数值计算方法(2)

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数值计算方法第2章2-1节

（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
18
证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
10
2.1.3 区间二分法
定理函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根。
5
有根区间
介值定理若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
6
2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可在(a,b)上任取一点x0作为初始近似根。

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218，而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。

数值计算方法》试题集和答案(1_6)2

《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：，2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。

13、用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为，。

【doc】绘制流网的数值计算方法

绘制流网的数值计算方法水利水运科学研究1994年6月tan一是一或d—dx一0式中口为与轴的夹角,和分别为在和轴向的分量.(2)式为描述流线的流线方程,对二维渗流场都适用.在地下水(假定为不可压缩)的渗流问题中,有渗流连续性方程+:0drdV故流线方程(2)式则为全微分方程(=』z(1)(2)(4)或d妇,)一d+d=Vdy—dx(5)得渗流速度与流函数的关系为y一1:型}J由Darcy定律fa一一到薹}㈣【J及(6)式可得'+雾一(—k)啬+k(耄一雾)(8)式中,,及为Darcy渗透系数;,)为水头函数.可见,当渗流域为各向同性域时(一,一=O),流函数,)满足Laplace微分方程;当域中介质为各向异性体时≠,一≠O),流函数不满足Laplace方程.再由(6)和(7)式可得(k警+b)+(k箬+)一o(9)因此,当渗流域由各向同性体组成时,有+等=o㈣,.av.…或V?V一0(11)表明流网中流线与等水头线互为正交,流网为一正交型曲线网络图.反之,在各向异性庠渗流场中,(10)或(n)式均不等于0.即流网流线与等水头线不正交,流网为一斜交型曲线网第1,z期朱岳明等t绘制流同的数值计算方法络图.三,流网的数值计算在渗流域S内,(6)式的两边分别对y及徽分,整理得流函数的Passion型徽分方程+等+警一=o0.0.…再沿面域S的边界曲线r对(6)式分别乘以和n,相加得(12)式解的Neumaun边界条件+=一(13)式中n和,为边界曲线r的外法线方向余弦i渗流速度和,是水头函数的梯度函数,可用有限元法先计算出水头函数在域中的分布,再求得和.如引入单元内水头函数,y)的有限元法插值式,)一∑Ⅳ.(14)则有一一∑∑k警+b警警+警(15)式中,M和m分别为单元结点的水头值,插值基函数和单元结点数固已有水头函数的有限元离散解,和V只是位置坐标的函数.根据变分原理,由(12)和(13)式构成的流函数的解为下述泛函Ⅱ()的驻值点一盯[吉c丢cc警一一f'一nV,)dP(16)因有V=dPⅡ主(VDdS及一JJV,)dS(16)式.q-简化为)一盯[丢(-f-W¨-+,一(17)把(15)式代/k(17)式并在单元内引入流函数的有限元插值(18)式,);∑Ⅳj(18)则在计算域S内,对(17)式进行有限元法的离散运算及单元传导矩阵和左,右端项的集合组装后,可得标准型有限元法线性支配方程水利水运科学研究1994年6月I-K2{}一{Q)(19)式中的{}为流函数的未知结点值向量.~(18)am(19)式,每个单元对系数矩阵[]和右端项{Q}中相应元素的作用分别为b:盯(警警+警警jacz.:=Ⅱ{警[耋ckiaN,+b警]～警[喜ck警+]cz式中为单元的面域}f,j=1.2'..?,m.(19)式的解就为流函数(z,y)的有限元解.有了水头函数,y)和流函数(z,y)的有限元数值解,再经过有限元解后处理子程序的计算,整理后,即可得绘制流网所需的所有技术数据或直接在计算机上绘制出高精度的流网.事实上,(13)式把渗流场中流函数的强制性第一类边界条件(,)一(,y)转化成了第二类自然边界条件,避开了渗出面上流函数事先不易确定的问题,使流网的数值计算大为简化.为了消除系数矩阵[]的奇异性并使解唯一性,在解(19)式前,可根据问题的性质及其物理意义,对某些结点直接引入已知值,如位于浸润线上结点的值为0.0;位于计算域底部不透水面上结点的值为总渗流量q(或取相对值100).四,算例(一)土提中无压渗流场的流网计算'图2为一均质各向同性土堤中无压Fi.P要誊ed印渗流场流网的计算结果,流线与荨水头"ow.ughhomo~eneoandisotop线互为正交,计算域为ABCDEA,上,下游水头分别为6.0和2.0.在求解水头函数的分布及确定浸润线位置时,采用结点虚流量法[3}在求解流函数(,y)的分布时,令浸润线AD上所有结点的值为0.0.劫一盟赴-rdlD第l,2期朱岳明等绘制谎同的数值计算方法(二)闸坝下成层各向异性地基中流网的计算图3为某一水闸下非均质成层各向异性体地基中流网的计算结果.在计算域中,视闸体混凝土为不透水体,厚 2.0rn,深40.0m的棍凝土防渗板桩也为相对不透水体,约40m深的强透水砂砾覆盖层为均质各向异性透水体,其Dare),渗透张量为吡=(m/d)r2.320,01一lo.o1.16J如/s)覆盖层下为水平向层状岩体,其渗透张量为嘲,一[c…m闸坝上,下游水头分别为20.0m和5.0m,计算中令位于闸底板面上结点的=0.0,位于z一一100.0m,z一150.0m和=一100.0m的边界面上的结点满足=舢(为总渗流量). 图3非均质各向异性闸基域中的斜交型流网F.3Tiltedflowztetofeon|inedseepageflowthrou暮hinhomogeneousandanlsotroplc foundationof8sluice如图3所示,在一一40.0m的地基材料分界面上,因受渗流越流量连续性条件的约束,流线与等势线均发生折射;又因材料均为各向异性体,尽管渗透方向与整体坐标和Y轴同向(==O),流线斜交于等水头线,流网为斜交网络图.这种流网难以用徒手勾画, 也不便由模型试验中得到.124水刺水运科学研究1994年6月(三)非均质土石坝中流网的计算图4为一壤土质宽心墙非均质各向同性体土石坝中渗流流网的计算结果.该坝高30.0m,底宽160.Om,心墙底宽96.Om,坝上,下游水头分别为148.Om和130.Om.整个渗流计算域主要由四种透水性不同的材料组成t一区为壤土质宽心墙体,其渗透系数h;1.16×10一m/s}二区为上,下游坝坡区的粗砂砾填筑区,其岛一L16×10～m/s{三区为深选50.Om的细砂砾覆盖层,其=1.16X10-5m/s;四区为覆盖层下的砂质岩层,其h= 1.16×10一m,s.":,\\汹l—?.'.....'..一1160—————————卜—一l伽———图4壤土质宽心墙土石坝中的流网F.4Flowtofseepagethroughanearthdam该坝虽在各子区域内介质为各向同性体,流线与等水头线正交,但在一70.0m和一120.Om等不同透水体的分界面上流线和等水头线均发生折射,使得流网的形态复杂化.显然,流网也不宜用徒手勾画.五,结语(一)本文介绍的方法适用于各种非均质,各向异性域中复杂流网的绘制工作.与传统的几种方法相比,尤其适用于材料分界面处流线和等水头线均折射及各向异性域中斜交流网的绘制.(二)求解漉函数(z,)时.虽基于已求解得水头函数z,)的基础上,但采用的是饲一种网格.(三)在非均质域中,困在相邻材料区的分界线上流线和等水头线均要发生折射,为了提高流网的计算及绘制精度,对这些分界线区单元,应布置得相对密一些.同理?在水力梯度变化较大的有关阻水及排水区,单元也应布置得小些.∞+占●上第l,2期朱岳明等:绘制浇两的数值箅方法12j参考文献1HarrME.GroundwaterandSeepage.LondonlMCGraw—HillBookCompany.19622AahoJ.Finiteelementseepageflownets.IntJforNumericalaMAnalysis MethodsinGeomechanlcs,1984l8t297—3033ZhuYueming,WangRuyun,XuHongbo.Someadaptivetechnlquesfor solutionoffreesurfaceseepageflowthrougharchdamabutments.In±Procof theIntSymposiumonArchDams,1992 NumericalmethodfordrawingflownetofseepageZhuYuemlng(HohaiUniversity)HeJian(ZheiiangProvinceWaterConservancy,~[anagement)ShaoJingdong(ChenduHydroelectricInvestigation,DesignandResearchInstituteofMOE,M~VR) AbstractAtthefirst.thefundamentaltheoryandcharacteristicoftheflownetsof2-D.DarcyS seepageflowproblemareintroduced.Basedonthevariationalprincipleandfiniteelementmethod,thenumericalmethodandthecorrespondingcalculationexpressionsarepresented indetail.Threeillustrativeexamplesaboutthenumerlzationanddrawingoftheflownets ofseepagesthroughembankmentandsluicefoundationaresuccessfullygiven.Themethod hasfoundamentlysolutedtheproblemthatallofthecomplicatedflownetsingeoengineer—ingmaybenumericallydrawnwithquickandhighprecision.Keywords:seepage,flownet,finiteelementmethod,numericalcalculation,tWO,dimensionaIflOW。

数值方法(第2版)答案

C语言编程习题第二章习题2-25.用二分法编程求6x4 -40x2+9=0 的所有实根。

#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 10000double A,B,C;double f(double x){return (A*x*x*x*x+B*x*x+C);}void BM(double a,double b,double eps1,double eps2){int k;double x,xe;double valuea = f(a);double valueb = f(b);if (valuea > 0 && valueb > 0 || valuea <0 && valueb < 0) return;printf("Finding root in the range: [%.3lf, %.3lf]\n", a, b);for(k=1;k<=N;k++) {x=(a+b)/2;xe=(b-a)/2;if(fabs(xe)<eps2 || fabs(f(x))<eps1) {printf("The x value is:%g\n",x);printf("f(x)=%g\n\n",f(x));return;}if(f(a)*f(x)<0) b=x;else a=x;}printf("No convergence!\n");}int main(){double a,b,eps1,eps2,step,start;printf("Please input A,B,C:\n");scanf("%lf %lf %lf",&A,&B,&C);printf("Please input a,b, step, eps1,eps2:\n");scanf("%lf %lf %lf %lf %lf",&a,&b,&step,&eps1,&eps2);for (start=a; (start+step) <= b; start += step) { double left = start;double right = start + step;BM(left, right, eps1, eps2);}return 0;}运行：Please input A,B,C:6 -40 9Please input a,b, step, eps1,eps2:-10 10 1 1e-5 1e-5Finding root in the range: [-3.000, -2.000]The x value is:-2.53643f(x)=-0.00124902Finding root in the range: [-1.000, 0.000]The x value is:-0.482857f(x)=0.00012967Finding root in the range: [0.000, 1.000]The x value is:0.482857f(x)=0.00012967Finding root in the range: [2.000, 3.000]The x value is:2.53643f(x)=-0.00124902有时若把判别语句if(fabs(xe)<eps2 || fabs(f(x))<eps1)改为if(fabs(xe)<eps2 && fabs(f(x))<eps1)会提高精度，对同一题运行结果：Finding root in the range: [-3.000, -2.000]The x value is:-2.53644f(x)=-4.26496e-007Finding root in the range: [-1.000, 0.000]The x value is:-0.482861f(x)=-7.3797e-006Finding root in the range: [0.000, 1.000]The x value is:0.482861f(x)=-7.3797e-006Finding root in the range: [2.000, 3.000]The x value is:2.53644f(x)=-4.26496e-007习题2-35. 请用埃特金方法编程求出x=tgx在4.5（弧度）附近的根。

《数值计算方法》试题集和答案(1_6)2

《计算方法》期中复习试题一、填空题:1、已知/（1）= 1°，/⑵=12 /⑶= 1.3,则用辛普生（辛卜生）公式计算求2、/（1）= 7 /⑵=2, /（3） = 11则过这三点的二次插值多项式中疋的系数为 _____ ,拉格朗日插值多项式为 ________________________ o3、近似值^=0 231关于真值A = 0.229有（2 ）位有效数字;4、设/（X ）可微,求方程x = f^的牛顿迭代格式是（）;5、对/U ）= X 3 + A + 1J 差商/[0,1,2,3] =（ 1/[0,1,2,3,4] =（）；6、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；7、用二分法求非线性方程f （x ）=0在区间（s,®内的根时，二分力次后的误差限b_a为（诃）;8、已知f （l ）=2, f （2）=3, f （4）=,则二次Newton 插值多项式中#系数为（）;f/Wdv打⑴血-+ 八2^）]11、两点式高斯型求积公式J 。

八^（Jo22血2厲），代数精度为（5 ）;“34 6 y = 10 H ------ 1 --------- ------------12、为了使计算x-1 （x-1）- （x-1）-的乘除法次数尽量地少，应将V2ooi - 71999"改写为、/^55T+Vi^ 。

得丄"如答案:，用三点式求得广⑴〜 ____________答案：心+1 =心答案1 一广（占）该表达式改写为 y = 10+（3 + （4 — 6小）人 t =x-l ,为了减少舍入误差，应将表达式13、用二分法求方程/（X）= Q + x_ 1 = 0在区间［0, 1］内的根，进行一步后根的所在区间为，1 ，进行两步后根的所在区间为，。

14、计算积分匚5低肚，取4位有效数字。

用梯形公式计算求得的近似值为—，用辛卜生公式计算求得的近似值为梯形公式的代数精度为1 ,辛卜生公式的代数精度为3 。

《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2

答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。

13、用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

天津大学《数值计算方法》在线作业二答案

7.反幂法是用来求矩阵()特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。
A.按模最大
B.按模最小
C.全部
D.任意一个
?
正确答案：B
8. ()是利用函数的值求自变量的值。
A.三次样条插值
B.反插值
C.分段插值
D.爱尔米特插值
?
正确答案：B
9. A.
B.
C.
D.
?
正确答案：B
10.梯形公式是求解常微分方程的()阶方法。
《数值计算方法》在线作业二
一,单选题
1. A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
?
正确答案：A
2.设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为()。
A. -0.5
B. 0.5
C. 2
D. -2
?
正确答案：A
3.求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为()步法。
A.多
B. 2
C. 3
A.错误
B.正确
?
正确答案：A
8.高斯-塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。()
A.错误
B.正确
?
正确答案：A
9. A.错误
B.正确
?
正确答案：A
10.逐次超松弛迭代法是高斯-赛.正确
?
正确答案：B
A. 2
B. 4
C. 3
D. 5
?
正确答案：A
二,判断题
1.梯形方法是一种隐式的多步法。()
A.错误
B.正确
?
正确答案：A
2.求解微分方程初值问题的向后Euler法是隐式方法。()
A.错误
B.正确

数值计算方法曲线拟合2 - 曲线拟合2

曲 a1=-0.2347;
线
a2=2.9943; d=300;
拟 v=1/Exp[a2]* D0
合 k=-a1
c1=10;
c0=25;
D0=v*c0
p=v*(c0-c1)
T=N[1/k*Log[c0/c1],8]
参考数据
初始剂量：
D0=（mg）
中心室血液容积： V=15.02 (L)
重复注入固定剂量： D=225.3(mg)
大学：
创新的活水
大学：
真理的福地
大学：
文化的酵母
大学：
知识的源泉
大学：
道德的高地
大学：
良心的堡垒
学府：学者的共同体学术：教师的活动学业：学生的活动学人：追求学问的人
雅典神庙门廊石碑上的警世名言：
人对社会的贡献
= k*F（广度、深度、准确度）
古希腊思想家苏格拉底：我们必须自知”，“我们必须自觉自己的无知”
k2=Plot[y,{x,0,2}]
Show[k1,k2]
程序设计
课后实验课题
已知某模型快速静脉注射下的血药浓度数据 (t=0 注射300mg ) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 g (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
认识自己，方能认识人生。
智慧意味着自知无知！
我平生只知道一件事：我为什么是那么无知。
感悟：品质建设最重要
1 做什么？
境界 1
境界 2
2 怎样做？
境界 3
境界 4
境界 5
3 怎样做好？
4 怎样做精？

数值计算方法答案

数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。

解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）++；（2）+（+）哪个较精确解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++；（2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。

数值计算方法第二章方程的近似解法

设在区间[a,b]上方程有一个根，则称该区间为方程的一个有根区间。若在区间[a,b]上方程只有一
个根，则称该区间为方程隔根区间。
Remark：若能把隔根区间不断缩小，则可以得出根的近似值。
三、根的隔离
基于函数f(x)的连续性质，常用的根的隔离的方
法有：描图法与逐步搜索法。
1、描图法：画出y=f(x)的简图，从曲线与x轴交点
1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验：（1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]，
b1=x1, a1=a;
（2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
公式(2)
1.5 2.375 12.3965 1904.01 6.90244 3.28857 3.55651 4.49856 inf
公式(3)
1.5 1.29099 1.33214 1.32313 1.32506 1.32464 1.32473 1.32471 1.32471
公式(4)
1.5 1.9375 4.10535 36.1482 23634.7 6.60124 1.43829 1.4877 inf
间。必要时可调整步长h，总可把隔根区间全部找出。
3、根据函数单调性判断
§2.1 二分法（对分法）
一、算法
设 f ( x ) 在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0且在[a,b]内 f(x)=0仅有一个实根 x*。二分法的基本思想是：
逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号，进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求出满足给定精度的根 x* 的近似值。执行步骤：

华北理工《数值计算方法》题库+答案

A、
y1'

1 h
(
y0

y1 )
.
B、
y1'

1 h
( y0

y1 )
C、
y1'

1 h
( x0

x1 )
D、
y1'

1 h
( x1

x0 )
34、求解非线性方程 f ( x) 0 ，若 f ( x) 0 可以表成 x ( x) ，用简单迭代法求根，
那么( x) 满足( )，近似根序列 x1 , x2 ,, xk ,一定收敛。
A. x2e x1 x1e x2 B. e x1 e x2
C. x1e x1 x2e x2 D. e x1 e x2
7．已知求积公式
2 1
f
xdx
1 6
f
1

Af
(
3 2
)

1 6
f (2) ，则 A ＝（
x
5
sin
x
的根是因为
。
9. 取 x 3.142 作为 x 3.141 592 654 ┅的近似值，则 x 有
位有效数字.
10、已知 168 12.961有五位有效数字，则方程 x 2 26x 1 0 的具有五位有效数字的较小根
为
。
11. 龙贝格积分法是将区间a,b
并进行适当组合而得出的积分近似值的求法。
D．

b 2
a4
880
f 5
4 2 2
14.
用紧凑格式对矩阵 A

《数值计算方法》试题集及答案 (2)

《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。

13、用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

第二章自测题答案

湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
第二章自测题答案
1. 设 f ( x ) 可微，则求解方程 x f ( x ) 的牛顿迭代格式是_________________. 答案: x n 1 x n
xn f ( xn ) 1 f ( x n )
2. 用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间(a,b)内的根，则二分 n 次后的误差限为_______. 答案:
3) 因 ( x ) 1 e x ， ( x ) e x 当 x [1,2] 时， ( x ) [ ( 2), (1)] [1,2] ，且 | ( x ) | e 1 1 所以迭代格式 xk 1 ( x k ) ( k 0,1,2,) 对任意 x0 [1,2] 均收敛. 12. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程： cos x sin x ; (2) x 4 2 x . （1） x 4 cos xk sin xk 解：（1）迭代公式 xk 1 4 cos x sin x sin x cos x 2 1 因 ( x) ， ( x ) 1 ，故公式收敛. 4 4 4 2 x （2）设 f ( x) x 4 2 , 则 f (1) 0, f (2) 0, 故有根区间为［1，2］. x x 因 ( x) 4 2 , ( x) 2 ln 2 2 ln 2 1.36829 1 故不能用 xk1 4 2 k 来迭代求解. 若将原方程改写为 x ln(4 x) / ln 2, 此时 ( x) ln(4 x) / ln 2, 1 1 1 1 1 ( x) 1 4 x ln 2 4 2 ln 2 2 ln 2 ln(4 xk ) 故可用迭代公式 xk 1 来求解 ln 2

4.2数值计算(第2课时)教学设计-2023—2024学年高中信息技术教科版(2019)必修1

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解数值计算的基本概念、方法和应用，结合实例帮助学生理解。
突出数值计算的重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕数值计算问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
本节课的教学内容来自于2023-204学年高中信息技术教科版（2019）必修1的4.2数值计算（第2课时）。该部分内容主要介绍了数值计算的基本概念、方法和应用。具体内容包括：
1.数值计算的定义：通过计算机程序实现数学问题的数值求解过程。
2.数值计算方法：包括直接法、迭代法、蒙特卡洛法等，以及它们在实际问题中的应用。
同时，我也会增加更多的互动和讨论环节，鼓励学生提出问题和发表自己的观点，提高学生的参与度和学习兴趣。我也会更加注重学生的反馈，及时调整教学方法和策略，以提高教学效果。
板书设计
1.数值计算的基本概念
-定义
-应用领域
-特点
2.数值计算方法
-直接法
-迭代法
-蒙特卡洛法
3.数值计算的误差分析
-舍入误差
-截断误差
教学资源
1.软硬件资源：
-计算机教室，每台计算机安装有MATLAB软件；
-投影仪，用于展示教学内容和实例分析；
-网络连接，用于访问在线资源和分享文件。
2.课程平台：
-学校内部的课程管理系统，用于发布教学材料、作业和实验任务；
-云端存储平台，用于保存和共享学生的实验数据和报告。
3.信息化资源：
-教学PPT，包含数值计算的基本概念、方法和应用的讲解；
鼓励学生分享学习数值计算的心得和体会，增进师生之间的情感交流。

4.2数值计算(第二课时)优秀教学案例教科版高中信息技术必修1

5.教学评价多元化：本案例运用了多元化的评价方式，如课堂表现、练习成绩、小组合作等，全面评价学生的学习效果。教师关注学生的学习过程，注重培养他们的自主学习能力、团队协作能力和沟通表达能力。
本案例的亮点在于教学内容与学生生活实际相结合，教学方法灵活多样，注重学生的实践能力和创新精神的培养，小组合作学习环节丰富，教学评价多元化。这些亮点使本案例具有较高的实用性和参考价值，有助于提高学生的信息技术素养，培养他们成为具有创新精神和实践能力的现代人。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设有趣、具有挑战性的情景，激发学生的学习兴趣。
2.通过多媒体演示、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，拓宽他们的知识视野。
3.利用信息技术手段，如虚拟实验室等，让学生在实践中感受数值计算的应用，提高他们的实践能力。
4.创设合作交流的平台，让学生在讨论、分享中相互启发，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
2.结合实例，阐述数值计算在实际问题中的应用，让学生深刻理解其意义。
3.引导学生通过自主学习、合作交流，探究数值计算的原理和操作步骤。
4.教师针对学生的学习情1.教师提出具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论。
2.学生通过讨论、交流，共同解决问题，提高团队协作能力和沟通能力。
在案例的实践环节，我设计了一系列具有挑战性的练习题，让学生运用所学的数值计算方法进行实际操作。通过这一环节，学生能够巩固所学知识，提高解决问题的能力。在案例的总结环节，我采用学生自主总结、教师点评的方式，使学生对数值计算方法有一个全面、深入的认识。
本节课的教学案例充分体现了以学生为中心的教育理念，注重培养学生的实践能力、创新能力和团队合作能力。在教学过程中，我充分发挥了教师的主导作用，引导学生积极参与课堂，提高他们的信息技术素养。通过这份优秀教学案例，我相信学生在数值计算方面的能力得到了很大的提升。

数值计算方法》习题答案

《数值计算方法》课后题答案详解吉林大学第一章习题答案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。

解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取并令可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。

有限单元法基本原理和数值方法 (2)

有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值计算方法。

它的基本原理是将连续体分割为离散的有限单元，通过建立有限单元间的关系，近似求解连续体的行为。

本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法。

2. 有限单元法基本原理有限单元法基于两个基本假设：一是一个连续物体可以用小的有限单元来近似表示；二是连续物体在每个有限单元内有近似均匀的力和位移。

有限单元法的基本原理可以概括为以下几个步骤：2.1 离散化将连续物体划分为有限个离散的单元，每个单元都有自己的性质和参数。

通常采用三角形、四边形、四面体等简单形状的单元。

2.2 建立单元间的关系通过节点和单元之间的连接关系来构建整个有限元模型。

每个单元都与相邻的单元共享一些节点，通过共享的节点建立单元间的关系。

2.3 定义单元的属性为每个单元定义材料性质、几何属性和荷载条件等参数，这些参数将用于描述单元的行为。

2.4 定义求解问题的边界条件为有限元模型定义相应的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等。

2.5 利用单元间的关系建立方程通过应变能最小原理，利用单元间的关系建立求解整个结构的方程。

2.6 求解方程将建立的方程离散化，采用数值方法求解得到解。

3. 有限单元法数值方法有限单元法中常用的数值方法有直接法和迭代法。

3.1 直接法直接法是指直接求解线性方程组的方法，通常使用高斯消元法、LU分解法等。

直接法的优点是计算简单，稳定性好。

但是当方程组规模较大时，计算量会很大。

3.2 迭代法迭代法是指通过迭代逼近求解方程组的方法，常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。

迭代法的优点是计算量相对较小，适用于大规模方程组。

但是迭代法的收敛性需要保证，且需要选择合适的迭代停止准则。

4. 有限单元法应用有限单元法广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、电磁场分析等。