·盘锦）如图，直线，的顶点和分别落在直线和上，若，，则的度数是________.40.（2020·盘锦）如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为________.三、综合题41.（2020·徐州）如图，，，. ，与交于点.（1）求证：；（2）求的度数.42.（2020·玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝AB.（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2.当AB＝2时，求AH的长.43.（2020·玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长.44.（2020·河池）如图（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2.求证：.（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由.45.（2020·铁岭）在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接.（1）如图1，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由.（3）若，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长.46.（2020·铁岭）如图，四边形内接于是直径，，连接，过点的直线与的延长线相交于点，且.（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长.47.（2020·盘锦）如图，是的直径，是的弦，交于点，连接，过点作，垂足为，.（1）求证：；（2）点在的延长线上，连接.①求证：与相切；②当时，直接写出的长.48.（2020·盘锦）如图，两点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点.（1）直接写出点的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点在反比例函数的图象上，当的面积为3时，求点的坐标.49.（2020·锦州）已知和都是等腰直角三角形，.（1）如图1：连，求证：；（2）若将绕点O顺时针旋转，①如图2，当点N恰好在边上时，求证：；②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长.50.（2020·阜新）如图，正方形和正方形（其中），的延长线与直线交于点H.（1）如图1，当点G在上时，求证：，；（2）将正方形绕点C旋转一周.①如图2，当点E在直线右侧时，求证：；②当时，若，，请直接写出线段的长答案解析部分一、单选题1.【答案】 C【解析】【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，∴∠DCA＝∠EAC＝35°，∵AE∥BF，∴CD∥BF，∴∠BCD＝∠CBF＝55°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，∴△ABC是直角三角形.故答案为：C.【分析】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA＝∠EAC＝35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD＝∠CBF＝55°，进而得△ABC是直角三角形.2.【答案】 B【解析】【解答】解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，当长60cm的木条与100cm的一边对应，则，解得：x＝45，y＝72；当长60cm的木条与120cm的一边对应，则，解得：x＝37.5，y＝50.答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段. 故答案为：B.【分析】分类讨论：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），易得长60cm的木条不能与75cm的一边对应，所以当长60cm的木条与100cm的一边对应时有；当长60cm的木条与120cm的一边对应时有，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值.3.【答案】 A【解析】【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF AD.即CF BD，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF BC，∴DE∥BC，且DE＝BC.∴正确的证明顺序是②→③→①→④，故答案为：A.【分析】证出四边形ADCF是平行四边形，得出CF AD.即CF BD，则四边形DBCF是平行四边形，得出DF BC，即可得出结论.4.【答案】 C【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠BEC=∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE=5，∴AD=5，∵EA=3，ED=4，在△AED中，，即，∴∠AED=90°，∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°，在Rt△EDC中，.故答案为：C.【分析】利用平行四边形的性质，可证得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，再利用角平分线的定义及平行线的性质可以推出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边，就可求出BC的长，即可得到AD的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ADE是直角三角形，由此可证△DEC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长。

中考数学专卷2020届中考数学总复习(20)三角形-精练精析(1)及答案解析

中考数学专卷2020届中考数学总复习(20)三角形-精练精析(1)及答案解析

图形的——三角形1一．选择题（共9小题）1．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4 B．10π﹣4 C．10π﹣8 D．﹣83．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种4．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°5．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C 的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）7．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为何？（）A．110 B．125 C．130 D．1558．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．59．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70° B．80° C．40° D．30°二．填空题（共8小题）10．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为_________ （只需填一个整数）11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为_________ 度．12．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________ 度．13．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是_________ °．14．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= _________ ．15．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为_________ ．16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，BE=CF，请添加一个条件_________ ，使△ABC≌△DEF．17．如图，已知△ABC中， AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是_________ ．（只填一个即可）三．解答题（共7小题）18．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．19．如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．21．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．22．如图，在△ABC和△AB D中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．图形的——三角形参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B． C．D．考点：三角形三边关系．分析：根据勾股定理可知x的平方取值范围在2与3的平方和与平方差之间．解答：解：因为32﹣22=5，32+22=13，所以5＜x2＜13，即．故选B．点评：本题考查了锐角三角形的三边关系定理，有一定的难度．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4 B．10π﹣4 C．10π﹣8 D．﹣8考点：三角形的面积．分析：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．解答：解：阴影部分的面积=π×22÷2+π×12÷2﹣4×2÷2=；故选A．点评：此题考查了三角形的面积；解题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．3．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种考点：三角形三边关系．专题：常规题型．分析：要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．解答：解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．故选：C．点评：本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．4．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°考点：全等三角形的判定．分析：本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．解答：解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．E F∥BC考点：全等三角形的判定．分析：本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．解答：解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；点评：本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C 的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．解答：解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选：A．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．7．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为何？（）A．110 B．125 C．130 D．155考点：全等三角形的判定与性质．分析：易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A=∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．解答：解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，∴∠BCA=∠ECD，∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，∴∠BCA+∠ECD=100°，∴∠BCA=∠ECD=50°，∵∠ACE=55°，∴∠ACD=105°∴∠A+∠D=75°，∴∠B+∠D=75°，∵∠BCD=155°，∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，故选C．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A． 3 B．4 C．6 D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥A C于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB 的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二．填空题（共8小题）10．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 4 （只需填一个整数）考点：三角形三边关系．专题：开放型．分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．解答：解：根据三角形的三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，所以x可取整数4．故答案为：4．点评：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据三角形三内角之和等于180°求解．解答：解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．点评：考查三角形内角之和等于180°．12．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 70 度．考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．专题：几何图形问题．分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．解答：解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．13．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是140 °．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．故答案为：140．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．14．（2014•佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= 75°．考点：三角形的外角性质．分析：首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．解答：解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，∴∠α=45°+30°=75°，故答案为：75°．点评：此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为130°．考点：全等三角形的性质．分析：根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠A，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．故答案为：130°．点评：本题考查了全等三角形的性质，四边形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对应位置上确定出∠C=∠A是解题的关键．16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，BE=CF，请添加一个条件AC=DF（或∠B=∠DEF 或AB∥DE），使△ABC≌△DEF．考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：可选择利用SSS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可．解答：解：①添加AC=DF．∵BE=CF，∴BC=EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．②添加∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BC=EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．③添加AB∥DE．∵BE=CF，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AC=DF（或∠B=∠DEF或AB∥DE）．点评：本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定定理．17．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD=CE ．（只填一个即可）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD=∠CAE等．解答：解：BD=CE，理由是：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目比较好，难度适中．三．解答题（共7小题）18．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据中点定义求出AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．解答：证明：∵C是AB的中点（已知），∴AC=CB（线段中点的定义）．∵CD∥BE（已知），∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．点评：本题主要考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．19．如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：AC=DF．证明：∵BF=EC，∴BF﹣CF=EC﹣CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：证明题．分析：根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AD=BC．点评：本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS．21．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：证明题．分析：连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．解答：证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据“SAS”可证明△ADB≌△BAC，由全等三角形的性质即可证明AC=BD．解答：证明：在△ADB和△BAC中，，∴△ADB≌△BAC（SAS），∴AC=BD．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．23．如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．解答：（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．2点评：本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段．3。

(精品人教版)2020年中考数学专题复习卷 三角形(含解析)

(精品人教版)2020年中考数学专题复习卷 三角形(含解析)

三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。

4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。

2020年数学中考复习专题：《三角形综合》(后附解析)

2020年数学中考复习专题：《三角形综合》(后附解析)

中考复习冲刺：《三角形综合》1．如图，在三角形ABC 中，AB ＝8，BC ＝16，AC ＝12．点P 从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →＞B →C →A 的方向运动，点Q 从点B 沿B →C →A 的方向与点P 同时出发；当点P 第一次回到A 点时，点P ，Q 同时停止运动；用t （秒）表示运动时间．（1）当t ＝ 秒时，P 是AB 的中点．（2）若点Q 的运动速度是23个单位长度/秒，是否存在t 的值，使得BP ＝2BQ ． （3）若点Q 的运动速度是a 个单位长度/秒，当点P ，Q 是AC 边上的三等分点时，求a 的值．2．如图，在△ABC 中，BC ＝7cm ，AC ＝24cm ，AB ＝25cm ，P 点在BC 上，从B 点到C 点运动（不包括C 点），点P 运动的速度为2cm /s ；Q 点在AC 上从C 点运动到A 点（不包括A 点），速度为5cm /s ．若点P 、Q 分别从B 、C 同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：（1）经过多少时间后，P 、Q 两点的距离为5cm ？（2）经过多少时间后，S △PCQ 的面积为15cm 2？（3）用含t 的代数式表示△PCQ 的面积，并用配方法说明t 为何值时△PCQ 的面积最大，最大面积是多少？3．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝4 2 ，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．4．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD，使点A的对应点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限．（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．5．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：S△ABD ＝S△ACE；（2）如图2，AM是△ACE的中线，MA的延长线交BD于N，求证：MN⊥BD．6．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．7．定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“和美三角形”，这条边称为“和美边”，这条中线称为“和美中线”．理解：（1）请你在图①中画一个以AB为和美边的和美三角形，使第三个顶点C落在格点上；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝．求证：△ABC是“和美三角形”．运用：（3）已知，等腰△ABC是“和美三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长（画图解答）．8．【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC ＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC ＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为．9．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．10．问题原型：如图①，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，使DE＝CD，连结BE．求证：BE＝AC．问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM ＝EF，连结CM．（1）判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由．（2）若AC＝，直接写出A、M两点之间的距离．11．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C 不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q 不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．12．如图，AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠BAD+∠ABD＝90°．（1）求证：AE∥BC；（2）点F是射线BC上一动点（点F不与点B，C重合），连接AF，与射线BD相交于点P．（ⅰ）如图1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，试探究线段BF与CF之间满足的数量关系；＝30，∠CAF＝∠ABD，求线段BP的长．（ⅱ）如图2，若AB＝10，S△ABC13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，过点C作CG⊥AD于点G，过点B作FB⊥CB于点B，交CG的延长线于点F，连接DF交AB于点E．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．15．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为cm．16．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在边AC上，AE⊥BD于E．（1）如图1，作CF⊥BD于F，求证：CF﹣AE＝EF；（2）如图2，若BC＝CD，求证：BD＝2AE；（3）如图3，作BM⊥BE，且BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接CM交BE于N，请直接写出△BCM的面积为．17．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M为CE中点．（1）如图1，若D点在BA延长线上，直接写出BM与DM的数量关系与位置关系不必证明．（2）如图2，当C，E，D在同直线上，连BE，探究BE与AB的的数量关系，并加以证明．（3）在（2）的条件下，若AB＝AE＝2．求BD的长．18．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为．②∠APC的度数为．（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为．19．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C 重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．20．思维启迪：（1）如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC＝4，AE＝DE＝，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图②，当△ADE在起始位置时，求证：PC⊥PE，PC＝PE．②如图③，当α＝90°时，点D落在AB边上，PC与PE的数量关系和位置关系分别为．③当α＝135°时，直接写出PC的值．参考答案1．解：（1）∵AB＝8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，∴当P为AB中点时，即4÷2＝2（秒）；故答案为：2．（2）由题意可得：当BP＝2BQ时，P，Q分别在AB，BC上，∵点Q的运动速度为个单位长度/秒，∴点Q只能在BC上运动，∴BP＝8﹣2t，BQ＝t，则8﹣2t＝2×t，解得t＝，当点P运动到BC和AC上时，不存在BP＝2BQ；（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图1，AB+BC+CP＝8+16+8＝32，此时t＝32÷2＝16，∵BC+CQ＝16+4＝20，∴a＝20÷16＝，当点P为靠近点C的三等分点时，如图2，AB +BC +CP ＝8+16+4＝28，此时t ＝28÷2＝14，∵BC +CQ ＝16+8＝24，∴a ＝24÷14＝．综上可得：a 的值为或．2．解：（1）连接PQ ，设经过ts 后，P 、Q 两点的距离为5cm ，ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，根据勾股定理可知PC 2+CQ 2＝PQ 2，代入数据（7﹣2t ）2+（5t ）2＝（5）2； 解得t ＝1或t ＝﹣（不合题意舍去）；（2）设经过ts 后，S △PCQ 的面积为15cm 2 ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，S △PCQ ＝×PC ×CQ ＝×（7﹣2t ）×5t ＝15解得t 1＝2，t 2＝1.5，经过2或1.5s 后，S △PCQ 的面积为15cm 2．（3）设经过ts 后，△PCQ 的面积最大，ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，S △PCQ ＝×PC ×CQ ＝×（7﹣2t ）×5t ＝×（﹣2t 2+7t ）．＝﹣5．∴当t＝s时，△PCQ的面积最大，最大值为cm2．3．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB +AC ＝BD ，∴AE +AC ＝BD ，即CE ＝BD ．∴CE ＝DE ．∴∠C ＝∠BDE ＝2∠ADC ．∴△ADC 是倍角三角形．∵△ABD ≌△AED ，∴∠E ＝∠ABD ，∴∠E ＝180°﹣∠ABC ，∵∠E ＝180°﹣2∠C ，∴∠ABC ＝2∠C ．∴△ABC 是倍角三角形．4．解：（1）∵点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），C （k ，0），将线段AB 平移至线段CD ， ∴点B 向上平移一个单位，向右平移（k +4）个单位到点D ，∴D （k +2，2）；（2）如图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，∵A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），C （k ，0），D （k +2，2），∴BE ＝1，CE ＝k +2，DF ＝2，EF ＝k +4，CF ＝2，∵S 四边形BEFD ＝S △BEC +S △DCF +S △BCD ， ∴＝+，解得：k ＝2．（3）∠BPD ＝∠BCD +∠A ；理由如下：过点P 作PE ∥AB ，如图2所示：∴∠PBA＝∠EPB，∵线段AB平移至线段CD，∴AB∥CD，∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，∴∠BPD＝∠ABC+∠ADC＝∠BCD+∠A．5．证明：（1）过B作BM⊥DA于M，过C作CN⊥EA交EA的延长线于N，如图，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝180°，∵∠CAN+∠CAE＝180°，∴∠BAD＝∠CAN∵sin∠BAD＝，sin∠CAN＝，又∵AB＝AC，∴BM＝CN，∵DA＝AE，S△ABD ＝DN×BM，S△ACE＝AE×CN，∴S△ADB ＝S△ACE．（2）延长AM到Q使AM＝QM，连接CQ、EQ，如图，∵AM是△ACE中线，∴CM＝EM，∴四边形ACQE是平行四边形，∴AC＝EQ＝AB，AE＝CQ＝AD，AC∥EQ，∴∠CAE+∠AEQ＝180°，∵∠BAD+∠CAE＝180°，∴∠BAD＝∠AEQ，∵在△BAD和△QEA中∴△BAD≌△QEA，∴∠BDA＝∠EAM，∵∠DAE＝90°，∴∠NAD+∠QAE＝90°，∴∠BDA+∠NAD＝90°，∴∠DNA＝180°﹣90°＝90°，∴MN⊥BD．6．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC ＝∠AEH ，∵AD ＝AE ，∴△ACD ≌△EHA ，∴CD ＝AH ，EH ＝AC ＝BC ，∵CB ＝CA ，∴BD ＝CH ，∵∠EHF ＝∠BCF ＝90°，∠EFH ＝∠BFC ，EH ＝BC ，∴△EHF ≌△BCF ，∴FH ＝CF ，∴BD ＝CH ＝2CF ．（3）如图3中，同法可证BD ＝2CM ．∵AC ＝3CM ，设CM ＝a ，则AC ＝CB ＝3a ，BD ＝2a ， ∴＝＝．7．解：（1）如图①中，△ABC 1，△ABC 2即为所求．（2）证明：如图②，根据定义Rt △ABC 中，和美中线一定是较长直角边上的中线． 理由：取AC 的中点D ，连结BD ，设AC ＝2x ，则CD ＝AD ＝x ，∵，∴，∴，在Rt△BCD中，∴BD＝AC，∴△ABC是“和美三角形：．（3）分两种情况：如图③，当腰上的中线BD＝AC时，则AB＝BD，过B作BE⊥AD于E，∵AB＝AC＝20，∴BD＝20，，∴CE＝10+5＝15，∴Rt△BDE中，BE2＝BD2﹣DE2＝375，∴Rt△BCE中，；如图④，当底边上的中线AD＝BC时，则AD⊥BC，且AD＝2BD，设BD＝x，则x2+（2x）2＝202，∴x2＝80，又∵x＞0，∴，∴．综上所述，底边BC的长为或．8．解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．故答案为：等边，30°；【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝α，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），∵α+β＝120°，∴∠D′BC＝60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，由（2）知，∠ADB＝30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，∴DE＝，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'＝BC＝7，∴BD＝BD'＝7，∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°﹣α），同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°﹣α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β），∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝7+，故答案为：7+或7﹣．9．解：（1）作CH⊥y轴于H，则∠BCH+∠CBH＝90°，∵AB⊥BC，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH，∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，∴OH＝OB+BH＝4，∴C点坐标为（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC，在△PBA和△QBC中，，∴△PBA≌△QBC，∴PA＝CQ；（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BQP＝45°，当C、P，Q三点共线时，∠BQC＝135°，由（2）可知，△PBA≌△QBC，∴∠BPA＝∠BQC＝135°，∴∠OPB＝45°，∴OP＝OB＝1，∴P点坐标为（1，0）．10．解：问题原型：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝∠BAD，∴AD＝BD，在△BDE和△ADC中，∵，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC，问题拓展：（1）AC＝CM，理由：∵点F是BC中点，∴BF＝CF，在△BEF和△CMF中，∵，∴△BEF≌△CMF（SAS），∴BE＝CM，由（1）知，BE＝AC，∴AC＝CM；（2）如图②，连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，∴∠BED＝∠ACD，由（2）知，△BEF≌△CMF，∴∠EBF＝∠BCM，∴∠ACM＝∠ACD+∠BCM＝∠BED+∠EBF＝90°，∵AC＝CM，∴AM＝AC＝．11．（1）解：设AP＝x，则BQ＝x，∵∠BQD＝30°，∠C＝60°，∴∠QPC＝90°，∴QC＝2PC，即x+6＝2（6﹣x），解得x＝2，即AP＝2．（2）证明：如图，过P点作PF∥BC，交AB于F，∵PF∥BC，∴∠PFA＝∠FPA＝∠A＝60°，∴PF＝AP＝AF，∴PF＝BQ，又∵∠BDQ＝∠PDF，∠DBQ＝∠DFP，∴△DQB≌△DPF，∴DQ＝DP即D为PQ中点，（3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，理由：∵PF＝AP＝AF，PE⊥AF，∴，又∵△DQB≌△DPF，∴，∴．12．（1）证明：∵AC平分钝角∠BAE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABD，∴∠BAE+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABD）＝2×90°＝180°，∴AE∥BC；（2）解：（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由如下：∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴BD⊥AC，∴∠CBD+∠BCD＝90°，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC，过点A作AH⊥BC于H，如图1所示：∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，∴△ABH、△BAF是等腰直角三角形，∴AH＝BH＝HF，BC＝AB＝BH，BF＝AB＝×BH＝2BH，∴CF＝BF﹣BC＝2BH﹣BH＝（2﹣）BH，∴BH＝＝（1+）CF，∴BF＝2（1+）CF＝（2+）CF；（ⅱ）当点F在点C的左侧时，如图2所示：同（ⅰ）得：∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC＝10，∵∠CAF＝∠ABD，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BCD+∠CAF＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，＝BC•AF＝×10×AF＝30，则S△ABC∴AF＝6，∴BF＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，∴AC＝＝2，＝AC•BD＝×2×BD＝30，∵S△ABC∴BD＝3，作PG⊥AB于G，则PG＝PF，在Rt△BPG和Rt△BPF中，，∴Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），∴BG＝BF＝8，∴AG＝AB﹣BG＝2，∵AB＝CB，BD⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝，设AP＝x，则PG＝PF＝6﹣x，在Rt△APG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AP＝，∴PD＝＝＝，∴BP＝BD﹣PD＝3﹣＝；当点F在点C的右侧时，则∠CAF＝∠ACF'，∵BD⊥AC，∴∠APD＝∠AP'D，∴AP＝AP'，PD＝P'D＝，∴BP＝+2×＝；综上所述，线段BP的长为或．13．解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝30°，∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，故答案为：30，110，∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，∴∠BDA＝140°﹣∠BAD∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小，故答案为：小（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形14．证明：（1）∵CG⊥AD，∴∠AGC＝90°，∴∠GCA+∠CAD＝90°，∵∠GCA+∠FCB＝90°，∴∠CAD＝∠FCB，∵FB⊥BC，∴∠CBF＝90°，∵Rt△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠CBF＝∠ACB，在△ACD和△CBF中，∴△ACD≌△CBF（ASA）；（2）∵△ACD≌△CBF，∴CD＝BF，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BD＝BF，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠DBE＝45°，∵∠CBF＝90°，∴∠DBE＝∠FBE＝45°，在△DBE和△FBE中，∴△DBE≌△FBE（SAS），∴DE＝FE，∠DEB＝∠FEB＝90°，∴AB垂直平分DF；（3）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，由（2）知：AB垂直平分DF，∴AF＝AD，∵CF＝AD，∴CF＝AF，∴△ACF是等腰三角形．15．解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，又∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，故答案为：DA＝DC+DB；（2）DA＝DB+DC，如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴DA2+AE2＝DE2，∴2DA2＝（DB+DC）2，∴DA＝DB+DC；（3）如图3，连接PQ，∵MN＝14，∠QMN＝30°，∴QN＝MN＝7，∴MQ＝＝＝7，由（2）知PQ＝QN+QM＝7+7，∴PQ＝＝，故答案为：．16．（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∴CF﹣AE＝BE﹣BF＝EF；（2）证明：如图1，过点C作CF⊥BD于点F，∵BC＝CD，∴BF＝DF，由（1）得AE＝BF，∴AE＝DF，∴BD＝2AE；（3）解：如图2，过点C作CG⊥MB，交MB的延长线于点G，过点C作CH⊥BE，交BE于点H，∵BM⊥BE，CH⊥BE，CG⊥MB，∴∠NBG＝∠CHB＝∠CGB＝90°，∴四边形BGCH为矩形，∴BG＝HC，BH＝GC，由（1）得△AEB≌△BHC，∴AE＝BH，BE＝CH，∵BM＝BE，∴BM＝CH，∵∠MBN＝∠CHN＝90°，∠MNB＝∠CNH，∴△BMN≌△HCN（AAS），∴BM＝CH，BN＝HN，∵AE＝BH＝2，∴BN＝1，∴BE＝BM＝BN+EN＝1+4＝5，∴＝．故答案为：5．17．解：（1）BM＝DM，BM⊥DM；如图1，连接AM，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠CAE＝90°，∵M为CE中点．∴CM＝AM，∵BM＝BM，BC＝BA，∴△BCM≌△BAM（SSS），∴∠CBM＝∠MBA＝45°，同理可得∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM，BM⊥DM；（2）如图2，延长BM到N，使BM＝MN，连EN，DN，BD，BE，∵∠CMB＝∠EMN，CM＝ME，∴△CBM≌△ENM（SAS），∴BC＝EN，∠BCM＝∠MEN，∴EN＝AB，∵∠CBA＝∠ADE＝90°，∴∠BCM+∠BAD＝180°，∵∠NED+∠MEN＝180°，∴∠NED＝∠BAD，又∵AD＝DE，∴△END≌△ABD（SAS），∴DB＝DN，∠NDE＝∠BDA，∴∠NDE+∠BDE＝90°，∴∠NDB＝90°，∴DB⊥DN，∴DM⊥BN，∴BE＝EN＝BC＝AB；（3）如图3，连BE，BD交AE于N，在（2）的条件下，CM＝ME，DM⊥BM，∴BE＝BC＝AE＝AB＝2，DE＝DA＝2，∴BD为AE的垂直平分线，∴EN＝DN＝AN＝，∴BN＝＝，∴BD＝+．18．解：（1）观察猜想：①如图1，设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE ＝S△BCD，∴∠DPO＝∠ACO＝60°，∴∠APB＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴CP平分∠APB，∴∠APC＝60°，故答案为AE＝BD，60°．（2）数学思考：：①成立，②不成立，理由：设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，∵∠AOP＝∠DOC，∴∠APO＝∠DCO＝60°，∴∠DPE＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴∠DPC＝60°，∴∠APC＝120°，∴①成立，②不成立；拓展应用：设AC交BD于点O．∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，∴∠ACE＝∠DCB∴△AEC≌△DBC（SAS），∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE，∴∠DCO＝∠APO＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．19．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．20．（1）解：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠C，∵P是BC的中点，∴PB＝PC，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（ASA），∴AB＝CD＝200米；故答案为：200；（2）①证明：延长EP交BC于F，如图②所示：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDP＝∠FBP，∠DEP＝∠BFP，∵点P是线段BD的中点，∴PB＝PD，在△FBP和△EDP中，，∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵PE＝PF，∴PC⊥EF，PC＝EF＝PE；②解：PC⊥PE，PC＝PE；理由如下：延长ED交BC于H，如图③所示：由旋转的性质得：∠CAE＝90°，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴四边形ACHE是矩形，∴∠BHE＝∠CHE＝90°，AE＝CH，∵AE＝DE，∴CH＝DE，∠ADE＝45°，∴∠EDP＝135°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠BHE＝90°，点P是线段BD的中点，∴PH⊥BD，PH＝BD＝PD，△BPH是等腰直角三角形，∴∠BHP＝45°，∴∠CHP＝135°＝∠EDP，在△CPH和△EPD中，，∴△CPH≌△EPD（SAS），∴PC＝PE，∠CPH＝∠EPD，∴∠CPE＝∠HPD＝90°，∴PC⊥PE；故答案为：PC⊥PE，PC＝PE；③解：当α＝135°时，AD⊥AC，过点D作DF⊥BC于F，连接CD，过点C作CN⊥BD于N，如图④所示：则四边形ACFD是矩形，∴CF＝AD＝AE＝2，DF＝AC＝4，∴CD＝＝＝2，BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，∴BD＝＝＝2，∵DF•BC＝CN•BD，∴CN＝＝＝，BN＝＝＝，∴PN＝BD﹣BN＝×2﹣＝，∴PC＝＝＝．。

2020年中考数学复习《三角形综合》练习(含解析)

2020年中考数学复习《三角形综合》练习(含解析)

2020年中考数学复习《三角形综合》练习1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．4．如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：BE＝BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．5．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．6．如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．8．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD 为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，求证：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由．9．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN ＝AM．11．如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．①求证：CD＝CE，CD⊥CE；②求证：AD+BD＝CD；（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．12．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B 重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出的值．13．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD＝∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．（1）求证：DE＝EF；（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝3，AE＝，求BD的长．15．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠B＝45°时，线段AG和CF的数量关系是．（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．（3）若AB＝6，DG＝1，cos B＝，请直接写出CF的长．16．如图，在△ABC中，AB＝7.5，AC＝9，S△ABC＝．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cos A的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM＝S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．17．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD ＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．18．（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．19．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．（1）求证：CM＝EM；（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．20．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD ＝CE．（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．答案与解析一．解答题（共20小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ECB＝∠DBC根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠DCB＝∠EBC根据等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ECB＝∠DBC，在△DBC与△ECB中，∴△DBC≌△ECB（SAS）；（2）证明：由（1）知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC，∴OB＝OC．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD根据平行线的性质得到∠F＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠F，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE．4．如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：BE＝BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝AD，∠BCD＝30°，由“SAS”可证△ABF≌△CBE，可得BF＝BE；（2）通过证明△BEF是等边三角形，可得BG＝GF，由三角形中位线定理可得AF＝2GD，AF∥DG．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°∵CD⊥AB，AC＝BC∴BD＝AD，∠BCD＝30°，∵AF⊥AC∴∠F AC＝90°∴∠F AB＝∠F AC﹣∠BAC＝30°∴∠F AB＝∠ECB，且AB＝BC，AF＝CE∴△ABF≌△CBE（SAS）∴BF＝BE（2）AF＝2GD，AF∥DG理由如下：连接EF，∵△ABF≌△CBE∴∠ABF＝∠CBE，∵∠ABE+∠EBC＝60°∴∠ABE+∠ABF＝60°，且BE＝BF∴△BEF是等边三角形，且GE⊥BF∴BG＝FG，且BD＝AD∴AF＝2GD，AF∥DG5．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为6．【分析】教材呈现：如图①，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE＝AC，那么△DEG∽△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；结论应用：（1）如图②．先证明△BEF∽△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF ＝；（2）如图③，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出▱ABCD的面积＝4×＝6．【解答】教材呈现：证明：如图①，连结ED．∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝；结论应用：（1）解：如图②．∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝．故答案为；（2）解：如图③，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2．∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，∴▱ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．6．如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB ＝∠B，∠NAC＝∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°即可求出答案；（3）化简等式即可得到a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，∴∠A+∠B＜∠C；（2）如图，过点B作MN∥AC，∵MN∥AC，∴∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠MBA+∠ABC+∠NBC＝180°（平角的定义），∴∠A+∠ABC+∠C＝180°（等量代换），即：三角形三个内角的和等于180°；（3）∵＝，∴ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．8．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD 为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，求证：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由．【分析】（1）①根据同角的余角相等证明；②作FH⊥BC交BC的延长线于H，证明△ACD≌△DHF，根据全等三角形的性质得到DH＝AC，结合图形证明即可；（2）作FG⊥BC交BC的延长线于G，证明△ACD∽△DGF，根据相似三角形的性质得到DG＝2AC，证明结论．【解答】（1）证明：①∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵∠CDF+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠CDF；②作FH⊥BC交BC的延长线于H，则四边形FECH为矩形，∴CH＝EF，在△ACD和△DHF中，，∴△ACD≌△DHF（AAS）∴DH＝AC，∵AC＝CB，∴DH＝CB，∴DH﹣CD＝CB﹣CD，即HG＝BD，∴BD＝EF；（2）BD＝EF，理由如下：作FG⊥BC交BC的延长线于G，∵∠CAD＝∠GDF，∠ACD＝∠DGF＝90°，∴△ACD∽△DGF，∴＝＝＝2，即DG＝2AC，GF＝2CD，∵BC＝2AC，CE＝2CD，∴BC＝DG，GF＝CE，∴BD＝CG，∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，∴四边形FECG为矩形，∴CG＝EF，∴BD＝EF．9．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．【分析】（1）由条件易证△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．（2）PD＝AD﹣AP＝6﹣x，∵点P在线段BC上且不与B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC＝∠DAE即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE∴∠BAD＝∠CAE．（2）∵AD＝6，AP＝x，∴PD＝6﹣x当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，∵AB⊥AC∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠P AC＝90°﹣α，∵I为△APC的内心∴AI、CI分别平分∠P AC，∠PCA，∴∠IAC＝∠P AC，∠ICA＝∠PCA∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣（∠P AC+∠PCA）＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105°∵0＜α＜90°，∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m＝105，n＝150．10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN ＝AM．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC＝，∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，解得，DM＝，∴AM＝AD﹣DM＝﹣；（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE＝AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，在△BME和△NMA中，，∴△BME≌△NMA（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM．11．如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．①求证：CD＝CE，CD⊥CE；②求证：AD+BD＝CD；（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．【分析】（1）①根据四边形的内角和得到∠DAC+∠DBC＝180°，推出∠DBC＝∠EAC，根据全等三角形的性质得到CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，求得∠DCE＝90°，根据垂直的定义得到结论；②由已知条件得到△CDE是等腰直角三角形，求得DE＝CD，根据线段的和差即可得到结论；（2）如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC ＝∠ABC＝45°，求得∠CBD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到CD＝CE，∠BCD ＝∠ACE，求得∠DCE＝90°，根据线段的和差即可得到结论．【解答】（1）证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB＝360°，∵∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∵∠EAC+∠DAC＝180°，∴∠DBC＝∠EAC，∵BD＝AE，BC＝AC，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠BCD+∠DCA＝90°，∴∠ACE+∠DCA＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE；②∵CD＝CE，CD⊥CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝CD，∵DE＝AD+AE，AE＝BD，∴DE＝AD+BD，∴AD+BD＝CD；（2）解：AD﹣BD＝CD；理由：如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵∠ADB＝90°，∴∠CBD＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC＝90°﹣∠BAD﹣45°＝45°﹣∠BAD，∵∠CAE＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，∴∠CBD＝∠CAE，∵BD＝AE，BC＝AC，∴△CBD≌△CAE（SAS），∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，即∠DCE＝90°，∴DE＝＝＝CD，∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，∴AD﹣BD＝CD．12．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B 重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出的值．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、平行线的判定定理解答；（2）在AF上截取AF＝CD，连接EF，证明△EAF≌△EDC，根据全等三角形的性质得到EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，根据平行线的判定定理证明；（3）分图②、图③两种情况，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）当点D与点C重合时，CE∥AB，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE＝45°，∴∠CAB＝∠ADE，∴CE∥AB；（2）当点D与点C不重合时，（1）的结论仍然成立，理由如下：在AC上截取AF＝CD，连接EF，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴∠EAF＝∠EDC，在△EAF和△EDC中，，∴△EAF≌△EDC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，∵∠AED＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECA＝45°，∴∠ECA＝∠CAB，∴CE∥AB；（3）如图②，∠EAC＝15°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝2CD，AC＝CD，∴FC＝（﹣1）CD，∵△CEF为等腰直角三角形，∴EC＝FC＝CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝CD，∴＝＝，如图③，∠EAC＝15°，由（2）得，∠EDC＝∠EAC＝15°，∴∠ADC＝30°，∴CD＝AC，AB＝AC，延长AC至G，使AG＝CD，∴CG＝AG﹣AC＝DC﹣AC＝AC﹣AC，在△EAG和△EDC中，，∴△EAG≌△EDC（SAS），∴EG＝EC，∠AEG＝∠DEC，∴∠CEG＝90°，∴△CEG为等腰直角三角形，∴EC＝CG＝AC，∴＝，综上所述，当∠EAC＝15°时，的值为或．13．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝×2×3﹣（6﹣6）＝﹣3+6（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°∵GD⊥EF，∠EFD＝60°∴FG＝1，DG＝FG＝∵BD2＝BG2+DG2，∴16＝3+（BF+1）2，∴BF＝﹣1∵EH⊥BC，∠C＝60°∴CH＝，EH＝HC＝EC∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°∴△BGD∽△BHE∴∴∴EC＝﹣1∴AE＝AC﹣EC＝7﹣14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD＝∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．（1）求证：DE＝EF；（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝3，AE＝，求BD的长．【分析】（1）只要证明EA＝ED，EA＝EF即可解决问题；（2）结论：BD＝CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME＝CE，连接DM．想办法证明DM＝CF，DM＝BD即可；（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD＝x，则DN＝，DE＝AE ＝，由∠B＝45°，EN⊥BN．推出EN＝BN＝x+＝，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2＝DE2，构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵∠BAC＝90°，∴∠EAD+∠CAE＝90°，∠EDA+∠F＝90°，∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠F，∴EA＝ED，EA＝EF，∴DE＝EF．（2）解：结论：BD＝CF．理由：如图2中，在BE上取一点M，使得ME＝CE，连接DM．∵DE＝EF．∠DEM＝∠CEF，EM＝EC．∴△DEM≌△FEC，∴DM＝CF，∠MDE＝∠F，∴DM∥CF，∴∠BDM＝∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠DBM＝45°，∴BD＝DM，∴BD＝CF．（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．∵EA＝ED，EN⊥AD，∴AN＝ND，设BD＝x，则DN＝，DE＝AE＝，∵∠B＝45°，EN⊥BN．∴EN＝BN＝x+＝，在Rt△DEN中，∵DN2+NE2＝DE2，∴（）2+（）2＝（）2解得x＝1或﹣1（舍弃）∴BD＝1．15．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠B＝45°时，线段AG和CF的数量关系是AG＝CF．（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．（3）若AB＝6，DG＝1，cos B＝，请直接写出CF的长．【分析】（1）如图1，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAE＝∠B＝45°，BE＝EC＝AE，∠BAE＝∠EAC＝∠C＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图2，连接AE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAC＝120°，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，求得∠BAE＝∠B＝30°，根据相似三角形的性质得到，解直角三角形即可得到AG＝CF；（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD ＝3，AE＝BE，由三角函数的定义得到BE＝＝＝4，根据相似三角形的性质得到＝，过A作AH⊥BC于点H由三角函数的定义即可得到结论．②当点G在BD 上，如图4，方法同（1）．【解答】解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝EC＝AE，∠BAE＝∠EAC＝∠C＝45°，∵∠GEF+∠BAC＝180°，∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，∵∠AFE+∠CFE＝180°，∴∠AGE＝∠CFE，∵∠GAE＝∠C＝45°，∴△AEG≌△CEF（AAS），∴AG＝CF；故答案为：AG＝CF；（2）AG＝CF，理由：如图2，连接AE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝90°，∠BAE＝∠C，∵∠GEF+∠BAC＝180°，∴∠AGE+∠AFE＝180°，∵∠CFE+∠AFE＝180°，∴∠AGE＝∠CFE，∴△AGE∽△CFE，∴，在Rt△ACE中，∵∠C＝30°，∴＝sin C＝，∴＝，∴AG＝CF；（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝3，AE＝BE，∵cos B＝，∴BE＝＝＝4，∴AE＝BE＝4，∴∠BAE＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠BAE，∵∠GEF+∠BAC＝180°，∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，∵∠AFE+∠CFE＝180°，∴∠CFE＝∠AGE，∴△CFE∽△AGE，∴＝，过A作AH⊥BC于点H，∵cos B＝，cos45°＝，∵＞，∴∠B＜45°，∴E在H的左侧，∵cos B＝，∴BH＝AB＝×6＝，∵AB＝AC，∴BC＝2BH＝9，∵BE＝4，∴CE＝9﹣4＝5，∵AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，∴＝，∴CF＝2.5；②当点G在BD上，如图4，同（1）可得，△CFE∽△AGE，∴＝，∵AG＝AD+DG＝3+1＝4，∴＝，∴CF＝5，综上所述，CF的长为2.5或5．16．如图，在△ABC中，AB＝7.5，AC＝9，S△ABC＝．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cos A的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM＝S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【分析】（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM＝S△QCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形：①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；【解答】解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．∵S△ABC＝•AC•BE＝，∴BE＝，在Rt△ABE中，AE＝＝6，∴coaA＝＝＝．（2）如图2中，作PH⊥AC于H．∵P A＝5t，PH＝3t，AH＝4t，HQ＝AC﹣AH﹣CQ＝9﹣9t，∴PQ2＝PH2+HQ2＝9t2+（9﹣9t）2，∵S△PQM＝S△QCN，∴•PQ2＝וCQ2，∴9t2+（9﹣9t）2＝×（5t）2，整理得：5t2﹣18t+9＝0，解得t＝3（舍弃）或．∴当t＝时，满足S△PQM＝S△QCN．（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．易知：PM∥AC，∴∠MPQ＝∠PQH＝60°，∴PH＝HQ，∴3t＝（9﹣9t），∴t＝．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得PH＝QH，∴3t＝（9t﹣9），∴t＝，综上所述，当t＝s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 的边上．17．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为1；②∠AMB的度数为40°．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD ＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD，比值为1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝40°；（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则＝，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC ∽△BOD，则∠AMB＝90°，，可得AC的长．【解答】解：（1）问题发现①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠COA＝∠DOB，∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB＝40°，∴∠OAB+∠ABO＝140°，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣140°＝40°，故答案为：①1；②40°；（2）类比探究如图2，＝，∠AMB＝90°，理由是：Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，∴，同理得：，∴，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴＝，∠CAO＝∠DBO，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；（3）拓展延伸①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x﹣2，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2OB＝2，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，，x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，x1＝3，x2＝﹣2，∴AC＝3；②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，+（x+2）2＝x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x1＝﹣3，x2＝2，∴AC＝2；综上所述，AC的长为3或2．18．（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG＝NG；位置关系是MG⊥NG．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH＝90°，即：∠BHD＝90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出MG＝NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【解答】解：（1）连接BE，CD相交于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC+∠DBH＝∠BDC+∠ABD+∠ABE＝∠BDC+∠ABD+∠ADC＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG CD，同理：NG BE，∴MG＝NG，MG⊥NG，故答案为：MG＝NG，MG⊥NG；（2）连接CD，BE相交于点H，同（1）的方法得，MG＝NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG＝NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH+∠ECH＝∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°＝90°，∴∠DHE＝90°，同（1）的方法得，MG⊥NG，∴△MGN是等腰直角三角形．19．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．（1）求证：CM＝EM；（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明；（2）利用四边形内角和定理求出∠CME即可解决问题；（3）首先证明△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，设FM＝a，则AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，推出＝，＝，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠DCB＝90°，∵DM＝MB，∴CM＝DB，EM＝DB，∴CM＝EM．（2）解：∵∠AED＝90°，∠A＝50°，∴∠ADE＝40°，∠CDE＝140°，∵CM＝DM＝ME，∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED，∴∠CME＝360°﹣2×140°＝80°，∴∠EMF＝180°﹣∠CME＝100°．（3）证明：如图2中，设FM＝a．∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90°∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°，∴AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，∵CN＝NM，∴MN＝a，∴＝，＝，∴＝，∴EM∥AN．（也可以连接AM利用等腰三角形的三线合一的性质证明）20．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD ＝CE．（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF＝∠CBF，进而得出∠BCF＝∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD＝3，进而求出CF＝，同理：EG＝，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，记AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，记AE与CF的交点为M，∵AC＝2，∴BC＝AC＝2，∵CE＝1，∴CD＝CE＝1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝3，∵点F是BD中点，∴CF＝DF＝BD＝，同理：EG＝AE＝，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，∴FH＝CD＝，∴S△CEF＝CE•FH＝×1×＝，由（2）知，AE⊥CF，∴S△CEF＝CF•ME＝×ME＝ME，∴ME＝，∴ME＝，∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，∴S△CFG＝CF•GM＝××＝．。

2020年中考数学复习解答题专题练 三角形的相关问题

2020年中考数学复习解答题专题练 三角形的相关问题

2020年中考数学复习解答题专题练三角形的相关问题1. 如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE 平分△ABC的周长,求DE的长.2. 如图,AB∥CF,E为DF的中点,AB=10,CF=6,求BD的长.3. 如图所示,已知a∥b,AB⊥a,∠1=52°,∠2=64°,求∠3+∠4的度数.4. 如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.5.在△ABC中,AD平分∠BAC.BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E.(1)求证:AE=DE.(2)若AB=8,求线段DE的长.6.如图,点C在线段AB上,△DAC和△DBE都是等边三角形.(1)求证:△DAB≌△DCE.(2)求证:DA∥EC.7.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.8.如图,△ABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形,点D在线段BC上,AF平分DE交BC于点F,连接BE,EF.(1)CD与BE相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由.(2)若∠BAC=90°,求证:BF2+CD2=FD2.9. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EF交BA的延长线于点G,∠CFE=∠G.(1)求证:AD∥EG.(2)设∠B=x,∠G=y,若x-y=30°,∠ADC=110°,求∠B的度数.10. 如图,已知点P是∠AOB的平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,点M是OP 的中点,DM=4 cm,如果点C是OB上一个动点,求PC的最小值.11. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,4),点C在x轴上运动(不与点A重合),点D在y轴上运动(不与点B重合),当点C的坐标为________时,以点C,O,D为顶点的三角形与△AOB全等.12. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,tan∠ACB=,点D,E分别是BC,AD的中点,AF∥BC交CE的延长线于点F,求四边形AFBD的面积.13.【问题背景】如图①所示,在正方形ABCD的内部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形. 【类比研究】如图②所示,在正△ABC的内部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合).(1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果是,请选择其中一对进行证明.(2)△DEF是否为正三角形?请说明理由.(3)连接AE,若AF=DF,AB=7,求△DEF的边长.14. 已知,在△ABC中,DE∥BC,点F是AB上一点,FE的延长线交BC的延长线于点G,则∠EGH与∠ADE的大小有什么关系?请说明理由.【解析】∠EGH>∠ADE.理由如下:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,由三角形的外角性质得,∠EGH>∠B,所以,∠EGH>∠ADE.10.如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数.(2)如图②,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,试探索∠Q,∠A之间的数量关系.(3)如图③,延长线段BP,QC交于点E,在△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,求∠A的度数.15.(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.填空:①∠AEB的度数为______;②线段AD,BE之间的数量关系为______.(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE 之间的数量关系,并说明理由.2020年中考数学复习解答题专题练三角形的相关问题1. 如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE 平分△ABC的周长,求DE的长.【解析】延长BC到点F使CF=AC,过C作CH⊥AF,∵DE平分△ABC的周长,∴AC+CE+AD=BD+BE,∵D是边AB的中点,∴AD=BD,∴AC+CE=BE,∴EF=BE,∴DE是△ABF的中位线,∴DE=AF,∵∠ACB=60°,AC=1,∴∠ACH=60°,在Rt△ACH中,AH=AF=AC·sin 60°=,∴DE=.2. 如图,AB∥CF,E为DF的中点,AB=10,CF=6,求BD的长.【解析】∵AB∥FC,∴∠ADE=∠EFC,∵E是DF的中点,∴DE=EF,在△ADE与△CFE中,∴△ADE≌△CFE,∴AD=CF,∵AB=10,CF=6,∴BD=AB-AD=10-6=4.3. 如图所示,已知a∥b,AB⊥a,∠1=52°,∠2=64°,求∠3+∠4的度数.【解析】因为a∥b,所以∠1+∠3+∠2=180°,∠1=∠5.又因为∠1=52°,∠2=64°,所以∠3=180°-∠1-∠2=64°.因为AB⊥a,a∥b,所以AB⊥b,所以∠5+∠4=90°,所以∠4=90°-∠5=90°-∠1=38°.所以∠3+∠4=102°.4. 如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.【证明】∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°.∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.5.在△ABC中,AD平分∠BAC.BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E.(1)求证:AE=DE.(2)若AB=8,求线段DE的长.【解析】(1)∵AD平分∠BAC,DE∥AC,∴∠EAD=∠CAD,∠EDA=∠CAD,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE.(2)由(1)知,∠EAD=∠EDA.∵BD⊥AD,∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA,∴∠EBD=∠BDE,∴DE=BE.又由(1)知,DE=AE,∴DE=AB=×8=4.6.如图,点C在线段AB上,△DAC和△DBE都是等边三角形.(1)求证:△DAB≌△DCE.(2)求证:DA∥EC.【证明】(1)∵△DAC和△DBE都是等边三角形,∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°,∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,即∠ADB=∠CDE,在△DAB和△DCE中,∴△DAB≌△DCE(SAS).(2)∵△DAB≌△DCE,∴∠A=∠DCE=60°,∵∠ADC=60°,∴∠DCE=∠ADC,∴DA∥EC.7.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.【解析】∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,∵OD⊥CD,∴∠CDO=90°,∴∠ABO=90°,即OB⊥AB,∵相邻两平行线间的距离相等,∴OD=OB,在△ABO与△CDO中,∴△ABO≌△CDO(ASA),∴CD=AB=20 m.8.如图,△ABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形,点D在线段BC上,AF平分DE交BC于点F,连接BE,EF.(1)CD与BE相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由.(2)若∠BAC=90°,求证:BF2+CD2=FD2.【解析】(1)CD=BE,理由如下:∵△ABC和△ADE为等腰三角形,∴AB=AC,AD=AE,∵∠EAD=∠BAC,∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD,即∠EAB=∠CAD,在△EAB与△DAC中∴△EAB≌△DAC,∴BE=CD.(2)∵∠BAC=90°,∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴∠ABF=∠C=45°,∵△EAB≌△DAC,∴∠EBA=∠C,∴∠EBA=45°,∴∠EBF=90°,在Rt△BFE中,BF2+BE2=EF2,∵AF平分DE,∴AF垂直平分DE,∴EF=FD,由(1)可知,BE=CD,∴BF2+CD2=FD2.9. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EF交BA的延长线于点G,∠CFE=∠G.(1)求证:AD∥EG.(2)设∠B=x,∠G=y,若x-y=30°,∠ADC=110°,求∠B的度数.【解析】(1)如图,∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵∠3=∠G,∠3=∠4,∴∠4=∠G,∵∠BAC=∠G+∠4=2∠3,∠BAC=∠1+∠2=2∠2,∴∠2=∠3,∴AD∥EG.(2)∵AD∥EG,∴∠1=∠G=y,又∠ADC=∠B+∠1=110°,∴解得∴∠B=70°10. 如图,已知点P是∠AOB的平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,点M是OP 的中点,DM=4 cm,如果点C是OB上一个动点,求PC的最小值.【解析】∵点P是∠AOB的平分线上的一点,∠AOB=60°,∴∠AOP=∠AOB=30°,∵PD⊥OA,点M是OP的中点,DM=4 cm,∴OP=2DM=8cm,∴PD=OP=4 cm, ∵点C是OB上一个动点,∴PC的最小值为点P到OB的距离,∴PC的最小值=PD= 4 cm.11. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,4),点C在x轴上运动(不与点A重合),点D在y轴上运动(不与点B重合),当点C的坐标为________时,以点C,O,D为顶点的三角形与△AOB全等.【解析】如图所示,当点C在x轴负半轴上,点D在y轴负半轴上时,△AOB≌△COD,∴CO=AO=2,∴C(-2,0);如图所示,当点C在x轴负半轴上,点D在y轴上时,△AOB≌△DOC,∴CO=BO=4,∴C(-4,0);如图所示,当点C在x轴的正半轴上,点D在y轴上时,△AOB≌△DOC,∴CO=BO=4,∴C(4,0).答案:(-4,0),(-2,0),(4,0)12. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,tan∠ACB=,点D,E分别是BC,AD的中点,AF∥BC交CE的延长线于点F,求四边形AFBD的面积.【解析】∵AF∥BC,∴∠AFC=∠FCD,在△AEF与△DEC中,∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF=DC,∵BD=DC,∴AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∴S四边形AFBD =2S△ABD,又∵BD=DC,∴S△ABC =2S△ABD,∴S四边形AFBD =S△ABC,∵∠BAC=90°,tan∠ACB=,AB=4,∴AC==6,∴S△ABC=AB·AC=×4×6=12,∴S四边形AFBD=12.答案:1213.【问题背景】如图①所示,在正方形ABCD的内部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根据三角形全等的条件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,从而得到四边形EFGH是正方形. 【类比研究】如图②所示,在正△ABC的内部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点(D,E,F三点不重合).(1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果是,请选择其中一对进行证明.(2)△DEF是否为正三角形?请说明理由.(3)连接AE,若AF=DF,AB=7,求△DEF的边长.【解析】(1)△ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下:∵△ABC是正三角形,∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,∵∠ABD=∠ABC-∠CBE,∠BCE=∠ACB-∠ACF,∠CBE=∠ACF, ∴∠ABD=∠BCE,在△ABD和△BCE中,∴△ABD≌△BCE(ASA);同理:△ABD≌CAF,即:△ABD≌△BCE≌△CAF.(2)△DEF是正三角形;理由如下:∵△ABD≌△BCE≌△CAF,∴∠ADB=∠BEC=∠CFA,∴∠FDE=∠DEF=∠EFD,∴△DEF是正三角形.(3)∵△DEF是正三角形,∴∠DFE=∠FDE=60°,又AF=FD,∴AF=FD=EF,∴∠FAE=∠FEA=30°,∴∠DEA=90°,设DE=x,则AD=BE=2x,在Rt△ADE中,AE2=AD2-DE2=3x2,在Rt△ABE中,AB=7,AB2=BE2+AE2,即,49=4x2+3x2,∴x=-(舍)或x=,∴△DEF的边长为.14. 已知,在△ABC中,DE∥BC,点F是AB上一点,FE的延长线交BC的延长线于点G,则∠EGH与∠ADE的大小有什么关系?请说明理由.【解析】∠EGH>∠ADE.理由如下:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,由三角形的外角性质得,∠EGH>∠B,所以,∠EGH>∠ADE.10.如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数.(2)如图②,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,试探索∠Q,∠A之间的数量关系.(3)如图③,延长线段BP,QC交于点E,在△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,求∠A的度数.【解析】(1)∵∠A=80°,∴∠ABC+∠ACB=100°,∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,∴∠P=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×100°=130°.(2)∵外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,∴∠QBC+∠QCB=(∠MBC+∠NCB)=(360°-∠ABC-∠ACB)=(180°+∠A)=90°+∠A,∴∠Q=90°-∠A.(3)∵CQ为△ABC的外角∠NCB的平分线,∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,∴∠ACF=2∠ECF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC,∵∠ECF=∠EBC+∠E,∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E,又∵∠ACF=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E,即∠E=∠A;∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC=(∠ABC+∠MBC)=90°.如果△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况:①∠EBQ=2∠E=90°,则∠E=45°,∠A=2∠E=90°;②∠EBQ=2∠Q=90°,则∠Q=45°,∠E=45°,∠A=2∠E=90°;③∠Q=2∠E,则90°-∠A=∠A,解得∠A=60°;④∠E=2∠Q,则∠A=2,解得∠A=120°.综上所述,∠A的度数是90°或60°或120°.15.(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.填空:①∠AEB的度数为______;②线段AD,BE之间的数量关系为______.(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE 之间的数量关系,并说明理由.【解析】(1)∵∠ACB=∠DCE,∠DCB=∠DCB,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=120°,∴∠AEB=∠CEB-∠CED=60°.答案:①60°②AD=BE(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.理由:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠ADC=∠BEC. ∵△DCE为等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°,∵点A,D,E在同一直线上,∴∠ADC=135°.∴∠BEC=135°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME.∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM,∴AE=AD+DE=BE+2CM.。

2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形》综合(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形》综合(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形》综合1．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．2．如图，已知CD是△ABC的高，AD＝1，BD＝4，CD＝2．直角∠AEF的顶点E是射线CB上一动点，AE交直线CD于点G，EF所在直线交直线AB于点F．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若G为AE的中点，求tan∠EAF的值；（3）在点E的运动过程中，若，求的值．3．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，m），B（﹣m，0），C（n，0），AC＝5且∠OBA＝∠OAB，其中m，n满足．（1）求点A，C的坐标；（2）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接BP、CP，用含有t的式子表示△BPC的面积为S（直接写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使得S△PAB ＝S△POC，若存在，请求出t的值，并直接写出BP中点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．一副三角板直角顶点重合于点B ，∠A ＝∠C ＝45°，∠D ＝60°，∠E ＝30°． （1）如图（1），若∠AFE ＝75°，求证：AB ∥DE ；（2）如图（2），若∠AFE ＝α，∠BGD ＝β，则α+β＝ 度．（3）如图（3），在（1）的条件下，DE 与AC 相交于点H ，连接CE ，BH ，若DG ＝2CG ＝2GH ，BC ＝10，S △CEH ＝S △BEH ，求△BDH 的面积．5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，PC＝PA，设∠APB＝α，∠BPC＝β．（1）如图1，当点P在△ABC内，①若β＝153°，求α的度数；小明同学通过分析已知条件发现：△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且PC＝PA，从而容易联想到构造一个顶角为120°的等腰三角形．于是，他过点A作∠DAP＝120°，且AD＝AP，连接DP，DB，发现两个不同的三角形全等：≌再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出α的度数．请利用小王同学分析的思路，通过计算求得α的度数为；②小王在①的基础上进一步进行探索，发现α、β之间存在一种特殊的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明．（2）如图2，点P在△ABC外，那么a、β之间的数量关系是否改变？若改变，请直接写出它们的数量关系；若不变，请说明理由．6．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB 于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上7．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连结BE（1）求证：AD＝BE．（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于E．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于E，BN⊥AE于N，BN＝a，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．8．已知，点A（t，1）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x 轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．（1）如图1，若OB＝1，OC＝，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；（2）如图2，当t＝1，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值；（3）如图3，点H（m，n）是AB上一点，∠A＝∠OHA＝90°，若OB＝OC，求m+n的值．9．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，点C为线段AB上一点，连接OC．（1）直接写出a＝，b＝；（2）如图1，P为OC上一点，连接PA，PB，若PA＝BO，∠BPC＝30°，求点P的纵坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点M是AB上一动点，以OM为边在OM的右侧作等边△OMN，连接CN．若OC＝t，求ON+CN的最小值（结果用含t的式子表示）10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC，且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ，过点Q作QM ⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；（2）求当点Q落在BC边上时t的值；（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．11．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，以AB为斜边向上作等腰直角△ABC，BC交y轴于点D，C（﹣2，4）．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，动点E从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正半轴运动，设运动时间为t秒，连接CE，设△ECD的面积为S，请用含t的式子来表示S；（3）如图3，在（2）的条件下，当点E在OD的延长线上时，点F在直线CE的下方，且CF⊥CE，CF＝CE．连接AD，取AD的中点M，连接FM并延长交AO于点N，连接FO，当S△NFO ＝10S△AMN时，求S的值．12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A（﹣2，0），点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°（1）求点B的坐标；（2）点P为AC延长线上一点，过P作PQ∥x轴交BC的延长线于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d；（3）在（2）的条件下，点E是线段CQ上一点，连接OE、BP，若OE＝PB，∠APB﹣∠OEB ＝30°，求PQ的长．13．在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．（1）若m，n满足．①直接写出m＝，n＝；②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．14．如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别为x、y轴正半轴上一点，其中a、b满足：b﹣8＝+，C为AB的中点．（1）求A、B两点坐标；（2）E为OB上一点，连CE交x轴于D，若BE＝AD，如图1，求D点坐标；（3）F为x轴上的点，连FC，在（2）的条件下，若∠ACF＝45°，求F点坐标．15．如图所示，M为等腰三角形ABD的底边AB的中点，过D作DC∥AB，连接BC，AB＝6cm，DM＝3cm，DC＝3﹣cm．动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S．（1）当点P在线段AM上运动时，PM＝．（用t的代数式表示）（2）求BC的长度；（3）当点P在MB上运动时，求S与t之间的函数关系式．16．如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示）（2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．（3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．17．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE与CD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．”…老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD ＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”（1）求证：∠ABE＝∠DBC；（2）求证：线段BC平分∠ACD；（3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明．18．在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．19．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．20．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．参考答案1．（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF，∴∠D＝∠C，在△DAB和△CBA中，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC；（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示：由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，∴∠BEC＝45°，∵∠C＝45°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，∴EC＝BE＝2，∵AC＝4，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2，∴BD＝AE＝4﹣2．（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示：由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°，∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°，∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，∴∠FBC＝72°，∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°，∴EF＝EB＝1，FB＝FC，∵∠DBA＝∠CAB，∴AF＝FB＝FC＝1+EC，∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C，∴△CBE～△CFB，∴，∴BC2＝CE•CF，∴CE•CF＝1，∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴．2．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵AD＝1，CD＝2，BD＝4，∴CD2＝AD•BD，∴＝，∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD＝∠B，∵∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）如图1中，作EH⊥AB于H．∵AD⊥AB，EH⊥AB，∴DG∥HE，∵AG＝GE，∵AD＝DH＝1，∵DB＝4，∴BH＝DB﹣DH＝3，∵EH∥CD，∴＝，∴＝，∴EH＝，∴tan∠EAF＝＝＝．（3）如图2中，作EH⊥AB于H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∴＝＝＝，∵CD＝2，BD＝4，∴EH＝，BH＝，∴AH＝AB﹣BH＝5﹣＝，DH＝AH﹣AD＝，在Rt△AEH中，AE＝＝＝，∵DG∥EH，∴＝，∴＝，∴EG＝，∵AE⊥EF，EH⊥AF，∴△AEH∽△EFH，∴＝，∴＝，∴EF＝∴＝＝．3．解：（1）由，解得，∴A（0，4），C（3，0）．（2）如图1中，当0＜t＜4时，S＝•BC•OP＝×5×（4﹣t）＝﹣t+10．如图2中，当t＞4时，S＝•BC•OP＝×5×（t﹣4）＝t﹣10．综上所述，S＝．（3）当0＜t＜4时，由题意，×t×4＝××（4﹣t）×3，解得t＝．此时，OP＝4﹣＝，∴P（0，），∵B（﹣4，0），∴BQ的中点Q的坐标为（﹣2，）当t＞4时，由题意，×t×4＝××（t﹣4）×3，解得t＝36，此时OP＝36﹣4＝32，∴P（0，﹣32），∵B（﹣4，0），∴BP的中点Q的坐标为（﹣2，﹣16）．综上所述，满足条件的t的值为或36．点Q的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣16）．4．（1）证明：如图（1），∵∠AFE＝75°，∠A＝45°，∴∠ABE＝75°﹣45°＝30°，∵∠E＝30°，∴∠E＝∠ABE，∴AB∥DE；（2）解：如图（2），△ABF中，∠AFE＝∠A+∠ABE＝α①，△BGE中，∠BGD＝∠E+∠CBF＝β②，①+②得：α+β＝∠A+∠E+∠CBF+∠ABE＝45°+30°+90°＝165°；故答案为：165；（3）解：∵DE∥AB，∴∠CGH＝∠ABC＝90°，∵S△CEH ＝S△BEH，∴，∴CG＝BG，∵BC＝10，∴CG＝2，BG＝8，∵DG＝2CG＝2GH，∴DG＝4，GH＝2，∴△BDH的面积＝＝＝24．5．解：（1）①如图1，过点A作AH⊥DP于H，∵∠DAP＝∠BAC＝120°，∴∠DAB＝∠PAC，且AD＝AP，AB＝AC，∴△ADB≌△APC（SAS）∴BD＝PC＝PA，∠ADB＝∠APC，∵∠DAP＝120°，AD＝AP，AH⊥DP，∴∠ADP＝∠APD＝30°，DH＝PH，∴AP＝2AH，HP＝AH，∴DP＝AP，∴DB＝DP，∴∠DBP＝∠DPB＝∠APB﹣∠APD＝α﹣30°，∴∠BDP＝180°﹣2（α﹣30°）＝240°﹣2α，∴∠ADB＝∠BDP+∠ADP＝270°﹣2α＝∠APC，∵∠APB+∠APC+∠BPC＝360°，∴270°﹣2α+α+β＝360°，∴β﹣α＝90°，当β＝153°时，α＝63°，故答案为：△ADB，△APC，63°；②β﹣α＝90°，理由如上；（2）α+β＝90°，理由如下：如图2，作∠PAN＝120°，且PA＝NA，连接PN，BN，∵∠PAN＝∠BAC＝120°，∴∠BAN＝∠PAC，且AB＝AC，AP＝AN，∴△ABN≌△ACP（SAS）∴∠BNA＝∠APC，PC＝BN＝AP，∵∠PAN＝120°，PA＝NA，∴∠APN＝∠ANP＝30°，∴PN＝AP＝BN，∴∠BPN＝∠PBN＝α+30°，∵∠BPN+∠PBN+∠BNP＝180°，∴2（α+30°）+β﹣α+30°＝180°，∴α+β＝90°．6．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．7．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）解：设AE交BC于点H，如图2所示：由（1）得：△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，∵∠AHC＝∠BHE，∴∠AEB＝∠ACH＝90°，∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∵CM⊥DE，∴CM＝DM＝ME＝7，∴DE＝2CM＝14，∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝26；（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM．在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×＝2×＝2b．∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝＝＝a．∵AD＝BE，AE＝AD+DE，∴AE＝BE+DE＝a+2b．8．解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，如图1所示：∵点A（t，1），∴AD＝1，OD＝t，∵A，B，C在同一条直线上，∴∠OCB＝∠DCA，∵tan∠OCB＝＝＝，∴tan∠OCB＝tan∠DCA＝＝，即＝，解得：CD＝，∴t＝OD＝OC+CD＝+＝3；（2）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，如图2所示：则∠ADB＝∠ANB＝90°，∵t＝1，∴点A（1，1），∴AD＝AM＝OM＝1，∵∠ACO+∠ACB＝180°，∠ACN+∠ACB＝180°，∴∠ACO＝∠ACN，∵AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，∴AN＝AM＝AD＝1，在Rt△ABD和Rt△ABN中，，∴Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），∴BN＝BD＝OB+1，同理：Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM＝CN，∵BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝1+CM，∴BC+OC﹣OB＝BN﹣CN+1+CM﹣OB＝OB+1﹣CN+1+CM﹣OB＝2；（3）作HG⊥OC于G，如图3所示：∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OCB＝45°，∵∠OHA＝90°，∴OH⊥AB，∴△OCH是等腰直角三角形，∵HG⊥OC，∴△OGH是等腰直角三角形，∴OG＝GH，即m＝﹣n，∴m+n＝0．9．解：（1）∵a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a＝b．b﹣4＝0，∴a＝4，b＝4，故答案为4，4．（2）如图1中，分别过A，B作OC的垂线，垂足分别为D，E．∵∠BEO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∠BOE+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵BO＝AO，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴OD＝BE，∵∠BPC＝30°，∴PB＝2BE＝2OD，∵AP＝BO＝AO，AD⊥OP，∴OD＝DP，∴PB＝PO，过P作PF⊥OB，∴OF＝OB＝2，即点P的纵坐标的为2．（3）如图2中，以OA为边在x轴下方作等边△OAG，连接GN．∵∠MON＝∠AOG＝60°，∴∠MOA＝∠NOG，∵OM＝ON，OA＝OG，∴△OMA≌△ONG（SAS），∴∠OGN＝∠OAM＝45°，即点N在y轴与OG夹角为45°的直线GN上运动，作OH⊥OC交CA的延长线于H，连接NH．GH．由（2）可知∠ACO＝60°，在四边形ACOG中，∠COG＝360°﹣60°﹣60°﹣45°﹣60°＝135°，∴OC∥NG，∵OC⊥OH，∴OH⊥NG，∵∠OHC＝30°＝∠AGO，∴点G在以G为圆心GO为半径的⊙G上，∴GO＝GA，∴NH垂直平分线段OH，∴O，H关于GN对称，∴ON+NC＝NH+NC≥CH，∵CH＝2OC＝2t，∴ON+NC≥2t，∴ON+CN的最小值为2t．10．解：（1）如图1中，在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°，∴AB＝＝＝20，∵PQ∥AC，∴∠A＝∠QPM，∵∠C＝∠PMQ＝90°，∴△ACB∽△PMQ，∴＝＝，∴＝＝，∴PM＝4t，MQ＝3t，当0＜t≤时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．当＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．（2）如图2中，当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝，∴当点Q落在BC边上时t的值为s．（3）如图3﹣1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK，S＝×DM×MK＝×（9t﹣10）×（9t﹣10）＝t2﹣t+．如图3﹣2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝•PK•BK＝×（20﹣5t）•（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．（4）如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG，∴△QGK≌△QGM（AAS），∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，∴PG＝PK＝t，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，∴t＝．如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．∵•AC•BC＝•AB•CG，∴CG＝＝＝，AG＝＝＝，∵∠CMG＝∠GCM＝45°，∴CG＝GM＝，∴AM＝9t＝+，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为s或s．11．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵C（﹣2，4），∴CH＝4，OH＝2，∵AC﹣BC，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝BH＝4，∴OB＝OH＝2，∵OD∥CH，∴CD＝DB，∴OD＝CH＝2，∴D（0，2），B（2，0）．（2）由（1）可知D（0，2），所以当0≤t＜2时，当t＞2时，，综上所述，S＝．（3）如图3中，延长AC交y轴于H，连接FD，AF．FO．∵C（﹣2，4），△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝8，由（1）知B（2，0），∴OB＝2，OA＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AOH＝90°，∴∠CHE＝∠CAB＝45°，∴OH＝OA＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠DCH＝90°，∵∠CHE＝45°，∴∠CDH＝∠CHE＝45°，∴CH＝CD，∵CF⊥CE，∴∠DCF+∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCE+∠ECD＝90°，∴∠HCE＝∠DCF，又∵CF＝CE，∴△HCE≌△DCF（SAS），∴HE＝FD＝6﹣t，∠CDF＝∠CHE＝45°，∵∠CBA＝45°，∴∠CDF＝∠CBA，∴FD∥AB，∴∠FDM＝∠NAM，∵M是AD中点，∴DM＝AM，又∵∠FMD＝∠NMA，∴△DMF≌AMN（ASA），∴AN＝FD＝6﹣t，∵DM＝AM，∴S△DMF ＝S△AMF∵△DMF≌△AMN，∴S△DMF ＝S△AMN，∴S△NFA ＝2S△AMN∵S△NFO ＝10S△AMN∴S△NFO ＝5S△NFA，∴5AN＝ON，∵OA＝6，∴AN＝1，∴AN＝6﹣t＝1，∴t＝5，∴S＝t﹣2＝5﹣2＝3．12．解：（1）在Rt△AOC中，A（﹣2，0），∠A＝60°，∴OA＝2，∠ACO＝∠ABC＝30°∴AC＝2OA＝4，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝8，即OB＝AB﹣OA＝8﹣2＝6，则B（6，0）；（2）如图1所示，在Rt△MCP中，MP＝t，∠MCP＝30°，∴CP＝2MP＝2t，在Rt△CQP中，∠CQP＝30°，CP＝2t，∴PQ＝4t，即d＝4t；（3）如图2所示，过P作PM∥y轴，交BC于M，∴∠APM＝∠DCP＝∠ACO＝30°，∵∠APB﹣∠OEB＝30°，∴∠APB﹣30°＝∠OEB＝∠BPM，∵∠BMP＝180°﹣60°＝120°＝∠OCE，∵OE＝PB，∴△OCE≌△BMP（AAS），∴OC＝BM＝2，∵BC＝4，∴CM＝4﹣2＝2，Rt△PCM中，∠CPM＝30°，CP＝2t，∴PM＝4，∴PC2+CM2＝PM2，∴，4t2+12＝48，t＝3或﹣3（舍），∴PQ＝4t＝12．13．解：（1）①由，解得，故答案为4，4．②如图1中，∵A（0，4），C（4，0），∴OA＝OC＝4，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC＝OC，∠ACO＝45°，∵△DCB是等腰直角三角形，∴BC＝CD，∠DCB＝45°，∴∠OCD＝∠ACB，＝＝，∴∠OCD∽△ACB，∴∠BAC＝∠DOC＝90°，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∴AE＝AC，∵AO⊥EC，∴EO＝OC＝AO＝4，＝•EC•AO＝×8×4＝16．∴S△ACE（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．∵PC∥OA，∴∠P＝∠ADH，∠DCP＝∠ODC，∵∠ADH＝∠ODC，∴∠P＝∠PCD，∴DP＝DC，∴△DPC是等腰三角形，∵∠DKC＝∠KCO＝∠DOC＝90°，∴四边形ODKC是矩形，∴OD＝CK，∵DK⊥PC，∴PK＝CK＝OD，设OD＝x，则PK＝CK＝x，PC＝2x，∵OA＝OC，AD＝11，OG＝8，∴CG＝OC﹣OG＝x+3，∵GH⊥DC，∴∠CFG＝∠COD＝90°，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠CGF+∠FCG＝90°，∴∠ODC＝∠CGF，∴∠CGH＝∠P，∵CH＝CH，∠HCG＝∠HCP＝45°，∴△HCG≌△HCP（AAS），∴CG＝CP，∴x+3＝2x，∴x＝3，∴D（0，3）14．解：（1）根据题意得：，解得：a＝4，∴b＝8，∴A（4，0），B（0，8）；（2）∵C为AB的中点，∴C（2，4），设OE＝b，∵BE＝AD，∴AD＝8﹣b，∵OA＝4，∴OD＝4﹣b，设直线CD的解析式为：y＝kx+b，把C（2，4）代入得：2k+b＝4，∴k＝，∴直线CD的解析式为：y＝x+b，∵D（b﹣4，0），则﹣+b＝0，解得：b＝2或8（舍），∴D（﹣2，0）；（3）由（2）知：直线CD的解析式为：y＝x+2分两种情况：①当F在点A的左侧时，如图2，过F作FG⊥AB于G，∵∠BAO＝∠FAG，∴tan∠BAO＝tan∠FAG＝＝＝2，设AG＝x，则FG＝2x，∵∠ACF＝45°，∠CGF＝90°，∴CG＝FG＝2x，∵AC＝AB＝＝2，∴AG＝2﹣2x＝x，x＝，∴AF＝x＝，∴OF＝4﹣＝，∴F（，0）；②当点F在点A的右侧时，如图3，过C作CP⊥CF，交x轴于点P，CH⊥x轴于H，过A 作AG⊥CF于G，∵∠ACF＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴CG＝AG＝，由（2）知：AP＝，∵AH＝2，∴PH＝﹣2＝，∵CH＝OB＝4，∴PC＝＝，∵AG∥PC，∴，即＝，∴AF＝10，∴F（14，0），综上，点F的坐标为（，0）或（14，0）．15．解：（1）如图1中，PM＝3﹣t．故答案为3﹣t．（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图2，∵DA＝DB，AM＝BM，∴DM⊥AB．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠DMB＝90°．∴CE∥DM．∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME＝90°，∴四边形DCEM是矩形．∴CE＝DM＝3，ME＝DC＝．∵AM＝BM，AB＝6，∴AM＝BM＝3．∴BE＝BM﹣ME＝．∵∠CEB＝90°，CE＝3，BE＝，∴CB＝＝＝2．（3）①当3＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，∵QF⊥AB，CE⊥AB，∴∠QFB＝∠CEB＝90°．∴QF∥CE．∵BQ＝t，∴QF＝∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）•＝；②当＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图4，此时QF＝DM＝3．∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）×3＝．综上所述：当3＜t≤时，S＝；当＜t≤时，S＝．16．解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，∴CD＝4t．∴AD＝＝＝5t，当点C在点B右侧时，CB＝3t﹣5，∴CF＝CB．∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．（2）当0＜t＜时，S＝•（5﹣3t）•4t＝﹣6t2+10t．当t＞时，S＝•（3t﹣5）•4t＝6t2﹣10t．（3）①如图1中，当DF＝AD时，△ADF是轴对称图形．则有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，②如图2中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．③如图3中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为或或．17．（1）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBD，∴∠ABE＝∠CBD．（2）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BD，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∴∠ACB＝∠BCD＝60°，∴CB平分∠ACD．（3）解：结论：EC+BE＝BC．理由：∵DA＝DF，∴可以将△DBF绕点D顺时针旋转，使得DF与DA重合，得到△DMA，连接AM．∵DA＝DF，BD＝BF，∴∠DAF＝∠F＝∠BDF，∵∠BCD＝∠ABC＝60°，∴CD∥AB，∴∠CDF＝∠DAF，∵∠MDA＝∠BDF＝∠F＝∠DAB，∴∠MDA＝∠CDA，∴D，C，M共线，∵∠AMD＝∠DBF＝∠CDB，∠ACM＝∠BCD＝60°，AM＝DM＝BD＝BF，∴△AMC≌△BDC（AAS），∴CM＝DC＝BD＝BE，∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，∴BC＝AC＝EC+AE＝CE+CD＝CE+BE，∴EC+BE＝BC．18．（1）解：如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE⊥CR，CE＝ER，∴AC＝AR，∴∠CAG＝∠GAB＝22.5°∵CG＝CH＝1，∴GH＝＝＝，∠CHG＝45°，∵∠CHG＝∠HAG+∠HGA，∴∠HAG＝∠HGA＝22.5°，∴HA＝HG＝，∵CB＝CA，CG＝CH，∴BG＝AH＝．（2）解：如图2中，连接CD，DE．∵CF⊥AG，BC⊥CF，∴∠BCF＝∠CAE＝90°﹣∠ACE在△AEC和△CFB，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CD＝BD，∠CDB＝90°，∵∠CDB＝∠CFB＝90°，∴∠FBD＝∠DCE，在△BFD与△CED中，，∴△BFD≌△CED（SAS），∴DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，∴∠EDC+∠EDB＝∠BDF+∠BDE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF．（3）如图3中，结论：＝．理由：连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．∵AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，AB＝AC＝BC，∵∠BAG＝15°，∴∠CAE＝75°，∵CE⊥AG，∴∠CEA＝90°，∴∠ACE＝15°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，∵BF⊥CE，∴∠FCB＝∠FBC＝45°，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴AF垂直平分线段BC，∴AF平分∠CAB，∴∠FAB＝∠CAB＝30°，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，∴EF＝AE，设EF＝AE＝m，∵HC＝HA，∴∠HCA＝∠HAC＝15°，∴∠EHA＝∠HCA+∠HAC＝30°，∴AH＝2AE＝2m，EH＝m，∴EC＝2m+m，∴AC＝＝＝（+）m，∵BD＝AB＝AC＝m，∴＝．19．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD＝＝＝5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，。

2020中考数学专项解析：解直角三角形(三角函数应用)

2020中考数学专项解析：解直角三角形(三角函数应用)

【文库独家】解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ A ）A ．20米B ．米C ．米D ．米［解析］GE//AB//CD ，BC=2GC ，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot ∠ACB=30×cot60º=10 3 米，DF=AF •tan30º=10 3 ×33=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。

2、（杭州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ）A ．B ．C ．D ．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC 中，由AB 与sinA 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC 中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S △ABC =AC•BC=AB•CD， ∴CD==． 故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．3、（•绥化）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．∴AD=AD=4．+44、（•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．∴OP=5、（安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．6、（11-4解直角三角形的实际应用·东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为米.15. 9.解析：过B 作BE ⊥CD 于点E ，设旗杆AB 的高度为x ，在Rt ABC ∆中，tan AB ACB AC ∠=，所以tan tan 60AB x AC x ACB ====∠︒，在Rt BDE ∆中，BE AC x ==，60BOE ∠=︒，tan BE BDE DE ∠=，所以1tan 3BE DE x BDE===∠，因为CE=AB=x ，所以163DC CE DE x x =-=-=，所以x=9，故旗杆的高度为9米. 7、（•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．BD=2sinB=，∴AB==3∴BD==2∴BC=BD+DC=2∴CE=BC=+，CD=﹣∴tan∠DAE==﹣8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。

2020年中考数学必考考点专题18解直角三角形问题含解析

2020年中考数学必考考点专题18解直角三角形问题含解析

专题18 解直角三角形问题一、勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5. 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边2.特殊值的三角函数：专题知识回顾三、仰角、俯角、坡度概念 1．仰角：视线在水平线上方的角； 2．俯角：视线在水平线下方的角。

3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

四、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P 点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．【答案】2或2或2．【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．∵AO＝OB＝2，∴当BP＝2时，∠APB＝90°，当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，∴BP＝＝2，当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB•tan∠1＝2，故答案为：2或2或2．【例题2】（2019•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【答案】D【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．【例题3】（2019•江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sinB＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D.C.M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出C D．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D.C.M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．专题典型训练题一、选择题1．（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6【答案】A．【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．A.12+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项正确；B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；D.42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误．2．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）A ．，，B．32，42，52C ．D．0.3，0.4，0.5【答案】D．【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．A.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。

中考数学总复习《解直角三角形》专项测试卷带答案

中考数学总复习《解直角三角形》专项测试卷带答案

中考数学总复习《解直角三角形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A 层·基础过关1.已知∠A 是锐角,sin A =35,则tan A 的值是 ( )A .35B .34C .43D .452.(2024·东营垦利区二模)如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,现测得∠A =88°,∠C =42°,AB =60,则点A 到BC 的距离为 ( )A .60sin 50°B .60sin50°C .60cos 50°D .60tan 50°3.宽与长的比是√5-12的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图,把黄金矩形ABCD 沿对角线AC 翻折,点B 落在点B'处,AB'交CD 于点E ,则sin ∠DAE 的值为 ( )A .√55B .12C .35D .2√554.(2024·淄博高青县模拟)在△ABC 中,若|sin A -12|+(√22-cos B )2=0,则∠C 的度数是 .5.(2024·绥化中考)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°,测得底部点B的俯角为45°,点A与楼BC的水平距离AD=50 m,则这栋楼的高度为m(结果保留根号).6. (2024·赤峰中考)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图,点C处与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达D 处,测得古树顶部B的俯角为45°,古树底部A的俯角为65°,则古树AB的高度约为米(结果精确到0.1米;参考数据:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423,tan 65°≈2.145).7.(2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.(1)求BC的长;(2)求sin∠DAE的值.B 层·能力提升8.(2024·深圳中考)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m 的测量仪EF 测得顶端A 的仰角为45°,小军在小明的前面5 m 处用高1.5 m 的测量仪CD 测得顶端A 的仰角为53°,则电子厂AB 的高度为 ( ) (参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43)A .22.7 mB .22.4 mC .21.2 mD .23.0 m9.(2024·包头中考)如图,在矩形ABCD 中,E ,F 是边BC 上两点,且BE =EF =FC ,连接DE ,AF ,DE 与AF 相交于点G ,连接BG.若AB =4,BC =6,则sin ∠GBF 的值为 ( )A .√1010B .3√1010 C .13 D .2310. (2024·盐城中考)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升到距地面30 m 的点P 处,测得教学楼底端点A 的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)11.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l翻折至AB所在直线,对应点分别为C',D',若AC'∶AB∶BC=1∶3∶7,则cos∠ABC=.C层·素养挑战12.(2024·广元中考)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入叫做介质的“绝对折射率”,简称射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征.,β=30°,求该介质的(1)若光从真空射入某介质,入射角为α,折射角为β,且cos α=√74折射率;(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A,B,C,D分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②,已知α=60°,CD=10 cm,求截面ABCD的面积.参考答案A 层·基础过关1.(2024·潍坊寿光市二模)已知∠A 是锐角,sin A =35,则tan A 的值是 (B)A .35B .34C .43D .452.(2024·东营垦利区二模)如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,现测得∠A =88°,∠C =42°,AB =60,则点A 到BC 的距离为 (A)A .60sin 50°B .60sin50°C .60cos 50°D .60tan 50°3.(2024·泸州中考)宽与长的比是√5-12的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图,把黄金矩形ABCD 沿对角线AC 翻折,点B 落在点B'处,AB'交CD 于点E ,则sin ∠DAE 的值为 (A)A .√55B .12C .35D .2√554.(2024·淄博高青县模拟)在△ABC 中,若|sin A -12|+(√22-cos B )2=0,则∠C 的度数是 105° .5.(2024·绥化中考)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A 测得该楼顶部点C 的仰角为60°,测得底部点B 的俯角为45°,点A 与楼BC 的水平距离AD =50 m,则这栋楼的高度为 (50+50√3) m(结果保留根号).6. (2024·赤峰中考)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图,点C处与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达D 处,测得古树顶部B的俯角为45°,古树底部A的俯角为65°,则古树AB的高度约为11.5米(结果精确到0.1米;参考数据:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423,tan 65°≈2.145).7.(2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.(1)求BC的长;(2)求sin∠DAE的值.【解析】(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6∴BD=√AB2-AD2=√102-62=8;∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6∴BC=BD+CD=8+6=14;(2)∵AE 是BC 边上的中线,∴CE =12BC =7,∴DE =CE -CD =7-6=1,∵AD ⊥BC∴AE =√AD 2+DE 2=√62+12=√37∴sin ∠DAE =DEAE =√37=√3737.B 层·能力提升8.(2024·深圳中考)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m 的测量仪EF 测得顶端A 的仰角为45°,小军在小明的前面5 m 处用高1.5 m 的测量仪CD 测得顶端A 的仰角为53°,则电子厂AB 的高度为 (A) (参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43)A .22.7 mB .22.4 mC .21.2 mD .23.0 m9.(2024·包头中考)如图,在矩形ABCD 中,E ,F 是边BC 上两点,且BE =EF =FC ,连接DE ,AF ,DE 与AF 相交于点G ,连接BG.若AB =4,BC =6,则sin ∠GBF 的值为 (A)A .√1010B .3√1010 C .13 D .2310. (2024·盐城中考)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升到距地面30 m 的点P 处,测得教学楼底端点A 的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m 至点Q 处,测得教学楼顶端点B 的俯角为45°,则教学楼AB 的高度约为 17 m .(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)11.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l翻折至或AB所在直线,对应点分别为C',D',若AC'∶AB∶BC=1∶3∶7,则cos∠ABC=274.7C层·素养挑战12.(2024·广元中考)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入叫做介质的“绝对折射率”,简称射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征.(1)若光从真空射入某介质,入射角为α,折射角为β,且cos α=√7,β=30°,求该介质的4折射率;(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A,B,C,D分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②,已知α=60°,CD=10 cm,求截面ABCD的面积.【解析】(1)∵cos α=√74∴如图设b=√7x,则c=4x,由勾股定理得,a=√(4x)2-(√7x)2=3x∴sin α=ac =3x4x=34,又∵β=30°∴sin β=sin 30°=12∴折射率为sinαsinβ=3412=32.(2)根据折射率与(1)的材料相同,可得折射率为32∵α=60°∴sinαsinβ=sin60°sinβ=32,∴sin β=√33.∵四边形ABCD是矩形,点O是AD中点∴AD=2OD,∠D=90°又∵∠OCD=β∴sin∠OCD=sin β=√33在Rt△ODC中,设OD=√3x,OC=3x由勾股定理得,CD=√(3x)2-(√3x)2=√6x∴tan β=ODCD =√3x√6x=√2.又∵CD=10 cm∴OD10=√2∴OD=5√2cm∴AD=10√2cm,∴截面ABCD的面积为:10√2×10=100√2cm2.。

2020年中考数学 临考大专题复习练习：三角形(解析版)

2020年中考数学 临考大专题复习练习：三角形(解析版)

2020中考数学临考大专题复习：三角形一、选择题（本大题共8道小题）1. 在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则()A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°2. 如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°3. 已知:如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，BC=√5，以点B为圆心，BC 为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为()A.2√2B.2√3C.√5D.√64. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是()5. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为()A.AB=√41，BC=4，AC=5B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D.cos A-12+tan B-√332=06. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是()A.45°B.60°C.75°D.85°7. 如图，平面直角坐标系中，☉P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D 是☉P上的一动点，当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是()A.2B.3C.4D.58. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于M，交AC于N.若△AMN的周长为18，BC=6，则△ABC的周长为()A.21B.22C.24D.26二、填空题（本大题共5道小题）9. 如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=.10. 无盖圆柱形杯子的展开图如图K20-7所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm.11. 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN.(1)根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系;(2)若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积.12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD2的值是.13. 在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=.三、解答题（本大题共4道小题）14. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D 作☉O的切线交BC于点E，连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.16. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，在AD的上方作等腰直角三角形ADF.(1)如图①，当点D在线段BC上时(不与点B重合)，求证:△ACF≌△ABD;(2)如图②，当点D在线段BC的延长线上时，猜想CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由.17. 如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC 上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想图①中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．2020中考数学临考大专题复习：三角形-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】D[解析]不妨设∠A=∠C-∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选D.2. 【答案】B3. 【答案】C[解析]在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，所以∠ABC=72°，∠A=36°，因为BC=BD，所以∠BDC=72°，所以∠ABD=36°，所以AD=BD=BC=√5，故选C.4. 【答案】B[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A1B1C1各边长分别为1，√2，√5，选项A中阴影三角形三边长分别为:√2，√5，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B 中阴影三角形三边长分别为:√2，2，√10，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C 中阴影三角形三边长分别为:1，√5，2√2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D 中阴影三角形三边长分别为:2，√5，√13，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B .5. 【答案】C[解析]A .∵52+42=25+16=41=(√41)2，∴△ABC 是直角三角形;B .设AB=3x ，则BC=4x ，AC=5x.∵(3x )2+(4x )2=9x 2+16x 2=25x 2=(5x )2，∴△ABC 是直角三角形;C .∵∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5，∴∠C=53+4+5×180°=75°≠90°，∴△ABC 不是直角三角形;D .∵cos A -12+tan B -√332=0，∴cos A=12，tan B=√33，∴∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=90°，∴△ABC 是直角三角形. 故选C.6. 【答案】C[解析]如图，在直角三角形中，可得∠1+∠A=90°，∵∠A=45°，∴∠1=45°，∴∠2=45°. ∵∠B=30°，∴∠α=∠2+∠B=75°， 故选C .7. 【答案】B[解析]如图所示，当点D 到弦OB 的距离最大时，DE ⊥OB 于E 点，且D ，E ，P 三点共线.连接AB ，由题意可知AB 为☉P 的直径，∵A (8，0)，∴OA=8，∵B (0，6)，∴OB=6，∴OE=BE=12OB=3，在Rt △AOB 中，AB=√OA 2+OB 2=10，∴BP=12AB=12×10=5，在Rt △PEB 中，PE=√BP 2-BE 2=4，∴DE=EP +DP=4+5=9，∴tan ∠DOB=DE OE =93=3，故选B .8. 【答案】C [解析]∵MN ∥BC ，∴∠MEB=∠EBC.∵BE 平分∠ABC ，∴∠MBE=∠EBC ， ∴∠MEB=∠MBE ，∴△MBE 是等腰三角形， ∴ME=MB.同理，EN=CN ，∵AM +AN +MN=18，MN=ME +EN=BM +CN ，∴AM +AN +BM +CN=18，∴AB +AC=18，∴AB +AC +BC=24.即△ABC 的周长为24. 二、填空题（本大题共5道小题）9. 【答案】165[解析]在Rt △ABC 中，AB=√AC 2+BC 2=5，由等面积法得12AC ·BC=12CD ·AB ，CD=CA ·BC AB =3×45=125，∴AD=√AC 2-CD 2=√42-(125) 2=165.10. 【答案】5[解析]由题意可得:杯子内的木筷最大长度为:√122+92=15，∴木筷露在杯子外面的部分最少为:20-15=5(cm).11. 【答案】解:(1)由勾股定理得，a 2+b 2=c 2.(2)∵正方形EFMN 的面积为64，∴c 2=64，即c=8. ∵Rt △ABC 的周长为18，∴a +b +c=18， ∴a +b=10，∴Rt △ABC 的面积=12ab=14[(a +b )2-(a 2+b 2)]=9.12. 【答案】8+4√3[解析]如图，连接AD ，设AC 与BD 交于点O ，由题意得CA=CD ，∠ACD=60°，∴△ACD 为等边三角形，∴AD=CD ，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°. ∵∠ABC=90°，AB=BC=2， ∴AC=CD=2√2.∵AB=BC ，CD=AD ，∴BD 垂直平分AC ， ∴BO=12AC=√2，OD=CD ·sin60°=√6， ∴BD=√2+√6，∴BD 2=(√2+√6)2=8+4√3.13. 【答案】2√3 [解析]如图，作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴AG=√32AB=2√3，连接AD ，则S △ABD +S △ACD =S △ABC ， ∴12AB ·DE +12AC ·DF=12BC ·AG ， ∵AB=AC=BC=4，∴DE +DF=AG=2√3.三、解答题（本大题共4道小题）14. 【答案】证明:(1)如图，连接DE.∵CD 是AB 边上的高，∴CD ⊥AB. ∴∠ADC=90°. ∵AE=CE ， ∴DE=12AC=CE=AE. ∵BD=CE ， ∴DE=BD.∴点D 在线段BE 的垂直平分线上. (2)∵BD=DE ，∴∠ADE=2∠ABE. ∵DE=AE ，∴∠A=∠ADE=2∠ABE. ∴∠BEC=∠ABE +∠A=3∠ABE.15. 【答案】证明:(1)连接OD.∵DE是☉O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADO+∠BDE=90°.又∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠BDE=∠B，∴EB=ED，∴△DBE是等腰三角形.(2)∵∠ACB=90°，AC是☉O的直径，∴CB是☉O的切线，又∵DE是☉O的切线，∴DE=EC.∵DE=EB，∴EC=EB.∵OA=OC，∴OE∥AB.∴△COE∽△CAB.16. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAF+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中，{AC=AB，∠CAF=∠BAD，AF=AD，∴△ACF≌△ABD(SAS).(2)CF=BD且CF⊥BD，理由如下: ∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中，{AC=AB，∠CAF=∠BAD，AF=AD，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD.∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=∠ABD+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD.17. 【答案】(1)PM＝PN，PM⊥PN；【解法提示】∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，∴PM//CE且PM=12CE，PN∥BD且PN=12BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠CNP＝∠B，∴∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠B＋∠PCN，∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠PCN＋∠B＝∠ACB＋∠B＝90°，∴PM⊥PN；(2)△PMN为等腰直角三角形．理由如下：由题可知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，又∵M，P，N分别是DE，CD，BC的中点，∴PM是△CDE的中位线，∴PM∥CE且PM=12 CE，同理PN∥BD且PN=12 BD，∴PM＝PN，∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD，∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°，∴△PMN为等腰直角三角形；(3)49 2.【解法提示】∵△PMN为等腰直角三角形，∴S△PMN ＝12PM2，要使△PMN的面积最大，即PM最大，由(2)得，PM＝12CE，即当CE最大时，PM最大．如解图，当点C、E在点A异侧，且在同一条直线上时，CE最大，此时CE＝AE＋AC＝AD＋AB＝14，解图∴PM＝12CE＝12×14＝7，故△PMN的最大面积为S△PMN ＝12×7×7＝492.。

广东2020年中考数学专题测试卷(四)---三角形

广东2020年中考数学专题测试卷(四)---三角形

2020年广东中考数学专题测试卷(四)三角形(本卷满分120分，考试时长90分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．1．若一个角为75°，则它的余角的度数为()A．285°B．105°C．75°D．15°2．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是()A．线段CA的长度B．线段CM的长度C．线段CD的长度D．线段CB的长度3．如图，AB∥CD，若∠1＝65°，则∠2的度数是()A．65°B．105°C．115°D．125°第3题图4．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是()A．3,4,8B．5,6,10C．5,5,11D．5,6,115．若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是()A．锐角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于()A．4B．3C．2D．17．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为()A．8B．11C．16D．178．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin B ＝( ) A.35 B ．45C ．37D ．349．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若∠A ＝26°，则∠BDC 的度数是( ) A ．26° B ．38°C ．42°D ．52°10．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是( ) A ．AC ＝AD B ．AB ⊥EBC ．BC ＝DED ．∠A ＝∠EBC二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知直线a ∥b ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图所示的方式放置(∠BAC ＝30°)，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若∠1＝18°，则∠2的度数是 .12．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E.若∠AED＝50°，则∠D的度数为.第12题图13．如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝9，AE＝4，则EC的长为.第13题图14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD ＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为.第14题图15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F在AB上，且EF∥CD.若EF＝2，则AB＝.第15题图16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝12BC，连接FE并延长交AB于点M.若BC＝a，则△FMB的周长为.第16题图17．如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A(2,2)，B(3,4)，C(6,1)，B′(6,8)，则△A′B′C′的面积为.三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)18．计算：|3－2|＋(π－2 020)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－1＋3tan 30°.19．如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，CE 与BF 交于点G ，∠A ＝∠1，CE ∥DF ，求证：∠E ＝∠F .20．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30 m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD.(结果取整数；参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E；(2)在(1)作出的图形中，若CB＝4，CA＝6，则DE＝.22．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；(2)求证：△ABC的内角和等于180°；(3)若aa－b＋c＝12(a＋b＋c)c，求证：△ABC是直角三角形．23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)24．已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝3＋1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP 为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON.(1)依题意补全图1；(2)求证：∠OMP＝∠OPN；(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．25．如图是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°.(1)如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE.①求证：CD＝CE，CD⊥CE；②求证：AD＋BD＝2CD；(2)若△ABC与△ABD的位置如图2所示，请探究线段AD，BD，CD 的数量关系，并写出理由．1．D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 9.D 10.D11．48° 12.25° 13.5 14.9 15.8 16.92a 17.18 18．解：原式＝2－3＋1－(－3)＋3×33＝2－3＋1＋3＋3＝6. 19．证明：∵CE ∥DF ，∴∠ACE ＝∠D ，∵∠A ＝∠1，∴180°－∠ACE －∠A ＝180°－∠D －∠1，又∵∠E ＝180°－∠ACE －∠A ，∠F ＝180°－∠D －∠1，∴∠E ＝∠F .20．解：在Rt △CAD 中，tan ∠CAD ＝CD AD，∠CAD ＝31°， ∴AD ＝CD tan 31°≈53CD ， 在Rt △CBD 中，∠CBD ＝45°，∴BD ＝CD ，∵AD ＝AB ＋BD ，∴53CD ＝30＋CD ，解得CD ＝45. 答：这座灯塔的高度CD 约为45 m.21．解：(1)如图． (2)12522．(1)解：∵在△ABC 中，a ＝6，b ＝8，c ＝12，∴∠A ＋∠B ＜∠C .(2)证明：如图，过点A 作MN ∥BC ，∵MN ∥BC ，∴∠MAB ＝∠B ，∠NAC ＝∠C ，∵∠MAB ＋∠BAC ＋∠NAC ＝180°，∴∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°，即△ABC 的内角和等于180°.(3)证明：∵a a －b ＋c＝12(a ＋b ＋c )c ， ∴ac ＝12(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝12[(a 2＋2ac ＋c 2)－b 2]， ∴2ac ＝a 2＋2ac ＋c 2－b 2，∴a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 是直角三角形．23．(1)证明：在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD ，MN ＝12AD ， 在Rt △ABC 中，∵M 是AC 中点，∴BM ＝12AC ， ∵AC ＝AD ，∴MN ＝BM .(2)解：∵∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ＝30°，由(1)可知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ， ∴∠BMC ＝∠BAM ＋∠ABM ＝2∠BAM ＝60°，∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°，∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°，∴BN 2＝BM 2＋MN 2，由(1)可知MN ＝BM ＝12AC ＝1，∴BN ＝ 2. 24．(1)解：如图1.图1(2)证明：设∠OPM ＝α，∵线段PM 绕点P 顺时针旋转150°得到线段PN ，∴∠MPN ＝150°，PM ＝PN ，∴∠OPN ＝∠MPN －∠OPM ＝150°－α.∵∠AOB ＝30°，∴∠OMP ＝180°－∠AOB －∠OPM ＝180°－30°－α＝150°－α，∴∠OMP ＝∠OPN .(3)解：OP ＝2时，总有ON ＝QP ，证明如下：如图2，过点N 作NC ⊥OB 于点C ，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，图2∴∠NCP ＝∠PDM ＝∠PDQ ＝90°.∵∠AOB ＝30°，OP ＝2，∴PD ＝12OP ＝1， ∴OD ＝OP 2－PD 2＝ 3.∵OH ＝3＋1，∴DH ＝OH －OD ＝1.∵∠OMP ＝∠OPN ，∴180°－∠OMP ＝180°－∠OPN ，即∠PMD ＝∠NPC .在△PDM 与△NCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠PDM ＝∠NCP ∠PMD ＝∠NPCPM ＝NP ，∴△PDM ≌△NCP (AAS)，∴PD ＝NC ，DM ＝CP .设DM ＝CP ＝x ，则OC ＝OP ＋PC ＝2＋x ，MH ＝MD ＋DH ＝x ＋1.∵点M 关于点H 的对称点为Q ，∴HQ ＝MH ＝x ＋1，∴DQ ＝DH ＋HQ ＝1＋x ＋1＝2＋x ，∴OC ＝DQ .在△OCN 与△QDP 中，⎩⎪⎨⎪⎧ OC ＝QD ∠OCN ＝∠QDP ＝90°NC ＝PD， ∴△OCN ≌△QDP (SAS)，∴ON ＝QP .25．(1)证明：①在四边形ADBC 中，∠DAC ＋∠DBC ＋∠ADB ＋∠ACB ＝360°， ∵∠ADB ＋∠ACB ＝180°，∴∠DAC＋∠DBC＝180°，∵∠EAC＋∠DAC＝180°，∴∠DBC＝∠EAC，又∵BD＝AE，BC＝AC，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠BCD＋∠DCA＝90°，∴∠ACE＋∠DCA＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE.②∵CD＝CE，CD⊥CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝2CD，∵DE＝AD＋AE，AE＝BD，∴DE＝AD＋BD，∴AD＋BD＝2CD.(2)解：AD－BD＝2CD，理由如下：如图，在AD上截取AE＝BD，连接CE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵∠ADB＝90°，∴∠CBD＝90°－∠BAD－∠ABC＝90°－∠BAD－45°＝45°－∠BAD，∵∠CAE＝∠BAC－∠BAD＝45°－∠BAD，∴∠CBD＝∠CAE，又∵BD＝AE，BC＝AC，∴△CBD≌△CAE(SAS)，∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠ACE＋∠BCE＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠BCE＝90°，即∠DCE＝90°，∴DE＝CD2＋CE2＝2CD2＝2CD，∵DE＝AD－AE＝AD－BD，∴AD－BD＝2CD.。

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。

2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用(常考类型)(附答案)

2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用(常考类型)(附答案)

2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用（常考类型）一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01）【sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】2．为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长．（参考数据：）3．太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直）．已知：支架CF＝100cm，CD＝20cm，FE⊥AD于E，若θ＝37°，求EF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）4．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）5．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）6．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）7．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为60°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）9．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）10．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）11．国庆期间，小明和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小明进行了以下的测量：他到与西塔距离26米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小明计算西塔BD和大楼AC的高度吗？12．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）13．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）三、解直角三角形的应用：方向角问题15．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）16．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）求景点A与C的距离．（结果保留根号）17．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70°方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25°方向上，求灯塔C与码头B之间的距离（结果保留根号）．18．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）19．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）20．某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，A船突然出现故障，向B，C两船发出紧急求救信号，此时C船位于B船的北偏西81°方向，距B船36海里的海域，A船位于B船的北偏东24°方向，同时又位于C船的北偏东69°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）B船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：≈1.414，≈1.732）．21．如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．参考答案一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝，∴AC＝＝≈32.05（m），答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．2．【解答】解：解：过点A作AD⊥MN于点D，在Rt△ADB与Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知：tan10°＝＝＝，tan14°＝＝，故4AD＝DC，则＝，解得：AD＝1，答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m．3．【解答】解：地面水平线与吸热管夹角∠1与θ互余，延长ED交BC的延长线于点H，则∠H＝θ＝37°，在Rt△CDH中，HC＝，∴HF＝HC+CF＝+CF，在Rt△EFM中，EF＝（+CF）•sin37°≈＝76答：EF的长为76cm．4．【解答】解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8，∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．5．【解答】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1：，∴tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴，即，解得，ED＝320，∴CD＝＝米，答：斜坡CD的长是米．6．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，∴BG＝BH﹣HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝900（9﹣5）立方米．7．【解答】解：由题意知，AH＝10米，BC＝10米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10米在Rt△DBC中，∵∠CDB＝30°，∴DB＝＝10（米）∵DH＝AH﹣DA＝AH﹣（DB﹣AB）＝10﹣10+10＝20﹣10≈2.7（米）∴建筑物需要拆除．二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，∴EF＝CD，CF＝DE＝10，设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，∴＝，∴x＝24+8≈37.8m答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．9．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．10．【解答】解：设MC＝x，∵∠MAC＝30°，∴在Rt△MAC中，AC＝＝＝x．∵∠MBC＝45°，∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，又∵AB＝DE＝40，∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，解得：x＝20+20≈54.6，∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），答：楼MF的高56.1米．11．【解答】解：作CE⊥BD于E，则四边形ACED为矩形，∴CE＝AD＝26，AC＝DE，在Rt△BAD中，tan∠BAD＝，则BD＝AD•tan∠BAD＝26，在Rt△BCE中，tan∠BCE＝，则BE＝CE•tan∠BCE＝，∴AC＝DE＝BD﹣BE＝，答：西塔BD的高度为26米，大楼AC的高度为米．12．【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．13．【解答】解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．14．【解答】解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM ＝45°，AN＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．三、解直角三角形的应用：方向角问题15．【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．16．【解答】解：（1）过点C作CD⊥直线l，垂足为D，如图所示．根据题意，得：∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．设CD＝xkm．在Rt△ACD中，cot∠CAD＝＝，∴AD＝xkm；在Rt△BCD中，cot∠CBD＝＝，sin∠CBD＝＝，∴BD＝xkm，BC＝xkm．∴AB＝AD﹣BD＝x＝10，∴x＝5，∴BC＝x＝10km．（2）在Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，∴AC＝2CD＝10km．17．【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D由题意知，AB＝30海里，∠DAB＝60°，∠ABC＝50°+25°＝75°，∴∠C＝45°在Rt△ABD中，∵sin∠DAB＝，∴sin60°＝∴BD＝海里在Rt△BCD中，∵sin∠C＝，∴sin45°＝∴BC＝海里答：灯塔C与码头B之间的距离为海里．18．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CF A＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝＝＝9+3≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile．19．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sin B＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．20．【解答】解：（1）∵BD∥CE，∴∠DBC+∠ECB＝180°，∴∠ECB＝180°﹣81°＝99°，∴∠ACB＝99°﹣69°＝30°；（2）如图，作BH⊥AC，垂足为H．在△ABC中，∠CAB＝180°﹣81°﹣24°﹣30°＝45°．∵∠ACB＝30°，∴在Rt△BCH中，BH＝BC＝18，∵在Rt△ABH中，sin∠CAB＝，∴AB＝＝＝18．则B船到A船出事地点的时间是：≈≈0.85（小时）．答：B船约0.85小时能到达A船出事地点．21．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，．在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝230km．CD＝AC＝230km．∵丙地位于乙地北偏东66°方向，在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，∴BD＝＝（km）．∴AB＝BD+AD＝230+（km）．答：公路AB的长为（230+）km．。

2020年中考数学二轮复习压轴专题：三角形(解析版)

2020年中考数学二轮复习压轴专题：三角形(解析版)

2020年中考数学二轮复习压轴专题：《三角形》1．在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM＝135°，CN＝CM，如图①（1）求证：∠ACN＝∠AMC（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：（3）延长线段AB到点P，使BP＝BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN＝CP始终成立？（写出探究过程）解：（1）∵∠BAC＝45°，∴∠AMC＝180°﹣45°﹣∠ACM＝135°﹣∠ACM，∵∠NCM＝135°，∴∠ACN＝135°﹣∠ACM，∴∠ACN＝∠AMC；（2）过点N作NE⊥AC于E，∵∠CEN＝∠CDM＝90°，∠ACN＝∠AMC，CM＝CN，∴△NEC≌△CDM（AAS）∴NE＝CD，CE＝DM；∵S1＝AC•NE，S2＝AB•CD，∴＝；（3）当AC＝2BD时，对于满足条件的任意点N，AN＝CP始终成立，理由如下：过点N作NE⊥AC于E，由（2）可得NE＝CD，CE＝DM，∵AC＝2BD，BP＝BM，CE＝DM，∴AC﹣CE＝BD+BD﹣DM∴AE＝BD+BP＝DP，∵NE＝CD，∠NEA＝∠CDP＝90°，AE＝DP，∴△NEA≌△CDP（SAS）∴AN＝PC．2．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），故答案为（﹣6，﹣2）；（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝4，∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，∴﹣4﹣m＝n+4，∴m+n＝﹣8．3．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为AE＝BD．②∠APC的度数为60°．（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为AE＝BD，AE⊥BD．解：（1）观察猜想：①如图1，设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE ＝S△BCD，∵∠AOC＝∠DOP，∴∠DPO＝∠ACO＝60°，∴∠APB＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴CP平分∠APB，∴∠APC＝60°，故答案为AE＝BD，60°．（2）数学思考：：①成立，②不成立，理由：设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，∵∠AOP＝∠DOC，∴∠APO＝∠DCO＝60°，∴∠DPE＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴CP平分∠DPE，∴∠DPC＝60°，∴∠APC＝120°，∴①成立，②不成立；拓展应用：设AC交BD于点O．∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，∴∠ACE＝∠DCB∴△AEC≌△DBC（SAS），∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE，∴∠DCO＝∠APO＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．5．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，0°＜∠PBC＜180°，DB平分∠PBC，且DB＝DA．（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD平分∠PBC，∴∠PBD＝∠CBD＝30°，∵DB＝DA，∴∠PBD＝∠BPD＝30°；（2）如图2，连接CD，∵点D在∠PBC的平分线上，∴∠PBD＝∠CBD，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC＝AC，∠ACB＝60°，∵BP＝BA，∴BP＝BC，∵BD＝BD，∴△PBD≌△CBD（SAS），∴∠BPD＝∠BCD，∵DB＝DA，BC＝AC，CD＝CD，∴△BCD≌△ACD（SSS），∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝30°，∴∠BPD＝30°；（3）如图3，连接CD，∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠ACD＝∠BCD＝30°，∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD＝∠BCD＝30°，如图4，连接CD，∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠ACD＝∠BCD＝30°，∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD＝∠BCD＝30°，如图5，连接CD，∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠ACD＝∠BCD＝＝150°，∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD＝∠BCD＝150°，6．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF +S△CEF＝S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF +S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF +S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF ，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵D 为AB 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝BC ，AC ＝2CE ，同理：DF ＝AC ，∵AC ＝BC ，∴DE ＝DF ，∴四边形DECF 是正方形，∴CE ＝DF ＝CF ＝DE ，∵S △DEF ＝S △CEF ＝2＝DE •DF ＝DF 2，∴DF ＝2，∴CE ＝2，∴AC ＝2CE ＝4；（2）S △DEF +S △CEF ＝S △ABC 成立，理由如下：连接CD ；如图2所示：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴∠B ＝45°，∠DCE ＝∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝AB ＝BD ，∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，S △ABC ＝2S △BCD ，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDE ＝∠BDF ，在△CDE 和△BDF 中，，∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴DE ＝DF ．S △CDE ＝S △BDF ．∴S △DEF +S △CEF ＝S △CDE +S △CDF ＝S △BCD ＝S △ABC ；（3）不成立；S △DEF ﹣S △CEF ＝S △ABC ；理由如下：连接CD，如图3所示：同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，∴S△DEF ＝S五边形DBFEC，＝S△CFE +S△DBC，＝S△CFE +S△ABC，∴S△DEF ﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF 、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°， AC＝15，则DE的长为 5 ．解：定理证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∵直线n是边AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OA＝OB∵OH⊥AB，∴AH＝BH；（2）如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，∴DE＝5，故答案为：5．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，∠CBD＝90°，斜边CD交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC＝60°，BE＝4，作EH⊥BC于H，求线段BC的长；（2）如图2，作CF⊥AC，且CF＝AC，连接BF，且E为AB中点，求证：CD＝2BF．解：（1）∵∠ABC＝60°，EH⊥BC，∴∠BEH＝30°，∴BE＝2BH＝4，EH＝BH，∴BH＝2，EH＝2，∵∠CBD＝90°，BD＝BC，∴∠BCD＝45°，且EH⊥BC，∴∠BCD＝∠BEC＝45°，∴EH＝CH＝2，∴BC＝BH+HC＝2+2；（2）如图，过点A作AM⊥BC，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝MC＝BC＝DB，∵∠DCB＝45°，AM⊥BC，∴∠DCB＝∠MNC＝45°，∴MN＝MC＝BD，∵AM∥DB，∴△CNM∽△CBD∴，∴CD＝2CN，AN＝BD，∵CF⊥AC，∠BCD＝45°，∴∠ACD+∠BCF＝45°，且∠ACD+∠MAC＝45°，∴∠BCF＝∠MAC，且AC＝CF，BC＝AN，∴△ACN≌△CFB（SAS）∴BF＝CN，∴CD＝2BF9．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．【探究发现】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DP＝DB；【数学思考】证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，在△CDP和△GDB中，，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DP＝DB．10．已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足（m﹣n）2+|m﹣5|＝0．C 为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为AB＝2PE（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！（3）设AB＝5，若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．解：（1）∵（m﹣n）2+|m﹣5|＝0，∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，∴m＝n＝5，∴A（5，0）、B（0，5），∴AC＝BC＝5，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，∵PO＝PD，∴∠POD＝∠PDO，∵D是x轴正半轴上一点，∴点P在BC上，∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，∴∠POC＝∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC≌△DPE（AAS），∴OC＝PE，∵C为AB的中点，∴AB＝2OC，∴AB＝2PE．故答案为：AB＝2PE．（2）成立，理由如下：∵点C为AB中点，∴∠AO C＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，∵PO＝PD，∴∠POD＝∠PDO，∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，∴∠POC＝∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC≌△DPE（AAS），∴OC＝PE，又∠AOC＝∠BAO＝45°∴OC＝AC＝AB∴AB＝2PE；（3）∵AB＝5，∴OA＝OB＝5，∵OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，∴∠APD＝∠BOP，在△POB和△DPA中，，∴△POB≌△DPA（SAS），∴PA＝OB＝5，DA＝PB，∴DA＝PB＝5﹣5，∴OD＝OA﹣DA＝5﹣（5﹣5）＝10﹣5，∴点D的坐标为（10﹣5，0）．11．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．12．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．13．小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．小明同学对以上结论作了进一步探究．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，则：∠ABC＝30°．探究结论：（1）如图1，CE是AB边上的中线，易得结论：△ACE为等边三角形．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，CP是AB边上的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，在AB边上方作等边△ADE，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想加以证明．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当点C在第一象内，且B（2，0）时，求点C 的坐标．解：探究结论（1）∵CE是AB边上的中线，∴CE＝AE＝AB，∵AC＝AB，∴AC＝CE＝AE，∴△ACE是等边三角形．故答案为：等边；（2）如图2中，结论：ED＝EB．理由：取AB的中点P，连接CP、PE．∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC＝AP＝PC，AD＝AE＝DE，∠CAP＝∠DAE＝60°，∴∠CAD＝∠PAE，∴△CAD≌△PAE（SAS），∴∠ACD＝∠APE＝90°，∴EP⊥AB，∵PA＝PB，∴EA＝EB，∵DE＝AE，∴ED＝EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH＝30°，由（2）可知，CO＝CB，∵CF⊥OB，∴OF＝FB＝1，∴可以假设C（1，n），∵OC＝BC＝AB，∴1+n2＝1+（+2）2，∴n＝2+，∴C（1，2+）．14．如图，等边△ABC外有一点D，连接DA，DB，DC．（1）如图1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求证：BD平分∠ADC；（2）如图2，若∠BDC＝60°，求证：BD﹣CD＝AD；（3）如图3，延长AD交BC的延长线于点F，以BF为边向下作等边△BEF，若点D，C，E 在同一直线上，且∠ABD＝α，直接写出∠CEF的度数为60°﹣α（结果用含α的式子表示）．（1）证明：过点B作BM⊥CD于点M，BN⊥AD于点N，∴∠ANB＝∠CMB＝90°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∵∠DAB+∠DCB＝180°，∠DCB+∠BCM＝180°，∴∠OAB＝∠BCM，∴△ABN≌△CBM（AAS），∴BM＝BN，∴BD平分∠ADC；（2）证明：在BD上取点E，使DE＝CD，∵∠BD C＝60°∴△CDE为等边三角形，∴∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE，∴BD﹣CD＝AD；（3）解：∵△ABC，△BEF为等边三角形，∴AB＝CB，BF＝BE，∠ABF＝∠CBE∴△ABF≌CBE（SAS），∴∠DFB＝∠CEB，∵∠CEB+∠CEF＝60°，∠EFB＝60°∴∠FDE＝180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF＝60°∴∠ADC＝120°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，由（1）得BD平分∠ADC∴∠BDE＝60°，∴∠FDB＝120°，∴∠FDB+∠FEB＝180°，∴F，E，B，D四点共圆，∴∠CEF＝∠DBF∵∠DBF＝60°﹣α．∴∠CEF＝60°﹣α．故答案为：60°﹣α．15．已知，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，m），过B点作直线a与x轴互相垂直，C为x轴上的一个动点，且∠BAC＝90°．（1）如图1，若点B是第二象限内的一个点，且m＞2时，求点C的坐标；（用m的代数式表示）（2）如图2，若点B是第三象限内的一个点，设C点的坐标（x，0），求x的取值范围：（3）如图3，连接BC，作∠ABC的平分线BD，点E、F分别是射线BD与边BC上的两个动点，连接CE、EF，当m＝3时，试求CE+EF的最小值．解：（1）如图1，过B点作BH⊥y轴于点H，∴∠BHA＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠BHA＝∠AOC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ABH＝∠CAO，∵点A（0，2），B（﹣2，m），∴AO＝BH＝2，OH＝m，∵AO＝BH，∠ABH＝∠CAO，∠BHA＝∠AOC＝90°，∴△BHA≌△AOC（ASA）∴CO＝AH＝OH﹣AO＝m﹣2，∵m＞2，点C在x轴负半轴，∴点C（2﹣m，0）；（2）如图2，过B点作BK⊥y轴于点K，则∠AKB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAK+∠CAK＝90°，且∠BAK+∠ABK＝90°，∴∠CAK＝∠ABK，∵点A（0，2），B（﹣2，m），∴AO＝BK＝2，OH＝m，∵AO＝BK，∠CAK＝∠ABK，∠AOC＝∠AKB＝90°，∴△ABK≌△CAO（AAS）∴CO＝AK＝2﹣m，∵C点的坐标（x，0），∴CO＝x＝2﹣m，∵点B是第三象限内的一个点，∴m＜0，∴2﹣m＞2，∴x＞2；（3）如图3，在AB上截取BN＝BF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，且BE＝BE，BF＝BN，∴△BEF≌△BEN（SAS）∴EF＝EN，∴CE+EF＝CE+EN，∴当C，E，F三点共线，且N与点A重合时，CE+EF有最小值，此时最小值为AC，由（1）可知：点C（2﹣m，0）；且m＝3，∴点C（﹣1，0），∴CO＝1，∴AC＝＝＝，∴CE+EF的最小值为．。

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2020年中考解三角形专题测试卷
一．选择题
1．在ABC Rt ∆中，∠090=C ，2=AB ，1=AC ，则B sin 的值是（ ） （A ）2
1； （B ）
2
2； （C ）23
； （D ）2.
2．如果ABC Rt ∆中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A 的三角比的值（ ）
（A ） 都扩大到原来的2倍； （B ） 都缩小到原来的一半； （C ） 没有变化； （D ） 不能确定. 3．等腰三角形的底边长10cm ，周长36cm ，则底角的余弦值为……（ ）
(A )
125
； (B)512； (C)135； (D)13
12. 4.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21
，cos B ＝2
2
，则△ABC 三个角的大小关系是（ ） A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠C D ．∠C ＞∠B ＞∠A 5.若0°＜
＜90°，且|sin
－41|＋2
23cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-θ，则
tan 的值
等于（ ） A ．3 B ．
33 C ．2
1 D ．23
6.若三个锐角α.β.γ，满足sin α＝0.8480，cos β＝0.4540，tan γ＝1.8040，则α.β.γ的大小关系是（ ）
A.β＜α＜γ
B.α＜β＜γ
C.α＜γ＜β
D.β＜γ＜α
7. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.4
3 B. 3
4 C. 5
3 D. 3
5
8. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 2
1 B.
3
3 C. 1 D. 3
二．填空题
9．在Rt ΔABC 中，∠︒=90C , 若AB =5,BC =3,，则A sin = ，
=A cos ，=A tan ，
10．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，∠A =30°，AC =3,则BC = .
11．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC AB ＝2，则tan 2
B
= ．
12．若a 为锐角，且sin a ,则cos a = ． 13.用计算器比较两个锐角α，β的大小
（1）sin α＝0.55，tan β＝0.68，α＿＿＿＿＿β （2）sin α＝0.47，cos β＝0.89，α＿＿＿＿＿β
14. 已知0°<α<90°，当α=__________时，2
1
sin =
α，当α=__________时，Cota=3. 15. 若
，则锐角α=__________。

16．要测一电视塔的高度，在距电视塔80米处测得电视塔顶部的仰角为60°，则电视塔的高度为 米． 三．计算题
17.（1）sin 60°·cos 30°－12
. (2)2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°；
18.利用计算器求下列各式的值： (1) 43sin ''； (2)6544sin '''； (3) 820348sin '''︒； (4)7575sin57'''︒．
四.解答题
19．如下图所示，在Rt △ACB 中，∠BCA ＝90°，CD 是斜边上的高，∠ACD ＝30°，AD ＝1，求AC ，CD ，BC ，BD ，AB 的长．
20.如图，在离旗杆6m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为50°，已知测角仪高AD ＝1.5m ，求旗杆BC 的高（结果是近似数，请你自己选择合适的精确度）.如果你没有带计算器，也可选用如下：
sin50°≈0.7660 cos50≈0.6428 tan50°≈1.192
21. 已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD的长。

22. 如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。

23.如图所示，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100米，从楼顶C 处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。

答案
一．选择题
1．A ； 2．C ； 3．C ； 4．D ； 5.B 6．C ． 7.A 8. B 二．填空题
9． 35
；45
；3
4
； 10．3；
11[提示：∵∠C =90°，AC ，AB ＝2，∴cos A ，∴∠A ＝30°，∴∠B =90°－30°＝60°，∴2B ＝30°，∴tan 2
B
＝tan 30°
]
[提示：∵a 为锐角，∴sin 45°＝cos 45．] 13．(1)<，(2)> 14.30°，30°；
15. 60°； 16． 三．计算题
17.(1)原式11
24
-=． (2) 263-； 18.略 四.问答题
19．提示：AC ＝2，CD ，BC ＝BD ＝3，AB ＝4 20．旗杆高约73m ．
21. 解：过B 作CA 延长线的垂线，交于E 点， 过D 作DF ⊥AC 于F 。

∴DF ∥BE
∴△FDC∽△EBC
∵AD平分∠BAC
∵∠BAC=120°
∴∠EAB=180°－∠BAC=60°
在Rt△ABE中，
在Rt△ADF中，∵∠DAC=60°
22.解：在△AED中，∵DE⊥AB于E，
又∵DE∶AE=1∶5，∴设DE=x，则AE=5x。

在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，∴∠DAC=45°，
在Rt△BED和Rt△BCA中，∵∠B是公共角，
∠BED=∠BCA=90°，∴△BED∽△BCA。

∴AB=AE+BE=10+3=13。

23.解：在Rt△ADB中，
∵∠ADB=60°，DB=100m，
∴AB DB ADB m
10060100317320
∠×°
tan tan.() ====
在△ACE中，∠ACE=45°
∴AE=CE=100
∴CD EB AB AE m
..()
==-=-=
173********
答：电视塔高是173.2m，楼高是73.2m。

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