线性代数二次型

二次型与对称矩阵

一、 二次型及其矩阵

1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数：

22

2

12111222(,,,)n nn n

f x x x a x a x a x =++

+

12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --+++

+

称为二次型。

为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为：

2

12111121211(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x =++

+ 2

212122222n n a x x a x a x x ++++

+

2

1122n n n n nn n

a x x a x x a x ++++ ,1

n

ij i j i j a x x ==

∑

令1112

12122212

n n n n nn a a a a

a a A a a a ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢

⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，

则 12(,,

,)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。

由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次

型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型

f 的秩。

例1 设

3132212322

2132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 试求二次型矩阵A .

解 111=a , 222=a , 333=a , 2

52112=

=a a , 27

3223==a a ,

2

9

3113==a a . 于是得

⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=32

729272

25

29251A ，1123235912257(,,)2

2297322x f x x x x x ⎛⎫

⎪⎛⎫

⎪ ⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭

例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=321x x x X .

求二次型AX X T 的矩阵.

解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T 321321233110321),,(x x x x x x AX X

3231212322

214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--223211311.

二、线性变换 1 标准形

定义：形如2222211n n x d x d x d +++ 的二次型称为二次型的标准形。

显然：其矩阵为对角阵。

2 线性变换

定义： 关系式111112212

211222

21122n n n n n n n nn n

x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =++

+⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=++

+⎩称为由变量12,,

,n x x x 到变量

12,,

,n y y y 的一个线性变量替换，简称线性变换。

矩阵111212122

212n n n n nn c c c c c

c C c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

称为线性变换的矩阵。 记 12n x x

x x ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪

⎪

⎝⎭

，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则线性变换可用矩阵形式表示为：x Cy =

若0C ≠，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），否则，称为降秩（线性）变换（或退化变换）。

12(,,

,)()()T T T T T n Cy A Cy y C f x x AC x y y x Ax By

====，其中

T B C AC =，

而()T T T T B C AC C AC B ===

若线性变换是非退化的，便有：1y C x -=

三、矩阵的合同

1定义：设A ，B 为n 阶方阵，如果存在n 阶可逆矩阵C ，使得T C AC B =，

则称矩阵A 与B 合同。

容易知道：二次型()T f x x Ax =的矩阵A 与经过非退化线性变换x Cy =得到的

矩阵T C AC 是合同的。

2 合同的性质

反身性：任一方阵A 都与它自己合同

② 对称性：如果方阵A 与B 合同，那么B 也与A 合同

③ 传递性：如果方阵A 与B 合同，B 与C 合同，那么A 与C 合同 3 定理：若矩阵A 与B 合同，则A 与B 等价，且()()R A R B =。

4 定理：任何一个实对称矩阵A 都合同于一个对角阵Λ（Λ是以A 的n 个特

征根为对角元的对角阵）。即存在可逆矩阵C ，使得T C AC =Λ。

化二次型为标准形

一、正交变换法