数列中的裂项法求和举例

数列中的裂项法求和举例

杨恒运

江苏省扬中高级中学 （212200）

数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n 项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。 1. 求通项公式

例1 已知数列｛n a ｝满足：

12132

1,,n n a a a a a a a ---- 是首项为1公比为1

3

的等比数列，求通项n a

由于121321n n n a a a a a a a a -+-+-++-=很容易求出通项1

13n n a -⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

2. 求等差数列前 n 项和

例2 在数列{}n a 中,若21

n n a n n s =+，求前项和 学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若

用裂项法就很容易求出其前n 项和

略解:显然22

(1)n a n n =+-

12222222

2

2

1 (21)(32)(1) (1)12(1)n n

n s a a a n n n n n

a a n d

=++

+=-+-+++-=+-=+=+-则一般地，若等差数列

()()1 1221211()

3

(21)22d 3 = n+12231122 =na (1)2

n n a dn a d d n a d

n a d d s n a d n n

n d

=+-=++-⎛

⎫⎡⎤-+- ⎪

⎣⎦⎝⎭

⎛⎫

⎡⎤∴=+-+- ⎪⎣⎦⎝

⎭+-则

3．求等比数列前n 项和

对于等比数列前n 项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简

例3 在数列{}n a 中,若2n n

n a n s =，求前项和

{}()

111n 111n 102111121122222

a (1)a a =

()q-1

1(1) (1)11n n n n n n n n n

n n n n n n n

a s a a q q q q a

s a a a q q q q q q q a a q q q q

++---==-∴=-=≠-∴=++=-+-+

---=-=

--略解：一般地在等比数列中 若则

4．求通项是等差数列与等比数列对应项乘积的数列的前n 项和 对这种数列的前n 项和问题更是一个难点，求和的方法是错位相减法，即使学生记得此方法，但运算正确的也很少，若用裂项法，则运算很简捷。 例4 在数列{}n a 中,若23

3n n

n a -=

，求数列前n 项和。 ()13331 33n n

n n n n

a n n

---=-=

-略解：

3n n

n

s ∴=-

例5 在数列{}n a 中,若

23

4n n

n a -= ， 求数列前n 项和 ()123

4214433 42111 3443411121441

34314

n n n

n

n n n n n n a n n n n n s --=

---=-⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎛⎫

- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=--

⎪⎝⎭-

116494n n n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭

()1111a 11 =

q-11n

n n

n n a aq q n n b an b q q q q n n aq

b q q q q ---++⎡⎤⎣

⎦+--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎪

-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

一般地:

由此很容易求出此数列的前n 项和。 5．求有关二项式系数的和 例6 化简

2222

234n c c c c +++

+

若利用组合数性质，则有2331k k k c c c +=-

∴原式=2333

2131n n c c c c +++-=

6．求通项是分式形式的数列前n 项和 例7 在数列{}n a 中 ，若1n

a n =+ 设正项数列{}n

b 满足

111,n n n b b b a +==

求证：

)

123

111

121n

b b b b ++++

>

证明：当1n =时不等式显然成立。当2n ≥时

111n n n

n n n b b a b b a +--== 两式相减得：

()1111

12111

1

1

1

2,1

n n n n n n b b b b b b a b b b b +-+--=∴=-====又

则 原式左边=

()()()()314253111

1

n n b b b b b b b b b +-+-+-+-++-

12111

n n b b b b b +=--++

)

1

2221

n n

b b

+

=-++>-+=

所以不等式成立。

7．通项是多项式形式的数列的求和

例8 求数列()

{}1

n n+的前n项和

()

()()()()

()()()() ()()

()()()()()()()() ()()()

()()

3

1211

1

3

1

12302341231211

3

1

=12

3

1

12123112

4

1

123

4

11

n

n

n

n

n

n n n n n n

a n n

s n n n n n n

n n n

a n n n n n n n n n n n

s n n n n

a n n n n n

++--+

=+=

=⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅++++--+

⎡⎤

⎣⎦

++

=++=+++--++

⎡⎤

⎣⎦=+++

==-++

解：

因此

相似地

由上式不难得到()()()

()1

1

112

42

n

n n

s n n n n

+

=-+++

⎡⎤

⎣⎦

类比可求得()()

1

n

a n n n k

=++的前n项和

8．求通项是三角形式的数列前n项和

例9 在数列｛

n

a｝中sin

n

a nx

=,求前n项和

n

s

sin sin

2

sin

sin

2

1

cos cos

222

sin

2

12121

cos cos

22

2sin

2

121

cos cos

22

2sin

2

n

n

x

nx

a nx

x

x x

nx nx

x

n n

x x

x

n x

s x

x

==

⎡⎤

⎛⎫⎛⎫

-+--

⎪ ⎪

⎢⎥

⎝⎭⎝⎭

⎣⎦

=

+-

⎡⎤

=--

⎢⎥

⎣⎦

+

⎡⎤

∴=--

⎢⎥

⎣⎦

解：

裂项法在其它形式的数列求和中均有广泛应用，在此不一一举例。裂项法求和关键在于拆项、消项。因而具有较强的技巧。在平时的解题训练中不应生搬硬套，过于追求巧，而应灵活应用。