数学高考立体几何求空间角 (共12张PPT)

课堂小结
利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：确定点的坐标； 第三步：求向量(直线的方向向量Leabharlann Baidu平面的法向量) 坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值)； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角； 第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规 范．
作业:
跟踪巡航 2、3
类型二 求直线与平面的夹角
[例2] (2016·高考全国丙卷)如图，四棱锥P－ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
[方法引航]利用向量法求直线与平面的夹角的方法： （1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向 向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）； （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向 量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和 平面的夹角.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
[方法引航] 用向量法求异面直线的夹角的一般步骤： 1选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； 2确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； 3利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； 4两异面直线的夹角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值.
§8.8 立体几何中的向量方法(二) ——求空间角
考纲要求：
能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方 法在研究立体几何问题中的应用。
近5年全国2卷高考试题分析：
2013
2014
2015
2016
2017
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线面平行、 求二面角的
正弦值
线面平行、 求三棱锥的 体积（已知 二面角）
类型三 求平面间的夹角
例3(2015·高考重庆卷)如图所示，三棱锥P－ABC 中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π/2。D，E分
别为线段AB，BC上的点，且 CD＝DE＝ 2 ，CE＝
2EB＝2.
(1)证明：DE⊥平面PCD； (2)求二面角A－PD－C的余弦值．
解：(1)证明：∵ PC⊥平面ABC，DE 平面ABC， ∴ PC⊥DE. ∵ CE＝2，CD＝DE＝ 2 ∴ △CDE为等腰 直角三角形，∴ CD⊥DE. 又∵ PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两 条相交直线， 故DE⊥平面PCD.
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完求成线图面形角、线 二面面弦垂角值的直正、
线面平行、求二面角 的余弦值
一、知识梳理
1、两条异面直线的夹角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
范围
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
求法
2、直线与平面的夹角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n， 直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为 β，则sin θ＝|cos β|
3、求平面间的夹角
已知平面π1和π2的法向量分别为n1，n2，当0≤〈n1， n2〉≤π/2时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉 当π/2＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等 于π－〈n1，n2〉。
二、典型例题
类型一 求异面直线的夹角 [例1] (2015·高考课标卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为 菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两 点， BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF， AE⊥EC.