(江西版)高考数学总复习 第二章2.15 导数在函数最值及生活实际中的应用教案 理 北师大版

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第二章2.15 导数在函数最值及生活实际中的应用考纲要求1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．会利用导数解决某些实际问题．知识梳理1．函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )，在[a ，b ]上____有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )______有最大值与最小值．(2)求最大值与最小值的步骤：设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的____值；②将f (x )的各____值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2．解决优化问题的基本思路基础自测1．函数f (x )＝x e －x，x ∈[0,4]的最大值是( )．A ．0B ．1eC ．4e 4D ．2e 22．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )． A ．0≤a ＜1 B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜123．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值是__________，最小值是__________. 4．当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的底面半径为__________时，才能使饮料罐的体积最大．思维拓展1．如何求实际问题中的最值问题？提示：有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．2．函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间[a ，b ]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．一、函数的最值与导数【例1－1】已知f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的图像在x ＝e 处的切线方程；(2)设实数a ＞0，求函数F (x )＝f (x )a 在[a,2a ]上的最小值． 【例1－2】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 方法提炼求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．请做[针对训练]1二、利用导数解决实际生活中的优化问题【例2－1】某电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A ，B 型号电视机的价值分别为p ，q 万元，农民购买两种型号的电视机获得的补贴分别为110p ，m ln(q＋1)(m ＞0)万元．已知厂家把总价值为10万元的A ，B 两种型号电视机投放市场，且A ，B 两型号的电视机投放金额都不低于1万元．(1)当m ＝25时，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；(2)讨论农民得到的补贴随厂家投放B 型号电视机金额的变化情况．(精确到0.1，参数数据：ln 4≈1.4)【例2－2】某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P 与日产量x (x ∈N＋)件之间的关系为P ＝4 200－x24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y (元)表示成日产量x (件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值． 方法提炼利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：1．分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，根据实际意义确定定义域；2．求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0得出定义域内的实根，确定极值点； 3．比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； 4．还原到原实际问题中作答．请做[针对训练]2考情分析从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点，试题大多有难度，考查时多与函数的单调性、极值结合命题，主要考查学生做综合题的能力．预测2013年高考仍将以利用导数研究函数的单调性、极值与最值结合题目为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题．针对训练1．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )．A ．211e 22π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．211,e 22π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2[1,e ] D ．π2(1,e )2．如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000平方米，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为( )．A ．长102米，宽5 00051米 B ．长150米，宽66米C ．长、宽均为100米D ．长150米，宽2003米3．(2012江西南昌调研)已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .若f (x )的最小值是3，则实数a 的值为__________．4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)必 不一定 (2)①极 ②极 f (a )，f (b ) 2．用函数表示的数学问题 基础自测1．B 解析：f ′(x )＝e －x －x ·e －x＝e －x(1－x )，令f ′(x )＝0，∴x ＝1.又f (0)＝0，f (4)＝4e4，f (1)＝e －1＝1e，∴f (1)为最大值．2．B 解析：∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0＜a ＜1.3．5 －15 解析：f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，即6x 2－6x －12＝0， 则x ＝－1或x ＝2.又x ∈[0,3]，故x ＝－1应舍去．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如表：x 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f ′(x ) － 0 ＋f(x ) 5 －15－4∴f (x )max ＝5，f (x )min ＝－15. 4．S6π解析：设圆柱形金属饮料罐的底面半径为R ，高为h .S ＝2πRh ＋2πR 2⇒h ＝S －2πR 22πR⇒V (R )＝S －2πR 22πRπR 2＝12(S －2πR 2)R ＝12SR －πR 3 ⇒V ′(R )＝12S －3πR 2，令V ′(R )＝0，∴R ＝S6π. 因V (R )只有一个极值点，故它就是最大值点． 考点探究突破【例1－1】解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， ∵f (e)＝e ，且f ′(e)＝2，∴函数y ＝f (x )在x ＝e 处的切线方程为y ＝2(x －e)＋e ， 即y ＝2x －e.(2)F ′(x )＝1a(ln x ＋1)，令F ′(x )＝0得x ＝1e.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增． (ⅰ)当a ≥1e 时，F (x )在[a,2a ]上单调递增，F (x )min ＝F (a )＝ln a ；(ⅱ)当a ＜1e ＜2a ，即12e ＜a ＜1e 时，F (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，1e 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2a 上单调递增，F (x )min ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e a ； (ⅲ)当2a ≤1e ，即0＜a ≤12e时，F (x )在[a,2a ]上单调递减． ∴F (x )min ＝F (2a )＝2ln 2a .【例1－2】解：(1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数， 所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)·(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0.因此f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(0)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x ＜－2或x ＞2时，g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2＜x ＜2时，g ′(x )＞0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.【例2－1】解：设B 型号电视机的价值为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元． 则A 型号电视机的价值为(10－x )万元，由题意得y ＝110(10－x )＋m ln(x ＋1) ＝m ln(x ＋1)－110x ＋1.(1)当m ＝25时，有y ＝25ln(x ＋1)－110x ＋1，y ′＝25(x ＋1)－110，由y ′＝0，得x ＝3.当x ∈(1,3)时，y ′＞0； 当x ∈(3,9)时，y ′＜0.所以当x ＝3时，y 取得最大值，y max ＝25ln 4－0.3＋1≈1.3.即厂家分别投放A ，B 两型号电视机7万元和3万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.3万元．(2)y ′＝m x ＋1－110，令y ′＝0，得x ＝10m －1.1≤10m －1≤9，即0.2≤m ≤1时， x ∈[1,10m －1)，y ′＞0； x ∈(10m －1,9]，y ′＜0.当x ∈[1,10m －1)时，随B 型电视机投放金额x 的增加，农民得到的补贴逐渐增加； 当x ∈(10m －1,9]时，随B 型电视机投放金额x 的增加，农民得到的补贴逐渐减少．【例2－2】解：(1)∵y ＝4 000·4 200－x 24 500·x －2 000⎝⎛⎭⎪⎫1－4 200－x 24 500·x ＝3 600x －43x 3， ∴所求的函数关系式是y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)．(2)由(1)知y ′＝3 600－4x 2. 令y ′＝0，解得x ＝30. ∴当1≤x ＜30时，y ′＞0； 当30＜x ≤40时，y ′＜0.∴函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数．∴当x ＝30时，函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N ＋，1≤x ≤40)取得最大值，最大值为－43×330＋3 600×30＝72 000(元)．∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72 000元． 演练巩固提升 针对训练1．A 解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x .∵0≤x ≤π2，f ′(x )≥0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不恒为0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π21e 2， f (x )的最小值为f (0)＝12，∴f (x )∈π211e 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.2．D 解析：设鱼塘长、宽分别为y 米、x 米，依题意xy ＝10 000. 设占地面积为S ，则S ＝(3x ＋8)(y ＋6)＝18x ＋80 000x＋30 048，令S ′＝18－80 000x 2＝0，得x ＝2003.此时y ＝150.3．e 2解析：f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上是减少的，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)；②当0＜1a ＜e 时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是减少的，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上是增加的．f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2；③当1a≥e 时，f (x )在(0，e]上是减少的，f (x )min＝f (e )＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)．综上，可得a ＝e 2.4．9 解析：因为y ′＝－x 2＋81， 所以当x ＞9时，y ′＜0； 当x ∈(0,9)时，y ′＞0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点， 所以函数在x ＝9处取得最大值．。